高中數(shù)學(xué)選擇性必修二函數(shù)的極值講義

5.3.2.1函數(shù)的極值共同基礎(chǔ)?系統(tǒng)落實(shí) 課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高QONGTONGJICHUXITONGLUOSHI要點(diǎn)極值點(diǎn)與極值.極小值與極小值點(diǎn)如圖，若函數(shù)y=_/(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值4a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，/(a)=0；而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f(x)<0,右側(cè)f'(x)X),則把點(diǎn)a叫做函數(shù)y=_/(x)的極小值點(diǎn)，穴。)叫做函數(shù)y=_/(x)的極小值..極大值與極大值點(diǎn)如上圖，若函數(shù)y=7(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值犬6)比它在點(diǎn)x=匕附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，/(6)=0；而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f，(x)>0,右側(cè)f(x)<0,則把點(diǎn)b叫做函數(shù)y=/a)的極大值點(diǎn)，貝勿叫做函數(shù)y=/(x)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.【重點(diǎn)總結(jié)】(1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，它反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況.(2)由函數(shù)極值的定義知道，函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處一定不可能取得極值，即端點(diǎn)一定不是函數(shù)的極值點(diǎn).(3)在一個(gè)給定的區(qū)間上，函數(shù)可能有若干個(gè)極值點(diǎn)，也可能不存在極值點(diǎn)；函數(shù)可能只有極大值，沒(méi)有極小值，或者只有極小值沒(méi)有極大值，也可能既有極大值，又有極小值.極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小.(4)若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值.【基礎(chǔ)自測(cè)】.判斷正誤(正確的畫(huà)“ ，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”)(1)若函數(shù)人》)在3，》)內(nèi)有極值，則Hx)在(a,b)內(nèi)一定不單調(diào).( )(2)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn).()(3)函數(shù)的極大值一定大于極小值.()(4)在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處，切線與x軸平行或重合.()【答案】(1)V(2)X(3)X(4)V.(多選題)下圖是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象，則下列命題中正確的是( )-3是函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)-1是函數(shù)y=_/(x)的最小值點(diǎn)y=_/(x)在x=0處切線的斜率小于零y=_/(x)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】由導(dǎo)函數(shù)圖象知函數(shù)式外在(-8,—3)上單調(diào)遞減，(-3,+8)上單調(diào)遞增，/(-3)=0,所以X=-3是函數(shù)H外的極值點(diǎn)，故AD正確，B不正確；又/(0)>0,所以y=/(x)在x=0處切線的斜率大于0,故C不正確..函數(shù)y=(f—1>+1的極值點(diǎn)是()A.極大值點(diǎn)x=-lB.極大值點(diǎn)x=0C.極小值點(diǎn)x=0D.極小值點(diǎn)x=l【答案】C【解析】=6x(/-1)2=0有二個(gè)根，Xi=-1,及=0,xj—\,由解y'>0得x>0；由解)/<0得x<0,只有x=0是極小值點(diǎn)，故選C..若函數(shù)y=-丁+61+機(jī)的極大值等于13,則機(jī)=.【答案］—19【解析】y'=-3x2+}2x由y'>0得0<r<4.由y'<0得x<0或x>4所以函數(shù)y=—2+6/+機(jī)在(-8,0)和(4,+8)上單調(diào)遞減，在(0,4)上單調(diào)遞增.所以函數(shù)y=—V+6f+〃i在x=4處取得極大值.所以一43+6X42+m=13.解得巾=一19.題型一求函數(shù)的極值(點(diǎn))【例1】(1)設(shè)函數(shù)兀0在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且函數(shù)y=(l— (x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A.函數(shù)_/(x)有極大值火2)和極小值共1)B.函數(shù)/(x)有極大值負(fù)-2)和極小值火1)C.函數(shù)_/(x)有極大值12)和極小值共-2)D.函數(shù)次x)有極大值以-2)和極小值42)【答案】⑴D【解析】(1)由函數(shù)的圖象可知，/(-2)=0,/'(2)=0,并且當(dāng)x<-2時(shí),/(x)>0；當(dāng)一2a<1時(shí),/(x)<0,則函數(shù)_/(x)有極大值負(fù)-2).又當(dāng)l〈r<2時(shí)，/(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，，(x)>0,則函數(shù)次x)有極小值火2),故選D.(2)求下列函數(shù)的極值：①A、)=療一/—3x；②Ax)=x4-4f1+5；③加=乎【極值】(2)①函數(shù)的定義域?yàn)镽f'(x)=x2—2x—3=(x+l)(x—3).令f(X)=O,得X]=-1,X2=3.由此可知當(dāng)X變化時(shí)，/(X),兀1)的變化情況如下表所示:X(一8, -1)-1(-1,3)3(3,+8)f(X)+0——0+於)Z極大值]極小值Z當(dāng)X=-1時(shí)，兀0有極大值/當(dāng)x=o時(shí)，y(x)有極小值o.②因?yàn)槿嘶?/—4/+5,所以，(x)=4X3—12jt—4x2(x—3).令，(x)=4a^(x—3)=0,得X|=O,及=3.當(dāng)x變化時(shí)，/(x)與凡r)的變化情況如下表:X(一8,0)0(0,3)3(3,+°°)f(X)一0一0+於)]不是極值]極小值Z故當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)取得極小值，且|3)=-22.③函數(shù)共此=乎的定義域?yàn)?0,+8),1-Inx且/a)=-p-?a~ 1-Inx令，(幻=?=。，付x=e.當(dāng)x變化時(shí)，f(幻與風(fēng)》的變化情況如下表:X(0,e)e(e,+°°)fM+0—fix)z極大值]故當(dāng)x=e時(shí)函數(shù)取得極大值，且_/(e)=±【方法歸納】(1)求函數(shù)極值的步驟(2)求函數(shù)的極值需嚴(yán)格按照求函數(shù)極值的步驟進(jìn)行，重點(diǎn)考慮兩個(gè)問(wèn)題：一是函數(shù)的定義域，注意判斷使導(dǎo)數(shù)值為。的點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，如果不在定義域內(nèi)，需要舍去：二是檢查導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否異號(hào)，若異號(hào)，則該點(diǎn)是極值點(diǎn)，否則不是極值點(diǎn).【跟蹤訓(xùn)練1](1)(多選題)已知函數(shù)共X)的定義域?yàn)镽且導(dǎo)函數(shù)為r(X),如圖是函數(shù)(x)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)人外的增區(qū)間是(一2,0),(2,+~)B.函數(shù)/(x)的增區(qū)間是(一8,-2),(2,+8)x=-2是函數(shù)的極小值點(diǎn)x=2是函數(shù)的極小值點(diǎn)【答案】(1)BD【解析】由題意，當(dāng)0<x<2時(shí)，，(x)<0；當(dāng)x>2,/(x)X)；當(dāng)一2a<0時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)x<-2時(shí)，/(x)>0即函數(shù)7(x)在(-8,-2)和(2,+8)上單調(diào)遞增，在(-2,2)上單調(diào)遞減，因此函數(shù)1x)在x=2時(shí)取得極小值，在》=-2時(shí)取得極大值；故A、C錯(cuò)，B、D正確.(2)若x=-2是函數(shù)兀0=(/+公-1把廣|的極值點(diǎn)，則兒0的極小值為()A.—1B.-2e-3C.5b3D.1【答案】(2)A【解析】⑵???_/(x)=Qc2+ax—'.f(^)=(2x+a)erl+(x2+ar— l=[^+(a+2)x-i-a—l]ev1.X.x=—2是函數(shù)1)廿一1的極值點(diǎn)，所以-2是f+g+Zjx+a-1=0的根，所以a=-1..'.f(、)=(『+、-2)eLi=(x+2)(x—令/(x)=0得x=—2或x=1,令，(x)<0得一2<x<l,所以y(x)在(一8,—2)上單調(diào)遞增，在(-2,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=\時(shí)，凡0取得極小值且負(fù)外極小值=-1.故選A.題型二與參數(shù)有關(guān)的極值問(wèn)題探究1已知函數(shù)極值求參數(shù)【例2】設(shè)函數(shù)凡￥)=0?+加+0才，在x=1和x=-1處有極值，且/U)=-1,求a,h,c的值，并求出相應(yīng)的極值.【解析】f(x)=3or+2bx+c.?.”=±i是函數(shù)的極值點(diǎn).則一i1是方程，a)=o的根，即有TOC\o"1-5"\h\zf-|+l=Z-3a, e=0,I.c lc=—3a.又人1)=—1,則有a+b+c=—\.1 3由上述三個(gè)方程便可解得。=E，6=0,C=-y1 3此時(shí)函數(shù)的表達(dá)式為/(%)=2?-2^.:?/(x)=2X2-y由題意知，x=±l是/'(x)=0的根.根據(jù)X=±1列表分析/(X)的符號(hào)，_Ax)的單調(diào)性和極值點(diǎn).X(一8, -1)-1(-1,1)1(1,+°°)fW+0——0+危)Z極大值11極小值一1z由上表可以看出，當(dāng)X=-1時(shí)，函數(shù)有極大值，且負(fù)-1)=1；當(dāng)x=i時(shí)，函數(shù)有極小值，且yu)=-1.【重點(diǎn)總結(jié)】由條件可知f'(1)=0,f*(-1)=0,且f(l)=-1,因此可構(gòu)造關(guān)于a,b,c的方程組求出a,b,c的值,確定函數(shù)解析式后判斷x=l和x=-l分別是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).【方法歸納】已知函數(shù)極值情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，注意兩點(diǎn)：(1)常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.探究2已知函數(shù)極值點(diǎn)，求參數(shù)范圍【例3】函數(shù)_/(》)=￥—/+如一1有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.【答案】(-8,1)【解析】/(x)=x2-2x+a由題意知，方程f—2x+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以4=4—4〃>0,解得a<\.【變式探究1】本例條件“函數(shù)曲=￥一/+如-1有極值點(diǎn)”改為“函數(shù)加)=*一/+以一1有一正一負(fù)兩個(gè)極值點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)“的取值范圍如何？【解析】由題意知方程x2—2r+〃=0有一正一負(fù)兩個(gè)根，設(shè)為xi,X2,則即及=〃<0,故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一8,0).

變式探究2本例中的條件“函數(shù)火此=￥一/+奴一1有極值點(diǎn)”改為“函數(shù)式好二加一源+工+以公。)在(-8,+8)上無(wú)極值點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)。的取值范圍如何？【解析】若大外在(-8,+8)上無(wú)極值點(diǎn)則火X)在(一8,十8)上是單調(diào)函數(shù)即f(x)=3ox2—4x+1^0或/。)=3加-4x+1W。恒成立因?yàn)椋?,所以，。)=3加-4x+120在(-8,+8)上恒成立，則有/=(-4)2—4X3aX1^0.4 「4 、解得心東故實(shí)數(shù)a的取值范圍是［亨+8)【變式探究3】本例條件"函數(shù)_/(*)=￥—*+始一1有極值點(diǎn)”改為“函數(shù)貝x)=^-x(lnX-1)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍又如何？|njr【解析】由題意知，函數(shù)人1)的定義域?yàn)?0,+°°),f(x)=ax—Inx,令/(x)=av—Inx=0,可得。=一：令人。)=乎，則由題意可知直線y=a與函數(shù)Mx)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 6'(x)=L詈，令6'(x)=0得x=e可知〃(處在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減..?/(x)，(e)=：當(dāng)X趨向于+8時(shí)，力(X)趨向于零.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,【方法歸納】(1)已知函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍的一般思路：求導(dǎo)后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問(wèn)題.(2)對(duì)于函數(shù)無(wú)極值的問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為/''(x)20或/(x)W0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問(wèn)題，此時(shí)需注意不等式中的等號(hào)是否成立.【跟蹤訓(xùn)練2】(1)已知/在％=—1時(shí)有極值o,則。=,〃=【答案】⑴29【解析】(1)因?yàn)镠x)在x=-1時(shí)有極值0,且/。)=3/+6以+力,所以3—6a+b=0,T+3〃所以3—6a+b=0,T+3〃i+〃2=o.解得a=l,6=3。=2,b=9.當(dāng)。=1,b=3時(shí)，/(^)=3^+6^+3=3(^+1)2^0,所以人工)在R上是增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去.當(dāng)a=2,8=9時(shí)，/(%)=3^+12x+9=3(x+l)(x+3).因?yàn)楫?dāng)x￡(—3,—1)時(shí)，y(x)是減函數(shù)；當(dāng)1,+8)時(shí)，y(x)是增函數(shù)，所以/(x)在x=-1時(shí)取得極小值，因此a=2,b=9.(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,+8)上存在極小值，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.【答案】(2)°＜一2【解析】(2)因?yàn)楣不?/+°111x,所以/'(x)=2x+f=r—,當(dāng)時(shí)，無(wú)極值，所以a＜0,當(dāng)。＜0時(shí),是《X)的極值點(diǎn)，因?yàn)開(kāi)/(x)在(1,+8)上存在極小值，所以-^/―|＞1,得4＜一2.題型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用【例4】已知函數(shù)滅此=￥-aGR.(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(3,43))處的切線方程；(2)討論犬x)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值.【解析】(1)由題意/(x)=f-以，所以，當(dāng)。=2時(shí)，43)=0,f(x)=*—2r,所以，(3)=3,因此，曲線y=/(幻在點(diǎn)(3,43))處的切線方程是y=3(x—3),即3x—y—9=0.(2)因?yàn)?a)=W—OX=X(X—。)，①a=0時(shí)，/(x)=f20,兀0在R上單調(diào)遞增；②〃>0時(shí)，令，(x)>0,得x>a或x<0,所以/(X)在(一8,0)和(小+8)上單調(diào)遞增；令，(x)<0,得04<〃，所以凡。在(0,〃)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=0時(shí)，凡。取得極大值，極大值是x0)=0.當(dāng)x=a時(shí)，應(yīng)0取得極小值，是犬。)=一，3；③4Vo時(shí)，令，(X)=O,得X1=〃<X2=O,所以人外在(一8,4)和(0,+8)上單調(diào)遞增，在30)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)工=。時(shí)，風(fēng)外取到極大值，極大值為_(kāi)/(。)=一『，當(dāng)x=0時(shí)，Ax)取得極小值是火0)=0.【易錯(cuò)辨析】對(duì)函數(shù)取極值的充要條件把握不準(zhǔn)致誤【例5】已知函數(shù)以、)=尸+加+法+/(4,6GR)在X=1處取得極值10,則式2)的值為 .【答案】18［解析］f(x)=3jt+2ax+b.貝)=1。，由題意’得/',⑴一。1/⑴一U,［a2+a+/?+l=10,即?［2。+8+3=0,］。=4 |a=-3,解得L 「或L,lfe=—11 匕=3.當(dāng)。=4,b=—\\時(shí)，令/(x)=0,得jq=l,X2=——.當(dāng)X變化時(shí)，/(%),共幻的變化情況如下表：X(-8,T11-T(-y.1)1(1*+°0)f(X)+0—0+於)單調(diào)遞增z極大值單調(diào)遞減］極小值單調(diào)遞增Z顯然函數(shù)處0在x=l處取得極小值，符合題意，此時(shí)12)=18.當(dāng)。=-3,6=3時(shí)，/(x)=3(—6x+3=3(x-1)220,此時(shí)_/(x)沒(méi)有極值，不符合題意.綜上可知，-2)=18.

一、單選題1.函數(shù)f(x)=(l-cosx)sinx在［-兀,兀］的圖象大致為( ).【分析】根據(jù)定義判斷〃力=(1-<：08外411》是奇函數(shù)排除員根據(jù)xe［O,同時(shí)，/(%)>0,故排除選項(xiàng)A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值點(diǎn)可排除D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=(l-cosx)sinx的定義域?yàn)椋?兀,可，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由/(-x)=(l-cosx)sin(-x)=—(l-cosx)sinx=—/(x),所以〃x)=(l-cosx)sinx是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除選項(xiàng)B；當(dāng)xe[O,兀]時(shí)，/(x)=(l-cosx)sinx>0,故排除選項(xiàng)A；/*(x)=sin2jf+(l-cosx)cosx=-2cos2x+cosx+1=-(cosx-l)(2cosx+l)OJT 0,JT當(dāng)o<x<?時(shí)，r(x)>o；當(dāng)三<x<7t時(shí)，r(x)<o,所以函數(shù)〃X)=(1-cosx)sinx在(o,7t)上的極大值點(diǎn)為x=g,故排除選項(xiàng)D,故選：C.2.設(shè)函數(shù)f(x)=xe'，則( )x=-l為f(x)的極大值點(diǎn)且曲線y=/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線的斜率為1x=1為f(x)的極小值點(diǎn)且曲線y=f(x)在點(diǎn)(O,7(O))處的切線的斜率為2ec.x=-l為fW的極小值點(diǎn)且曲線y=f(x)在點(diǎn)(o,7(o))處的切線的斜率為1D.x=-l為f(x)的極小值點(diǎn)且曲線y=f(x)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線的斜率為2e【答案】C【分析】對(duì)函數(shù)Ax)求導(dǎo)，求出函數(shù)/(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可得出其極值點(diǎn)，由/'(0)=1,可得到在點(diǎn)(OJ(O))處的切線斜率.【解析】解:因?yàn)?(x)=xe",所以因(x)=e*+xe*=(x+l)e”,令尸(x)>0,解得x>-l,令/'(x)<0,解得x<-l,fW在(yo,T)上單調(diào)遞減，在(-1,內(nèi))上單調(diào)遞增，：.x=-\是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，又八0)=1,則曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線斜率為I,故選：C..已知函數(shù)〃x)=e、+asinx,則下列說(shuō)法正確的是( )A.當(dāng)a=-1時(shí)，”X)在(0,田)單調(diào)遞減B.當(dāng)a=T時(shí),“X)在(OJ(O))處的切線為x軸C.當(dāng)a=l時(shí)，“X)在(-兀,0)存在唯一極小值點(diǎn)看,且D.對(duì)任意a>0,“X)在(-兀,例)一定存在零點(diǎn)【答案】C【分析】直接法，逐一驗(yàn)證選項(xiàng).選項(xiàng)A,利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷即可；選項(xiàng)B,通過(guò)切點(diǎn)求切線，再通過(guò)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程；選項(xiàng)C通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值并判斷極值范圍；選項(xiàng)D,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化判斷函數(shù)與直線丁=。的交點(diǎn)問(wèn)題.【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)a=-l時(shí)，f(x)=e'-sinx,xe(0,+oo),/*)=6*-(：05X>0恒成立，所以/1(刈在(0,+<?)單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)4,-1時(shí)，/(x)=ex-sinx,/(0)=1,故切點(diǎn)為。1),ff(x)=ex-cosx9所以切線斜率2二/，(0)=0,故直線方程為：y-l=O(x-O),即切線方程為：y=l,故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=e'+sinx,xe(-zr,O),f\x)=ex^-cosx,7"(幻=/一§也工>0恒成立，所以/'(幻單調(diào)遞增，又r(-§=e7+COS(-爭(zhēng)vO,yr(-y)=e2>0故/'⑶存在唯一極值點(diǎn)，不妨設(shè)工4一空,-9,則/'(%)=0,BP^+008^=0,且一子VXV為,r(X)<O；Xo<X<-y,/Xx)>0,所以極小值/(%)=*+§而/=§皿升)-80人尸0§皿/-?)￡(-1,0),故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,對(duì)于/(x)=er+asinx,xe+oo),令/(x)=0,BPev+asinx=O,當(dāng)工=女小々>一1,且攵$Z,顯然沒(méi)有零點(diǎn)，故且ZwZ,所以一則令尸(x)=-±,廣(x)='(8sx:sinx),令次幻=0,解得》=工+4萬(wàn),%2-1,keZ,sinx sinx sin'x 4所以xe(F-T)單調(diào)遞減，xe(-9,0)單調(diào)遞增，有極小值尸(-，)=及廠>0,于是知xe(f,0)時(shí)4 4 4得尸(x)±&e「+-所以當(dāng)ae(O,0j2)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，對(duì)于條件中任意的。>。均有零點(diǎn)矛盾，故選項(xiàng)D不正確；故選：C【方法點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理..若函數(shù)/("=(/+￡1￥+2)e在r上無(wú)極值，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍()A.(-2,2) B.(-26,26)C.[-2x/3,2x/3] D.[-2,2]【答案】D【分析】求r(x)=[x2+(a+2)x+a+2}e，，由分析可得y=f+(。+2b+。+220恒成立，利用心。即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】由/(力=卜2+0￥+2),6，可得“X)=(2x+a)-e*+(x?+ar+2)e*=[x]+(a+2)x+a+21e”,e*>0恒成立，y=f+(a+2)x+a+2為開(kāi)口向上的拋物線，若函數(shù)〃x)=(f+ar+2)?e*在R上無(wú)極值，貝！]y=f+(a+2)x+a+220恒成立，所以公=(4+2)2—4(a+2)40,解得：-2Wa?2,所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為[-2,2],故選：D..已知函數(shù)/(x)=丁-3儂2+/U+m'在x=-l處取得極值0,則%+〃=( )A.2 B.7 C.2或7 D.3或9【答案】B【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意得到r(-i)=o且/(-1)=0,解得答案并驗(yàn)證即可.【解析】/(x)=X3-37Hx2+nx+m2,f\x)=3x2-6mx+n,木艮據(jù)題意：/'(-1)=3+6〃7+〃=0,/(-l)=-l-3/n-/i+/n2=0,f/w=-1f/n=-2解得2或o-[n—5 [n=9\m=—\ 、當(dāng)“=3時(shí)，/V)=3x2+6x+3=3(x+1)2>0,函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，舍去.當(dāng)K時(shí)，/(x)=3x2+12x+9=3(x+l)(x+4),在xe(-oo,-4)和xe(-l,+a>)時(shí)，/(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;在xe(Y,T)時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在x=-l出有極小值，滿足條件.綜上所述：機(jī)+〃=9-2=7.故選：B..關(guān)于函數(shù)f(x)=(x2-2x-3)e*,給出下列四個(gè)判斷：①f(x)<0的解集是國(guó)-1<x<3｝；②f(x)有極小值也有極大值；③f(x)無(wú)最大值，也無(wú)最小值；④f(x)有最大值，無(wú)最小值.其中判斷正確的是( )A.①②③ B.①②④ C.②③ D.①④【答案】A【分析】對(duì)①，將不等式轉(zhuǎn)化為/-Zx-SvO,解一元二次不等式；對(duì)②，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，再解導(dǎo)數(shù)不等式；對(duì)③④利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合x(chóng)f 時(shí)，函數(shù)值的取值情況，即可得到答案；【解析】①因?yàn)閑*>0,所以由/(x)<0得f(x)=(x2-2x-3)e、<0,即/_2、一3<0,解得即/(x)<0的解集是｛x|-l<x<3｝,所以①正確.②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為/'(x)=(2x-2)e*+(x2-2x-3)e*=(f-5)/,由/'(x)>0,得x>君或 由V0得-y/s<X<y/5>所以當(dāng)》=占時(shí)函數(shù)取得極小值.當(dāng)》=-逐時(shí)函數(shù)取得極大值.所以②正確.③由②知，當(dāng)xe(b,+oo)或xe(-oo,-百)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且時(shí)，f(x)->+<?；當(dāng)時(shí),f(x)fO,所以f(x)無(wú)最大值，也無(wú)最小值.所以③正確.④由③知f(x)無(wú)最大值，也無(wú)最小值，所以④錯(cuò)誤.所以判斷正確的是①②③.故選：A..已知函數(shù)/(x)=or'-x,若VxwR,/((x)+cosx>0,則實(shí)數(shù)。的最小值為( )【答案】D【分析】原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為3+-1+cosxNO恒成立，令g*)=3or2_i+cosx,利用導(dǎo)數(shù)求其最小值為g(0)=0,只需滿足g(x)N。即可求解.【解析】由函數(shù)/*)=渥7,得/'(力=3以2-1,若VxeR,/r(x)+cosx>0,即30r*-i+cosxNO恒成立，令g(x)=3ar2-1+cosx,gr(x)=6ax-sinxf當(dāng)6白之1時(shí)，若x<0時(shí)，^r(x)=6ar-sinx<x-sinx<0,若x>0時(shí)，=6ar-sinx>x-sinx>0,所以x=0時(shí)函數(shù)g(x)取得最小值g(O)=O,所以g(x)20成立，故a，時(shí)，PxeR,尸(x)+cosxNO恒成立.6故選：DTOC\o"1-5"\h\z.函數(shù)/(幻=疣2―/-犬-1的極大值為( )41 1A.一一 B. C.0 D.―一2e 4【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性區(qū)間即可求出函數(shù)極大值.【解析】函數(shù)f(x)=xe2*-x2-x-1的定義域?yàn)镽,則網(wǎng)>)=(2*+1)?2、-1),令((x)=0,解得x=0,x=~,當(dāng)x<-g或x>0時(shí)，/r(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)-；<x<0時(shí)，r(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)X=-；時(shí)，f(x)取得極大值jgg故選：B二、多選題.已知函數(shù)〃x)=f+sinx,則下列說(shuō)法正確的是( )A./(x)只有一個(gè)極值點(diǎn) B.設(shè)g(x)=〃x)〃-x),則g(x)與“X)的單調(diào)性相同jrc.f(x)在0,-上單調(diào)遞增 D./(X)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【分析】利用/(X)的二次求導(dǎo)，得到r(0)>0, 從而存在/使得r(x0)=0,結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義即可判斷選項(xiàng)A,求出g(x)的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)E,利用函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論即可判斷選項(xiàng)C.利用函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)即可判斷選項(xiàng)。.【解析】解：由題知，f'(x)=2x+cosx,ra)=2-sinx>0,所以/'(x)=2x+cosx在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時(shí)，/'(0)=1>0；當(dāng)a-：時(shí)，/'U=-l+cos；<0,所以存在/小總0),使得/'(%)=0,所以函數(shù)〃x)=x2+sinx在(yo,$)上單調(diào)遞減，在(七,y)上單調(diào)遞增，所以〃x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?(一幻=/—sinx,所以g(x)=/(x)?/(—%)=/—sin?x, g,(x)=4xi—2sinxcosx=4x3—sin2x,所以g'(0)=0,故g(x)的一個(gè)極值點(diǎn)為0,所以g。)與/。)的單調(diào)性不相同，故B錯(cuò)誤；TT TT因?yàn)檠?丫2與丫=$皿》在0,y上都是單調(diào)遞增，所以/(x)=x?+sinx在0,y上單調(diào)遞增，故C正確；因?yàn)?(X)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)看,Xo€(-g,O),且/(0)=0,所以/(X)在(YO,$)和(%,+00)上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以/(X)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.10.若函數(shù)"力=21*(“<0)在冷早］上有最大值，則a的取值可能為( )A.-6 B.-5 C.—3 D.-2【答案】AB【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極大值點(diǎn)，根據(jù)題意得到/［三］2/(券)，解得答案.【解析】/(x)=2X3-ax2,貝！|f'［x)=6x2-2ax=6x(x_］j,當(dāng)xw(-oo，［和(0,+8)時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，r(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減.“力在x=微處取極大值為/圖=W.函數(shù)/(%)=2/-加("0)在已^^)上有最大值，解得aW-4.故選：AB.11.關(guān)于函數(shù)“x)=L+lru,下列說(shuō)法正確的是( )A.〃1)是“X)的極大值 B.函數(shù)3=〃x)7有且只有1個(gè)零點(diǎn)C.f(x)在(yc,1)上單調(diào)遞減 D.設(shè)g(x)=r(x),貝(碼【答案】BD【分析】由函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?0，*?),可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤，再利用導(dǎo)數(shù)求出極小值可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由y=/(x)-x='+lnx-x求導(dǎo)，可判斷該函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減且x=l時(shí)其函數(shù)值為0,可判斷選項(xiàng)B正X確；對(duì)8(幻=^。)=1+幻11》求導(dǎo)，分析單調(diào)性，求出最小值可判斷選項(xiàng)D正確.【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,田)，可知C錯(cuò)誤，對(duì)A,f\x)= +—=-,X'XX"當(dāng)xw(0,l)時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)xw(l,+oo)時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)/(X)在(1,+00)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(X)取得極小值/(1)=1,故A錯(cuò)誤；對(duì)B,y=/(x)-x=-+lnx-x,其定義域?yàn)?。,+<?),所以函數(shù)y=/(x)-x在(0,+oo)上單調(diào)遞減，又x=l時(shí)其函數(shù)值為0,所以函數(shù)y=/(x)-x有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故b正確：對(duì)D,g(x)=#(x)=l+xlnx,其定義域?yàn)?0,+00),g[x)=lnx+l,令g[x)=0,得x=2，e當(dāng)時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,小上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(5+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=：時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值g(￡),也是最小值，所以故D正確.故選：BD第H卷(非選擇題)請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明三、填空題12.已知函數(shù)/*)=/一"-巫-1有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.X【答案】(1收)【分析】InX將原函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，等價(jià)于/-"=上2+1有兩個(gè)不同的根，通過(guò)變形，換元，得到原式子等價(jià)于Xlnf=/(r>0)有兩個(gè)不等根，構(gòu)造函數(shù)g(r)=lnf-5，研究函數(shù)的單調(diào)性，極值問(wèn)題，可得到只要函數(shù)最大值大于零即可.【解析】InX InX/a)=/、-上士-1有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于方程，一。=更+1有兩個(gè)不同的根，X X變形為J +1=>-=lnx+x=Inxexeaxea設(shè)/=原式子等價(jià)于]球=/。>0)有兩個(gè)不等根g(r)=ln/-,g(r)=----5', e"'6''fe"函數(shù)極值點(diǎn)為t=e"函數(shù)在(o,e")上是單調(diào)遞增的，函數(shù)在(e",y)上是單調(diào)遞減的，故得到函數(shù)的最大值為g(e")>O=a>l當(dāng)》趨向于。時(shí)，g(。趨向于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)，趨向于正無(wú)窮時(shí)，g?)趨向于負(fù)無(wú)窮函數(shù)最大值大于零，故可得當(dāng)。>1時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不等的根.故答案為：(L+8)..已知函數(shù)/(x)=gx(x2+3x+a),/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)看，々，設(shè)秋苔,/(大)),8(與,/(々))，直線AB與x軸的交點(diǎn)在曲線y=/(x)上，貝M的值是.【答案】。或2或；4【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定存在兩個(gè)極值點(diǎn)的條件，然后對(duì)極值點(diǎn)為,三按ra)=r(x2)=o處理，計(jì)算〃xJ=gx：+x：+￡&,利用/(為)=0代入進(jìn)行幕，得出小)=/-3)占4,同理f(力■|(叱3)&-弓，從而得出直線/的方程產(chǎn)系。-3)汨，由此求得直線與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)，由交點(diǎn)在函數(shù)圖象上求得”的值.【解析】所以r(x)=f+2x+]=(x+l)2+1_1.①當(dāng)時(shí)，/W>0,當(dāng)且僅當(dāng)。=3,且x=-l時(shí)，f'(x)=O.所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，沒(méi)有極值點(diǎn).②當(dāng)a<3時(shí)，令/'(x)=。,得占，*2=-1+Ji-..f'(x),/(x)的變化情況如下:XS'X)須(3㈤X2(Xj.-Ko)/'（X）+0—0+“X)71極大極小所以/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為1-1-，1-號(hào)-1+3-升（2）因?yàn)?（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)為，x2,由（1）知a<3,且為，Z是方程/'（x）=0的兩個(gè)根.所以玉2=-2玉_1，xl=-2x2-^.所以f（占）=；x：+x：+■1%=：X|,2占_*+x：+］占=gx；+|叫=g卜2%一?+扣4"3）為_(kāi)1同理/（%）=,（。-3）々-右因此直線/的方程為》=：|（。-3八-5.設(shè)直線/與x軸的交點(diǎn)為（天,。），得為。=儲(chǔ)豆.由題設(shè)知，點(diǎn)（七,0）在曲線y=/（x）上,故/毆）=0,又因?yàn)?(%)=4歹丁]+(亓/]+77^312(4-3”(2(〃一3"6(?-3)a3 6a2(a-3)4a2(a-3)2/(4/-17a+18)a2(a-2)(4a-9)24(a-3)324(a-3)524(a-3)3 24(a-3)3 24(a-3)59所以a=?；?或丁.4.已知函數(shù)/(x)=xlnx+J/nr2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【答案】（一1,0）【分析】把函數(shù)f(x)=xlnx+g松2有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為/'(力=0有兩個(gè)不同正根司,七,利用分離參數(shù)法得到機(jī)=_叫上！.令〃(x)=-@±±L(x>0),y=m,只需〃(6=一叱里和y="有兩個(gè)交點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)研究Mx)=-WU,(x>0)的單調(diào)性與極值，即可求出m的取值范圍.【解析】/(x)=xlnx4-—znx2的定義域?yàn)?。,+8),/r(x)=lnx+14-/n￥.要使函數(shù)f(x)=xlnx+；w2有兩個(gè)極值點(diǎn),只需r(x)=o有兩個(gè)不同正根內(nèi)保，并且在七的兩側(cè)y=/(x)的單調(diào)性相反，在七的兩側(cè)y=〃x)的單調(diào)性相反.1nx+]由lnx+1+znr=0得，m- x令Mx)=-i^^,(x>0),y=m,要使函數(shù)7"(x)=xlnx+gznr2有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需人(力=-1!1￡11和y=m有兩個(gè)交點(diǎn).、Inx人…、\nx 人、\nx八，口h(x)=-,令"(x)=1->0得：x>l；令，(x)=——<0i#：0<x<l；所以〃(x)=-35在(0,1)上單減，在(l,y)上單增.當(dāng)xf()+時(shí)，y-+00；當(dāng)時(shí)，y->。；作出〃(x)=-見(jiàn)匚"和的圖像如圖，所以即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-1,0).故答案為：(-1,0)【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題:(1)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象：(2)方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g(x)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)g(x)的零點(diǎn)問(wèn)題：(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究：③構(gòu)造輔助函數(shù)研究，四、解答題.已知函數(shù)f(x)=#-2x2+3x+l.(1)求曲線y=/0)在點(diǎn)(0J(。))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值.【答案】(1)3x-y+l=07(2)極大值為〃1)=:,極小值為/(3)=1【分析】(1)求導(dǎo)f(x)=/-4x+3,進(jìn)而得至IJ/'(0)=3,又f(0)=l,寫(xiě)出切線方程；(2)由(1)知/'(x)=(x-l)(x-3),分別令/'(x)>0,f'(x)<0求解.解：f(x)=x2-4x+3,團(tuán)f(0)=3,又/(0)=1,回所求切線方程為y-i=3(x-0),即3x—y+1=0.由(1)易知/'(x)=(x-D(x-3),田令/'(外>。，得x<l或x>3；令尸(幻<0,得l<x<3.田/⑴在(TO』),(3,+00)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減.7回/⑶的極大值為/1⑴=§,極小值為/(3)=1.16.已知函數(shù),f(x)=2x-2(a+2)&+alnx(aw/?).

(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若-l<a<0,求證：函數(shù)/(X)有兩個(gè)不同零點(diǎn)中三，且在+口>2.【答案】(1)答案不唯一，具體見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)求出函數(shù)外力的導(dǎo)函數(shù);(力，對(duì)。進(jìn)行分類討論，分別求出導(dǎo)函數(shù)/'(x)在函數(shù)“X)定義域內(nèi)/'(力>0及/'(x)<0的區(qū)間即可;(2)由。的取值范圍及(1)中結(jié)論先證得lnr4x-1,從而利用零點(diǎn)存在性定理證明函數(shù)/(力有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，再設(shè)x=//>0,構(gòu)造函數(shù)p(f),〃(f),利用函數(shù)P(f)和的單調(diào)性即可證明.a+a+2a

kt由題意可知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?0,用),/'(x)=2-即/，(X)=(G)沖)(x>0)①當(dāng)avo時(shí)，由尸(x)=0得x=l,則/(x)與尸(x)的情況如表所示:X(0,1)1(i.y)/'(X)0+“X)\極小值-2(〃+1)所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(x)有1個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)a>2時(shí)，由r(x)=O得X=1或x=4則〃x)與/'(X)的情況如表所示:4X(0,1)1a2T

/'(X)+0—0+“X)/極大值-2(°+1)極小值--——2a+2aIn—2 2/2所以當(dāng)。>2時(shí)，函數(shù)“X)有2個(gè)極值點(diǎn)；得x=l或x=?③當(dāng)0<a<2時(shí)，由/'(X)=0則/(x)與/'(力的情況如表所示:XH)a2T1(1,+OO)/'(x)+0—0+7極大值——2。+2。In—2 2極小值—2(a+l)/所以當(dāng)0<。<2時(shí)，函數(shù)f(x)有2個(gè)極值點(diǎn);則函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)。=2時(shí)，函數(shù)/(X)沒(méi)有極值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)有1個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)0<。<2或a>2時(shí)，函數(shù)/(x)有2個(gè)極值點(diǎn)：當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)/(x)沒(méi)有極值點(diǎn).證明：由(1)可知，當(dāng)T<a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(1,M)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減,所以”4“=〃1)=-2(。+1)<0.1_y先證明設(shè)函數(shù)g(x)=hu-x+l,則g[x)=——.在(0,1)上，g'(x)>0,在(1,+?)上,g'(x)<0,所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,xo)上單調(diào)遞減,所以g(x)4g(l)=0,所以當(dāng)x>0時(shí)，InxWx-l,則/a2a2則/a2a2+aIn———+2(a+2)+2aIn-2(〃+所以函數(shù)/(x)在(o,l)上有唯一零點(diǎn).又/(4)=勿(ln2-2)>0,所以函數(shù)/(x)在(1，+8)上有唯一零點(diǎn)，所以當(dāng)一1<。<0時(shí)，函數(shù)/(X)有兩個(gè)不同零點(diǎn).設(shè)再，三是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),且