高中數(shù)學(xué)：學(xué)案2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)二項(xiàng)式定理

§6.3二項(xiàng)式定理6.3.1二項(xiàng)式定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.知識(shí)梳理 梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ) N 知識(shí)點(diǎn)一二項(xiàng)式定理(a+6)"=C%"+Ga"-'6+Ca”1廳+…+ +…+C沿”(〃GN*).(1)這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.(2)展開(kāi)式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a+6)"的二項(xiàng)展開(kāi)式，展開(kāi)式中一共有〃+1項(xiàng).(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù){0,1,2,…，〃})叫做二項(xiàng)式系數(shù).知識(shí)點(diǎn)二二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)(a+6)"展開(kāi)式的第灶L項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，記作Z+尸奸尸比思考二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)相同嗎？答案一般不同.前者僅為C,而后者是字母前的系數(shù)，故可能不同.-思考辨析判斷正誤(a+6)〃展開(kāi)式中共有〃項(xiàng).()在公式中，交換a,。的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒(méi)有影響.()是(a+份"展開(kāi)式中的第4項(xiàng).()(a—6)〃與(a+6)"的二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)相同.()二項(xiàng)式(a+6)"與(6+a)”的展開(kāi)式中第〃+1項(xiàng)相同.()題型探究 探究重點(diǎn)提升素養(yǎng)一、二項(xiàng)式定理的正用、逆用例1(D求(3/+；1的展開(kāi)式.延伸探究若(l+/)"=a+八用(a，。為有理數(shù))，則a+6=.反思感悟(D(a+份"的二項(xiàng)展開(kāi)式有〃+1項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的基指數(shù)規(guī)律是：①各項(xiàng)的次數(shù)和等于〃；②字母a按降幕排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由〃逐項(xiàng)減1直到0；字母6按升基排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到(2)逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開(kāi)式的形式靠攏.跟蹤訓(xùn)練1化簡(jiǎn)：(x—l)、+5(x—1)'+10(x—1)'+10(x—l)~+5(x—1).二、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)的應(yīng)用‘廠一'例2若十《廣"展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求:(D展開(kāi)式中含x的一次項(xiàng)；(2)展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).反思感悟求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常用方法(D對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng)).(2)對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，求其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)集，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解.(3)對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致.跟蹤訓(xùn)練2在(2/一引￡的展開(kāi)式中，求：(D第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及系數(shù)；(2)含、的項(xiàng).三、求兩個(gè)多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)例3(1)已知(l+ax)(l+x)s的展開(kāi)式中，含*的項(xiàng)的系數(shù)為5,則a等于()A.-4B.-3C.-2D.-1(2)(l+2x)3(l—X)"的展開(kāi)式中，含x項(xiàng)的系數(shù)為()A.10B.-10C.2D.-2跟蹤訓(xùn)練3(*—力(x+y)8的展開(kāi)式中//的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)四、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例4(1)試求201。除以8的余數(shù)；(2)求證：3"2—8〃-9(aGN*)能被64整除.反思感悟利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問(wèn)題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練4(1)已知〃GN*,求證：1+2+2?+…+251能被31整除.隨堂演練(2)求0.996的近似值,使誤差小于0的近.隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

N 1.'1.'的展開(kāi)式中含義項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為()A.-10B.10C.-5D.5.[x2-1]5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.80B.-80C.40D.-40.設(shè)5=5—1)3+3(*-1尸+3(*—1)+1,則S等于( )A.xB.-xC.(1—x)!D.(x—1)!.若(x+2)"的展開(kāi)式共有12項(xiàng)，則〃=..CM2"+C'?? +…+C?2"-十???+(：：=-課堂小結(jié).知識(shí)清單：(1)二項(xiàng)式定理.(2)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式..方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸..常見(jiàn)誤區(qū)：二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別，Caf"是展開(kāi)式的第4+1項(xiàng).課時(shí)對(duì)點(diǎn)練 注重雙基強(qiáng)化落實(shí) 、 寸基礎(chǔ)鞏固1—26,+4比一8?+“?+(—2)&等于( )A.1B.-1C.(-l)nD.3"的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.60B.-60C.250D.一250(x+J)的展開(kāi)式中的第4項(xiàng)是()A.56VB.84fC.56fD.84V（x一/力|°的展開(kāi)式中xW的系數(shù)是（）.840B.-840C.210D.-210.在（1—x）5—（1—x）"的展開(kāi)式中，含f的項(xiàng)的系數(shù)是（ ）A.-5B.5C.-10D.10.若（x+a”°的展開(kāi)式中，V的系數(shù)為15,則2=.（用數(shù)字填寫答案）.如果［編+：）的展開(kāi)式中，V項(xiàng)為第3項(xiàng)，則自然數(shù)〃=，其/項(xiàng)的系數(shù)為..在的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)等于..已知（、八一|）的展開(kāi)式中第3項(xiàng)的系數(shù)比第2項(xiàng)的系數(shù)大162.（1）求〃的值；（2）求展開(kāi)式中含f的項(xiàng)，并指出該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)..已知加，〃GN*,/'（*）=（1+*）"+（1+入）”的展開(kāi)式中*的系數(shù)為19,求，的系數(shù)的最小值及此時(shí)展開(kāi)式中X，的系數(shù).3綜合運(yùn)用.（多選）對(duì)于二項(xiàng)式g+x）（〃GN*）,下列判斷正確的有（）A.存在〃WN*,展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)B.對(duì)任意〃6N*,展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)C.對(duì)任意“GN*,展開(kāi)式中沒(méi)有x的一次項(xiàng)D.存在，eN*,展開(kāi)式中有一次項(xiàng)12.已知2義101°+3（0《水11）能被11整除，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）A.7B.8C.9D.10. 的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是()A.-3B.-2C.2D.3.已知在的展開(kāi)式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則：(1)〃的值為;(2)含x的整數(shù)次幕的項(xiàng)有個(gè).g拓廣探究.(a+6+c)"(〃WN*)的展開(kāi)式中的項(xiàng)數(shù)為..已知數(shù)列{4}(〃為正整數(shù))是首項(xiàng)為a”公比為q的等比數(shù)歹I」.(1)求和：a)C2—a2Cj+a3C2>axC?—a^\+(2)由(1)的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)〃的一個(gè)結(jié)論，并加以證明.參考答案■思考辨析判斷正誤XXXVX題型探究 探究重點(diǎn)提升素養(yǎng) 1 例1解原式=C(x+D"+C(x+l)i(—D+C，x+1)"T(—1產(chǎn)+…+cf(x+D"t-C(-1U+D+(—1)1".延伸探究答案44解析(1+啊=1+C；x(/M+C：x(@+c；x("『+c；x(的4=1+44+18+12/+9=28+16/，a=28,6=16,；.a+6=28+16=44.跟蹤訓(xùn)練1解原式=C：(x—1)"+C；(x—1)'+C；(x—1)'+C；(x—1)'+C；(x—1)+Cs—1=[(x—1)+i]—i=y-i.例2解⑴由已知可得C°n+C2??*=2C?I，即6—9〃+8=0,解得〃=8或〃=1(舍去).3令4-0r=l,解得4=4.35所以含x的一次項(xiàng)為7J=Cs2x=—xo3（2）令4-]4GZ,且0W4W8,則4=0,4,8,所以含x的有理項(xiàng)分別為Z=x’,_35 1_2=百X,芯=256/跟蹤訓(xùn)練2解（1）第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；=15,又北=又北=森（2=240筋所以第3項(xiàng)的系數(shù)為240.(2)7i+1=C：(2^)M-4=}=(-1)*26~W\令3—〃=2,解得〃=1,所以含/的項(xiàng)為第2項(xiàng)，且石=一192步.例3答案(1)D(2)C解析(1)由二項(xiàng)式定理得(l+x)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為7；+1=C：-Z所以(l+ax)(l+x)5的展開(kāi)式中含/的項(xiàng)的系數(shù)為C；+C；?a=5,所以a=-1,故選D.(2)(l+2x)3(l—的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)是由兩個(gè)因式相乘而得到的，即第一個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)分別乘第二個(gè)因式的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，為C?(2x)°?C：?(一》+。?(2x)1?C；?I4?(一加°,其系數(shù)為C；XC；X(—1)+C；X2XC：=—4+6=2.反思感悟求多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)的方法一一“雙通法”所謂的“雙通法”是根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則得到(a+6x)"(s+tx)"的展開(kāi)式中一般項(xiàng)為：Ti+JZe=C加再依據(jù)題目中對(duì)指數(shù)的特殊要求，確定r與4所滿足的條件，進(jìn)而求出八A的取值情況.跟蹤訓(xùn)練3答案一20解析由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可知，含的項(xiàng)可表示為孫7-y?C；V力故(x—y)(x+yT的展開(kāi)式中//的系數(shù)為以一C；=8-28=—20.例4(1)解2019'°=(8X252+3)'°.???其展開(kāi)式中除末項(xiàng)為3陽(yáng)外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，A2019K'除以8的余數(shù)與3"(除以8的余數(shù)相同.又?.?3|。=爐=(8+1＞，其展開(kāi)式中除末項(xiàng)為1外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù),除以8的余數(shù)為1,即2019K)除以8的余數(shù)也為1.(2)證明32n+2-8n-9=(8+l)n+,-8/7-9=%8"|+08'+…+C；；；—8〃一9=%8"“+08'+-+C；；82+(〃+1)X8+1-8/J-9=%8"』*8+-2.①①式中的每一項(xiàng)都含有8?這個(gè)因數(shù)，故原式能被64整除.跟蹤訓(xùn)練4(1)證明1+2+22+T+…+25i=tf=25〃1=32"—1=(31+1)"-1=31"+C：X311_|FC71x31+1-1=31xOl^+Cxai0-^FC丁)，顯然括號(hào)內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除.(2)解0.998s=(1-0.002)6=l+C；?(-0.002)+《?(-0.002)24 FC”(0.002)6.由題意知石=點(diǎn)(一0.002)2=15X0.0022=0.00006<0.001,且第3項(xiàng)以后(包括第3項(xiàng))的項(xiàng)的絕對(duì)值都遠(yuǎn)小于0.001,故0.9986=(1-0.002)6^1—6X0.002=0.988.隨堂演練 基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用 N 1.答案D2.答案C3.答案A4.答案115.答案3"解析原式=(2+1)"=3".課時(shí)對(duì)點(diǎn)練 注重雙基強(qiáng)化落實(shí) 、 1.答案C解析原式=(1-2)〃=(一1)".解析卜〃一，'的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為京舊?〔―3=60..答案B解析由通項(xiàng)知4=味，）'=84『.答案A解析在通項(xiàng)方+尸。（一…中，令A(yù)=4,即得（x-/jT的展開(kāi)式中//項(xiàng)的系數(shù)為C；°X（一地”=840..答案D解析（1—x）"中f的系數(shù)為一c；=-10,—（1—x）"中f的系數(shù)為一cM（―I）3=20,故（1一X）5—（1一分’的展開(kāi)式中爐的系數(shù)為10.小生1.答案~解析二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為北+尸。/-a*,當(dāng)10—4=7時(shí)，k=3,7尸6小力貝UC；o4=15,故a=；..答案8283__ 2"5k 2/7—5k解析 3,由題意知，A=2時(shí)，口一=2,.?./?=8,此時(shí)該項(xiàng)的系數(shù)為仁=28..答案9解析二項(xiàng)式（5+1）5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為加產(chǎn)點(diǎn),”t=c打？（A=0,1,2,…,5）,二七一1）（口+1）5展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C：+（—l）XC；=10—l=9.(o\ n-6.解⑴因?yàn)閦；=c(/)一步=4a”，J'2=Cln(yl-x)"~'^—^=—2C'nx2,依題意得4c：+2C：=162,所以2C+C：=81,所以6=81,又〃GN*,故〃=9.( 2、 9-3& n一oa,⑵設(shè)第4+1項(xiàng)含系項(xiàng)，則〃+i=CK5)9-1—j*=(-2)七5工，所以p—=3,k=1,所以含f的項(xiàng)為3=—2C；f=-i8/二項(xiàng)式系數(shù)為C；=9..解由題設(shè)知，/tt+7?=19,又勿，〃仁N*,...1WrW18.系的系數(shù)為片+比=!(序一血+!(萬(wàn)一〃)=/-19加+171.二當(dāng)加=9或10時(shí)，Y的系數(shù)有最小值為81,此時(shí)V的系數(shù)為C；+C；°=156..答案AD解析二項(xiàng)式g+x)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為A+i=C**〃，由通項(xiàng)公式可知，當(dāng)〃=44GeN*)和〃=4A—1(4GN*)時(shí)，展開(kāi)式中分別存在常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)，故選AD..答案C解析由于2X10K)+a=2X(ll-l)H)+a,2Xl(r+a(0Wa<ll)能被11整除,又根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式可知，2X(11—Ip。被11除的余數(shù)為2,從而可知2+a能被11整除，可知a=9.

解析 的展開(kāi)式的通項(xiàng)為北+產(chǎn)以?已卜.(_〉=(_1)七段.令10—24=2或10—2A=0,解得k=4或k=5.故(V+2)的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是(-1)'XC；+2X(-1)5XC5=3.14.答案(1)10(2)6解析二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為71+1解析二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為71+15(D因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以當(dāng)A=8時(shí)，2/7—54=0,解得77=10.5(2)要使20—]A為整數(shù)，需在為偶數(shù)，由于A=0,1,2,3,…，9,10,故符合要求的有6項(xiàng)，分別為展開(kāi)式的第1,3,5,7,9,11項(xiàng).(〃+2)(〃+1).答案 解析(a+6+c)〃=C：(a+6)"+C：,(a+6)ic+…+C；c",所以，其展開(kāi)式中的項(xiàng)數(shù)為(〃+1)+〃+(〃—1)+?“+2+1=團(tuán)巖"..解(1)aC—a?