三維空間結(jié)構(gòu)丘成桐

三維空間的結(jié)構(gòu)丘成桐哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系所有圖形取自顧險(xiǎn)峰，王雅琳，丘成桐的合作文章，由顧險(xiǎn)峰提供2006年6月20日先生們，女士們：今天我將會(huì)告訴你們數(shù)學(xué)上的一頁(yè)篇章是如何結(jié)束和新的篇章正在開始。請(qǐng)?jiān)试S我先從一些基本的觀察開始幾何結(jié)構(gòu)幾何學(xué)的主要目的是描述與分類有趣的幾何結(jié)構(gòu)。我們?cè)谌粘Ｉ钪锌吹皆S多有趣的幾何結(jié)構(gòu)O虧格0虧格1虧格2虧格3曲面的虧格就是環(huán)柄的數(shù)目。連通和構(gòu)造曲面的一個(gè)抽象和主要的方法是作曲面的連通和。連通和連通和Si礴1過(guò)刪除圓盤并且鉆孔

曲面Si幽微分同胚h(yuǎn)：C?D1—粘合起來(lái)，于是Si#S2=（Si—。1）（S2-。2）?

例子通過(guò)連通和構(gòu)造的虧格等于8的曲面曲面結(jié)構(gòu)定理定理（曲面分類定理）任意閉的可定向的曲面是如下曲面之一:球面，環(huán)面或有限多個(gè)環(huán)面的連通和。共形幾何為了更深入理解曲面，龐加萊建議理解這些二維對(duì)象上的共形幾何。例子在地球上我們利用經(jīng)線和緯線來(lái)確定方位。它們互相垂直。當(dāng)我們將方形的地圖映到球面上的時(shí)候，距離產(chǎn)生了扭曲。比如，北極附近很小的區(qū)域在方形地圖上是很大的區(qū)域。不過(guò)，經(jīng)線與緯線的正交性在映照下保持不變。所以，如果一艘船在海上航行，我們可以用地圖精確地指引它的航向。地球共形幾何龐加萊（Poincare）發(fā)現(xiàn)，我們可以在任何曲面上繪制經(jīng)線（籃色曲線）與緯線（紅色曲線）。

共形結(jié)構(gòu)我們可以沿著曲面上某些特殊的曲線切割,然后把曲面在平面或圓盤上展開。在這個(gè)過(guò)程中，經(jīng)線與緯線保持不變。曲面上共形結(jié)構(gòu)的例子定理（龐加萊單值化定理）任意二維封閉空間必與一常高斯曲率空間共形等球面歐氏雙曲曲面上的Hamilton方程我們可以通過(guò)曲率變動(dòng)任意曲面。這種形變就是曲面的Hamilton的Ricci流。這種形變最后得到常曲率空間。這一方法是Hamilton發(fā)明的，可用來(lái)改變?nèi)我饩S空間。到目前為止，我們所討論的空間只有兩個(gè)自由度。與束縛于曲面上的蟲子所看到的二維空間不一樣，我們所生存的空間有三個(gè)自由度。雖然我們的三維空間看起來(lái)是平坦的，但還有許多自然而不平坦的三維空間。例子相空間在二十世紀(jì)初，龐加萊研究粒子動(dòng)力學(xué)的相空間。相空間由(X/即粒子的位置與速度組成。例如，如果一個(gè)粒子在二維曲面先以單位速度自由移動(dòng)，那么這個(gè)粒子就有三個(gè)自由度。這就產(chǎn)生了一個(gè)灘空間M纖維叢如果我們對(duì)M上每個(gè)點(diǎn)（x；,v賦以點(diǎn)xg或們得到一個(gè)從M到的映射。當(dāng)我們固定點(diǎn)x,v可以取任意單位向量，因此v可以在單位圓上自由移動(dòng)。我們稱M是E上的纖維叢而它的纖維是單位圓。高維拓?fù)鋵W(xué)可以說(shuō)是從龐加萊的問(wèn)題開始：龐加萊猜測(cè)一個(gè)閉的三維空間，若其上的每條閉曲線都可以連續(xù)收縮到一個(gè)點(diǎn)，那么從拓?fù)渖蟻?lái)看，這個(gè)空間是否就是球面？這個(gè)問(wèn)題不僅是一個(gè)著名的難題，而且是三維拓?fù)淅碚摰闹行膯?wèn)題。拓?fù)鋵W(xué)家研究這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)有一百多年歷史了。主要的工具是切割與粘合，或稱手術(shù)，來(lái)簡(jiǎn)化一個(gè)空間的拓?fù)洹Ｔ谄呤甏郧?主要的工具有Dehn引理，提供了將自相交叉的曲面簡(jiǎn)化為無(wú)交叉曲面的工具。一定理（Dehn引理）如果存在從圓盤到三維空間的一個(gè)映射，且不在圓盤邊界上自相交叉，那么存在另一個(gè)到三維空間的沒(méi)有自交叉的映射，且限制在邊界上與原來(lái)的映射相等。Dehn引理的一種基于極小曲面理論的版本是Meeks-丘成桐發(fā)現(xiàn)的，對(duì)以后的發(fā)展很有幫助。第二個(gè)工具是Haken引入的不可壓縮曲面的構(gòu)造。它被用來(lái)將三維流形切割成片。Walhausen用這一方法證明了重要的定理。（不可壓縮曲面是一種嵌入曲面，且具有如下性質(zhì)：如果一條閉環(huán)路不能在曲面上收縮到一個(gè)點(diǎn)，那么它也不能在三維空間中收縮到一個(gè)點(diǎn)。）有幾個(gè)重要的一維和二維空間在理解三維空間的過(guò)程中起了重要的作用。.圓周Seifert構(gòu)造了許多三維空間，可以寫成圓

周的連續(xù)族。上面提到的相空間是Seifert空間的一個(gè)例子。2,二維球面我們可以通過(guò)在兩個(gè)三維空間上的各挖去一個(gè)實(shí)心球，然后沿著球面粘合起來(lái)。相反，Kneser和Milnor證明每個(gè)三維空間可以通過(guò)球面唯一分解成不可約分支。一個(gè)空間稱為是不可約的，如果每個(gè)嵌入球面都是這個(gè)空間中的一個(gè)三維球的邊界。.環(huán)面Jaco-Shalen,Johannson的——個(gè)定理說(shuō)，我們可以通過(guò)沿環(huán)面切割作進(jìn)一步分解。?維空間的結(jié)構(gòu)幾何化猜測(cè)(Thurston):三維空間的結(jié)構(gòu)是由如下的基本空間所合成的.(龐加萊猜測(cè))如果三維空間上每條閉環(huán)路都可以收縮到一個(gè)點(diǎn)，那么這個(gè)空間就是三維球面。.(空間形式問(wèn)題)將三維球面上的點(diǎn)等同起來(lái)得到的空間。這由線性等距的一個(gè)有限群所支配，類似于晶體的對(duì)稱。.Seifert空間及其類似于(2)用有限群得出的空間。.(Thurston猜測(cè):雙曲空間)邊界由環(huán)面構(gòu)成的三維空間，空間中每個(gè)二維球面都是某個(gè)球的邊界，每個(gè)不可壓縮的環(huán)面可以用適當(dāng)?shù)姆椒ㄐ巫兊竭吔纾贿@種空間被猜測(cè)為帶有常負(fù)曲率的空間，并且可以通過(guò)雙曲球的一個(gè)離散對(duì)稱群得到。?維雙曲空間用十二面體拼成的雙曲空間(CharlieGunn)三維空間的結(jié)構(gòu)Thurston猜測(cè)將三維空間的分類簡(jiǎn)化為群論問(wèn)題，發(fā)展出了許多工具。他和一些后來(lái)的學(xué)者證明了當(dāng)三維空間足夠大時(shí)（這是Haken和Walhausen所研究的空間），猜想成立。（一個(gè)空間里如果有非平凡和不可壓縮的嵌入曲面，我們稱它為足夠大的。）可惜Thurston的證明方法很難用到最一般的流形上。另一方面，從70年代開始，一群幾何分析學(xué)家應(yīng)用非線性偏微分方程來(lái)構(gòu)造空間的幾何結(jié)構(gòu)。Yamabe考慮了將一個(gè)空間共形地變?yōu)槌?shù)量曲率空間?？墒沁@種方法不能用來(lái)區(qū)分空間的拓?fù)洹Ｒ粋€(gè)重要的發(fā)現(xiàn)是1976年凱勒一愛(ài)因斯坦空間的構(gòu)造。事實(shí)上，我用這個(gè)方法證明了復(fù)數(shù)空間的龐加萊猜測(cè)。在復(fù)幾何中被稱為Severi猜測(cè)，即每個(gè)同倫等價(jià)于復(fù)射影平面的復(fù)曲面必是復(fù)射影平面。將幾何與分析的想法結(jié)合起來(lái)理解幾何與拓?fù)涞膶W(xué)科稱為幾何分析。而這一學(xué)科可以追溯到19世紀(jì)50年代，在過(guò)去30年中有了長(zhǎng)足的發(fā)展。這一學(xué)科有兩大支柱：非線性分析與幾何。由于許多學(xué)者的努力，這兩個(gè)學(xué)科在70年代都變得很成熟。(見(jiàn)我的綜述文章“PerspectivesonGeometricAnalysisinSurveyinDifferentialGeometry,Vol10,2006)。我現(xiàn)在介紹一下幾何分析的想法如何用來(lái)解決龐加萊猜測(cè)。在三維空間情形，我們需要構(gòu)造愛(ài)因斯坦結(jié)構(gòu)，這是受到了重力理論中的愛(ài)因斯坦方程啟發(fā)。對(duì)任何一個(gè)三維空間結(jié)構(gòu)，我們找一種方法將它形變到一個(gè)滿足愛(ài)因斯坦方程的空間結(jié)構(gòu)。這種形變必須依賴于空間的曲率。愛(ài)因斯坦的相對(duì)論告訴我們，在重力影響下，時(shí)空具有曲率?？臻g不斷地改變?？臻g的整體拓?fù)潆S著曲率（重力）的分布而變化。相反的，整體拓?fù)浞浅Ｖ匾峁┝酥亓Ψ植嫉南拗茥l件，也可以看作重力的源頭。愛(ài)因斯坦結(jié)構(gòu)假設(shè)我們假設(shè)三維空間是緊致無(wú)邊的（也就是閉的）。Ricci張量在三維空間中，空間的曲率從不同方向測(cè)量會(huì)不一樣。這種測(cè)量受Ricci張量R,支配。這本質(zhì)上是空間的物質(zhì)張量。Ricci曲率數(shù)量曲率與方向無(wú)關(guān)的一個(gè)重要的量是數(shù)量曲率Ro它是的跡學(xué)可以用來(lái)測(cè)量測(cè)地球的擴(kuò)張或收縮：Volume(B(p,r))?Volume(B(p,r))?我3一姑⑼產(chǎn)）,其中E（p」）是以p為圓心，以r為半徑的球，Rp）是p點(diǎn)的數(shù)量曲率。Ricci曲率二維啞鈴型曲面Ricci曲率二維鞍馬型負(fù)曲率曲面Ricci曲率可是，在三維，一個(gè)頸有下面的形狀:三維頸的截面是具有很大正曲率的二維球面。所以頸部的數(shù)量曲率可以是正的。愛(ài)因斯坦方程動(dòng)力學(xué)粗略的說(shuō)，質(zhì)量密度由空間的數(shù)量曲率加上動(dòng)量密度組成。愛(ài)因斯坦動(dòng)力方程迫使黑洞的形成，將空間分為兩部分：數(shù)量曲率為正的部分空間和可能具有黑洞的部分空間。一般來(lái)說(shuō)，在黑洞視界以內(nèi),拓?fù)溱呄蛴谌菰S負(fù)曲率結(jié)構(gòu)。重力理論中有兩個(gè)量支配空間的動(dòng)力學(xué)：度量與動(dòng)量。動(dòng)量很難控制。所以目前很難用廣義相對(duì)論的愛(ài)因斯坦方程來(lái)研究空間的拓?fù)洹amilton方程1979年，Hamilton發(fā)展了新的方程來(lái)研究空間的變動(dòng)。Hamilton的方程是如下的：與重力驅(qū)動(dòng)空間不同，他用Ricci曲率來(lái)驅(qū)動(dòng)，這類似于熱擴(kuò)散。熱傳導(dǎo)方程具有使空間光滑的性質(zhì)。它能夠?qū)嵩此查g傳遞到空間上的任何一點(diǎn)。這個(gè)方程也被物理學(xué)家在同一時(shí)期考慮（首先出現(xiàn)在Friedan的論文里）。不過(guò)觀點(diǎn)有很大不同。奇點(diǎn)另一方面，整體拓?fù)渑c方程中由于曲率產(chǎn)生的非線性項(xiàng)確實(shí)將空間部分區(qū)域塌陷為一點(diǎn)。我們稱這種點(diǎn)為空間的奇點(diǎn)。1982年時(shí)，Hamilton在這個(gè)方程的研究方面發(fā)表了第一篇文章。他調(diào)整了他的方程，使得空間體積不變。從正曲率空間開始，他證明了這個(gè)重新調(diào)整的方程不會(huì)遇到任何奇點(diǎn)，這就導(dǎo)致曲率在每個(gè)方向都是常數(shù)的空間。這種空間可以是三維球面，也可以是球面在有限等距群作用下的商?？吹紿amilton的定理后，我確信Hamilton的方程正是完成幾何化綱領(lǐng)所需要的方程。（在Hamilton的文章發(fā)表以后不久，出現(xiàn)了Huisken用平均曲率形變凸曲面的文章。平均曲率流方程是理解Hamilton方程的一個(gè)很好的模型。）我們建議用他的方程不斷地改變?nèi)S空間，最后會(huì)將空間分解。這將會(huì)導(dǎo)致Kneser,Jacob-Shalen,Johannson的拓?fù)浞纸舛ɡ?。我們希望哈密爾頓方程的漸近狀態(tài)會(huì)分解成幾個(gè)部分，或者塌陷，或者產(chǎn)生滿足愛(ài)因斯坦方程的結(jié)構(gòu)。在三維空間中，愛(ài)因斯坦結(jié)構(gòu)是常曲率的?？墒牵巫儠?huì)產(chǎn)生奇點(diǎn)。主要的問(wèn)題是找到描述所有奇點(diǎn)的辦法。以下我們將介紹這個(gè)重要的發(fā)展。Hamilton的想法是通過(guò)拓?fù)涫中g(shù)把奇點(diǎn)除去，在手術(shù)以后繼續(xù)他的方程。如果再次發(fā)展出奇點(diǎn)，則重復(fù)手術(shù)，繼續(xù)前進(jìn)。如果我們可以證明在任意有限時(shí)間段內(nèi)，只需做有限次手術(shù)，并且Hamilton方程的解的長(zhǎng)時(shí)間行為得到了很好的了解，那么我們就能夠識(shí)別出初始流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。所以，Hamilton的綱領(lǐng)如果能夠成功實(shí)施，將會(huì)導(dǎo)致龐加萊猜想與Thurston猜想的證明。Hamilton的貢獻(xiàn)的重要性與創(chuàng)造性永遠(yuǎn)不會(huì)被高估。這個(gè)領(lǐng)域里的任何專家都會(huì)認(rèn)可Hamilton是整個(gè)理論最主要的貢獻(xiàn)者。2002年12月，Perelman說(shuō)：遵循Hamilton綱領(lǐng)將會(huì)推出閉三維流形的幾何化猜想。”在這篇文章中，我們完成Hamilton綱領(lǐng)中的一些細(xì)節(jié)?！爆F(xiàn)在我們將根據(jù)年代發(fā)展，描述Hamilton的綱領(lǐng)。分成幾個(gè)階段：早在90年代，Hamilton系統(tǒng)地發(fā)展理論，來(lái)理解奇點(diǎn)的結(jié)構(gòu)。在我的建議下，他證明