專題：探索如何分析相似幾何證明

專題：探索如何分析"相似幾何證明題"=竺-%=竺-%==ADDC例題1,如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E在CB的延長線上，聯(lián)結(jié)AE、DE,DE與邊AB交于點(diǎn)F,FG//BE且與AE交于點(diǎn)G.（1）求證：GF=BF;（2）在邊BC邊上取點(diǎn)M,使得BM=BE,聯(lián)結(jié)AM交DE于點(diǎn)O.求證：FOED=ODEFAD第（1）問思路GF"血=>空=空;ADED\冏必=旦=空DCED)第（2）問分析第一步：畫圖，根據(jù)題目要求，補(bǔ)全圖像研究相似三角形從研究比例式開始!如果是相似三角形的一組比例線段，對(duì)其解讀可以分成“橫、縱”兩條線索視角一：若"橫"的兩條線段是相似三角形中的"對(duì)應(yīng)線段"，則"縱"的兩條線段是同一個(gè)三角形中的兩條線段，反之亦然！視角二：兩個(gè)相似三角形中的"對(duì)應(yīng)線段"若在同一直線上則屬于“平行相似”（即普通的平行A字型或平行八字型）；若不在同一直線上則不屬于“平行相似”就本題而言首先“勾勒線段"（"勾勒線段”是研究比例的第一步！），發(fā)現(xiàn)四條線段全部在同一直線上，說明“”：①這不是一組相似三角形的比例線段，需要“中間比”作為橋梁；②大概率本題的對(duì)應(yīng)線段屬于平行相似"第三步：尋找基本型沿著比例線段尋找“平行相似"①EF:ED屬于兩個(gè)A字型！EE第二步：研究比例式，化乘積式為比例式,EF:ED=GF:AD=FB:DC②FO:OD由于缺少平行線，不屬于任何基本型！FOED=ODEF^>—=—ODED所以需要加平行線構(gòu)造基本型，就本題論,筆者初步想到以下三種方案所以需要加平行線構(gòu)造基本型，就本題論,筆者初步想到以下三種方案易證：GF=FPFO:OD=FP:AD=GF:AD=EF:ED總結(jié)：研究相似三角形證明題應(yīng)從式”與型入手?。ㄊ健敝傅氖恰壤健?、型”指的是基本型”）究竟選擇哪一種呢？此時(shí)筆者認(rèn)為應(yīng)該研究“尚未使用的條件”，那條輔助線更能使得該條件發(fā)揮作用！顯然右邊的輔助線更適合發(fā)揮^AEM為等腰三角形的特征！比例式1,通過勾勒線段”確定證明對(duì)象例題2,已知：如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在邊BC的延長線上，且OE=OB,聯(lián)結(jié)DE.(1)求證：DELBE;⑵如果OEXCD,求證：BD-CE=CD-DE第(2)問分析先看豎：BDCD屬于△BCD的兩條邊,DE、CE屬于ADCE的兩條邊，△BCg△DCE顯然不相似再看橫：BDDE屬于4BDE的兩條邊,CDCE屬于4DCE的兩條邊,它們皆是直角三角形，有相似的基礎(chǔ)！

例題3,已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD,/BAF=/DAE,AE與BD交于點(diǎn)G。(1)求證：BE=DF;(2)當(dāng)DF:FC=AD:DF時(shí)，求證：四邊形BEFG是平行四邊形.第(2)問分析DF、FC是同一直線上的兩條線段，ARDF是4ADF中的兩條線段，完全"不搭"，怎么辦？觀察圖中是否有線段與比例式中的四條線段之一相等，可作替換？通過觀察，可發(fā)現(xiàn)可供調(diào)換的線段有以下兩組：DF=BEAD=BC若調(diào)換AD為BC,則DF與BC既不是一個(gè)三角形中的兩條邊，更不在同一直線上，不可行；若調(diào)換DF為BE,則恰構(gòu)成了平行八字型，于是AD:BE=DG:GB=DF:FC，GF//BE由于EF//BD易證，繼而可證平行四邊形紅色部分是"直角三角形加斜邊上的高"的基本圖形，雖然該圖形蘊(yùn)含的"射影定理”從上海教學(xué)大綱中取消，但圖形中有兩組銳角相等(同角的余角相等)，有三組相似三角形還是要熟練掌握的。就本題論，/CDE=/OEB=/OBE,也就完成了證明ADCE^ABED的最后拼圖。

3,橫看成林側(cè)成峰，成為轉(zhuǎn)化樞紐的比例例題4如圖，已知：/EAB=/ECD,求證：評(píng)ECs^EBD2,遇困境，需"轉(zhuǎn)換線段"=jWE3-^.ECD=司就他梅手.1￡BL五二五.-延口）尤其要注意作為轉(zhuǎn)換樞紐的"AE:EC=BE:ED”例題5如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N=jWE3-^.ECD=司就他梅手.1￡BL五二五.-延口）尤其要注意作為轉(zhuǎn)換樞紐的"AE:EC=BE:ED”例題5如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分另I」在AB、BC上，BM=BN,BP±CM于P,聯(lián)結(jié)PD、PN（1）求證：ABPMs^BPC;（2）求證：PNXPD皿。出C，.川將AE、BE視為那BE的兩邊，貝UAE、EC為對(duì)應(yīng)線段；將AE、EC視為"EC的兩邊，則AE、BE為對(duì)應(yīng)線段，類似有趣”的現(xiàn)象，筆者將其趣稱為橫看成林側(cè)成峰”。有兩點(diǎn)須注意：①這個(gè)圖形本身很重要（常被稱為蝴蝶型”）,圖中A、C、D、B四點(diǎn)共圓！由同弧所對(duì)圓周角相等，可得到多組等角（也可通過相似證明）②例4也代表了一類相似證明題的一般模式：其中比例線段充當(dāng)了轉(zhuǎn)化樞紐的作用田用布.比眸科（兩組角司哧f）1叮能驛意援喇豫絨段），第一的橄BNC分析①第二問欲證PNLPD結(jié)合條件BP!MC不難想至U去證明/BPNWDPC②證明兩個(gè)角相等的一般策略是放在一個(gè)三角形中證等腰或放在兩個(gè)三角形中證相似（全等），現(xiàn)在顯然可以考慮證^PBNhADPC③要證相似三角形需從尋找一組等角入手，不難發(fā)現(xiàn)/DCM=CMB=PBC④由于本例是要通過相似證等角，也就不能考慮通過兩組角對(duì)應(yīng)相等證相似，證明的目標(biāo)轉(zhuǎn)向證明夾等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，即證"PB:BN=PC:DC,其中BN=BMDC=BC轉(zhuǎn)換線段后即證"PB:BM=PC:BC;此比例線段可由第一問需證明的一組相似三角形中得到。證明的脈絡(luò)可表示為下圖I間角的親角）再舉一例基本型和點(diǎn)、線段、弧甚至三角形（這些可稱之為基本元”）不同，在幾何問題的分析中，組成一個(gè)幾何問題的圖形中最簡單、最重要、最基本的，但又是具有特定性質(zhì)的圖形稱為基本圖形。在對(duì)數(shù)以千計(jì)的幾何問題進(jìn)行圖形剖析后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)幾何學(xué)科中的基本圖形的數(shù)量是30多個(gè)，但就是這30多個(gè)基本圖形的無限組合演繹出了一部能顯現(xiàn)無窮變化的平面幾何學(xué)?；緢D形分析法就是在幾何學(xué)科中，根據(jù)問題的條件和結(jié)論，分析并找到組成這個(gè)幾何問題的一個(gè)或若干個(gè)基本圖形，再應(yīng)用這些基本圖形的性質(zhì)，使問題得到解決的幾何分析方法。（摘自于徐方瞿著《透明的幾何》）通過學(xué)習(xí)研究基本圖形，可以形成思維的跳躍，然而我們要研究的基本圖形需具備以下特點(diǎn)：（1）少而精；（2）應(yīng)用廣泛；（3）引導(dǎo)學(xué)生自我生成，以下是筆者心目中相似三角形基本圖形圖譜針對(duì)相似三角形證明問題，筆者準(zhǔn)備重點(diǎn)介紹以下三組及圖形1,平行與交錯(cuò)ABACt或CADAB=AEAC基本圖形剖析筆者將①②稱之為平行型，①為平行A、②為平行八；將③④稱之為交錯(cuò)型，③為交錯(cuò)A,④為交錯(cuò)八。平行型的特征在于相比的兩條線段在同一直線上，交錯(cuò)型的特征在于相乘得兩條線段在同一直線上。需注意它們各自等角的應(yīng)用條件。為廣泛的應(yīng)用，其主要性質(zhì)概括如下已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB，BC,點(diǎn)M在邊BC上，且/MDB=/ADB,BDA2=AD-BC.（1）求證：BM=CM;（2）作BEXDM,垂足為點(diǎn)E,并交CD于點(diǎn)F,求證：2AD-DM=DFDC例題6如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，聯(lián)結(jié)BD,DEXAB于點(diǎn)E,DFXAB于點(diǎn)F,求證：BCBE+BA?BF=BDA2分析"BCBE"、"BABF"分別是同一條直線上兩條線段之積，然而圖形中并沒有現(xiàn)成的交錯(cuò)型，于是以考慮構(gòu)造，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)C做BD的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、點(diǎn)No（左圖）第（2）問分析①本題首先碰到的問題是如何處理系數(shù)"2",由于通過第1問已知DM是RtABDCM邊上的中線，所以首先可以轉(zhuǎn)化2DM^BC,②根據(jù)條件"BDA2=AD-BC",最終將本題需證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為："BDA2=DF-DC"③根據(jù)“共邊共角模型”，迅速得到證明對(duì)象是：/C=ZDBF由于直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，不難彳#到DM=MC從而得到/C=ZMDC由基本圖形，可以迅速得到：BCBE=BNBD,BABF=BMBD,由右圖易知AAMD^ABNC,繼而得BM=ND,BNBD+BMBD=(BN+BM)BD=(BN+ND)?BD=BDA22,共邊共角型邊共角型作為特殊的交錯(cuò)相似，有著更④根據(jù)"直角三角形斜邊上的高"模型，迅速得到/DBF=MDC于是可得：/DBF至C（后續(xù)可以自行證明之）33旋轉(zhuǎn)型相似基本圖形剖析①在^ABC中邊BC上有一點(diǎn)D②做/BAD4CAE/B=/ACE自然△ABDs^ACE可稱為八ABD旋轉(zhuǎn)縮放到△ACE②連接DE,由AB:AC=AD:A汲BAC=/DAE可證△AB6△ADE可把這組相似形象地稱之為“旋轉(zhuǎn)相似”③而后會(huì)有什么呢？會(huì)產(chǎn)生交錯(cuò)八④再往后呢？會(huì)產(chǎn)生交錯(cuò)A*關(guān)聯(lián)例題6如圖所示，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)E是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線CD上一點(diǎn)，且AFLAE,射線EF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G,與射線AD交于點(diǎn)M.(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，求證：AAEFABD;(2)在(1)的