小波變換理論及其在降噪中的應(yīng)用

關(guān)于小波變換理論及其在降噪中的應(yīng)用第一頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日小波變換的發(fā)展歷史1822年傅里葉發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”，傅里葉變換成為傳統(tǒng)信號(hào)處理的基本方法。其基本思想是將信號(hào)分解成許多不同頻率的正弦波的疊加，將信號(hào)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻率域。但是，這種變換丟失時(shí)間信息，不利于分析非平穩(wěn)信號(hào)，如實(shí)際信號(hào)中的偏移、趨勢(shì)、突變等。第二頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日小波變換的發(fā)展歷史為了研究信號(hào)在局部時(shí)間段得頻域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor變換，之后發(fā)展成為短時(shí)傅里葉變換（STFT）。其基本思想是對(duì)信號(hào)加窗，然后對(duì)窗內(nèi)的信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，因此它可以反映信號(hào)的局部特征。第三頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日小波變換的發(fā)展歷史

1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個(gè)真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的統(tǒng)一方法——多尺度分析。它繼承了STFT的思想，它的窗口大小不變，但窗口形狀可以改變，是一種時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的視頻分析方法。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，小波分析在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低分辨率，在時(shí)頻域都具有很強(qiáng)的表征信號(hào)局部特征的能力。第四頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日小波理論小波函數(shù)定義L2(R)指R上平方可積（或能量有限）函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)空間第五頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日小波理論連續(xù)伸縮、平移離散伸縮、平移第六頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日小波理論小波變換的定義第七頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日常用小波函數(shù)1.Haar小波第八頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日常用小波函數(shù)2.Daubechies(dbN)小波

Daubechies小波由著名小波學(xué)者IngridDaubechies所創(chuàng)造，她的發(fā)明是小波領(lǐng)域的里程碑，使得小波的研究由理論轉(zhuǎn)為可行。第九頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日常用小波函數(shù)3.SymletsA(symN)小波族Sym小波的構(gòu)造類似于db小波族，兩者的差別在于sym小波有更好的對(duì)稱性，更適合圖像處理，減少重構(gòu)時(shí)的相移。第十頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日快速小波變換（FWT）小波分析主要是在信號(hào)降噪（一維小波變換）和圖像處理（二維小波變化）方面有著重要的應(yīng)用，本篇所講的主要是利用一維離散小波變換在信號(hào)降噪方面的應(yīng)用。一維離散小波變換實(shí)現(xiàn)的算法一般是mallat算法，即先對(duì)較大尺度的信號(hào)進(jìn)行小波變換，再選取其中的低頻部分在原尺度的1/2尺度上再進(jìn)行小波變換。此種算法又稱快速小波變換（FWT）。第十一頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日小波分析的應(yīng)用FWT算法的流程第一步第十二頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日快速小波變換（FWT）第一步：給定一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)s，那么整個(gè)算法之多在log2N步內(nèi)完成，第一步從原始信號(hào)s開始，產(chǎn)生兩組參數(shù)，一組是作用低通濾波器Lo_D得到的近似信號(hào)cA1，另一組是作用高通濾波器Hi_D得到的細(xì)節(jié)信號(hào)cD1，這兩個(gè)信號(hào)都是原始信號(hào)在濾波器作用下以尺度為2的下采樣。第二步：把其中的低頻部分cA1再次分解，直到所需要的層數(shù)。第十三頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日快速小波變換（FWT）FWT算法的流程第十四頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日快速小波變換（FWT）在MATLAB中實(shí)現(xiàn)多尺度分解的函數(shù)是wavedec，該函數(shù)的使用方式如下： [C,L]=wavedec(s,N,'vname')其中，s表示信號(hào)，N為分解層數(shù)（必須是一個(gè)正整數(shù)），‘vname’表示選用的小波基。這個(gè)函數(shù)返回的是一個(gè)分解向量C和長(zhǎng)度向量L。第十五頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日快速小波變換（FWT）wavedec返回值的記錄方式第十六頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日快速小波變換（FWT）用Daubechies小波db4對(duì)信號(hào)進(jìn)行5層分解第十七頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日小波變換在降噪中的應(yīng)用光滑性：在大部分情況下，降噪后的信號(hào)應(yīng)該至少和原信號(hào)具有相同的光滑性。相似性：降噪后的信號(hào)和原信號(hào)的方差估計(jì)應(yīng)該是最壞情況下的最小值。信號(hào)降噪的準(zhǔn)則第十八頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日小波變換在降噪中的應(yīng)用上圖所示為含有噪聲的原始信號(hào)，其在初始階段的振蕩頻率很高，可以看做是系統(tǒng)的特性。相對(duì)于有用信號(hào)，噪聲是高頻信號(hào)，我們分別用FFT變換濾波和小波濾波來(lái)觀察兩種濾波效果的不同。第十九頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日小波變換在降噪中的應(yīng)用

對(duì)原始信號(hào)做傅里葉變換，求出頻譜如右圖所示，從圖中可以看出，信號(hào)的能量主要集中在低頻部分