實驗2 離散傅里葉變換(DFT)1

一、實驗?zāi)康?/p>

實驗2 離散傅里葉變換(DFT)基本概念的理解。了解有限長序列傅里葉變換(DFT)與周期序列傅里葉級數(shù)(DFS)換(DTFT)的聯(lián)系。掌握用語言進行離散傅里葉變換和逆變換的方法。二、實驗內(nèi)容(DFT)(IDFT)有限長序列DFT與周期序列DFS的聯(lián)系有限長序列DFT與離散時間傅里葉變換DTFT的聯(lián)系三、實驗環(huán)境MATLAB7.0四、實驗原理有限長序列的傅里葉變換(DFT)和逆變換(IDFT)在實際中常常使用有限長序列。如果有限長序列信號為x(n)，則該序列的離散傅里葉變換對可以表示為X(k)DFT[(n)]N1(n)WnkN

k0,1,,N1 (2-1)n0

1N1X(k)WnkN Nk0

n

(2-2)從離散傅里葉變換定義式可以看出，有限長序列在時域上是離散的，在頻域上也是離散的。式中，WN

ej2π

即僅在單位圓上N

個等間距的點上取值，這為使用計算機進行N處理帶來了方便。N由有限長序列的傅里葉變換和逆變換定義可知，DFT和DFS的公式非常相似，因此在程序編寫上也基本一致。例2-1已知x(n＝［，，2，，，6，，求x(n的DFT和IDF。要求：(1)|X(k)|arg［X(k)］圖形。(2)畫出原信號與傅里葉逆變換IDFT［X(k)］圖形進行比較。解MATLAB程序如下：>>title('|X(k)|');運行結(jié)果如圖2-1所示。x(n)8642

IDFT|X(k)|864200 2 4302010

06 8 0 2 4 6 8arg|X(k)|420-200 2 4 6

-40 2 4 6 8圖2-1例2-1有限長序列的傅里葉變換和逆變換結(jié)果N點的離散序列，NDFTDFS的聯(lián)系將周期序列的傅里葉級數(shù)變換與有限長序列離散傅里葉變換對(式(2-1)和式(2-2))進行比較，可以看出兩者的區(qū)別僅僅是將周期序列換成了有限長序列。例2-2已知周期序列的主值x(n＝，23，5，，求x(n周期重復(fù)次數(shù)4次時的DFS。要求：畫出原主值和信號周期序列信號。~ ~X(k)和的圖形。解MATLAB程序如下：運行結(jié)果如圖2-2所示。原主值信號x(n)8642

周期序列信號864200 2

06 8 0 10

30 4015010050

|X(k)|

arg|X(k)|420-200 10 20 30

-40 10 20 30 40圖2-2例2-2周期序列的傅里葉級數(shù)(DFS)結(jié)果由這個周期序列的實驗我們可以看出，與例2-1相比，有限長序列x(n)序列(n)(n)可以看成是有限長序列x(n以N延拓。頻域上的情況也是相同的。從這個意義上說，周期序列只有有限個序列值有意義。DFTDTFT的聯(lián)系離散時間傅里葉變換(DTFT)是指信號在時域上為離散的，而在頻域上則是連續(xù)的。如果離散時間非周期信號為x(n)，則它的離散傅里葉變換對(DTFT)表示為X(ejω) ejωωn1 πIDTFT[X(ejω)]x(n)

X(ejω)ejωωdω2ππ其中X(ejw)

X(e

jω)

jω)e(ω)

.|X(ejw)|,(ω)

X(ejω

稱為序列的相位譜。上則是連續(xù)的、周期性的。與有限長序列相比，X(ejw)僅在單位圓上取值，X(k)是在單位圓上N個等間距的點上取值。因此，連續(xù)譜X(ejw)可以由離散譜X(k)經(jīng)插值后得到。為了進一步理解有限長序列的傅里葉變換(DFT)與離散時間傅里葉變換(DTFT)的聯(lián)系，我們舉例說明離散時間傅里葉變換的使用方法和結(jié)果。例2-3求x(n＝14≤7的DTF－22p區(qū)間分500份。要求：畫出原信號。畫出由離散時間傅里葉變換求得的幅度譜X(ejw)和相位譜arg［X(ejw)］解程序如下：2-3所示。105x030譜度

0 1 2 3 4 5 6 7幅10-6 -4 -2 0 2 4 62譜位 0相-2-6 -4 -2 0 2 4 62-32-3(DTFT)的結(jié)果2-3與DFT2-1相比可以看出，兩者有一定的差別。主要原因在于，該例進行DTFT時，X(ejw)2502-1進行DFT單位圓上N＝8的序列長度與X(ejw)相比不夠長。例2-4仍然用x(n＝0，2，，，6，將x(n的有限長序列后面補足至N＝100，求其DFT，并與例2-3進行比較。解將例2-1程序的前2行改為N＝100；x＝0，，，3，5，，，zero(，8；則|X(k)|和arg［X(k)］的圖形接近由離散時間傅里葉變換求得的幅度譜X(ejw)arg［X(ejw)］2-4所示。注意，此圖對應(yīng)區(qū)間。MATLAB程序如下：運行結(jié)果如圖2-4所示。|(k)|30201000 10 20 30 40

60 70 80 90 100arg|X(k)|420-2-40 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100圖2-4增長有限長序列的長度得到|X(k)|和arg［X(k)］五、實驗內(nèi)容x(n)＝7642，求x(n)DFTIDF。要求：①畫出序列傅里葉變換對應(yīng)的|X(k)|和arg［X(k)］的圖形。IDFT［X(k)］解：運行結(jié)果：x(n)＝76532x(n)3次時的DFS和IDFS。要求：①畫出原信號序列的主值和周期序列的圖形。~ ~②畫出序列傅里葉變換對應(yīng)的X(k)和的圖形。解：3.x(n)＝［7，6，5，4，3，2，0≤n≤5DTF，將－2p，2p)區(qū)間分成500份。要求：①求出原信號。②畫出由離散時間傅里葉變換求得的幅度譜X(ejw)和相位譜arg［X(ejw)］的圖形。x(n)＝7642＝100DF，并與DTFT的結(jié)果進行比較。解：運行結(jié)果：討論序列補零及增加數(shù)據(jù)長度對信號頻譜的影響討論序列補零及增加數(shù)據(jù)長度對信號頻譜的影響x(n)=