四川大學期末考試試題(閉卷)20172018春微積分

四川大學期末考試一試題（閉卷）2017——2018學年第2學期）A卷課程號：201138040合用專業(yè)年級：

課序號：學生人數(shù)：

課程名稱：微積分（印題份數(shù)：

I）-2學號：

任課教師：姓名：

成績：考生許諾我已仔細閱讀并認識《四川大學考場規(guī)則》和《四川大學本科學生考試違紀舞弊處罰規(guī)定（校訂）》，鄭重許諾：1、已按要求將考試嚴禁攜帶的文具用品或與考試相關(guān)的物件擱置在指定地址；2、不帶手機進入考場；3、考試時期恪守以上兩項規(guī)定，如有違規(guī)行為，同意依據(jù)相關(guān)條款接受辦理?？忌鹈鹤ⅲ嚎荚嚂r間120分鐘。請將答案寫在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)，不然記0分。一、計算題(每題5分，共30分)1.求曲線xcost,ysint,ztcost上點(1,0,0)處的切線方程.求曲面zxy在點2,3,6）處的切平面方程.3.設(shè)D{(x,y)2|xy1,x0,y0}，求xdxdy.D4.設(shè)是曲面zx2y2與平面z1圍成的地區(qū),求(zx2y3sinz4)dxdydz.5.設(shè)是起點為1,0,1）、終點為0,1,1）的有向線段,求(y2zx)dy.6.xyyx2求微分方程初值問題的解.（y1）2018二、解答題(每題8分，共40分)1.互換二次積分I1dx12yI.0x33yedy的積分序次并計算x2y2z211)2ds.2.設(shè)曲線的方程為xyz,求(x0x2xdyydx3.設(shè)平面曲線L為y219,起點為3,0）,終點為3,0）,求22.Lxy4.設(shè)曲面是球面z2x2y2與錐面zx2y2圍建立體的表面，的方向指向外側(cè),求x2dydzy2dzdxz2dxdy.第1頁，共2頁試卷編號：3x2y4(x,y)(0,0)ff,5.f(x,y)x2y2,(1)求x(0,0)和(0,0);0,(x,y)(0,0)y(2)判斷（fx,y）在點0,0）處能否可微;(3)設(shè)向量l(2,2),求f(0,0).22l三、應用題(每題9分，共18分)1.求圓x2y21使得該點到A0,0、B3,0、C0,4的距離的平方之和最小.上一點,2.設(shè)函數(shù)yf(x)各處二階可導,其函數(shù)圖像上隨意一點x,y）處的切線與y軸的交點為0,u(x),若uuy2x2,而且f(1)f(1)4e,求函數(shù)yf(x).四、證明題(每題6分，共12分)1.設(shè)可微函數(shù)f(x,y,z)知足:f(tax,tby,tcz)tabcf(x,y,z),t0,此中a,b,c都是正整數(shù).求證:axf(x,y,z)byf(x,y,z)czf(x,y,z)(abc)f(x,y,z).xyzx2y2z21c2,1c2.2.設(shè)為曲面2221(a,b,c0),IdS,22abcab1x2y22|x2(1)求證:I2a2b2dxdy,此中Dxy{(x,y)y221}.Dxy1x2y2a2ba2b21的預計公式,并給出該公式在(2)上述積分很難直接計算,試用你的想法給出Ia1,b2,c3時的結(jié)果.(保存兩位小數(shù),合理的估值均可得分)第2頁，共2頁試卷編號：2018微積分（1）-2參照解答一、計算題：（每題褵分，共褳褰分）褱、求曲線x=cost,y=sint,z=tcost上點(1,0,0)處的切線方程褮解褺對曲線方程對于t求導可得切向量為(-sint,cost,cost-tsint)············3分代入點(1,0,0)對應的參數(shù)t=0可得點(1,0,0)處的切向量為(0,1,1).于是褬切線方程為x-1yz·==2分011褲、求曲面z=xy在點(-2,-3,6)處的切平面方程褮解褺曲面z=xy的法向量是(-zx,-zy,1)=(-y,-x,1),·3分于是在點(-2,-3,6)處的法向量為(3,2,1).所以，所求切平面方程為3(x+2)+2(y+3)+z-6=0，即3x+2y+z+6=0·············2分褳、設(shè)D={(x,y)∈R2|x+y:(1,x;;?0,y;;?0}，求FFxdxdy.D解褺fff1-xf1dxxdxdy=xdy·3分D

f010=01(x1-x21)dx=-=2分36·························褱第3頁，共2頁試卷編號：襤、設(shè)?是曲面z=?2與平面z=1圍成的地區(qū)褬求FFF234褮2+yx(z+xysinz)dxdydz?解褺由?的對稱性褬x2y3sinz4dxdydz=0··················1分?由截面法褬注意到Dz={(x,y)∈R2|x2+y2:(z2}············1分f1fzdxdy∴原式=dzf0Dzf1=3πzdz0π=3分·························Fx)dy.褵、設(shè)Γ是起點為(1,0,1)、終點為(0,1,1)的有向線段褬求(y2+z-Γ解褺Γ的參數(shù)方程x=1-t,y=t,z=1，t:0→1，·········2分f原式=(t2+t)dt105=3分··························xyIy=x2褶、求微分方程初值問題-的解褮y(1)=2018解褺由yIxyI-yy·2分xx2x代入初始條件褬可得C=2017.于是方程的解為y=x2+2017x·3分褲第4頁，共2頁試卷編號：二、解答題：（每題褸分，共襤褰分）褱、互換二次積分I=F1F1?0dxx33y2eydy的積分序次并計算I.解：畫出積分地區(qū)：褲分yF1F√2y3I=dy3yy=xyedx?03(1,1)003分=F1yeydy=yey110-F0x01eydy3分=e-(e-1)=1.褲、設(shè)曲線Γ的方程為x2+y2+z2=1F2x+y+z=0褬求(x+1)ds褮Γ解褺由Γ的輪換對稱性褬可得fffz2dsx2ds=y2ds=ΓΓΓf(x2+y2+z2)ds3Γ1f2π4分=ds=.33Γ再由Γ對于原點的對稱性褬可得Fxds=0.2分Γffff8π2分(x+1)2ds=(x2+2x+1)ds=x2ds+ds=.ΓΓΓΓ3Ix2Fxdy-ydx1-(3,0)褮褳、設(shè)平面曲線L為y=2褬起點為褬終點為(-3,0)褬求x2+y29L解褺第一褬?-y-(x2+y2)+2y2y2-x2y(+y2)=(x2+y2)2=(x2+y2)2,P=?yx2Qx=?(x(x2+y2)-2x2y2-x2?xx2+y2)=(x2+y2)2=(x2+y2)2.既然Py=Qx褬于是曲線積分與路徑?jīng)]關(guān)褻褳分褳第5頁，共2頁試卷編號：√取新的路徑LI:y=9-x2褬起點為(3,0)褬終點為(-3,0)褮LI的參數(shù)方程x=3cosθ,y=3sinθ褬此中θ從褰變化到π褮褲分代入曲線積分可得fπ1原式=(9sin2θ+9cos2θ)dθ=π.3分0襤、設(shè)曲面Σ是球面z=?2x2y2與錐面z=?x2+y2圍建立體的表面褬FF--Σ的方向指向外側(cè)褬求x2dydz+y2dzdx+z2dxdy褮Σ解褺由高斯公式褬原式=(2x+2y+2z)dxdydz.2分fff?FFFFFF由?的對稱性褬可得xdxdydz=ydxdydz=0.fff??∴原式=2zdxdydzf?ff=20√2π/4fdθ0d?0rcos?·r2sin?dr4分π/4=4πcos?sin?d?=π.2分0?3x2y4(0,0)褵、設(shè)f(x,y)=?,?fx2+y2(x,y)褬褨褱求褩?f(0,0)褻0,(x,y)=(0,0)?x(0,0)和?y√√?f22褨褲判褩斷f(x,y)在點(0,0)處能否可微褻褨褳設(shè)褩向量l=(,-)褬求(0,0)褮2?l?fd2解褺褨褱因褩為f(x,0)(0,0)==0.=0褬f(x,0)|x=0?xdx同理褬由于f(0,y)=0褬?f(0,0)=df(0,y)|y=0=0.2分?ydy襤第6頁，共2頁試卷編號：褨褲褩令?y=k?x褬經(jīng)過計算以下極限褬發(fā)現(xiàn)其與k相關(guān)褬進而極限不存在褮f(0+?x,0+?y)-f(0,0)-fx(0,0)?x-fy(0,0)?ylim?(?x)2+(?y)2?x→0?y→0?32?k4/3(?x)(?y)32(k?x)4(?x)4=lim(?x)2+(?y)2=lim(?x)2+(k?x)2=1+k2.?x→0?x→0?y→0所以褬由定義可知函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處不能夠微褮褳分√√褨褳褩由于l=(22αcos,β)褬由方導游數(shù)的定義可得,-)=(cos22?ff(0+tcosα0,+tcosβ)-f(0,0)?l(0,0)=lim?tt→0+t6cos213α1分=limt→0+

cos4β=.3·?2α+t22tt2coscosβ2三、應用題：（每題褹分，共褱褸分）褱、求圓x22上一點褬使得該點到A(0,0)、B(3,0)、C(0,4)的距離的+y=1平方之和最小褮解褺令f(x,y,λ)=x2+y2+(x-3)2+y2+x2+(y-4)2+λ(x2+y2-1)褮褳分由方程組fx=4x+2(x-3)+2λx=0fy=4y+2(y-4)+2λy=03分fλ=x2+y2-1=03434)褮褳分可解得駐點為(x,y)=(±,±)褻由題意可知所求的點為(,5555褲、設(shè)函數(shù)y=f(x)各處二階可導，而且隨意一點(x,y)處的切線與y軸的交點為數(shù)y=f(x)褮

(1)=fI(1)+4=e，其函數(shù)圖像上(0,u(x))，若u-uI=y+2x2，求函解褺u(x)-y=yI(0-x)褬u(x)=y-xyI褬uI(x)=yI-yI-xyII=-xyII褮褵第7頁，共2頁試卷編號：由于u-uI=y-xyI+xyII=y+2x2，則當x0時褬yIII=2x.分-y4解方程yII-yI=2x，可得y=C1ex+C2-x2-2x.3分再由f(1)=fI，可得x-x2-2x+3.2分(1)+4=ey=e四、證明題：（每題褶分，共褱褲分）褱、設(shè)可微函數(shù)f(x,y,z)知足褺f(tabcz)=ta+b+cf(x,y,z),?t>褬其x,ty,t0中a,b,c都是正整數(shù)褮求證褺?f(x,y,z)+by?f(x,y,z)+cz?f(x,y,z)=(a+b+c)f(x,y,z).ax?y?z?x證明褺令u=tax褬v=tby褬w=tcz褬k=a+b+c褮對f(u,v,w)=tkf(x,y,z)對于t求導可得褺?fa-1x+?fb-1y+?fc-1z=ktk-1f(u,v,w).(u,v,w)·at(u,v,w)·bt(u,v,w)·ct?u?v?w襤分上述表達式中令t=1褬即有ax?f?f(x,y,z)+cz?f?x(x,y,z)+by(x,y,z)=(a+b+c)f(x,y,z).?y?zFF褲分x2y2z2褬褬c2褲、設(shè)Σ為曲面++=1(a,b,c>0)=αb2c2IΣdS褬c2a2=1-a2β=1-b2褮褨褱褩求證褺ffx2y2x2y2「1-α2-β2I=2IIabdxdy,Dxy:+:(1.DxyUx2-y2a2b21-22ab1褨褲褩上述積分很難直接計算褬試用你的想法給出I的預計公式褬并給出該公π式在a=1,b=2,c=3時的結(jié)果褮褨保存兩位小數(shù)褬合理的估值均可得分褩褶第8頁，共2頁試卷編號：Ix22?z=-c2x?z2證褺褨褱褩-y褬=-cy褱分z=1-a2b22z褬,c?xa?yb2z?。?2（c2y)2dS=1+-cx)a2z+-2dxdy「bzx22y2c24c4=IU1+x2ay2+by2dxdyx2「1--221-a2-b222221-(1-ac)xb-(1-c2)y2dxdyIa2a2bb=Ux2y2「Ix21--=a2b21α-βy2I-dxdy,a2分22U1-x2-y2a2b2由曲面Σ的對稱性褬只要要計算上半橢球面積的褲倍褻所以褬ffx2y2「1-x2y2