不定積分的概念課件

第四章不定積分

4.1不定積分的概念與性質(zhì)

第四章不定積分4.1不定積分的概念與性1教學目標:1、理解原函數(shù)和不定積分的概念2、熟練掌握不定積分的性質(zhì)和基本積分公式教學重點：綜合運用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式求不定積分。教學目標:1、理解原函數(shù)和不定積分的概念教學重點：綜合運2§4.1不定積分的概念一、不定積分的概念二、不定積分的性質(zhì)三、直接積分法

§4.1不定積分的概念一、不定積分的概念3

早在兩千多年前，數(shù)學家們就已經(jīng)開始注意到累積計算的重要性，隨著生產(chǎn)的發(fā)展，這類問題不斷有人提出，如求某塊平面圖形的面積，某條定曲線的長度等等．其中某些問題甚至得到了解決．例如，阿基米得(Archimedes)、開普勒(Kepler)、卡瓦列里(Cavaliere)都在具體問題中得到了后來用積分計算得到的相同結(jié)果．費馬(Fermat)與巴洛(Barrow)已初步意識到某些問題與微分之間存在互逆關(guān)系．但當時并沒有一般地引入積分概念，他們的方法也不具有普遍意義．直到十七世紀，牛頓和萊布尼茲各自獨立地看到了積分問題是微分問題的逆問題，并從微分逆運算的角度提了簡潔的一般解決辦法．前言早在兩千多年前，數(shù)學家們就已經(jīng)開始注意到累積計算的重要性4例一、不定積分的概念定義4.1P99例一、不定積分的概念定義4.1P995問題：(1)在什么條件下，一個函數(shù)的原函數(shù)存在？如果存在，是否唯一？(2)在已知某函數(shù)的原函數(shù)存在，怎樣將這個原函數(shù)求出來。問題：(1)在什么條件下，一個函數(shù)的原函數(shù)存在？如果存在，6定理4.1（原函數(shù)存在定理）即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)！初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)一定有原函數(shù)。P99定理4.1（原函數(shù)存在定理）即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)！初等函數(shù)7定理4.2例P99定理4.2例P998任意常數(shù)積分號被積函數(shù)(不定積分的定義)被積表達式積分變量

定義4.2

P100任意常數(shù)積分號被積函數(shù)(不定積分的定義)被積表達式積分變量9

例1

因為sinx

是cosx

的原函數(shù),所以

如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則例1因為sinx是cosx的原函10

如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則例2如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則例211不定積分的幾何意義：.函數(shù)f(x)的不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)正是積分曲線的斜率.

P100不定積分的幾何意義2x的積分曲線通常把函數(shù)f(x)的原函數(shù)y=F(x)的圖形叫做f(x)的一條積分曲線。那么f(x)的所有積分曲線構(gòu)成的曲線族y=F(x)+C稱為f(x)的積分曲線族.

不定積分的幾何意義：.函數(shù)f(x)的不定積分12設(shè)通過點(1,3),

且其切線斜率為

2X的曲線方程.

練習P103.2

例3

設(shè)通過點(1,3),且其切線斜率為2X的曲線方程.練13P103--2P103--214§4.1.2不定積分的性質(zhì)

一、不定積分的性質(zhì)二、基本積分公式§4.1.2不定積分的性質(zhì)

一、不定積分的性質(zhì)15由不定積分的定義，可知，或

，或

性質(zhì)4.1：P101一、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)4.2：由不定積分的定義，可知，或，或性質(zhì)4.1：P1016性質(zhì)4.3性質(zhì)4.4性質(zhì)4.3性質(zhì)4.4174.1.3直接積分法P1014.1.3直接積分法P10118

例5

例4

例6

例5例419

堂上練習:

堂上練習:20

堂上練習:

P102例5

堂上練習:P102例521

P102例6

P102例622

P102--例7

P102--例723P102--例8tanxxC.

P102--例8tanxxC.24P102--例9P102--例925

補充例

補充例26第四章不定積分

4.1不定積分的概念與性質(zhì)

第四章不定積分4.1不定積分的概念與性27教學目標:1、理解原函數(shù)和不定積分的概念2、熟練掌握不定積分的性質(zhì)和基本積分公式教學重點：綜合運用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式求不定積分。教學目標:1、理解原函數(shù)和不定積分的概念教學重點：綜合運28§4.1不定積分的概念一、不定積分的概念二、不定積分的性質(zhì)三、直接積分法

§4.1不定積分的概念一、不定積分的概念29

早在兩千多年前，數(shù)學家們就已經(jīng)開始注意到累積計算的重要性，隨著生產(chǎn)的發(fā)展，這類問題不斷有人提出，如求某塊平面圖形的面積，某條定曲線的長度等等．其中某些問題甚至得到了解決．例如，阿基米得(Archimedes)、開普勒(Kepler)、卡瓦列里(Cavaliere)都在具體問題中得到了后來用積分計算得到的相同結(jié)果．費馬(Fermat)與巴洛(Barrow)已初步意識到某些問題與微分之間存在互逆關(guān)系．但當時并沒有一般地引入積分概念，他們的方法也不具有普遍意義．直到十七世紀，牛頓和萊布尼茲各自獨立地看到了積分問題是微分問題的逆問題，并從微分逆運算的角度提了簡潔的一般解決辦法．前言早在兩千多年前，數(shù)學家們就已經(jīng)開始注意到累積計算的重要性30例一、不定積分的概念定義4.1P99例一、不定積分的概念定義4.1P9931問題：(1)在什么條件下，一個函數(shù)的原函數(shù)存在？如果存在，是否唯一？(2)在已知某函數(shù)的原函數(shù)存在，怎樣將這個原函數(shù)求出來。問題：(1)在什么條件下，一個函數(shù)的原函數(shù)存在？如果存在，32定理4.1（原函數(shù)存在定理）即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)！初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)一定有原函數(shù)。P99定理4.1（原函數(shù)存在定理）即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)！初等函數(shù)33定理4.2例P99定理4.2例P9934任意常數(shù)積分號被積函數(shù)(不定積分的定義)被積表達式積分變量

定義4.2

P100任意常數(shù)積分號被積函數(shù)(不定積分的定義)被積表達式積分變量35

例1

因為sinx

是cosx

的原函數(shù),所以

如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則例1因為sinx是cosx的原函36

如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則例2如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則例237不定積分的幾何意義：.函數(shù)f(x)的不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)正是積分曲線的斜率.

P100不定積分的幾何意義2x的積分曲線通常把函數(shù)f(x)的原函數(shù)y=F(x)的圖形叫做f(x)的一條積分曲線。那么f(x)的所有積分曲線構(gòu)成的曲線族y=F(x)+C稱為f(x)的積分曲線族.

不定積分的幾何意義：.函數(shù)f(x)的不定積分38設(shè)通過點(1,3),

且其切線斜率為

2X的曲線方程.

練習P103.2

例3

設(shè)通過點(1,3),且其切線斜率為2X的曲線方程.練39P103--2P103--240§4.1.2不定積分的性質(zhì)

一、不定積分的性質(zhì)二、基本積分公式§4.1.2不定積分的性質(zhì)

一、不定積分的性質(zhì)41由不定積分的定義，可知，或

，或

性質(zhì)4.1：P101一、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)4.2：由不定積分的定義，可知，或，或性質(zhì)4.1：P1042性質(zhì)4.3性質(zhì)4.4性質(zhì)4.3性質(zhì)4.4434.1.3直接積分法P1014.1.3直接積分法P10144

例5

例4

例6

例5例445

堂上練習:

堂上練習:46

堂上練習:

P102例5