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高等數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1高等數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪高等數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用010203中值定理與洛必達法那么函2高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖3高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪一、羅爾〔Rolle〕中值定理定理1〔羅爾中值定理〕如果函數(shù)f=(x)滿足以下條件:〔1〕在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);〔2〕在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);〔3〕在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b),那么,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f’(ξ)=0.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值4高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖5高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪二、拉格朗日〔Lagrange〕中值定理及其推論定理2〔拉格朗日中值定理〕如果函數(shù)f=(x)滿足以下條件:〔1〕在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);〔2〕在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);那么,在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得1.拉格朗日〔Lagrange〕中值定理高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值6高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖7高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪推論1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)滿足f’(x)≡0,那么在(a,b)內(nèi)f(x)=C〔C為常數(shù)〕.2.兩個推論推論2如果對(a,b)內(nèi)的任意x,均有f’(x)=g’(x),那么在(a,b)內(nèi)f(x)與g(x)之間只差一個常數(shù),即f(x)=g(x)+C〔C為常數(shù)〕.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值8高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖9高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例1函數(shù)f(x)=1-x2在區(qū)間[-1,2]上是否滿足拉格朗日中值定理條件?假設(shè)滿足,找出點.解函數(shù)f(x)=1-x2在區(qū)間[-1,2]上連續(xù),在(-1,2)上可導(dǎo),因此,滿足拉格朗日定理的條件,即至少存在一點ξ,使又因為f’(x)=-2x,由-2ξ=-1
,得高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值10高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖11高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪三、洛必達法那么定理3〔洛必達法那么〕設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在x0的近旁〔點x0可除外〕有定義,假設(shè)〔1〕;〔2〕f(x)與g(x)都可導(dǎo)〔點x0可除外〕,且g’(x)≠0;〔3〕〔A為有限數(shù),也可為+∞或-∞〕,那么這種在一定條件下,通過對分子、分母分別求導(dǎo)來計算未定式極限的方法,稱為洛必達法那么.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值12高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖13高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例2
求.解此題屬于“〞型未定式,符合洛必達法那么求極限的條件,故高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值14高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖15高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例3
求.解此題屬于“
”型未定式,符合洛必達法則求極限的條件,故高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值16高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖17高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例4
求.解此題屬于“
”型未定式,符合洛必達法則,故高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值18高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖19高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例5
求.解顯然,本題若直接利用洛必達法則,在對分母求導(dǎo)時比較麻煩,這時如果做適當(dāng)?shù)淖兓?,那么運算就方便得多,其運算如下:高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值20高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖21高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例6
求.解此題屬于“
”型未定式,應(yīng)用洛必達法則有高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值22高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖23高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例7
求.解此題屬于“
”型未定式,應(yīng)用洛必達法則有高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值24高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖25高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例8求〔n為正整數(shù),λ>0〕.解連續(xù)使用洛必達法則n次,得高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值26高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖27高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例9
求.解這是“
”型未定式,可通過“通分”將其化為“
”型未定式.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值28高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖29高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例10
求.解此未定式為“
”型,因為當(dāng)x→0+時,上式右端是“
”型未定式,應(yīng)用洛必達法則,得高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值30高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖31高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪在使用洛必達法則時,應(yīng)注意如下幾點:高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值32高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖33高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例11證明存在,但不能用洛必達法那么求解.解
因為
,所以,該極限存在.
又因為
不存在,所以,該極限不能用洛必達法則求出.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值34高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖35高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪一、函數(shù)的單調(diào)性定理1設(shè)函數(shù)f=(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么有〔1〕如果在(a,b)內(nèi)f’(x)>0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;〔2〕如果在(a,b)內(nèi)f’(x)<0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值36高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖37高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪確定函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟:〔1〕確定函數(shù)f(x)的定義域;〔2〕求出使函數(shù)f’(x)=0和f’(x)不存在的點,并以這些點為分界點,將定義域劃分成假設(shè)干個子區(qū)間;〔3〕確定f’(x)在各個子區(qū)間的符號,從而確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值38高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖39高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例1求函數(shù)y=x2的單調(diào)區(qū)間.解因為y=x2,所以y’=2x
,令y’=0,得x=0.用x=0將y=x2的定義區(qū)間(-∞,+∞)分成兩個小區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞).由于x∈(-∞,0)時,
y’<0;
x∈(0,+∞)時,
y’>0.又因為函數(shù)y=x2在區(qū)間(-∞,0]和[0,+∞)上都連續(xù),因此,其單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0],單調(diào)增區(qū)間為[0,+∞).高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值40高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖41高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例2討論函數(shù)的單調(diào)性.解因為
,所以
.令
,得駐點
.駐點將f(x)的定義區(qū)間
分成3個小區(qū)間
,且f(x)在
上均連續(xù).
在各個區(qū)間的符號如表3-1所示.x(-∞,0)(0,2)(2,
+∞)f’(x)-+-f(x)單減↘單增↗單減↘表3-1因此,由定理1知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]與[2,
+∞)上單調(diào)減少,在區(qū)間[0,2]上單調(diào)增加.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值42高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖43高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例3證明當(dāng)x>0時,ex>x.證令
,則f(x)在
上連續(xù);又因為所以,當(dāng)
時,有
,即f(x)在
上單調(diào)增加.因此,當(dāng)
時,有
,即當(dāng)時,
,
.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值44高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖45高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪二、函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義,假設(shè)對此鄰域內(nèi)任一點x(x≠x0),均有f(x)<f(x0),那么稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值.同樣,假設(shè)對此鄰域內(nèi)任一點x(x≠x0),均有f(x)>f(x0),那么稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.使函數(shù)取得極值的點x0稱為極值點.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值46高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖47高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪定理2〔極值存在的必要條件〕設(shè)f(x)在點x0處具有導(dǎo)數(shù),并且在點x0處取得極值,那么f’(x0)=0.定理3〔極值存在的第一充分條件〕設(shè)f(x)在點x0處連續(xù),且在點x0的近旁可導(dǎo).當(dāng)x由小到大經(jīng)過點x0時,〔1〕如果f’(x)由正變負(fù),那么點x0是極大值點;〔2〕如果f’(x)由負(fù)變正,那么點x0是極小值點;〔3〕如果f’(x)不變號,那么點x0不是極值點.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值48高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖49高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪求函數(shù)極值的一般步驟如下:〔1〕確定函數(shù)f(x)的定義域;〔2〕求出f(x)的全部駐點及尖點;〔3〕考察上述點兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的符號,確定極值點;〔4〕求出極值點處的函數(shù)值,得到極值.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值50高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖51高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪定理4〔極值存在的第二充分條件〕設(shè)f(x)在點x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0.〔1〕如果f’’(x0)<0,那么f(x)在點x0處取得極大值;〔2〕如果f’’(x0)>0,那么f(x)在點x0處取得極小值.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值52高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖53高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例5求函數(shù)
的極值.解法1的定義域為
,且令
,得駐點.駐點將定義域分成3個區(qū)間,一階導(dǎo)數(shù)的符號討論如表3-3所示.表3-3x(-∞,1)1(1,3)3(3,+∞)y’+0-0+y↗極大值f(1)=4↘極小值f(3)=0↗由定理3可知,f(1)=4為函數(shù)f(x)的極大值,f(3)=0為f(x)的極小值.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值54高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖55高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪解法2的定義域為
,且令
,得駐點
.又因為
,所以,
為
的極大值;
,故
為
的極小值.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值56高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖57高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例6求函數(shù)
的極值.解的定義域為
,且
在
上連續(xù),其導(dǎo)數(shù)為當(dāng)
時,
不存在,所以
為
的可能極值點.在
內(nèi),
;在
內(nèi),
.由定理3可知,
在
處取得極大值
.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值58高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖59高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪三、函數(shù)的最值例7求函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值和最小值.解因為函數(shù)
在區(qū)間
上連續(xù),所以在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值.該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為
.令
,得駐點
,
.于是比較各值,可得函數(shù)
的最大值為
,最小值為.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值60高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖61高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例8有一塊寬為2a的長方形鐵皮,將寬的兩個邊緣向上折起,做成一個開口水槽,其橫截面為矩形,高為x.如圖3-7所示為水槽的橫截面,問x取何值時水槽的流量最大?解設(shè)兩邊各折起
x,則橫截面積為圖3-7這樣,問題歸結(jié)為:當(dāng)x為何值時,S(x)取最大值.因
,故令S(x)=0,得S(x)的唯一駐點
.又因為鐵皮兩邊折得過大或過小,其橫截面積都會變小,因此,該實際問題存在最大值,且S(x)的最大值在
處取得,即當(dāng)
時,水槽的流量最大.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值62高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖63高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例9鐵路線上AD的距離為100km,工廠C距A為20km,AC垂直于AD,如圖3-8所示.今要在AD線上選定一點B向工廠修筑一條公路,鐵路與公路每公里的貨運費之比為3∶5,問B選在何處時,才能使從D到C的運費最少?解設(shè)
,則
,
.由于鐵路與公路每公里的貨運費之比為3∶5,因此,不妨設(shè)鐵路上每公里運費為3k,公路上每公里運費為5k,并設(shè)從D點到C點需要的總運費為y,則圖3-8高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值64高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖65高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪對上式,x過大或過小,總運費y均會變大,因此會有一個合適的x使總運費y達到最小值.y的導(dǎo)數(shù)為令y’=0,得x=15為函數(shù)y在其定義域內(nèi)的唯一駐點,故知y在x=15處取得最小值,即B點選在距A點15km處時,運費最少.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值66高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖67高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪一、曲線的凹向及其判別法定義1設(shè)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)各點均有切線,如果曲線段總是位于切線的上方,那么稱該曲線段在(a,b)內(nèi)是向上凹的〔簡稱上凹,也稱凹的〕;如果曲線段總是位于切線的下方,那么稱該曲線段在(a,b)內(nèi)是向下凹的〔簡稱下凹,也稱凸的〕.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值68高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖69高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪定理1設(shè)函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).〔1〕假設(shè)在(a,b)內(nèi)f’’(x)>0,那么曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是向上凹的.〔2〕假設(shè)在(a,b)內(nèi)f’’(x)<0,那么曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是向下凹的.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值70高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖71高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例1
判定曲線
的凹向.解函數(shù)
的定義域為
,其導(dǎo)數(shù)為當(dāng)
時,
,故曲線
在
內(nèi)是向下凹的.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值72高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖73高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪二、拐點及其求法定義2假設(shè)連續(xù)曲線y=f(x)上的點P是曲線向上凹與向下凹的分界點,那么稱點P是曲線y=f(x)的拐點.拐點的求法如下:設(shè)y=f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù);〔1〕先求出f’’(x),找出在(a,b)內(nèi)使f’’(x)=0和f’’(x)不存在的點;〔2〕用上述各點將(a,b)分成假設(shè)干小區(qū)間,在每個小區(qū)間上考察f’’(x)的符號;〔3〕假設(shè)f’’(x)在某點xi兩側(cè)異號,那么(xi,f(xi))是曲線y=f(x)的拐點.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值74高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖75高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例2求曲線
的凹向及拐點,并畫其圖像.解的定義域為,且.令y’’=0,得x=0.
x=0將
分成兩個小區(qū)間:
和
.當(dāng)
時,
y’’<0,曲線y=x3下凹;當(dāng)
時,
y’’>0,曲線y=x3上凹.所以,點〔0,0〕為曲線y=x3的拐點,其圖像如圖3-10所示.圖3-10高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值76高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖77高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪三、曲線的漸近線定義3假設(shè)曲線C上的動點P沿著曲線無限遠離原點時,點P與某一固定直線L的距離趨于0,那么稱直線L為曲線C的漸近線,如圖3-12所示.圖3-12高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值78高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖79高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪1.斜漸近線定理2假設(shè)f(x)滿足:〔1〕; 〔2〕,那么曲線y=f(x)有斜漸近線y=kx+b.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值80高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖81高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例3求曲線
的斜漸近線.解根據(jù)定理2有因此,曲線的斜漸近線方程為
.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值82高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖83高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪2.垂直漸近線定義4假設(shè)〔有時僅當(dāng)或〕時,有,那么稱直線〔C為常數(shù)〕為曲線的垂直漸近線,也稱鉛直漸近線.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值84高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖85高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪3.水平漸近線定義5假設(shè)時,〔C為常數(shù)〕,那么稱為曲線的水平漸近線.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值86高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖87高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪四、函數(shù)作圖的一般步驟描繪函數(shù)圖像的一般步驟如下:〔1〕確定函數(shù)的定義域及值域;〔2〕考察函數(shù)的周期性與奇偶性;〔3〕確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點、凹凸區(qū)間以及拐點;〔4〕考察函數(shù)曲線的漸近線;〔5〕考察函數(shù)曲線與坐標(biāo)軸的交點及一些特殊點;〔6〕根據(jù)以上幾方面的討論畫出函數(shù)的圖像.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值88高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖89高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例4描繪函數(shù)
的圖像.解(1)所給函數(shù)的定義域為
.(2)
,
.(3)令
,得駐點
.令
,得拐點.(4)用以上3點將定義域分成4個子區(qū)間,如表3-4所示.(5)顯然,曲線無垂直漸近線和水平漸近線.(6)綜合以上討論結(jié)果,作出函數(shù)
的圖像,如圖3-15所示.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值90高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖91高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y’+0---0+y’’---0+++y極大值點(-1,3)
拐點
(0,1)極小值點
(1,-1)表3-4圖3-15高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值92高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖93高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例5描繪函數(shù)
的圖像.解(1)所給函數(shù)的定義域為
.(2)
.令
,得駐點
.
.令
,得拐點
.用點-3,3,6把定義區(qū)間分為4個子區(qū)間,即
(3)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的分析如表3-5所示.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值94高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖95高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪(4)由于
,所以該函數(shù)有一條水平漸近線y=1和一條垂直漸近線x=-3.(5)計算出x=3
,x=6處的函數(shù)值為從而得到圖形上的兩個點
,再補充若干個點:(6)利用上面的結(jié)果,作出函數(shù)的圖形,如圖3-16所示.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值96高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖97高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪x(-∞,-3)(-3,3)3(3,6)6(6,+∞)f’(x)-+0---f’’(x)----0+f(x)極大值f(3)=4拐點
表3-5圖3-16高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值98高等數(shù)學(xué)謝謝THANKYOU高等數(shù)學(xué)謝謝THANKYOU99高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)100高等數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用101高等數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪高等數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用010203中值定理與洛必達法那么函102高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖103高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪一、羅爾〔Rolle〕中值定理定理1〔羅爾中值定理〕如果函數(shù)f=(x)滿足以下條件:〔1〕在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);〔2〕在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);〔3〕在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b),那么,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f’(ξ)=0.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值104高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖105高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪二、拉格朗日〔Lagrange〕中值定理及其推論定理2〔拉格朗日中值定理〕如果函數(shù)f=(x)滿足以下條件:〔1〕在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);〔2〕在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);那么,在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得1.拉格朗日〔Lagrange〕中值定理高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值106高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖107高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪推論1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)滿足f’(x)≡0,那么在(a,b)內(nèi)f(x)=C〔C為常數(shù)〕.2.兩個推論推論2如果對(a,b)內(nèi)的任意x,均有f’(x)=g’(x),那么在(a,b)內(nèi)f(x)與g(x)之間只差一個常數(shù),即f(x)=g(x)+C〔C為常數(shù)〕.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值108高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖109高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例1函數(shù)f(x)=1-x2在區(qū)間[-1,2]上是否滿足拉格朗日中值定理條件?假設(shè)滿足,找出點.解函數(shù)f(x)=1-x2在區(qū)間[-1,2]上連續(xù),在(-1,2)上可導(dǎo),因此,滿足拉格朗日定理的條件,即至少存在一點ξ,使又因為f’(x)=-2x,由-2ξ=-1
,得高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值110高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖111高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪三、洛必達法那么定理3〔洛必達法那么〕設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在x0的近旁〔點x0可除外〕有定義,假設(shè)〔1〕;〔2〕f(x)與g(x)都可導(dǎo)〔點x0可除外〕,且g’(x)≠0;〔3〕〔A為有限數(shù),也可為+∞或-∞〕,那么這種在一定條件下,通過對分子、分母分別求導(dǎo)來計算未定式極限的方法,稱為洛必達法那么.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值112高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖113高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例2
求.解此題屬于“〞型未定式,符合洛必達法那么求極限的條件,故高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值114高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖115高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例3
求.解此題屬于“
”型未定式,符合洛必達法則求極限的條件,故高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值116高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖117高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例4
求.解此題屬于“
”型未定式,符合洛必達法則,故高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值118高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖119高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例5
求.解顯然,本題若直接利用洛必達法則,在對分母求導(dǎo)時比較麻煩,這時如果做適當(dāng)?shù)淖兓?,那么運算就方便得多,其運算如下:高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值120高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖121高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例6
求.解此題屬于“
”型未定式,應(yīng)用洛必達法則有高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值122高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖123高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例7
求.解此題屬于“
”型未定式,應(yīng)用洛必達法則有高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值124高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖125高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例8求〔n為正整數(shù),λ>0〕.解連續(xù)使用洛必達法則n次,得高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值126高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖127高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例9
求.解這是“
”型未定式,可通過“通分”將其化為“
”型未定式.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值128高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖129高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例10
求.解此未定式為“
”型,因為當(dāng)x→0+時,上式右端是“
”型未定式,應(yīng)用洛必達法則,得高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值130高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖131高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪在使用洛必達法則時,應(yīng)注意如下幾點:高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值132高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖133高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例11證明存在,但不能用洛必達法那么求解.解
因為
,所以,該極限存在.
又因為
不存在,所以,該極限不能用洛必達法則求出.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值134高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖135高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪一、函數(shù)的單調(diào)性定理1設(shè)函數(shù)f=(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么有〔1〕如果在(a,b)內(nèi)f’(x)>0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;〔2〕如果在(a,b)內(nèi)f’(x)<0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值136高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖137高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪確定函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟:〔1〕確定函數(shù)f(x)的定義域;〔2〕求出使函數(shù)f’(x)=0和f’(x)不存在的點,并以這些點為分界點,將定義域劃分成假設(shè)干個子區(qū)間;〔3〕確定f’(x)在各個子區(qū)間的符號,從而確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值138高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖139高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例1求函數(shù)y=x2的單調(diào)區(qū)間.解因為y=x2,所以y’=2x
,令y’=0,得x=0.用x=0將y=x2的定義區(qū)間(-∞,+∞)分成兩個小區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞).由于x∈(-∞,0)時,
y’<0;
x∈(0,+∞)時,
y’>0.又因為函數(shù)y=x2在區(qū)間(-∞,0]和[0,+∞)上都連續(xù),因此,其單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0],單調(diào)增區(qū)間為[0,+∞).高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值140高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖141高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例2討論函數(shù)的單調(diào)性.解因為
,所以
.令
,得駐點
.駐點將f(x)的定義區(qū)間
分成3個小區(qū)間
,且f(x)在
上均連續(xù).
在各個區(qū)間的符號如表3-1所示.x(-∞,0)(0,2)(2,
+∞)f’(x)-+-f(x)單減↘單增↗單減↘表3-1因此,由定理1知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]與[2,
+∞)上單調(diào)減少,在區(qū)間[0,2]上單調(diào)增加.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值142高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖143高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例3證明當(dāng)x>0時,ex>x.證令
,則f(x)在
上連續(xù);又因為所以,當(dāng)
時,有
,即f(x)在
上單調(diào)增加.因此,當(dāng)
時,有
,即當(dāng)時,
,
.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值144高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖145高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪二、函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義,假設(shè)對此鄰域內(nèi)任一點x(x≠x0),均有f(x)<f(x0),那么稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值.同樣,假設(shè)對此鄰域內(nèi)任一點x(x≠x0),均有f(x)>f(x0),那么稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.使函數(shù)取得極值的點x0稱為極值點.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值146高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖147高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪定理2〔極值存在的必要條件〕設(shè)f(x)在點x0處具有導(dǎo)數(shù),并且在點x0處取得極值,那么f’(x0)=0.定理3〔極值存在的第一充分條件〕設(shè)f(x)在點x0處連續(xù),且在點x0的近旁可導(dǎo).當(dāng)x由小到大經(jīng)過點x0時,〔1〕如果f’(x)由正變負(fù),那么點x0是極大值點;〔2〕如果f’(x)由負(fù)變正,那么點x0是極小值點;〔3〕如果f’(x)不變號,那么點x0不是極值點.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值148高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖149高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪求函數(shù)極值的一般步驟如下:〔1〕確定函數(shù)f(x)的定義域;〔2〕求出f(x)的全部駐點及尖點;〔3〕考察上述點兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的符號,確定極值點;〔4〕求出極值點處的函數(shù)值,得到極值.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值150高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖151高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪定理4〔極值存在的第二充分條件〕設(shè)f(x)在點x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0.〔1〕如果f’’(x0)<0,那么f(x)在點x0處取得極大值;〔2〕如果f’’(x0)>0,那么f(x)在點x0處取得極小值.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值152高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖153高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例5求函數(shù)
的極值.解法1的定義域為
,且令
,得駐點.駐點將定義域分成3個區(qū)間,一階導(dǎo)數(shù)的符號討論如表3-3所示.表3-3x(-∞,1)1(1,3)3(3,+∞)y’+0-0+y↗極大值f(1)=4↘極小值f(3)=0↗由定理3可知,f(1)=4為函數(shù)f(x)的極大值,f(3)=0為f(x)的極小值.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值154高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖155高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪解法2的定義域為
,且令
,得駐點
.又因為
,所以,
為
的極大值;
,故
為
的極小值.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值156高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖157高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例6求函數(shù)
的極值.解的定義域為
,且
在
上連續(xù),其導(dǎo)數(shù)為當(dāng)
時,
不存在,所以
為
的可能極值點.在
內(nèi),
;在
內(nèi),
.由定理3可知,
在
處取得極大值
.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值158高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖159高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪三、函數(shù)的最值例7求函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值和最小值.解因為函數(shù)
在區(qū)間
上連續(xù),所以在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值.該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為
.令
,得駐點
,
.于是比較各值,可得函數(shù)
的最大值為
,最小值為.高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值160高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪010203高等數(shù)學(xué)中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖161高等數(shù)學(xué)010203中值定理與洛必達法那么函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值函數(shù)圖形的描繪例8有一塊寬為2a的
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