CFD理論過渡到編程的傻瓜入門教程

CFD!論過渡到編程的傻瓜入門教程（注：這是一篇不知道誰寫的介紹一維無粘可壓縮Euler方程，以及如何編程實(shí)現(xiàn)求解該方程的論文。作者從最基本的概念出發(fā)，深入淺出的講解了控制方程，有限體積格式，MSUCLf法，限制器，Roe格式等相關(guān)知識。這篇論文我覺得有利于大家學(xué)習(xí)CF曲程的相關(guān)知識，所以推薦給大家。文章的后面附有我寫的程序（C語言），用于求解一維激波管問題，大家有興趣可以看看（程序中加了注釋說明）胡偶2011）借寶地寫幾個小短文，介紹CFD的一些實(shí)際的入門知識。主要是因?yàn)檫@里支持Latex，寫起來比較方便。CFD，計算流體力學(xué)，是一個挺難的學(xué)科，涉及流體力學(xué)、數(shù)值分析和計算機(jī)算法，還有計算機(jī)圖形學(xué)的一些知識。尤其是有關(guān)偏微分方程數(shù)值分析的東西，不是那么容易入門。大多數(shù)圖書，片中數(shù)學(xué)原理而不重實(shí)際動手，因?yàn)樽髡叨及炎x者當(dāng)做已經(jīng)掌握基礎(chǔ)知識的科班學(xué)生了。所以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不那么好的讀者往往看得很吃力，看了還不知道怎么實(shí)現(xiàn)。本人當(dāng)年雖說是學(xué)航天工程的，但是那時本科教育已經(jīng)退步，基礎(chǔ)的流體力學(xué)課被砍得只剩下一維氣體動力學(xué)了，因此自學(xué)CFD的時候也是頭暈眼花。不知道怎么實(shí)現(xiàn)，也很難找到教學(xué)代碼——那時候網(wǎng)絡(luò)還不發(fā)達(dá)，只在教研室的故紙堆里搜羅到一些完全沒有注釋，編程風(fēng)格也不好的冗長代碼，硬著頭皮分析。后來網(wǎng)上淘到一些代碼研讀，結(jié)合書籍論文才慢慢入門?？梢哉f中間沒有老師教，后來賭博士為了混學(xué)分上過CFD專門課程，不過那時候我已經(jīng)都掌握課堂上那些了回想自己入門艱辛，不免有一個想法——寫點(diǎn)通俗易懂的CFD入門短文給師弟師妹們。本人不打算搞得很系統(tǒng)，而是希望能結(jié)合實(shí)際，闡明一些最基本的概念和手段，其中一些復(fù)雜的道理只是點(diǎn)到為止。目前也沒有具體的計劃，想到哪里寫到哪里，因此可能會很零散。但是我爭取讓初學(xué)CFD的人能夠了解一些基本的東西，看過之后，會知道一個CFD代碼怎么煉成的（這煉”字好像很流行?。g迎大家提出意見，這樣我盡可能的可以追加一些修改和解釋。言歸正傳，第一部分，我打算介紹一個最基本的算例，一維激波管問題。說白了就是一根兩端封閉的管子，中間有個隔板，隔板左邊和右邊的氣體狀態(tài)（密度、速度、壓力）不一樣，突然把隔板抽去，管子內(nèi)面的氣體怎么運(yùn)動。這是個一維問題，被稱作黎曼間斷問題，好像是黎曼最初研究雙曲微分方程的時候提出的一個問題，用一維無粘可壓縮Euler方程就可以描述了?！簩W(xué)+智.二QJ?&（而、_n1國十?而_u王￡?猶一百4口山_nImt5工-u這里E=-FeP=（T-這個方程就是描述的氣體密度口、動量/窗和能量點(diǎn)巴隨時間的變化（￡）與它們各自的流量（密度流量P一動量流量/支u+P,能量流量aEu+pu）隨空間變化（吳）的關(guān)系。在CFD中通常把這個方程寫成矢量形式這里PQ=pupEpuF=puu+ppEu+pu進(jìn)一步可以寫成散度形式翁+VF=0一定要熟悉這種矢量形式以上是控制方程，下面說說求解思路。可壓縮流動計算中，有限體積（FVM）是最廣泛使用的算法，其他算法多多少少都和FVM有些聯(lián)系或者共通的思路。了解的FVM,學(xué)習(xí)其他高級點(diǎn)的算法（比如目前比較熱門的間斷有限元、譜FVM、譜FDM）就好說點(diǎn)了。針對一個微元控制體1我可，把Euler方程在空間積分r需業(yè)+「口取工=。用微積分知識可以得到日QIFy—Fa一nAr_u也就是說控制體內(nèi)氣體狀態(tài)平均值的變化是控制體界面上流通量的結(jié)果因此我們要計算Q的演化，關(guān)鍵問題是計算控制體界面上的F。FVM就是以這個積分關(guān)系式出發(fā)，把整個流場劃分為許多小控制體，每個控制體和周圍相鄰的某個控制體共享一個界面，通過計算每個界面上的通量來得到相鄰控制體之間的影響，一旦每個控制體的變化得到，整個流場的變化也就知道了。所以，再強(qiáng)調(diào)一次，關(guān)鍵問題是計算控制體界面上的F。初學(xué)者會說，這個不難，把界面廣上的Q，插值得到，然后就可以計算。有道理！咱們畫個圖，有三個小控制體i-1到i+1,中間的“|裝示界面，控制體i右邊的界面用+寺表示，左邊的就是‘-K|i-1|i|i+1|好下個問題：每個小控制體長度都是△了如何插值計算界面上的最自然的想法就是：取兩邊的平均值唄，q2-Q-Q葉1但是很不幸，這是不行的。那么換個方法？直接平均得到E'+4？瑪--3還是很不行，這樣也不行我靠，這是為什么？這明明是符合微積分里面的知識?。窟@個道理有點(diǎn)復(fù)雜，說開了去可以講一本書，可以說從50年代到70年代，CFD科學(xué)家就在琢磨這個問題。這里，初學(xué)者只需要記住這個結(jié)論：對于流動問題，不可以這樣簡單取平均值來插值或者差分。如果你非要想知道這個究竟，我現(xiàn)在也不想給你講清楚，因?yàn)槲已巯碌哪康氖亲屇憧焖偕鲜郑以摬慌俑鶈柕椎臅r候就不要刨根問底，這也是初學(xué)階段一種重要的學(xué)習(xí)方法。F1好了，既然目的只是為了求葉匕我在這里，只告訴你一種計算方法，也是非常重要、非常流行的一種方法。簡單的說，就是假設(shè)流動狀態(tài)在界面，+2是不連續(xù)的，先計算出界面稱兩邊Q的值，Q計*和再由它們用某種方法計算出“葉丸上述方法是非常重要的，是由一個蘇聯(lián)人Godunov在50年代首創(chuàng)的，后來被發(fā)展成為通用Godunov方法，著名的ENO/WENO就是其中的一種。好了，現(xiàn)在的問題是：Q-2Q+.1怎么確定工+*和1?+*2怎么計算葉當(dāng)對于第一個問題，Godunov在他的論文中，是假設(shè)每個控制體中Q是均Q-1=Q；勻分布的，因此.一'=Q計1第二個問題，Godunov采用了精確黎曼解來計算比十匕什么是精確黎曼解”，就是計算這個激波管問題的精確解。既然有精確解，那還費(fèi)功夫搞這些FVM算法干什么？因?yàn)橹挥羞@種簡單一維問題有精確解，稍微復(fù)雜一點(diǎn)就不行了。精確解也比較麻煩，要分析5種情況，用牛頓法迭代求解(牛頓法是什么？看數(shù)值計算的書去，哦，算了，現(xiàn)在暫時可以不必看)c這是最初Godunov的方法，后來在這個思想的基礎(chǔ)上，各種變體都出來了。也不過是在這兩個問題上做文章，怎么確定Q什：，怎么計算*葉九Godunov假設(shè)的是每個小控制體內(nèi)是均勻分布，也就是所謂分段常數(shù)(piecewiseconstant),所以后來有分段線性(picewiselinear)或者分段二次分布(picewiseparabolic),到后來ENO/WENO出來，那這個假設(shè)的多項(xiàng)式次數(shù)就繼續(xù)往上走了。都是用多項(xiàng)式近似的，這是數(shù)值計算中的一個強(qiáng)大工具，你可以在很多地方看到這種近似。Godunov用的是精確黎曼解，太復(fù)雜太慢，也不必要，所以后來就有各種近似黎曼解,最有名的是Roe求解器、HLL求解器和Osher求解器，都是對精確黎曼解做的簡化。這個多項(xiàng)式的階數(shù)是和計算精度密切相關(guān)的，階數(shù)越高，誤差就越小。不過一般來說，分段線性就能得到不錯的結(jié)果了，所以工程中都是用這個，F(xiàn)luent、Fastran以及NASA的CFL3D、OverFlow都是用這個。而黎曼求解器對精度的影響不是那么大，但是對整個算法的物理適用性有影響，也就是說某種近似黎曼求解器可能對某些流動問題不合適，比如單純的Roe對于鈍頭體的脫體激波會算得亂七八糟，后來加了嫡修正才算搞7Ho上次（/node/399）說到了求解可壓縮流動的一個重要算法，通用Godunov方法。其兩個主要步驟就是Q-,Q+,1怎么確定工+*和7工+*2怎么計算厘葉當(dāng)這里我們給出第一點(diǎn)一個具體的實(shí)現(xiàn)方法，就是基于原始變量的MUSCL格式（以下簡稱MUSCL）o它是一種很簡單的格式，而且具有足夠的精度，NASA著名的CFL3D軟件就是使用了這個格式，大家可以去它的主頁（/Cfl3dv6/cfl3dv6.html）上看手冊，里面空間離散那一章清楚的寫著。MUSCL假設(shè)控制體內(nèi)原始變量（就是Q）的分布是一次或者二次多項(xiàng)式，如果得到了這個多項(xiàng)式，就可以求出控制體i左右兩個界面的一側(cè)的值和工T日和1日。我們以壓力P為例來說明怎么構(gòu)造這個多項(xiàng)式。這里我只針對二次多項(xiàng)式來講解，你看完之后肯定能自己推導(dǎo)出一次多項(xiàng)式的結(jié)果（如果你搞不定，那我對你的智商表示懷疑）。OK,開始假設(shè)△工二］，這個假設(shè)不影響最終結(jié)論，因?yàn)槟憧偪梢园岩粋€區(qū)間線性的變換到長度為1的區(qū)間。

假設(shè)壓力p在控制體i內(nèi)部的分布是一個二次多項(xiàng)式/㈤=口/+反+C,控制體i的中心處于H=0處，左右兩個界面就是T和+抵&二亡J1；Q也這里先強(qiáng)調(diào)一個問題，在&二亡J1；Q也際上是這個控制體內(nèi)的平均值所以，Pi=￡+式a--Pbr+c)dz工9口工3/3+紅2/2+聞］：1號十口J-上0我們知道亂T,跖和用+工,等距網(wǎng)格情況下"4”+/處的導(dǎo)數(shù)可以近似表示為票I計產(chǎn)綠=拓”-比那么(這里錯了，應(yīng)該是2ax+b)/（一分=（2Y+b）|.=T=}—Q=△(這里錯了，應(yīng)該是2ax+b)川+，）二（2ar3+圳工=十多二占+u=△+由上述三個有關(guān)a,b和c的方程，我們可以得到4一5a——^；--0―2-Z-Z￡二M一/_+這樣就可以得到f(x)的表達(dá)式了，由此可以算出R+4和巴T通常MUSCL格式寫成如下形式2口二a+:口一動△「+（1+上）△力Pt-i-A-UU-fc）A++tl+fc）A-]k=1/3對應(yīng)我們的推導(dǎo)結(jié)果（二次多項(xiàng)式假設(shè)）。但是這不是最終形式。如果直接用這個公式，就會導(dǎo)致流場在激波（間斷）附近的振蕩。因?yàn)橹苯佑枚味囗?xiàng)式去逼近一個間斷，會導(dǎo)致這樣的效果。所以科學(xué)家們提出要對間斷附近的斜率有所限制，因此引入了一個非常重要的修改一一斜率限制器。加入斜率限制器后，上述公式就有點(diǎn)變化。P；^-A+號[。一啕+F。十左%）△工Pt-i啕++3）與1這里3f是VanAlbada限制器E是一個小數(shù)（E=1X10T）,以防止分母為0。密度和速度通過同樣的方法來搞定。密度、速度和壓力被稱作原始變量，所以上述方法是基于原始變量的MUSCLo此外還有基于特征變量的MUSCL,要復(fù)雜一點(diǎn)，但是被認(rèn)為適合更高精度的格式。然而一般計算中，基于原始變量的MUSCL由于具有足夠的精度、簡單的形式和較低的代價而被廣泛使用。OK,搞定了。下面進(jìn)入第二點(diǎn)，怎么求葉學(xué)。關(guān)于這一點(diǎn)，我不打算做Q-1Q+二詳細(xì)介紹了，直接使用現(xiàn)有的近似黎曼解就可以了，都是通過葉母和葉*計算得到巴十七比如Roe因?yàn)樾问胶唵?，而非常流行。在CFL3D軟件主頁（/Cfl3dv6/cfl3dv6.html）上看手冊，附錄C的C.1.3。想了一下，還是把Roe求解器稍微說說吧，力求比較完整。但是不要指望我把Roe求解器解釋清楚，因?yàn)檫@個不是很容易三言兩語說清的。Roe求解器的數(shù)學(xué)形式是這樣的嗎+產(chǎn)螂+f（q\n—Q［）顯然這個公式的第一項(xiàng)是一個中心差分形式，先前說過簡單的中心差分不可行，原因是耗散不足導(dǎo)致振蕩，說得通俗點(diǎn)就像一個彈簧，如果缺乏耗散（阻尼）它就會一直振蕩。耗散”這個術(shù)語在激波捕捉格式中是最常見的。第二項(xiàng)的作用就是提供足夠的耗散了。這里Q二學(xué)和Q計4已經(jīng)用MUSCL求得了，F(xiàn)的定義在第一講中已經(jīng)介紹了。只有1工1是還沒說過的。A—旭A—GQ這個矩陣可以寫成特征矩陣和特征向量矩陣的形式A=R-AR+而|A|=R-|A|R+A,R,R一和A的具體表達(dá)式在許多書上都有，而且這里的矩陣表達(dá)有問題，所以就不寫了。囚葉；是由出+寺、“+$和*十*代入A計算得到。而△十土、出+多和'葉力采用所謂Roe平均值p計與=，pB」+JkL篁計多二g#+十力//—!=.，轉(zhuǎn)="十后這才是Roe求解器關(guān)鍵的地方！總結(jié)一下，就是用Roe平均計算界面上的氣體狀態(tài)Q葉工然后計算得到M討*1,這樣F葉*就可以得到了。如果有時間，我后面會找一個代碼逐句分析一下?？傊嬎鉌'+音還是很不直接的。構(gòu)造近似黎曼解是挺有學(xué)問的，需要對氣體動力學(xué)的物理和數(shù)學(xué)方面有較深的理解。通常，如果不是做基礎(chǔ)研究，你只需要知道它們的特點(diǎn)，會用它們就可以了，而不必深究它們怎么推導(dǎo)出來的附錄程序：（新建一個.c類型文件，將下面的程序復(fù)制粘貼到里面，就可以運(yùn)行了）/****************************************************本程序用于求解一維無粘可壓縮歐拉方程（激波管問題）運(yùn)用DummyCell處理邊界條件;通量計算方式:AUSMScheme;重構(gòu)方法：MUSCL方法限制器：VanAlbada限制器時間離散：四步Runge-Kutta方法****************************************************/#include"stdio.h"#include"conio.h"#include"malloc.h"#include"stdlib.h"#include"math.h"#include"string.h"#defineh(1/400.0)//網(wǎng)格步長#defineNc404//網(wǎng)格總數(shù)：與h之間的關(guān)系Nc=1/h+4#definePI3.1415927#defineIt1000#definegama1.4//氣體比熱比doubleKAKA=0.0;//限制器控制參數(shù)doubleXS1,XS2;//計算域的兩個端點(diǎn)doubledt=2.5e-5;//時間步長doubletimesum;//總的計算時間//函數(shù)聲明voidoutput();voidSolveWtoU(doubleW[3],doubleU[3]);voidSolveUtoW(doubleW[3],doubleU[3]);//基本變量和守恒變量之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)//前后各留兩個網(wǎng)格單元作為虛擬網(wǎng)格單元計算網(wǎng)格單元從2到NOc-3structcell{intflag;//網(wǎng)格點(diǎn)的類型doublexc;doubleW[3],Wp[3];//conservationvaraibledoubleU[3];//jibenbianliangdoubleR[3];doubleS;//entropy};structcellcell[Nc];//網(wǎng)格生成及流場初始化voidinitialsolve(){inti;doublex,xi,xe;XS1=-0.0;XS2=1.0;xi=XS1-2*h;xe=XS2+2*h;for(i=0;i<Nc;i++){cell[i].xc=(xi+h/2)+i*h;//網(wǎng)格中心坐標(biāo)cell[i].flag=0;x=cell[i].xc;if(x<0.5){cell[i].U[0]=0.445;cell[i].U[1]=0.698;cell[i].U[2]=3.528;}else{cell[i].U[0]=0.5;cell[i].U[1]=0.0;cell[i].U[2]=0.571;}SolveUtoW(cell[i].W,cell[i].U);//printf("x=%f,d=%f,u=%f,p=%f\n",cell[i].xc,cell[i].U[0],cell[i].U[1],cell[i].U[2]);getchar();}}//邊界條件：DummyCell方法voidboundarycondition(){inti;doubleU[3];//直接賦遠(yuǎn)場值for(i=0;i<Nc;i++){if(cell[i].flag==1){cell[i].U[0]=0.445;cell[i].U[1]=0.698;cell[i].U[2]=3.528;SolveUtoW(cell[i].W,U);}elseif(cell[i].flag==2){cell[i].U[0]=0.5;cell[i].U[1]=0.0;cell[i].U[2]=0.571;SolveUtoW(cell[i].W,U);

Up2[],double//重構(gòu)：MUSCL方法+VanAlbada限制器Up2[],doublevoidSolveReconstruction(doubleUm1[],doubleUI[],doubleUp1[],doubleUL[],doubleUR[]){inti;doubleepsilon,aR[3],aL[3],bL[3],bR[3],sL[3],sR[3];epsilon=1.0e-5*h;for(i=0;i<3;i++){aR[i]=Up2[i]-Up1[i];//Dealta+U(I+1)bR[i]=Up1[i]-UI[i];//Dealta_U(I+1)aL[i]=Up1[i]-UI[i];//Dealta+U(I)bL[i]=UI[i]-Um1[i];//Dealta_U(I)}for(i=0;i<3;i++){sR[i]=(2.0*aR[i]*bR[i]+1.0e-6)/(aR[i]*aR[i]+bR[i]*bR[i]+1.0e-6);sL[i]=(2.0*aL[i]*bL[i]+1.0e-6)/(aL[i]*aL[i]+bL[i]*bL[i]+1.0e-6);}for(i=0;i<3;i++){UR[i]=Up1[i]-0.25*sR[i]*((1+KAKA*sR[i])*bR[i]+(1-KAKA*sR[i])*aR[i]);UL[i]=UI[i]+0.25*sL[i]*((1+KAKA*sL[i])*aL[i]+(1-KAKA*sL[i])*bL[i]);}}//守恒變量轉(zhuǎn)化為基本變量voidSolveWtoU(doubleW[3],doubleU[3]){U[0]=W[0];//dU[1]=W[1]/W[0];//uU[2]=(gama-1.0)*(W[2]-0.5*U[0]*U[1]*U[1]);}//基本變量轉(zhuǎn)化為守恒變量voidSolveUtoW(doubleW[3],doubleU[3]){W[0]=U[0];//dW[1]=U[1]*U[0];//uW[2]=U[2]/(gama-1.0)+0.5*U[0]*U[1]*U[1];}//格式：AUSM格式voidSolveAUSMFlux(doubleUL[],doubleUR[],doubleFc[])//UL左狀態(tài)，UR右狀態(tài)，F(xiàn)C通量{doubleWL[3]={0.0},WR[3]={0.0};doubledeta,fMn;doubleML,cl,MR,cr,Ml,Mr,Mn;doublepl,pr,pn,PL,PR;deta=0.25;SolveUtoW(WL,UL);SolveUtoW(WR,UR);PL=UL[2];//計算左單元的壓力cl=sqrt(gama*PL/UL[0]);PR=UR[2];//計算右單元的壓力cr=sqrt(gama*PR/UR[0]);ML=UL[1]/cl;MR=UR[1]/cr;if(ML>=1.0){Ml=ML;pl=PL;}elseif(fabs(ML)<1.0){Ml=0.25*(ML+1)*(ML+1);pl=0.25*PL*(ML+1)*(ML+1)*(2.0-ML);}else{Ml=0.0;pl=0.0;}if(MR>=1.0){Mr=0.0;pr=0.0;}elseif(fabs(MR)<1.0){Mr=-0.25*(MR-1)*(MR-1);pr=0.25*PR*(MR-1)*(MR-1)*(2.0+MR);}else{Mr=MR;pr=PR;}Mn=Ml+Mr;pn=pl+pr;if(fabs(Mn)>deta)fMn=fabs(Mn);elsefMn=0.5*(fabs(Mn)*fabs(Mn)+deta*deta)/deta;Fc[0]=0.5*Mn*(WL[0]*cl+WR[0]*cr)-0.5*fMn*(WR[0]*cr-WL[0]*cl);

Fc[1]=0.5*Mn*(WL[1]*cl+WR[1]*cr)-0.5*fMn*(WR[1]*cr-WL[1]*cl)+pn;Fc[2]=0.5*Mn*((WL[2]+PL)*cl+(WR[2]+PR)*cr)-0.5*fMn*((WR[2]+PR)*cr-(WL[2]+PL)*cl);}//殘差計算RvoidSolveResidual(){inti,j;doubleUL[3],UR[3],Fp[3],Fm[3];for(i=0;i<Nc;i++){if(cell[i].flag==0){UR);UR);//i+1/2UR);UR);SolveReconstruction(cell[i-1].U,cell[i].U,cell[i+1].U,cell[i+2].U,UL,//MSUCL重構(gòu)SolveAUSMFlux(UL,UR,Fp);//二階格式//SolveAUSMFlux(cell[i].U,cell[i+1].U,Fp);//一階格式//i-1/2SolveReconstruction(cell[i-2].U,cell[i-1].U,cell[i].U,cell[i+1].U,UL,//MSUCL重構(gòu)SolveAUSMFlux(UL,UR,Fm);//二階格式//SolveAUSMFlux(cell[i-1].U,cell[i].U,Fm);//一階格式for(j=0;j<3;j++){cell[i].R[j]=-(Fp[j]-Fm[j])/h;}}}}//流場值更新voidSolveNextstep(doublear[],intir){inti,j;for(i=0;i<=Nc;i++){if(cell[i].flag==0){if(ir==0)for(j=0;j<3;j++)cell[i].Wp[j]=cell[i].W[j];}for(j=0;j<3;j++)cell[i].W[j]=cell[i].Wp[j]+ar[ir]*dt*cell[i].R[j];SolveWtoU(cell[i].W,cell[i].U);}}}//Runge-Kutta方法voidSolveRungeKutta(){doublear[4]={1/4.0,1/3.0,0.5,1.0};intit,ir;timesum=0.0;for(it=0;;it++)//迭代步數(shù){for(ir=0;ir<4;ir++)//四步Rouger-Kutta法{boundarycondition();SolveResidual();SolveNextstep(ar,ir);}timesum+=dt;printf("it=%d,timesum=%f\n",it,timesum);if(timesum>=0.16){output();getchar();printf("Pleaseenteranykeytocontinue...");break;}}}//結(jié)果輸出voidoutput(){inti;FILE*fpd,*fpu,*fpp;if((fpd=fopen("Density.plt","w"))==NULL){printf("connotopeninfile\n");return;}fprintf(fpd,"TITLE=\"TestCase\"\n");fprintf(fpd,"VARIABLES=\"x\",\"density\"\n");fprintf(fpd,"ZONET=\"OnlyZone\",I=%d,F=POINT\n",Nc);if((fpp=fopen("Pressur