解三角形壓軸小題12種歸類2021-2022學年高一數學下學期題型歸納與變式演練(人教A版2019必修第二冊)（解析版）

專題06解三角形壓軸小題12種類型目錄TOC\o"1-5"\h\z一、熱點題型歸納 1【題型一】 三解三角形基礎：角與對邊 1【題型二】 三角形求周長最后自 2\o"CurrentDocument"【題型三】 輔助角+均值不等式+余弦定理 3\o"CurrentDocument"【題型四】 輔助角和均值與面積最值 5【題型五】 消角 6【題型六】 萬能正切 8\o"CurrentDocument"【題型七】 正余弦定理綜合應用：判斷三角形形狀 10\o"CurrentDocument"【題型八】 外接圓 11\o"CurrentDocument"【題型九】 內切圓 13\o"CurrentDocument"【題型十】 重心與垂心 14\o"CurrentDocument"【題型十一】圖形：中線與角平分線 16\o"CurrentDocument"【題型十二】綜合 18二、最新?？碱}組練 21【題型一】三角題基礎：角與對邊[例1]24在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,已知C=§,c=l.當變化時，若z=b+M存在最大值，則正數2的取值范圍為A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(1,3)【答案】C【詳解】因為C=M，c=l,所以根據正弦定理可得/7=芻='7=2,所以"^sinA,TOC\o"1-5"\h\z3 sinAsmBsinCJ3 J3/7=-^sinB,pfr^lz=b+Aa= B+^sinA="i[sinB+2sin(--B)]=-i[(l--)sinB+V3 V3V3V3 3V3 2與8sBi=差J(l-p+(與)2sin(B+0),其中tan0=fj，0<^<y>因為z=力+及存在最大值，所以由3+。=2+2欠兀AtZ,可得2%兀+2<。<2女冗+2,&wZ,2 6 2所以tan八電，所以皿〉且，解得1<4<2,所以正數，的取值范圍為(22),故選C.3 2-Z3 2 2【例2】在銳角三角形ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,4=%a=l,則△ABCo面積的取值范圍為V3-4V3-2

h立，4

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B.a+X)/

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A.cI【分析】由題意苜先求得AABC的外接圓半徑，然后將三角形面積公式轉化為關于的函數，由△A8C為銳角三角形可得g＜2B—g＜甘，據此確定AABC的面積的取值范圍即可.【詳解】由正弦定理可得導=肅=慧，=由正弦定理可得導=肅=慧，=2, b=2sinB,c=2sinC,■■■ShABC=|bcsinA=1x2sinBx2sinC-sin^=sinBsin（段-B）=jsinBcosB+百?2o-smd=1.nn.限1-C0S2B 1,（m兀、.V3-stn2B+-x =-sinI2B——IH—,4 2 2 2 \ 3/ 4又IBC為銳角三角形，???0<8<￡,0<尹一8<~即4 o /J / 3 oV3???當Vsin（28-;）W1,,??日V（5山（28-g2"T'71【例3】在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為。,b,c,/,=2々且AABC面積為S=*(6-c?),則AABC面積S的最大值為( )A.2-y/3 B.4-2百 C.8-4后 D.16-873【答案】B由已知利用三角形的面積公式可求tanB,可用cosB,sinB的值，由余弦定理，基本不等式可求毋,8(2-6),根據三角形的面積公式即可求解其最大值.解：；S=3(6_。2)=立＜_2accosB)=」acsinB,tan8=-,B=~,cosB= ,12 12 2 3 6 2"G, f=8（2"G, f=8（2—>/3）,2+V3又?.?b=2Q，由余弦定理可得：8=/+，2+島或(2+6)收,當且僅當a=c時取等號，.1Sm1c=gacsin&gx8(2-揚xg=4-28.,面積S的最大值為4-26.故選：B.【題型二】三角形求周長最值【例11在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sin4+cos{A+-)=3,b+c=4,則A4BC6’ 2周長的取值范圍是A.[6,8) B.[6,8] C.[4,6) D.(4,6]【答案】A【分析】利用三角函數恒等變換的應用化簡已知可得sinM+-；=?，結合A的范圍可求A,再由余弦定理求得。2=16-3比，再由基本不等式，求箱be的/圍，即可得到4的范圍，進而可求周長的范圍.【詳解】'?"sin/1+cos(71+-)=—,:.sinA+ cosA--sinA=6，、 6， 2 2 2 2

可得：sin(A-\--)=與，3 2 7r-AE(0,n),4+-G(-f公力.?.4+巳=把，解得4=二3 3 3 3 3 3?"+c=4,由余弦定理可得a2=力2+_2bccosA=(b+c)2-2bc—he=16—3bc,?由b+c=4,b+cN2癡，得0VbcW4,A4<a2<16?即2WqV4.aABC周長L=a+b+c=a+4e[6,8).故選A.【例2】n￡在AABCAABC中，角ABC所對的邊分別為a,b,c,若sinA+cos(A+-)=二，b+c=4,則AABC6 2周長的取值范圍是( )A.(6,8) B.[6,8] C.[4,6) D.(4,6)【答案】A【分析】根據余弦的和角公式及輔助角公式，可求得角A的值；利用余弦定理結合基本不等式即可求得a的取值范圍，進而得到周長的取值范圍.【詳解】..n4占1百 n油?sinAcos(A?)=——? sinA?-cosA--sinA=——?nJWsin(A+—)=——，TOC\o"1-5"\h\z6 2 2 2 2 3 2n n4n n2n n,?Ae(o.n).A*-e(--),a?-=—,解得a=-,3 33 33 3b?c=4?，由余弦定理可得a?=b?+c2-2bccosA=：b+c)2-2bc-bc=16-3bc.,由b+c=4,b+cz2j'bc>得0<bc，4,.'.4516,即24a<4.二AABC周長L=a+b+c=a+4€[6，8).故選A【例3】在銳角三角形ABC中，若百sin8+cos8=2,且滿足關系式胃+史史=當生乎，則bc3sinCa+c的取值范圍是( )A.(石,2倏 B.(2瘋46]C.k,4間 D.(3,2^]【答案】C根據。知條件求得48,構造。+。的函數，通過求三角函數的值域，即可求得結果.【詳解】因為氐inB+cosB=2,故可得sin(B+?)=l,又可05，故可得8=60。.McosBcosCsinAsinB.rz?ccosB+bcosCsinA.?a>/315]為---+ =——~，成口」侍 = xsinB=x——bc3smC be3sbic3c2整理得8=26，則2R===4.故可得sinba+c=4sinA+4sinC=4sbiA+4sin(A+60°)=45/3sin(A+30°),因為A40,3120。-440,9，故可得4?30。,90。).則4后m(4+30。)€(6,4疔|故可得a+ce(6,46]故選：C.

【題型三】輔助角+均值不等式+余弦定理【例1】已知AABC的內角A,8,C對的邊分別為a,b,c,sinA+及sin8=2sinC力=3,當內角C最大時，AABC的面積等于（） A9+3后 b6+3& ?3d2小6_卮 p3娓-3五4 '-4- - 4 4【答案】A【詳解】分析：己知等式利用正弦定理化簡，得到關系式,利用余弦定理表示出cosC,把得出關系式整理后代入,利用基本不等式求111cosC的最小fi't即t可求111三角形的面積.詳解：己知等式利用正弦定理化簡得：〃+伍=2c，兩邊平方得：（。+缶尸=4。2,即a2+242b+lb2=4c2，所以a?+〃-c2=3a?+2人2&,所以4c°sC，±Tc°sC，±T

2ab33-2缶y岑+%匹小唐-2偽8ab=匕26-2&）=逆二正，當且僅當當=9，即島=缶時取等號，此時8 4 ba。=華=平=#，則cosC的最小值為"二受，此時C最大，且V3V3 4sinC=Vl-cos2C="+",則AA8C的面積S=—aftsinC='x娓x3x娓+”=9+"^4 2 2 44故選A.【例2】在*ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,c=2,sinA=6sinB,則-ABC的最大面積為A.3 B.6 C.2 D.無法確定【答案】B【詳解】分析：由sinA=gsinB利用正弦定理得"辰，由余弦定理得到cosC,由平方關系求出sinC,根據面枳公式化筒AABC的面積S的表達式，利用配方法和：次函數的性質求出面積的最大值.詳解：vsinA=>/3sinB,:.a=43b,由余弦定理及c=2得，cosC=° ——=a _i2ab2ab2b2-25'sinC=-J1--ahsinC=->J-b4+8b5'sinC=-J1--ahsinC=->J-b4+8b2-42 2+汕2-4當y=4時，即6=2,AABC的面積S有最大值,...AABC的最大面積是，疝=6,故選B.【例3】在A4BC中，內角4aC的對邊分別為a,b,c,若A4BC的面積為'2,則+的最大值為8 baA.2 B.4 C.2V5 D.472

【答案】C【分析】利用余弦定理可得a?+ft2=c2+2abeosC,結合三角形面積為為?可得c2=4absinC,7+~8 ba可化為=4sinC+2cosC=2^sin(C+/),從而可得結果.【詳解】由題意得，S=^absinC=^c2,Ac2=4a/?sinC?又c?=q2+52-2abcosC,Aa2+h2=c24-2abeosC,=2\/5sin(C+w)，,a.ba2+b2 cz+2abcosC 4absinC+2abcosC=2\/5sin(C+w)，??一+—= = = =4sinC+2cosCbaab ab ab則f+2的最大值為2遍，故選coa【題型四】輔助角和均值與面積最值【例1】已知aABC中，已知aABC中，sinA,sinB,sinC成等比數列，則迎-的取值范圍是sinn+cosB【答案】B【詳解】. a.,,—rA.ri.2n.,?一目+。2一人‘a2+c2-aclac-ac1山已知可知sin-B=sinA-sinC，即b-=ac?cosB= = > =—,（吒）小伺，lac laclac（吒）小伺，即。,sinB+cos^=>/2sin原式等于2sinBcos8=(sin'+cosB)-1,設.=$也8+8$8sinB+cosBsinB+cos5即原式等于上=r-；（l<r40）,函數是增函數，當f=l時，函數等于0,當r=0時,函數等于立，所以原式的取值范圍是（0,*],故選B.2 I2I【例2】滿足條件AB=2,AC=41BC的三角形48c的面積的最大值是A.逑 B.4 C.2 D.2&【答案】D【詳解】分析：設BC=x,根據三角形的面積公式和余弦定理，得出關于x的面積表達式，再根據x的取值范圍，即可求解面積的最大值.詳解：設3C=x,則4C=JIr，根據面積公式得S.bc=；AB-BCsinB=gx2xJl-cos28,根據余弦定理得cosB=AB'+BC-C，=4+/-（缶）2=4-2?,代入上式，得SMHC=；ABfiCsinB=lx =l128~(^~i2L.由三角形的三邊關系可得<V2x+x>由三角形的三邊關系可得<V2x+x>2x+2>\[lx解得2五一2vxv20+2,故點x=20時，Smbc取得最大值2vL故選D.【例3】在aABC中，角A8,C所對應的邊分別為a,仇c,設aABC的面積為S,則T-的最大a'+4hcTOC\o"1-5"\h\z值為( )A.立 B.3 C.— D.立16 12 16 18【答案】A【分析】由面枳公式和余弦定理，基本不等式為——進行變形,得到關于f的關系看?合三角a+4bc函數的有界性，列出關于r的不等式，求出最大值.【詳解】S=；Z>csinA,a2=b2+c2-2bccosA)則設c 一人csinA -bcsinATOC\o"1-5"\h\zS_ 2<2a2+4bcb2+c2-2bccosA+4bc2bc-2bccosA+4bc—bcsinA—sinA,1.,, ~2 2，所以一sinA=6r-2rcosA,即=- = =t26bc-2hccosA6-2cosA—sinA+2tcosA=6tW.I—+4t~t< ，2 V4 16故選：A.【題型五】消角[例1]已知△ABC的內角4,B,C的對邊分別為a,h,c,角8為鈍角.設A4BC的面積為S,若4bS=a(b2+c2-a2),貝ijsinA+sinC的最大值是.9【答案】|【解析】【分析】根據已知，利用三角形面積公式、余弦定理可得sin8=cosA=sing-A),8為鈍角知TOC\o"1-5"\h\zrr 1 QB=7+A,由三角形內角和的性質得sinA+sinC=—2(cos8+：)~+大，即可求最大值.2 4 8【詳解】由題設，S=^acsinB,f/llj2ahcs\nB=a(h2+c2-a1),:.d_Z7~ TT 冗sinB= =cosA=sin( A),又B為鈍角即A為銳角，AB+--A=;r,即2bc 2 2乃 乃 ...乃B=—4-A,乂。=乃一(4+3),/.cosB=cos(—FA)=-sinA且sin8=sin(—+A)=cosA,2 2 2而sinA+sinC=sinA+sin(A+8)=sinA(1+cos8)+cosAsinB=sin2B-cos2B-cosBi 1, 9=l-cosB-2cos~B=-2(cosB+—)+—,1 9 9?,?節(jié)cos8=一■7時，sinA+sinC的最大值為二.故答案為：—4 8 8

【例2】在aABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,K(?-^)sinB=a(sinA+2sinfl)-csinC,△ABC的外接圓半徑為2,若a+rb有最大值，則實數，的取值范圍是【答案】加【分析】27ra+rfe=4(sinA+fsin5)=4rsinB+4sina+rfe=4(sinA+fsin5)=4rsinB+4sin乃<t<2,即，的范圍是因為△ABC為銳角三角形，所以0<C<5，B=ti-A-C<%,所以所以tanC>tan]所以tanC>tan]tanAr所以熹《斕，所以“tanC5’3「TOC\o"1-5"\h\z設2=t,其中「€住,當，所以竺產=22+?=2r+1=2f+2,

c k53J becht t\ 7由對勾函數單調性知y=2t+；在自燈上單調遞減，在（冬|卜二單調遞增,當r=￡■時，y=2&：當，=1時，y= ；當仁'|時，y=jj；所以y』2&,望，即空士C的取值范圍是卜0，3|._ 13Jbe LI〉）故選：C.【題型六】萬能正切[例1]在銳角aABC中，角A,8,C的對邊分別為c,s為aABC的面積，且25=02一e_。）2,則畿照的取值范圍為（).A.9735,37B.則畿照的取值范圍為（).A.9735,37B.2819TiTMC.D.C.【答案】D【分析】根據余弦定理和的面積公式，結合題意求出sinA、cosA的值，再用。表示B,求出的取值范圍，即可求出4號二l-c+17）的取值范圍c 4從一126c+13c2解：△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2—2/?ccosA,旦△ABC的面積為5=/力csinA,由2s=ci~—(b—c)~,得Z>csinA=2Z?c-2^ccosA,化簡得sinA+2cosA=2；又Aw(O,,),sin2A+cos2A=1?J 4所以sinA+2jl-s加2A=2,化簡得50/4-4sinA=0,解得sinA=《或sinA=。(不合題意,所以cosA=Vl-sin2所以cosA=Vl-sin2A=—,tanA=‘訪—=—5 cosA3bsinBsin(A+QsinAcosC+cosAsinC 4 3所以一=-—^-csine因為sinC由B+C=ti—At7F且Be。]),sinCA(17T-Ae\——、K12，5tanC5所以tanC> -tanA 所以熹40，TOC\o"1-5"\h\z. 4從-126c+l7c24y-12(-)+174/一⑵+17 4 4所以y= =— = =1H 1+ -4從-1次+13c24(力_12自+134r-⑵+13 4--⑵+13 4(/-^)2+4cc 2又白白今所以r"時，y取得最大值為-=2,r時，尸卷，時，y=n2 3 lol 3/

?28173且而〈藥，4/>"-12,bc+17c"iv,Hu/…4/>"-12,bc+17c"iv,Hu/…”曰曰(*―5 r的取值淚圍是I；4b--l2bc+\3c2281卬〃—,2?故選：D.lol【例2】在銳角aABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,S為aABC的面積，且2S=4-（b-c）2,則2的取值范圍為則2的取值范圍為（C【答案】DA【分析】根據已知條件，利用余弦定理和面積公式，結合倍角公式求得tan],進而求得A的各個三角函數值，再利用正弦定理邊化角求得關于C的函數表達式，根據銳角三角形的CTT 7T條件得到C<Avg,利用三角函數的性質求得取值范圍即可.解：△ABC中0?=//+/一抄ccosA,S=-/?csinA,由2s=/一仍一。2,得43bcsinA=2bc—2bccosA, sinA=2(1-cosA)；43C[J2sin—cos—=4sin2—,Vsin—>0TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2sinA=—,894=二，5 5：△ABC為銳角三角形,.bsinBsin(A+：△ABC為銳角三角形,,,-=- = = ; = F—csinCsinC sinC 5tanC5IT TT TTA+IT TT TTA+C>—,???0<——C<A<-,2 2 2八1 「九QA4tanCI2 ) 345tanC344325553515故選：D.【例3】TOC\o"1-5"\h\z24 2在△48C中，角A8,C的對邊分別為a,b,c,已知b=4,A=~^-,cs〃C=§asi〃B,貝！1~48C的面積為（ ）80 B.4y/3 C.6 D.2百【答案】B2【分析】利用三角形邊角關系，將ctanC=：asinB轉化為關于邊c的方程，解得邊c,進而由三角形的面積公式S=gbcsinA,直接求出面積即可.【詳解】

cc26c+2如圖，過C作C￡)_L8A,交34的延長線于O,因為。=方=4,NC48=26c+2TOC\o"1-5"\h\z^CAD=n-^CAB=-,AD=CAcos-=2,CD=CA-sin-=2>/3,tanB=—3 3 3 BD,71td 62+tan tanB.D73 rz所以tanZACB=tan(--B)=——3 ='[tan= c±2_=如3l+taitanB1+6頡8\+瓜空c+83 c+2又因為ctanC=2asinB=2BCsinB=—CD=43 3 3 3所以°叵=速，即3/-4c-32=0,解得：c=4或c=-3(舍)c+8 3 3所以Sw=,8csinA='x4x4x^^=4VJ.故選：B.-ABC2 2 2【題型七】正余弦定理綜合應用：判斷三角形形狀【例1】.AABC中，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c.已知(^+b?—(acosB+bcosA)?=2abeosB,則AABC是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】B【分析】由題，利用正弦定理和內角和定理化簡可得a2+b2-c2=2abcosB,再利用余弦定理可得cosB=cosC,可得結果.【詳解】由題，已知(^+爐—(acosB+bcosA)2=2abcosB,由正弦定理可得：sin2/l+sin2B—(sinAcosB+cos/lsinB)2=2sinAsinBcosB即+.in2B-4,(4+B)= 久inBre/又因為Sin(4+B)=sinC所以sin"+sinB-sin2c=2sin/lsinBcosFHPa2+b2-c2=2abeosB由余弦定理：a2+b2—c2=2abcosCHPcosB=cosC所以B=C所以三角形一定是等腰三角形。故選B【例2】如果AABC的三個內角的正弦值分別等于/CEF的三個內角的余弦值，則下列正確的是A.AABC與21DEF都是銳角三角形AABC與4DEF都是鈍角三角形AABC是銳角三角形且ZDEF是鈍角三角形A4BC是鈍角三角形且ACEF是銳角三角形

【答案】D先根據三角形CEF三個內角的余弦值為正數，得出三角形。EF是銳角三角形.先假設三角形A8C分別為銳角三角形或直角三角形，推由此判斷出三角形ABC是鈍角三角形.【詳解】因為三角形ABC的一個內角的正弦值都大于零，所以：.角形DEF的三個內角的余弦值都大卜各，所以：角形OEF是銳角三角形.若三角形ABC是銳角三角形，不妨設sinA=cos。=sin—D\sinB=cosE=sinQ—E),sinC=cosF=sin(彳-F),即4=^—D,B=^-E,C=：一尸，三個式子相加，得4+B+C+C+E+F=,這與三角形內角和定理矛盾，故三角形ABC不是銳角三角形.若三角形ABC是直角三角形，該此角的正弦值為1,對應銳角三角形DEF內角的余弦值為1,這個顯然不成立，所以三角形ABC不是直角三角形.綜上所述，44BC是鈍角三角形目/DEF是銳角三角形，故選D.【例3】D.鈍角三角形在ZkABC中，=g則AABC一定是1—cosBD.鈍角三角形A.等腰三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形【答案】A【分析】由正弦定理將邊化為正弦，將式子變式，結合兩角和差公式、和差化積公式等即可求出4A與DB的關系，進而得出結論.【詳解】由正弦定理變式:1-cosA_由正弦定理變式:1-cosFsinfi=sin(B—4),化簡可得sinB-sinA=cos4sinB=sin(B—4),即三角形為等腰三角形.由和差化積公式：28s詈sin受=2sin^cos^,移項因式分解可得：sin—^―(cos—―cos=0?由于括號內式子不等于0,所以：sin芋=0,所以4=8,故選即三角形為等腰三角形.【題型八】外接圓【例1】在圓心為O,半徑為2的圓內接A4BC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,J且一2a2(b2+c2)+ +力4+b2c2=0,貝必0BC的面積為.【答案】上【分析】已知條件中含有(爐+。2)這一表達式，可以聯想到余弦定理/=從+。2一2^85人進行條件替換；利用同弧所對圓心角為圓周角的兩倍，先求出角A的三角函數值，再求NB0C的正弦值，進而即可得解.【詳解】va4—2a2(62+c2)+c4+d4+b2c2=09aa4—2a2s2+c2)+(b2+c2)2—b2c2=0?,,,(1)在AABC中，a2=h2+c2-2bccosA=>h24-c2=a2+2bccosA代入(1)式得：a4-2a2(q2+2bccosA>)+(a2+2bccos/l)2-b2c2=0,整理得：cos2/l=二=cos/1=+二sinA=TOC\o"1-5"\h\z4 2* 2???圓周角等于圓心角的兩倍，???48。。=24(1)當cosA='時，A=—,Z.BOC=—,2 3 3Saqdq=~OB*OC?sin—=—,2?2, =V3-4。以 2 3 2 2(1)當cosA=-T時，4，點。在AABC的外面，此時，乙BOC=與：.Saobc=3【例2】已知AABC的三個內角48,C所對的邊分別為a,b,c,AABC的外接圓的面積為3乃，且cos2A-cos26+cos2C=l+sinAsinC.則A4BC的最大邊長為( )A.2 B.3 C.石 D.26【答案】B【分析】化簡得到sin?A-sin2B+sin2C+sinAsinC=0,根據正弦定理得到a2+c2-h2+ac=O,根據余弦定理得到々=120。，再計算得到答案.【詳解】A4BC的外接圓的面積為；rR?=3小，./?=6cos2A—cos2B+cos2C=1+sinAsinC則l-sin?A-l+sin2B+l-sin2C=1+sinAsinCsin2A—sin2B+sin:C+sinAsinC=0>根據上弦定理：a2+c2—h2+ac=0根據余弦定理：a2+c2-h2=2accosB=-accos=NB=120°故6為最長邊：b=2RsinB=3故選B【例3】在aABC中，”,仇c分別為AB,C的對邊，。為的外心，R^AB+BC=-AC,3sinC(cosA-73)+cosCsinA=0,^AO=xAB+yAC,x,yeR,則x-y=A.-2 B.2 C.>/3 D.-6【答案】A【分析】由AB+BC=2^AC,利用正弦定理得到c+力迎人,再由3 3sinC(cosA->/3)+cosCsin4=0,運用三角函數的和角公式和正弦定理得到人=6c,進而行'到。=c,然后利用余弦定理，求得角8,A,C,再由布=xAB+yAC的兩邊點乘荏，/，運用平面向量數量積的定義和性質，得到x,y的方程組求解.【詳解】因為ab+bc=23ac, 所以c+a=2叵b,又因為3 3sinC(cosA—V3)+cosCsinA=0,所以sinCeosA+cosCsinA=J5sinC,所以sin(C+A)=J5sinC,所以sin8=JJsinC,即h=\/3cf所以a=c,所以cos<="± 1r=￡1+c；3c：=」,所以8=120,A=C=30,lac 2c2 2W<jAO=xAB+yAC,則而.而小荏，十丫而.而，所以氐2=一+*力5/,Q Q即2x+3y=l,則冠.恁=天通?撫+yk，所以5c?二5必2+,3c2,即x+2y=l,x=-l,y=l,彳7=-2.故選：A.【題型九】內切圓[例1]（ \——ABAC。為AABC所在平面上動點，點依兩足OP=OA+4產引+尸方〃e[0,+<?）,則射線AP過（網阿AABC的A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心【答案】B【分析】將配.+“孺+備卜形為Q="需+器），因為儒和備的模長都是1,根據平行四邊形法則可得，過三角形的內心.【詳解】T?AC ARAC AC因為商和信分別是荏和配的單位向量所以詞+器是以鬲和器為鄰邊的平行四邊形的角平分線時應的向量所以AP的方向與々AC的角平分線重合即射線AP過AABC的內心故選B【例2】已知△ABC的內角AB,C所對的邊分別為a,"c若bsinOgC=asinB,且4A8C內切圓面積為97，則4ABC面積的最小值為（ ）A.6 B.35/3 C.9+ D.27x/3【答案】D【分析】7T根據已知條件及心弦:定理可得A=],由內切圓的面積可得內切圓半徑r=3,最后根據Sx=""+；+‘)=gbcsinA及余弦定理,并結合基本不等式求尻?的范圍，進而求△ABC面積的最小值.【詳解】由題設，sinBsinB+C-sinAsinB,而sinBwO”.上匯=工-4,2 2 22.A A八A乃mif.A1??cos—=sinA—2sin—cos—,0v—<—,則sin—=一,2 2 2 22 22AA=y,由題設△ABC內切圓半徑r=3,又S.,=迎等包=；bcsinA,2y/3(a+b+c)=bc,ffffa2=b2+c2-2hccosA=b2+c2-hc>bc,SPa>\fbc>:?bcN6瓜瓜,可得bcN108,當且僅當〃=h=c=6G時等號成立.???SmfcsinAN27G.故選：D

【例3】已知△43C內接于半徑為2的。。，內角A,B,。的角平分線分別與。。相交于。，E,FABC則；1=三點，若iAD-cos—+ ?cos—+CF-cos—=A(sinA+則；1=1【答案】D【分析】1【答案】D【分析】2C.3D.44 /?分別求得An〈os5=2(sinC+sinB)、BEcosy=2(sinA+sinC),CFcosy=2(sinA+sinB),結合已知條件，求得義的值.【詳解】連接8D,在三角形中，由正弦定理得AOJrAsin8+—I2=44,故【詳解】連接8D,在三角形中，由正弦定理得AOJrAsin8+—I2=44,故AOcos—=24sin(B+-|cos-=4sin(-+--C~24sincos712cosB_C5一萬=4sin-—Feos——sin一cos?cos￡+sin^sin￡sinB+sinB+2|sin2-+cos2-I2 2sinC=2(sinB+sinC).r r同理可得8E-cos5=2(sinA+sinC)、CFcosy=2(sinA+sinB),故ARCADcos—4-BEcos—+CFcos—=4(sinA+sinB4-sinC),故4=4.2 2 2故選D.【題型十】重心與垂心【例1】己知AABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且acosB+島sin8=c+l,b=\,點G是AABC的重心，且AG=叵，則AABC的面積為( )3A.更 B.6 C.3 D.2G2【答案】B【詳解】分析：有正弦定理可得sinAcos3+JJsinAsin3=sinC+sin8,則JJsinA=cosA+1,由此可得cos4=Lsi〃A=走，由47=叵川得AO=@，III余弦定理可得c,則AABC的2 2 3 2面積可求.

詳解:由題acosB+\/JasinB=c+l=c+b,根據I上弦定理”，sinAcosB+^3sinAsinB=sin(A+B)+sinB=sinAcosB+sinBcosA+sin3AV3sinA=cosA+l,vsin2A+cos2A=1.-.cosA=l,sinA=^AG= AD= ,-：cosZADB=-cosNAOC,從+C2”2

2bc從+C2”2

2bc:.c=42 2 12cL-。=19,cosA=一25=-fecsinA=>/3.2【例2】ji 若。是△ABC垂心，^4=—MsinBcosCXB+sinCcosBAC=2/nsinBsinCAO，則加=6（）TOC\o"1-5"\h\zA.I B.且 C.昱 D.B2 2 3 6【答案】D【分析】利用旗心的性質，連接CO并延長交AB于。，得到CDLAB,把已知條件中的式子化簡,省到當前+里恁=2”（A方+詼），再兩邊同乘以通，利用數量枳、正弦定理進行sinesind ' 7整理化簡，得到cosC+#cosB=>/5m?sinB,再把cosC化為3（葛-81整理后得到m值.【詳解】在AABC中，sinBsinC*。,由sinBcosCAB+sinCeosBAC=2msin8sinCAO，cosC—?cosB—- -?得空士AB+絲a&AC=2wA。，連接CO并延長交A8于3,因為。是AABC的垂心，所sinCsinB以CDJ.AB，AO=AD+Dd'所以cosC-z-z；cosB AB+所以cosC-z-z；cosB AB+ sinC^￡abab+sinCcosC) +sinBcosBsin8/=2”（亞+麗）同乘以施得,ACAB=2m(AD+Dd\ABcosB —. .---becosA=2m-AD-AB=2/?//?cosA?csinCsinB因為4=J，所以*c?+堊0秘立=6mbe由正弦定理可得6sinCsin3 2RcosCsinC+——cosBsinC=>/3/nsinBsinC2又sinCHO,所以有cosC+且cosB=0msinB,而C=%-A-B=^-8,2 6所以cosC=cos--cos5+-sinB，所以得到LsinB=6所以cosC=cos而sinBwO,所以得到加=且，故選：D.6【例3】一ABAC已知點尸是AABC所在平面內一點，且滿足AP=小同8sB+|AC|cosC)U?則直線必經過AABC的A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心河北省衡水市桃城區(qū)第十四中學2019-2020學年高一下學期第二次綜合測試數學試題【答案】D【解析】兩邊同乘以向量BC，利用向量的數量積運算可求得APBC=0從而得到結論.( 、4R Ar【詳解】???AP=Apz=j——(4wR)IJab|cosB|AC|cosC^兩邊同乘以向量阮，得.?.存J.%fe(l,四]即點P在BC邊的高線上，所以P的軌跡過AABC的垂心，故選D.【題型十一】圖形：中線與角平分線【例1】在“BC中，AB=2,RE分別是邊ab,AC的中點，CD與BE交于點。，若OC=x/k>B,則aABC面積的最大值為( )A.& B,373 C.6舊 D.9>/3【答案】C【分析】設OE=f(f>0),由三角形中的中位線的性質和比例的性質可得出OB=2i,OD=?,OC=28,再設NABO=a,根據余弦定理得cosa=——,再得出4f如2=匕士宜二1,形的面積公式表示“BC的面積,根據二次函數的最值可得4/選項.【詳解】因為QE分別是邊AB,4c的中點，所以DE〃BC,DE=2bC,所以黑=嘗=2 BOCO2又OC=Vk)B，設。七二，”>0),則O3=2r,OO=Gr,OC=24，又因為A4=2,所以￡)B=1,設NABO=a,所以在A%。中，cxBD'OBJDO?)+(2。2-(4)[r+1所以2BDBO 2x1x2/ 4/7-r4+14r2-lsina= ，4f所以Ll2xS*2《2*3日選號仍由，當產=7時，△樹面積取得最大值66，故選：C.故選：C.C【例2】已知1BC中，角A8,C的對邊分別為a,4c,M是BC的中點，AM=c—A,a=4,則aABC面積的最大值為( )A.g B.25/3 C.38 D.4石【答案】B【分析】設44c=。，根據aABC的余弦定理可得cos。關于Ac的關系式,再根據aABM,aACM中的余弦定理可求得"c的關系式,進而化簡得到sin。關于6,c的關系式，再表達出aABC面積的公式，化簡求解最大值即可.【詳解】A2-Lr2—42設NBAC二仇在“BC中有余弦定理cos6=匕二——.2bc^.lABM^ACM中，因為ZAA也+ZAA/C=i,/ hh22+(c-b)2-c222+(c-b)2-b2故cosZAMB+cosZAMC=0.即 、；“'-<—+ 、；“'、—=0.2-2(c-h) 2-2(c-b)化簡可得廿+=皿-8.故cos。='+.-42=2bc-12故2hcbet=bc>0.則S/c=孚J?+16.48=與■"_(_4j+16，當1=4時取得△ABC面積的最大值為故選：B【例3】在RtAABC中，直角C的平分線的長為1,則斜邊長的最小值是A.2 B.V2 C.2及 D.4【答案】A【分析】設角4B所對的邊分別為。涉，利用三角形面積相等可得：ab=￥(a+b)，利用基本不等式可得信2々，再利用基本不等式可得Va2+爐2 22,從而可得結果.【詳解】設角AB所對的邊分別為a,%角C的平分線為8,則CD=1,] \/2 1 42 1S^acd=-xbxsin45°——b? S、bcd =-xaxsin45°=—u? ^aabc =;Qb，2 4 2 4 ，乂S&abc-S&acd+S^bcd9貝吟ab=)(a+b)，則q+b=\[2ab>則"ab>V2?當且僅當°=b= 時取等號.則斜邊長為a/M+爐>y]2ab>2，則當且僅當a=b=拒時，斜邊長取得最小值2.故選A.【例4】在AABC中，8= 為AC邊上的一點，且BM=2,若為ZABC的角平分線，則三一六3 AMCM的取值范圍為A.（-y，V3） B.（一今時c?（甘，百） D-（4問【答案】A先根據正弦定理用角A,C表示言，之，再根據三角形內角關系化基本三角函數形狀，最后AMCM根據正弦函數性質得結果.【詳解】因為8=一BM為乙4BC的角平分線，所以4BM="BM=WTOC\o"1-5"\h\z3 6在/ABM中，黑=.,因為BM=2,所以焉=尊=2小”1,sin4smz_A5M AMsing在Z1CBM中，*=因為BM=2,所以言=J^=2sinC,所以《usinC,sinCs\n￡.CBM LMsin- CM貝！ -=2sinA—sinC=2s\nA—sinf——A）amcm \3 ）=|sinA—ycos/1=V3sin（A—*因為0VAV 所以—gV4—2V3 o oL所以一3<sin（4—?）<1,則一當<bsin（A—?）<V3,即焉一意的取值范圍為（一今8）?選A-【題型十二】綜合[例1]“4+ +,4+212已知AABC的內角A8,C的對邊分別是a,b,c,且巴士巴=幺幺=2d,若c為最大邊，則a+b四的取值范圍是（ ）【答案】C【分析】-4- *I-L由：： =202,化簡得到cosC的值，根據余弦定理和基本不等式，即可求解.ar+b【詳解】由父今竺年,可得（/+”+：=—=2c?,可得/+從一cJ生生學”cr+/r通分得它+萬-“―/）+”方=0,a2+從整理得（。2+從一02）2=/凡所以（竺妙二￡1）2=1,2ab4因為C為三角形的最大角，所以cosC=-；,又由余弦定理/=a2+。2-2ahcosC=a2+〃+〃Z?=（。+力--ah十六%+死當且僅當j時,等號成立,

g二> _Hna+b,2y13所以c>——(a+b),即 < ,2 c3的取值范圍是(1,羊］.故選：c.【例2】△ABC內接于半徑為2的圓，三個內角A,B,C的平分線延長后分別交此圓于A，與，G.ABCm.iAA.cos—+BB.cos—+CC.cos—八j，+“，則受2 ? 2 ? 2的值為.sinA+sinB+sinC【答案】4【分析】B-C2連％由正弦定理得利用三角形內角和性質得AA=4co(A B-C2進而利用積化和差公式、誘導公式得4Acos］=2(sinC+sin8),同理求Bdcos］、CCC.COSy,即可求值.【詳解】連叫yiijAA,=2/?sinffi+y)=4sinA+3+CBC連叫yiijAA,=2/?sinffi+y)=4sinA+3+CBCAAAcos—=4cos、2B-C2cos—=2|cos

2I +

2 2A+B-C=4cos2) ?A+C—8B-C2 +cos

2 2=2(sinC+sinB),r r同理可得：BB】cos—=2(sinA+sinC),CCtcos—=2(sinA+sinB).ABC/.AA,cos--^-BB]cosy4-CC!cosy=4(sinA+sinfi+sinC),即ABC/A/4.cos—f cos—+CC.cos—2 ? 2 ? 2,4sinA+sin8+sinC

故答案為：4【例3】.已知aABC的三條邊。，b,c滿足8=2,oc=4,分別以邊。，c為一邊向外作正方形ABEF,BCG”.如圖C，C?分別為兩個正方形的中心(其中G，C2,B三點不共線)，則當|GG|的A.0 B.6 C.2 D.75【答案】A［分析］ 用余弦定理把|GG1=；(/+/)+4，-1(a2+c2-4)］2,令”;(/+n—1,把|GG『變形為2，+2+2"^，看成關于，的函數，用導數的觀點解決最值問題即可.解：如圖，連接BG、BG，由題意可知BCl,c,BG=與a，ZCtBA=ZC2BC=.|ClC2|2=|BCl|2+|BC2|2-2|BC1||BC2|cosZC,BC2=-(a2+c2)-4cos(y+ZABC)+c2)+4sinNABC

1. . 1設f=；1. . 1設f=；S+c2）-l,則由基本不等式，可知f、ac-l=l（當且僅當"=。時取等號）.=2/+2+4=2，+2+2〃-產,設/（r）=2r+2+2j4-/“21）,則/'。）=2+2--2t2〃一尸令/'（。=0且￡21,解得f=0,時，r（f）＞0,/（，）單調遞增；r＞夜時，/'（。＜0，70單調遞減....|GG|的值最大時，r=0，此時sinNABC=等.:.S4fir=-acsinZABC=-x4x—=72.^i^：A.△A* 2 2 2至景新?？冀藤揎?h一heav?yl LMtri”七3cosBcosCsinAsinBnil1.在銳角二角形人8。中,若6$1118+838=2,且滿足關系式一：—+ =—————?則bc3sinCAABC的面積的最大值為（ ）A.73 B.2石 C. D.4百江西省石城中學2020-2021學年高一下學期第二次月考數學（理）試題【答案】C【分析】由6sinB+cos8=2結合同角三角函數基本關系，可求出8,根據正余弦定理由cosB+cosC=sinAsing可得“再利用余弦定理及均值不等式求“c最大值，代入面枳公式bc3sinC即可.由6sin8+cos8=2得cos8=2-石$山8,所以1=<：0528+511128=4+451相8-4百5E8，-.c匚、,c丘〃/口.J3▲…七一一人b小nncCosbcosCsinAsinB即（2sin8-6=0,解得sinB=—，由銳角二角形知B=—,Q---I =—.—?2 3bc3sinCCl~+C~~Q~+/?"—C'd.267" a3 「?'?- +- =—=—得b=26,2abc2abc243c2abe243c.-.COSB=—C^b'>2ac~]2=\--,當且僅當a=c時等號成立，解得歐412,2ac2acacSmn='"sin84，xl2x^^=3>/5,當且僅當。=c時等號成立，故選：Czviot2 2 22.已知銳角4ABe的內角A8,C所對的邊分別為a,6,c,且人=2,17sinfi（?cosC+ccosA）=86,△ABC的面積為2,則aMC的周長為( )A.6 B.8 C.10 D.122020屆福建省莆田市高一下學期第二次檢測數學試題【答案】B【分析】利用正弦定理將條件中的邊化成角的關系，從而求得sinB的值，再利用三角形的面積公式和余弦定理可求得b+c的值，即可得答案；【詳解】由已知可得17sinB(acosC+ccosA)=8Z>,由正弦定理可得17sinBsin(A+C)=8sinB.o oBe(0,萬),r.sinB*0,sin(A+C)=—； sinB=sin[^-(A+C)]=sin(A+C)=—.；角B為銳角，.?.cosB>0,/.cosB=>/l-sin2B=一[白)=jy.?JaABC的面積為2,.,.S=ia<?sinB=iacx-^=2,；.ac=珠*由余弦定理可得〃=a2+c2-2accosB=(a+c)2-lac-lac■—,17即4=(a+c)? a+c=6,a+%+c=8.故選：B.3.若面積為1的“IBC滿足AB=2AC,則邊BC的最小值為( )A.1 B.V2 C.石 D.2【答案】C【分析】由已知利用三角形的面積公式可得AC2=」：，由余弦定理可求smABC2sinA+4cosA=5,利用輔助角公式和正弦函數的性質即可求解.解：?.?△ABC的面積S=1,W.AB=2AC,SAylBC=^-AB.AC^inA=4C2sin4=1,.-.AC2=^--,2 sinA:根據余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=4AC2+AC2-2-2AC-AC.cosA=5AC2-4AC2.cosA=(5-4cosA)AC2=48sA,即sinAflc2=5-4cosAsinA可得BC2sinA+4cosA=5,ABC2sinA+4cosA=VBC4+16sin(A+a)=5,則VfiC*+16=——-——>5,sin(A+a)解得：BC2拒,即邊8C的最小值為G.故選：C.4.已知aABC中，sinA,sinB,sinC成等比數列，則^的取值范圍是sinn+cosB【答案】B【詳解】. . ..2「 ?，.八an… n+c2-b2a2+c2-ac2ac-ac1由已知可知sin~8=sinAsinC,即tr=ac，cosB= = > =—,lac laclac2即0<B<?,sinB+cosB=\Z^sin(8+7)w(l,&],

原式等于2sinBcosB=(sinB+cos8)2-l,設，=sin3+cos3sin8+cos8 sinB+cosB即原式等于匚F夜)，函數是增函數，”=i時，函數等于。，當,=&時，函數等于乎,所以原式的取值范圍是，,孝)，故選B.5.設銳角aMC的三個內角A.3.C的對邊分別為a.b.c,且c=l,A=2C,則aABC周長的取值范圍為( )A.(0,2+72]B.(03+73]C.(2+&,3+6) D.[2+①3+?云南省昆明市第八中學2020-2021學年高一特色班下學期第一次月考數學試題【答案】C由銳角三角形求得30。<(7<45。，由正弦定理可得三=芻=三=一]，求出國,b關于smAsinBsmCsinCcosC的函數，根據余弦函數的性質，可求得范圍.【詳解】:△ABC為銳角三角形，且A+B+C=%,71 7V0<A<-0<2C<-0<C<-2240<8<工n? 710<^-C-2C<-=>7i n—<C<—,226 3c 八 幾cc710<C<—o<c<—0<C<-222兀 _兀 -<C<-,-—<cosC<——，乂?A=2C?6 4 2 2TOC\o"1-5"\h\z/7c hcsinA=sin2C=2sinC-cosC,X***c=1, = ,/.6f=2cosC,由 = ,sinAsinC sinBsinCUM.c-sinBsin3CsinC-cos2C+cosC-sin2C, .即6= = = =4cos“C-LsinCsinC sinC??a+7?+c=2cosC+4cos~C—1+1=4cos~C+2cosC?☆f=cosC,則re(日,母)，又?.?函數y=4r+2r在(孝，且)上單調遞增，，函數值域為(2+忘,3+6)，故選：C6.在銳角aABC中，角A、B、C所對的邊分別為。也c,若/一02=歷，則—-一二+3sin4的取值范圍為( )tanCtanAA.(2百,+8) B.(20,4) C.(1^,4)D.(2^,^^)河北省石家莊市第一中學2022下學期第二次學情反饋數學試題【答案】C【分析】收據余法定理以及正弦定理化簡條件得A、C關系，再根據二倍角正切公式以及函數單調性求范圍.【詳解】*.*a2-c2=be?*.所以人2—26ccosA=beb-2ccosA=csinB-2sinCcosA=sinC,sin(A+C)—2sinCeosA=sinC,.\sin(A—C)=sinC/.A—C=C,A=2C因此tanC +3sinA= tanAtanC +3sinA= tanA tanC +3sinA= tan2C tanCl-tan2C今.▲1+tan2c「. F3sinA= +3smA2tanC2tanC—； +3sinA=- + 3sinA2sinCeosC sinA設sinA=f><?*△ABC是銳角三角形,二?Ag(0,^),C=-^e(0,),B= Aw(H)**-sinA=Zg(—,1),；+3'在，e(19,1)上單調遞增，.1 1 41J3V3公?? +3sinA=-+3fg( ,4)?tanCtanA t6故選：c.已知43c的三個內角A,8,C所對的邊分別為a,4c,滿足cos24—cos2B+cos?。=1+sinAsinC,且sin4+sinC=1,則AABC的形狀為A.等邊三角形 B.等腰直角三角形C.頂角為150。的等腰三角形 D.頂角為120。的等腰三角形河南省開封市五縣2021-2022學年高一下學期期中聯考數學試題【答案】D【分析】先利用同角三角函數基本關系得siMA+sin2c-sin2B=一sinAsinC,結合正余弦定理得=一；進而得8,再利用sin/l+sin(g-4)=1化簡得sin(4+；)=1，得A值進而得C,魄狀可4【詳解】由題1-sin24-(1-sin2B)+1—sin2C=14-sin4sinCTOC\o"1-5"\h\z即siMA+sin2C-sin2S=一sinAsinC,由正弦定理及余弦定理得貯婦±=--2ac 2即COSB=1FG(0,7T)???B=17T故sin4+sin(；-4)=1整理得sin(4+g)=1,故4= B故AABC為頂角為120。的等腰三角形。故選。.已知“1BC的三條邊4,4c和與之對應的三個角4,8,C滿足等式a8sS+b8sC+c8sA=0cosA+ccosB+acosC則此三角形的形狀是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形上海市進才中學2020-2021學年高一下學期期中數學試題［答案］A【2■析】利用余弦定理將角化為邊整理，即可得三角形的邊之間的關系，從而可得此三角形的形狀.【詳解】由余弦定理，可得小工岳3￡「"￡工匕?以士占上“?3Z02ac 2ab 2bc 2bc 2ac 2ab整理,zea2-b整理,zea2-b1b2-c2得 + +F=0,所以/一從h2_c2

+

cac2-b1+力2+ b所以W")&￡)+(從-c2)(X)=0,所以.誓+—)嶺)誓=0,所以(a-6)(b-c)(噤-誓)=0,所以(4-初6-0'-"鼠廣->=0,所以(a叫他-c)(a-c)"+：+'=0,所以a=b或國或a=c,故三角形為等腰三角形.abc I故選：A.如圖，已知A4BC,其內部有一點。滿足N04B=Z.OAC=Z.OBC=/.OCA=0,命題p:8最大值有可能超過36度；命題q:若三邊長對應分別為a,b,c,則a?=be：則正確的選項為

A.p真q假 B.p假q假 C.p真q真 D.p假q真四川省成都市第七中學2019年高一期中模擬數學試題【答案】D【分析】根據正弦定理計算三邊關系得到a2=bc,得到命題q為真命題，根據角度關系得到內角和超過5B,故命題P為假命題，得到答案.【詳解】方法1:在AACO中，令。4=山，根據正弦定理得7；33=」三，即一^二/①sin"2e)S婢 sin2esin0m在ACB。中，令NOCB=a根據正弦定理得一7^—=—,即一而二=F②sin("a)sin6/sin(&+a)sin"