人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件含°角的直角三角形的性質(zhì)

13.3.2等邊三角形第2課時(shí)

含30°角的直角三角形的性質(zhì)葫蘆島第六初級(jí)中學(xué)13.3.2等邊三角形第2課時(shí)含30°角的直角三角▼性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.ABCD

如圖，△ADC是△ABC的軸對(duì)稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個(gè)等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.性質(zhì)▼性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么【證法1】在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延長(zhǎng)BC到D，使BD=AB，連結(jié)AD，則△ABD

是等邊三角形．又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

證明方法：倍長(zhǎng)法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

【證法1】在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°EABC【證法2】在BA上截取BE=BC，連結(jié)EC.

∵∠B=60°，BE=BC，∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°，∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

證明方法：截半法EABC【證法2】在BA上截取BE=BC，連結(jié)EC.★含30°角的直角三角形的性質(zhì)

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.▼應(yīng)用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).★含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果判斷下列說(shuō)法是否正確：（1）直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于另一直角邊的一半.

（2）三角形中30°角所對(duì)的邊等于最長(zhǎng)邊的一半.（3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半。

（4）直角三角形的斜邊是30°角所對(duì)直角邊的2倍．√人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).判斷下列說(shuō)法是否正確：√人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長(zhǎng)度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm.在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長(zhǎng)度是12cm.故選D.例1人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B

如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故選C.EC例2人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥O方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形．人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例3人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE方法總結(jié)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個(gè)重要的依據(jù)，如果問(wèn)題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時(shí)，要聯(lián)想此性質(zhì)．人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).方法總結(jié)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一想一想：圖中BC、DE分別是哪個(gè)直角三角形的直角邊？它們所對(duì)的銳角分別是多少度？

如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D

是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE

垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多長(zhǎng)？ABCDE例4人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).想一想：圖中BC、DE分別是哪個(gè)直角三角形的直角邊？它們ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD，∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).即立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m.人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，

已知:等腰三角形的底角為15°,腰長(zhǎng)為20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:過(guò)C作CD⊥BA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.例5人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).已知:等腰三角形的底角為15°,腰方法總結(jié)：在求三角形邊長(zhǎng)的一些問(wèn)題中，可以構(gòu)造含30°角的直角三角形來(lái)解決．本題的關(guān)鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質(zhì)，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題.方法總結(jié)：在求三角形邊長(zhǎng)的一些問(wèn)題中，可以構(gòu)造含30°角的直1.如圖，一棵樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹(shù)在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在舊城改造中，計(jì)劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買這種草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元BB1.如圖，一棵樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,則BC

=

.55.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，則AB=______.ACB83.如圖，在△ABC

中，∠ACB=90°，CD

是高，∠A=30°，AB=4，則BD=

.A

B

C

D

1第3題圖第5題圖4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長(zhǎng)．解：連結(jié)AE.∵DE是AB的垂直平分線，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E點(diǎn)，求證：BE=3EA.證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°，∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE，∴AB=4AE，∴BE=3AE.7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是內(nèi)容在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半使用要點(diǎn)找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊注意前提條件：直角三角形中課堂總結(jié)含30°角的直角三角形的性質(zhì)內(nèi)容在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件含°角的直角三角形的性質(zhì)13.3.2等邊三角形第2課時(shí)

含30°角的直角三角形的性質(zhì)葫蘆島第六初級(jí)中學(xué)13.3.2等邊三角形第2課時(shí)含30°角的直角三角▼性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.ABCD

如圖，△ADC是△ABC的軸對(duì)稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個(gè)等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.性質(zhì)▼性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么【證法1】在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延長(zhǎng)BC到D，使BD=AB，連結(jié)AD，則△ABD

是等邊三角形．又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

證明方法：倍長(zhǎng)法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

【證法1】在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°EABC【證法2】在BA上截取BE=BC，連結(jié)EC.

∵∠B=60°，BE=BC，∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°，∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

證明方法：截半法EABC【證法2】在BA上截取BE=BC，連結(jié)EC.★含30°角的直角三角形的性質(zhì)

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.▼應(yīng)用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).★含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果判斷下列說(shuō)法是否正確：（1）直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于另一直角邊的一半.

（2）三角形中30°角所對(duì)的邊等于最長(zhǎng)邊的一半.（3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半。

（4）直角三角形的斜邊是30°角所對(duì)直角邊的2倍．√人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).判斷下列說(shuō)法是否正確：√人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長(zhǎng)度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm.在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長(zhǎng)度是12cm.故選D.例1人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B

如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故選C.EC例2人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥O方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形．人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例3人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE方法總結(jié)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個(gè)重要的依據(jù)，如果問(wèn)題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時(shí)，要聯(lián)想此性質(zhì)．人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).方法總結(jié)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一想一想：圖中BC、DE分別是哪個(gè)直角三角形的直角邊？它們所對(duì)的銳角分別是多少度？

如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D

是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE

垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多長(zhǎng)？ABCDE例4人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).想一想：圖中BC、DE分別是哪個(gè)直角三角形的直角邊？它們ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD，∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).即立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m.人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，

已知:等腰三角形的底角為15°,腰長(zhǎng)為20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:過(guò)C作CD⊥BA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.例5人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課件13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)(共22張PPT).已知:等腰三角形的底角為15°,腰方法總結(jié)：在求三角形邊長(zhǎng)的一些問(wèn)題中，可以構(gòu)造含30°角的直角三角形來(lái)解決．本題的關(guān)鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質(zhì)，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題.方法總結(jié)：在求三角形邊長(zhǎng)的一些問(wèn)題中，可以構(gòu)造含30°角的直1.如圖，一棵樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹(shù)在折斷前的高度為()A．6米