2022-2023學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)專題《反比例函數(shù)與一次函數(shù)》含答案解析

專題反比例函數(shù)優(yōu)選提升題二：反比例函數(shù)與一次函數(shù)一、填空題1．（2022·山東淄博·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．點(diǎn)C是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，∠ABC＝135°，AC交y軸于點(diǎn)D．，則k的值為______．【答案】8【分析】過(guò)A作AH⊥BC于H，得到AH=BH=，根據(jù)已知條件得到B，H，A，O四點(diǎn)共圓，連接OH，推出H在第二象限角平分線上，作HM⊥x軸于M，HN⊥y軸于N，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=BN=1，求得直線HB的解析式，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得OI，于是得到C的坐標(biāo)，代入y=（x＞0）即可求得k的值．【詳解】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（0，3），∴OA=1，OB=3，過(guò)A作AH⊥BC于H，∵∠ABC=135°，∴∠HBA=∠HAB=45°，，∵BH⊥AH，BO⊥AO，∴B，H，A，O四點(diǎn)共圓，連接OH，∴∠BOH=∠BAH=45°，∴H在第二象限角平分線上，作HM⊥x軸于M，HN⊥y軸于N，則四邊形HMON是正方形，∴HM=HN，在Rt△AHM與Rt△BHN中，，∴Rt△HAM≌Rt△HBN（HL），∴AM=BN，設(shè)AM=BN=a，則OM=ON=a+1，∵OB=ON+BM=3，即a+1+a=3∴a=1，∴AM=BN=1，OM=ON=2∴H（-2，2），∴直線BH的解析式為過(guò)C作CI⊥x軸于I，∴ODCI，∴，∴OI=2AO=2，把x=2代入得y=4，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），∵點(diǎn)C是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，∴k=2×4=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，角平分線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，全等三角形的判斷和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川成都·九年級(jí)期末）如圖，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、、，動(dòng)點(diǎn)在邊上（不與、重合），過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，直線分別與軸和軸相交于點(diǎn)和，給出下列命題：①若，則的面積為；②若，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上；③滿足題設(shè)的的取值范圍是；④若，則．其中正確的命題的序號(hào)是________．（寫出所有正確命題的序號(hào)）【答案】①②【分析】①若k＝4，則計(jì)算S△OEF＝，故命題①正確；②若，可證明直線EF是線段CN的垂直平分線，故命題②正確；③因?yàn)辄c(diǎn)F不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（4，3），所以k≠12，故命題③錯(cuò)誤；④求出直線EF的解析式，得到點(diǎn)D、G的坐標(biāo)，然后求出線段DE、EG的長(zhǎng)度；利用算式，求出k＝1，故命題④錯(cuò)誤．【詳解】解：命題①正確．理由如下：∵k＝4，∴E（，3），F(xiàn)（4，1），∴CE＝4?＝，CF＝3?1＝2．∴S△OEF＝S矩形AOBC?S△AOE?S△BOF?S△CEF＝S矩形AOBC?OA?AE?OB?BF?CE?CF＝4×3?×3×?×4×1?××2＝12?2?2?＝，故命題①正確；命題②正確．理由如下：∵，∴E（，3），F(xiàn)（4，），∴CE＝4?＝，CF＝3?＝．如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，則EM＝3，OM＝；在線段BM上取一點(diǎn)N，使得EN＝CE＝，連接NF．在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN2＝EN2?EM2=，∴MN＝，∴BN＝OB?OM?MN＝4??＝．在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF2＝BN2＋BF2=，∴NF＝．∴NF＝CF，又EN＝CE，∴直線EF為線段CN的垂直平分線，即點(diǎn)N與點(diǎn)C關(guān)于直線EF對(duì)稱，故命題②正確；命題③錯(cuò)誤．理由如下：由題意，得點(diǎn)F與點(diǎn)C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，故命題③錯(cuò)誤；命題④正確．理由如下：設(shè)k＝12m，則E（4m，3），F(xiàn)（4，3m）．設(shè)直線EF的解析式為y＝ax＋b，則，解得，∴y＝x＋3m＋3．令x＝0，得y＝3m＋3，令y＝0，得x＝4m＋4，∴D（0，3m＋3），G（4m＋4，0）．如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，則OM＝AE＝4m，EM＝3．在Rt△ADE中，AD＝OD?OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；在Rt△MEG中，MG＝OG?OM＝（4m＋4）?4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．∴DE?EG＝5m×5＝25m＝，解得m＝，∴k＝12m＝1，故命題④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的命題是：①②，故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題綜合考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)k的幾何意義、待定系數(shù)法求解析式、矩形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，本題計(jì)算量較大，正確的計(jì)算能力是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2022·四川成都·九年級(jí)期末）如圖，直線與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，交反比例的圖象于C，D兩點(diǎn)，且，點(diǎn)E是直線AB上一點(diǎn)，連接OE，以O(shè)E為邊在OE右側(cè)作直角三角形OEF，，，若邊OF交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)G，，則k值為______，點(diǎn)E的坐標(biāo)是______．【答案】

8

【分析】根據(jù)題意，首先根據(jù)直線表達(dá)式以及坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征求出A(0，5),B(10，0)；設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)N，則，由相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合CD=3AC求出出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4a，4b-15），根據(jù)反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)之積相等，即可求出k值；連接BF，結(jié)合已知可得O、B、F、E四點(diǎn)共圓，所以點(diǎn)G是圓心，OF是直徑，∠OBF=90°；接下來(lái)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而即可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用勾股定理進(jìn)行求解即可?！驹斀狻拷猓海褐本€與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)N，則，CM=a，AM=5-b，又，AD=AC+CD，，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4a，4b-15），點(diǎn)C、D在反比例的圖像上，，解得，b=4，將b=4代入,得，a=2解得.連接BF.∵∠OFE=∠ABO，∴O、B、F、E四點(diǎn)共圓．∵∠OEF=90°，OG=GF，∴點(diǎn)G是圓心，OF是直徑，∴∠OBF=90°．∵B(10，0)，∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為5，當(dāng)x=5時(shí)，，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，∵OG=GF，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為由勾股定理可得OE2+EF2=OF2所以解得，或(舍去)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．故答案為：8，．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，四點(diǎn)共圓，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線，證明O、B、F、E四點(diǎn)共圓．4．（2022·湖南岳陽(yáng)·九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點(diǎn)稱為它的“互換點(diǎn)”，點(diǎn)M和A為函數(shù)的圖象第一象限上的一組互換點(diǎn)（M點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)）．直線AM分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，連接AO交雙曲線另一支于點(diǎn)B，連接BM分別交x軸、y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)．則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；②；③若，則；④若，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則【答案】①③④【分析】設(shè)點(diǎn)A（m，n），則M（n，m），求出直線AM的解析式，得到OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，作AP⊥x軸于P，MQ⊥y軸于Q，證明△OAP≌△OMQ，得到∠AOP=∠MOQ，由此判斷①正確；過(guò)O作OH⊥MA于H，得到DH=CH，結(jié)合，得到MH=AH，但是DM與MH不一定相等，故②錯(cuò)誤；作，連接FR，求出直線BM的解析式為，得到OF=OE=m-n，證明△BOE≌△AOR，判定四邊形AMFR是矩形，得到AR=MF，AM=FR，設(shè)MF=2x，則MB=7x，證明△BOE≌△MOF，求出EF=3x，由DM=AC=2x，故③正確；過(guò)H作HG⊥x軸于G，AN⊥HG于N，設(shè)AH=a，證明△AOM是等邊三角形，得到∠AOH=30°，∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，，，得到，求出a，得到A（，1），故④正確．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A（m，n），則M（n，m），∴直線AM的解析式為，∴D（0，m+n），C（m+n，0），∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=45°，作AP⊥x軸于P，MQ⊥y軸于Q，∴∠OQM=∠OPA=90°，QM=AP=n，OQ=OP=m，∴△OAP≌△OMQ，∴∠AOP=∠MOQ，∴，故①正確；過(guò)O作OH⊥MA于H，∵OC=OD，∴DH=CH，∵，∴DM=AC，∴MH=AH，但是DM與MH不一定相等，故不一定成立，故②錯(cuò)誤；如圖，作，連接FR，則∠BEO=∠ARO，∵連接AO交雙曲線另一支于點(diǎn)B，點(diǎn)A（m，n），∴B（-m，-n），OA=OB，∵點(diǎn)M（n，m），∴直線BM的解析式為，∴F（0，m-n），E（n-m，0），∴OF=OE=m-n，∵∠BOE=∠AOR，∴△BOE≌△AOR，∴OR=OE=OF，∴∠OFR=∠ORF=45°，∵∠ARC=∠MEC=∠ACE=45°，∴∠EFR=∠ARF=∠RAC=90°，∴四邊形AMFR是矩形，∴AR=MF，AM=FR，設(shè)MF=2x，則MB=7x，∴AC=AR=2x，BF=5x，∵OE=OF，OA=OM=OB，∠BOE=∠AOR=∠MOE，∴△BOE≌△MOF，∴BE=MF=2x，∴EF=3x，∵∠FER=∠FRE=45°，∴FR=EF=3x，∴AM=3x，∵DM=AC=2x，∴，故③正確；過(guò)H作HG⊥x軸于G，AN⊥HG于N，設(shè)AH=a，∵，OA=OM，∴△AOM是等邊三角形，∴∠AOM=∠OAM=60°，∵OH⊥MA，∴∠AOH=30°，∴∠AOC=15°，∴∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，∵AH=a，∴，∴，∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴QM=AP=GN=1，∴，得，∴，∴A（，1），∴，故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合知識(shí)，反比例函數(shù)的軸對(duì)稱性，求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定及性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)并熟練應(yīng)用解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．二、解答題5．（2021·四川成都·九年級(jí)期末）如圖1，已知直線的圖象與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，D．(1)直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，求k的值；(3)若點(diǎn)N在x軸上，連接，且滿足的N點(diǎn)有且只有一個(gè)，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(4，0)(2)(3)（2，0）【分析】（1）將y＝0代入y＝kx﹣4k中，即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）作CG⊥y軸于G，DH⊥y軸于H，得△ACG∽△ADH，則，設(shè)C（m，），則D（3m，），由點(diǎn)C，D在直線y＝kx﹣4k上，得，解方程組即可求解；（3）由直線y＝kx﹣4k與雙曲線y＝的交點(diǎn)為C，D點(diǎn)，得kx﹣4k＝，設(shè)C、D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m、n，則m+n＝4，mn＝﹣，設(shè)N（x，0），則，化簡(jiǎn)得x2﹣4x﹣＝0，當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＝k2+2k+1＝0時(shí)，可知k＝﹣1時(shí)，存在唯一的點(diǎn)N，滿足∠CND＝90°，從而解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：對(duì)于直線，令，則，解得，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)．（2）解：如圖，作CG⊥y軸于G，DH⊥y軸于H，∴CG∥DH，∴△ACG∽△ADH，∴，∵AD＝3AC，∴DH＝3CG，設(shè)C（m，），則D（3m，），∵點(diǎn)C，D在直線y＝kx﹣4k上，∴，解得m＝1，k＝﹣，∴k＝﹣；（3）解：∵直線y＝kx﹣4k與雙曲線y＝的交點(diǎn)為C，D點(diǎn)，∴kx﹣4k＝，∴kx2﹣4kx﹣2＝0，設(shè)C、D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m、n，則m+n＝4，mn＝﹣，作CP⊥x軸于P，DQ⊥x軸于Q，當(dāng)∠CND＝90°時(shí)，△CPN∽△NQD，∴，設(shè)N（x，0），則，∴x2﹣4x﹣＝0，當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＝k2+2k+1＝0時(shí)，∴k＝﹣1時(shí)，存在唯一的點(diǎn)N，滿足∠CND＝90°，此時(shí)x2﹣4x+4＝0，∴，∴N（2，0）．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的根的判別式求解．6．（2022·山東棗莊·九年級(jí)期末）綜合探究：如圖，點(diǎn)和是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)M是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)A，C，Q，M為頂點(diǎn)，為一邊的四邊形能構(gòu)成菱形嗎?若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由．【答案】(1)一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）(3)存在點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或（0，4）使得以點(diǎn)A，C，Q，M為頂點(diǎn)，為一邊的四邊形能構(gòu)成菱形【分析】（1）先求出反比例函數(shù)解析式，從而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把A、B坐標(biāo)代入到一次函數(shù)解析式求解即可；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G，連接BG交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，求出直線BG的解析式即可得到答案；（3）分當(dāng)AC為菱形的邊，四邊形ACQM為菱形時(shí)，則AC=CQ，當(dāng)AC為菱形的邊，四邊形ACMQ為菱形時(shí)，則AQ=AC，兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：把點(diǎn)A（1，6）代入到反比例函數(shù)解析式得，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2），把點(diǎn)A（1，6），B（3，2）代入一次函數(shù)解析式得：，∴，∴一次函數(shù)解析式為；（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G，連接BG交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，理由如下：∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-1，6），PA=PG，∴△APB的周長(zhǎng)=PA+PB+AB，要使△APB的周長(zhǎng)最小，則PA+PB=PG+PB最小，∴當(dāng)B、G、P三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB即△APB的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線BG的解析式為，∴，∴，∴直線BG的解析式為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）；（3）解：∵點(diǎn)C是直線AB與y軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，n），∴,，當(dāng)AC為菱形的邊，四邊形ACQM為菱形時(shí)，則AC=CQ，∴，∴，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；當(dāng)AC為菱形的邊，四邊形ACMQ為菱形時(shí)，則AQ=AC，∴，解得或（舍去），∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，4），綜上所述，存在點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或（0，4）使得以點(diǎn)A，C，Q，M為頂點(diǎn)，為一邊的四邊形能構(gòu)成菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，菱形的性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是關(guān)鍵．7．（2022·廣西北?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)．(1)求雙曲線和直線的解析式；(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，的面積是的面積的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，是否存在以點(diǎn)E，C，D為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)雙曲線的解析式為，直線的解析式為；(2)(3)或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，先根據(jù)和點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)題意先得出OC、OD和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)的面積是的面積的3倍得出等式，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由（2）得，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，再由等角的補(bǔ)角相等得到，故以點(diǎn)E，C，D為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形與相似有兩種情況，分類討論求解即可．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為雙曲線過(guò)A點(diǎn)解得雙曲線的解析式為將，代入直線得

解得直線的解析式為：（2）如圖，連接OB、PO、PC當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為的面積是的面積的3倍即解得即（3）由（2）得，，，與相似有兩種情況討論如下：①即②即綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·湖南懷化·九年級(jí)期末）如圖，直線y=ax+1與x軸、y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線y＝(x＞0)相交于點(diǎn)P，PC⊥x軸于點(diǎn)C，且PC=2，tan∠BAO=．(1)求一次函數(shù)系數(shù)a的值；(2)求雙曲線的解析式；(3)若點(diǎn)Q為雙曲線上點(diǎn)P右側(cè)一點(diǎn)，且QH⊥x軸于H，當(dāng)以點(diǎn)Q，C，H為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)a=；(2)y=；(3)Q（4，1）或Q（1+，2-2）【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)列一元一次方程并求解，即可得到答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)一次函數(shù)和雙曲線函數(shù)圖像的性質(zhì)分析，即可得到答案；（3）設(shè)Q（a，b），根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，得b=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，通過(guò)列分式方程并求解，即可得到答案．（1）∵直線y=ax+1∴當(dāng)x=0時(shí)，y=1，∴B（0，1），∴BO=1，∵tan∠BAO=，∴AO=2，∴A（-2，0），將A（-2，0）代入一次函數(shù)解析式得-2a+1=0，∴a=；（2）∵直線y=x+1與與雙曲線y＝(x＞0)相交于點(diǎn)P，PC⊥x軸于點(diǎn)C，且PC=2，將y=2代入y=x+1，得x=2，∴P（2，2）將P（2，2）代入y=，得k=4，∴雙曲線的解析式為y=；（3）如圖：設(shè)Q（a，b），∵Q（a，b）在y=上，∴b=，當(dāng)△CHQ∽△AOB時(shí)，可得，即，∴a-2=2b，∴a-2=，∴a=4或a=-2（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，a=4是原方程a-2=的解∴Q（4，1）；當(dāng)△QHC∽△AOB時(shí)，可得，即，∴2a-4=，解得：a=1+或a=1-（舍），經(jīng)檢驗(yàn)，a=1+是原方程2a-4=的解∴Q（1+，2-2），綜上所述，Q（4，1）或Q（1+，2-2）．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、雙曲線、三角函數(shù)、分式方程、相似三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線、三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．9．（2022·黑龍江牡丹江·九年級(jí)期末）如圖，已知一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．(1)求出兩個(gè)函數(shù)解析式；(2)在軸正半軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，．(2)存在，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】（1）把點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入兩個(gè)解析式，可求出，，，，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）設(shè)進(jìn)而表示出，，，由于為等腰三角形，故分三種情況討論，分別建立方程，即可得出結(jié)論．（1）∵反比例函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為，∵反比例函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴，∵一次函數(shù)的圖像過(guò)，兩點(diǎn)，∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；故答案為，（2）設(shè)點(diǎn)，∵，，∴，，，∵為等腰三角形，∴①當(dāng)時(shí)，，∴，∴（舍）或，∴，②當(dāng)時(shí)，，∴，∴（舍），③當(dāng)時(shí)，，∴，∴（舍）或，∴，即滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故答案為：在軸正半軸存在點(diǎn)，使為等腰三角形，P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．10．（2022·廣東佛山·九年級(jí)期末）一次函數(shù)y＝kx+b的圖像與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖像交于點(diǎn)P(n，2)，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(﹣4，0)、C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，S△ACO＝2．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)在反比例函數(shù)圖像上求一點(diǎn)D，使得以B、C、P、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；(3)若△PAB與△PAQ相似但不全等，判斷平面內(nèi)符合題意的點(diǎn)Q有幾個(gè)？并求出其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)(3)符合條件的點(diǎn)Q有8個(gè)，【分析】（1）由．得，將，代入一次函數(shù)解析式即可，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式；（2）由知，；（3）由是公共邊可知，利用翻折變換可知有8個(gè)點(diǎn)．（1）解：．，，，，，將，代入一次函數(shù)解析式得：，解得：，一次函數(shù)解析式為：，當(dāng)時(shí)，，，將代入反比例函數(shù)解析式得：，反比例函數(shù)的解析式為：；（2）解：如圖，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，四邊形為菱形，垂直平分，軸，，；當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)在軸上，不可能在反比例函數(shù)的圖像上，故此種情形不存在，綜上所述，；（3）解：如圖，當(dāng)，且時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于，則△，，，，，當(dāng)時(shí)，同理可求坐標(biāo)，若將此時(shí)的沿翻折，此時(shí)共存在4個(gè)點(diǎn)符合題意，當(dāng)時(shí)，同理存在4個(gè)點(diǎn)，故點(diǎn)一共有8個(gè)．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)．11．（2022·山西晉中·九年級(jí)期末）綜合與探究如圖，矩形的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，邊，分別落在軸和軸上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)（8，4），點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊交于點(diǎn)．（1）如圖1，連接，，若．①填空：點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；②請(qǐng)判斷線段與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，連接，，若線段平分．①求的值；②若動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段與的差最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）①（2，4）；（8，1）；②∥；理由見詳解；（2）①；②（0，）【分析】（1）①由點(diǎn)B的坐標(biāo)，以及矩形的的性質(zhì)，先求出BD的長(zhǎng)度，即可求出答案；②由三角函數(shù)，求出，即可得到結(jié)論；（2）①由題意，先求出，然后利用勾股定理求出CD，則得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求出答案；②由三角形的三邊關(guān)系可知，當(dāng)點(diǎn)M、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，得到線段與的差最大，然后求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得到答案．【詳解】解：（1）①由題意，在矩形中，∵點(diǎn)的坐標(biāo)（8，4），∴，，∵，∴，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），∴，∴，∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為8，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為：，∴點(diǎn)E為（8，1）；故答案為：（2，4）；（8，1）；②由①可知，，，∴；，∴，∴DE∥CA；（2）①∵平分，∴∠AOB=∠DOB，∵OA∥BC，∴∠AOB=∠CBO，∴∠DOB=∠CBO，∴BD=OD，設(shè)，則，在直角△ODC中，由勾股定理，則，∴，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4）；∴；②由①可知，，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，）；在中，有，∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)M重合時(shí)，即點(diǎn)M、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，得到線段與的差最大，即此時(shí)；∵點(diǎn)D為（3，4），點(diǎn)E為（8，），設(shè)直線DE為，∴，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）．∴當(dāng)線段與的差最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，三角函數(shù)，一次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線，從而進(jìn)行解題．12．（2022·黑龍江牡丹江·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，直線BC的解析式為y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，線段OA的長(zhǎng)是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與線段BC交于點(diǎn)D，且tan∠CAD＝，雙曲線y＝（m≠0）的一個(gè)分支經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，求m的值．（3）在第一象限內(nèi)，直線CB下方是否存在點(diǎn)P，使以C、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）A（16，0），B（-9，0）；（2）-24；（3）存在，（16，12）或（25，12）或（32，）或（）【分析】【詳解】解：（1）x2﹣15x﹣16＝0，因式分解得，解得，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，OA=16，∴點(diǎn)A（16，0），∵直線BC的解析式為y＝kx＋12，與y軸交點(diǎn)C為（0，12），∴tan∠OAC=，∠OCA+∠OAC=90°，∵AC⊥BC，∴∠BCO+∠OCA=90°，∴∠BCO=∠OAC，∴tan∠BCO=tan∠OAC=，∴OB=，∴點(diǎn)B（-9，0）；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，在Rt△AOC中，AC=，在Rt△BOC中BC=，∵tan∠CAD＝，∴，∵sin∠BCO=，∴DE=CDsin∠BCO=，∴CE=，OE=OC-EC=12-4=8，∴點(diǎn)D（-3，8），∵雙曲線y＝（m≠0）的一個(gè)分支經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，∴;（3）過(guò)點(diǎn)A作AP1與過(guò)點(diǎn)C與x軸平行的直線交于P1，則∠CP1A=∠P1CO=∠COA=90°，∴四邊形COAP1為矩形，∴點(diǎn)P1（16，12），當(dāng)點(diǎn)P1（16,12）時(shí)，CP1∥OA，∠P1CA=∠CAB，∠ACB=∠CP1A，∴△P1CA∽△CAB，作P2A⊥AC交CP1延長(zhǎng)線于P2，∵∠CAP2=∠BCA=90°，∠P2CA=∠CAB，∴△CAP2∽△ACB，∴cos∠CAO=，∴cos∠P2CA=cos∠CAO=，∴，∴點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)絕對(duì)值=，縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=OC=12，∴點(diǎn)P2（），作∠P3CA=∠OCA，在射線CP3截取CP3=CO=12，連結(jié)AP3，在△CP3A和△COA中，，∴△CP3A≌△COA（SAS），∴AP3=OA=16，∴，∴∴△P3CA∽△CAB，設(shè)P3（x，y），整理得，解得：，∴點(diǎn)P3（），延長(zhǎng)CP3與延長(zhǎng)線交P4，過(guò)P4作PH⊥x軸于H，∵∠P4CA=∠CAB，∠P4AC=∠BAC=90°，∴△CAP4∽△ACB，∵∠BAC+∠HAP4=∠CAP3+∠P3AP4=90°，∠CAP3=∠BAC，∴∠HAP4=∠P3AP4，∠P4P3A=180°-∠CP3A=180°-90°=90°=∠P4HA，在△P4P3A和△P4HA中，，△P4P3A≌△P4HA（ASA），∴AP3=AH=16，P3P4=P4H，∵cos∠P3CA=，∴，∴，OH=OA+AH=OA+AP3=16+16=32，∴點(diǎn)，綜合直線CB下方，使以C、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．點(diǎn)P的坐標(biāo)（16，12）或（）或或()．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，直線與y軸的交點(diǎn)，反比例函數(shù)解析式，銳角三角形函數(shù)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，矩形判定與性質(zhì)，三角形相似，圖形與坐標(biāo)，解方程組，本題難度大，綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)多，利用動(dòng)點(diǎn)作出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．13．（2022·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象相交于B、C兩點(diǎn)，BD⊥軸交軸于點(diǎn)D，OA＝OD，．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并直接寫出不等式的解集；(3)在所在平面內(nèi)，存在點(diǎn)E使以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為：；反比例函數(shù)的解析式為：(2)或(3)（6，4）、（-6，-8）、（-2，4）【分析】（1）首先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出的長(zhǎng)，由，得出的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而解決問(wèn)題；（2）由（1）可聯(lián)立方程組，解方程組得出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圖象可得答案；（3）分當(dāng)、、為對(duì)角線三種情形，分別通過(guò)對(duì)角互相平分進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：點(diǎn)是一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，令，則，即，又，，，．軸，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，把點(diǎn)分別代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)，可得：，，，，一次函數(shù)的解析式為：，反比例函數(shù)的解析式為：；（2）解：由（1）可聯(lián)立方程組，解這個(gè)方程組得：或，點(diǎn)在第一象限，故點(diǎn)坐標(biāo)為，由圖象可得當(dāng)或時(shí)，；（3）解：如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，取對(duì)角線的交點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)角線互相平分，即為的中點(diǎn)，，，設(shè)，，解得：，；如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，取對(duì)角線的交點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)角線互相平分，即為的中點(diǎn)，，，設(shè)，，解得：，；如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，取對(duì)角線的交點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)角線互相平分，即為的中點(diǎn)，，，設(shè)，，解得：，；符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：、、．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想來(lái)解答．14．（2022·四川成都·九年級(jí)期末）反比例函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．(1)如圖1，連結(jié)OA、OB，求點(diǎn)A的坐標(biāo)和△AOB的面積；(2)如圖2，將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段OP，點(diǎn)P在反比例函數(shù)（）的圖象上，求k的值；(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線與反比例函數(shù)（m＜0，x＜0）圖象的交點(diǎn)為D，從點(diǎn)D作x軸垂線，垂足為E，連結(jié)AE，作點(diǎn)O關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)，若點(diǎn)到AD的距離等于4時(shí)，求m的值．【答案】(1)A（2，6），16；(2)；(3)或．【分析】（1）聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)求出A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)E，根據(jù)S△AOB=S△AOE-S△BOE計(jì)算即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作OP的垂線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與x軸交點(diǎn)為G，過(guò)點(diǎn)F作x軸的平行線交直線GP于點(diǎn)H，根據(jù)AAS證△POG≌△FPH，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），再用a和b表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，得出OA的解析式，聯(lián)立方程組求出a、b的值即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出k值即可；（3）過(guò)O'作AD的垂線，垂足為M，連接OO'交AE于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為Q，分O'點(diǎn)在AD上方和AD下方兩種情況分別求m的值即可．（1）解：，解得A（2，6），B（6，2），設(shè)直線AB與x軸交點(diǎn)為E，則E點(diǎn)坐標(biāo)（8，0），由，∴；（2）解：過(guò)點(diǎn)P作OP的垂線，與OA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，與x軸交點(diǎn)為G，過(guò)點(diǎn)F作x軸的平行線，與直線GP的交點(diǎn)為H，∵∠AOP＝45°，∠OPF＝90°，∴△POF為等腰直角三角形，OP＝PF，∵∠GPO＋∠HPF＝∠HPF＋∠HFP＝90°，∴∠GPO＝∠