向量組的線性相關(guān)及線性無(wú)關(guān)

.z向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)1.線性組合設(shè)，，稱為的一個(gè)線性組合?！緜渥?】按分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則，。這樣的表示是有好處的。2.線性表示設(shè)，，如果存在，使得則稱可由線性表示。，寫成矩陣形式，即。因此，可由線性表示即線性方程組有解，而該方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)。3.向量組等價(jià)設(shè)，如果中每一個(gè)向量都可以由線性表示，則稱向量組可以由向量組線性表示。如果向量組和向量組可以相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組是等價(jià)的。向量組等價(jià)的性質(zhì)：(1)自反性任何一個(gè)向量組都與自身等價(jià)。(2)對(duì)稱性假設(shè)向量組I與II等價(jià)，則向量組II也與I等價(jià)。(3)傳遞性假設(shè)向量組I與II等價(jià)，向量組II與III等價(jià)，則向量組I與III等價(jià)。證明：自反性與對(duì)稱性直接從定義得出。至于傳遞性，簡(jiǎn)單計(jì)算即可得到。設(shè)向量組I為，向量組II為，向量組III為。向量組II可由III線性表示，假設(shè)，。向量組I可由向量組II線性表示，假設(shè)，。因此，，因此，向量組I可由向量組III線性表示。向量組II可由I線性表示，III可由II線性表示，按照上述方法再做一次，同樣可得出，向量組III可由I線性表示。因此，向量組I與III等價(jià)。結(jié)論成立！4.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)設(shè)，如果存在不全為零的數(shù)，使得則稱線性相關(guān)，否則，稱線性無(wú)關(guān)。按照線性表示的矩陣記法，線性相關(guān)即齊次線性方程組有非零解，當(dāng)且僅當(dāng)。線性無(wú)關(guān)，即只有零解，當(dāng)且僅當(dāng)。特別的，假設(shè)，則線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)可逆，當(dāng)且僅當(dāng)。例1.單獨(dú)一個(gè)向量線性相關(guān)即，線性無(wú)關(guān)即。因?yàn)?，假設(shè)線性相關(guān)，則存在數(shù)，使得，于是。而假設(shè)，由于，因此，線性相關(guān)。例2.兩個(gè)向量線性相關(guān)即它們平行，即其對(duì)應(yīng)分量成比例。因?yàn)?，假設(shè)線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)，使得。不全為零，不妨假設(shè)，則，故平行，即對(duì)應(yīng)分量成比例。如果平行，不妨假設(shè)存在，使得，則，于是線性相關(guān)。例3.線性無(wú)關(guān)，且任意都可以由其線性表示，且表示方法唯一。事實(shí)上，5.線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的性質(zhì)(1)假設(shè)一向量組中含有零向量，則其必然線性相關(guān)。證明：設(shè)，其中有一個(gè)為零，不妨假設(shè)，則因此，線性相關(guān)。(2)假設(shè)一向量組線性相關(guān)，則增添任意多個(gè)向量所形成的新向量組仍然線性相關(guān)；假設(shè)一向量組線性無(wú)關(guān)，則其任意局部向量組仍然線性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)，線性相關(guān)。存在不全為零的數(shù)，使得這樣，不全為零，因此，線性相關(guān)。后一個(gè)結(jié)論是前一個(gè)結(jié)論的逆否命題，因此也正確。(3)假設(shè)一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，在其中每個(gè)向量一樣位置之間增添元素，所得到的新向量組仍然線性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)為一組線性無(wú)關(guān)的向量。不妨假設(shè)新的元素都增加在向量最后一個(gè)分量之后，成為，是同維的列向量。令則。由向量組線性相關(guān)，可以得到。結(jié)論得證！(4)向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。證明：設(shè)為一組向量。必要性假設(shè)線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)，使得不全為零，設(shè)，則充分性假設(shè)中*個(gè)向量可以表示成其余向量的線性組合，假設(shè)可以表示成的線性組合，則存在一組數(shù)，使得也就是但不全為零，因此，線性無(wú)關(guān)?！緜渥?】請(qǐng)準(zhǔn)確理解其意思，是其中*一個(gè)向量可以由其余向量線性表示，而不是全部向量都可以。(5)假設(shè)線性無(wú)關(guān)，，使得線性相關(guān)，則可由線性表示，且表示方法唯一。證明：線性相關(guān)，因此，存在不全為零的數(shù)，使得，否則，則。由線性無(wú)關(guān)，我們就得到，這樣，均為零，與其不全為零矛盾！這樣，因此，可由線性表示。假設(shè)，則由線性無(wú)關(guān)，有，即因此，表示法唯一?！緜渥?】剛剛的證明過(guò)程告訴我們，如果向量可由線性無(wú)關(guān)向量組線性表示，則表示法唯一。事實(shí)上，向量可由線性無(wú)關(guān)向量組線性表示，即線性方程組有解。而線性無(wú)關(guān)，即。因此，假設(shè)有解，當(dāng)然解唯一，即表示法唯一。(6)假設(shè)線性無(wú)關(guān)向量組可由向量組線性表示，則。證明：假設(shè)結(jié)論不成立，于是?？捎删€性表示。假設(shè)，，……….，任取，則由于為一個(gè)階矩陣，而，因此，方程組必有非零解，設(shè)為，于是。因此，存在一組不全為零的數(shù)，使得。因此，向量組線性相關(guān)，這與向量組線性無(wú)關(guān)矛盾！因此，。(7)假設(shè)兩線性無(wú)關(guān)向量組和可以相互線性表示，則。證明：由性質(zhì)(6)，，，因此，?！緜渥?】等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組所含向量個(gè)數(shù)一樣。(8)設(shè)，為階可逆矩陣，則線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)線性無(wú)關(guān)?？捎删€性表示，當(dāng)且僅當(dāng)可由線性表示。假設(shè)可以線性表示，表示的系數(shù)不變。證明：由于可逆，因此如此，結(jié)論得證！6.極大線性無(wú)關(guān)組定義1設(shè)，如果存在局部向量組，使得(1)線性無(wú)關(guān)；(2)中每一個(gè)向量都可以由線性表示；則稱為的極大線性無(wú)關(guān)組?！緜渥?】設(shè)，為其極大線性無(wú)關(guān)組。按照定義，可由線性表示。但另一方面，也顯然可以由線性表示。因此，與等價(jià)。也就是說(shuō)，任何一個(gè)向量組都與其極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)。向量組的極大線性無(wú)關(guān)組可能不止一個(gè)，但都與原向量組等價(jià)，按照向量組等價(jià)的傳遞性，它們彼此之間是等價(jià)的，即可以相互線性表示。它們又都是線性無(wú)關(guān)的，因此，由之前的性質(zhì)(7)，向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組含有一樣的向量個(gè)數(shù)。這是一個(gè)固定的參數(shù)，由向量組本身所決定，與其極大線性無(wú)關(guān)組的選取無(wú)關(guān)，我們稱其為向量組的秩，即向量組的任何一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)。【備注6】按照定義，向量組線性無(wú)關(guān)，充分必要條件即其秩為。定義2設(shè)，如果其中有個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，但沒(méi)有更多的線性無(wú)關(guān)向量，則稱為的極大線性無(wú)關(guān)組，而為的秩?！緜渥?】定義2生動(dòng)地表達(dá)了極大線性無(wú)關(guān)組的意義。一方面，有個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，表達(dá)了“無(wú)關(guān)性〞，另一方面，沒(méi)有更多的線性無(wú)關(guān)向量，又表達(dá)了“極大性〞?！緜渥?】?jī)蓚€(gè)定義之間是等價(jià)的。一方面，如果線性無(wú)關(guān)，且中每一個(gè)向量都可以由線性表示，則，就沒(méi)有更多的線性無(wú)關(guān)向量，否則，假設(shè)有，設(shè)為，。當(dāng)然可以由線性表示，且還線性無(wú)關(guān)，按照性質(zhì)(6)，，這與假設(shè)矛盾！另一方面，假設(shè)為中個(gè)線性無(wú)關(guān)向量，但沒(méi)有更多的線性無(wú)關(guān)向量，任取中一個(gè)向量，記為，則線性相關(guān)。按照性質(zhì)(5)，可有線性表示(且表示方法唯一)?！緜渥?】設(shè)向量組的秩為，則其極大線性無(wú)關(guān)向量組含有個(gè)向量。反過(guò)來(lái)，其中任何個(gè)線性無(wú)關(guān)向量所成的向量組也是的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。這從定義即可得到。6.向量組的秩的矩陣的秩的關(guān)系稱矩陣的列向量組的秩為的列秩，行向量組轉(zhuǎn)置后所得到的列向量組的秩稱為矩陣的行秩。定理1任意矩陣的秩等于其行秩等于其列秩。證明：設(shè)，。將其按列分塊為。存在階可逆矩陣，使得為行最簡(jiǎn)形，不妨設(shè)為線性無(wú)關(guān)，且中其余列向量都可以由其線性表示，因此，為的極大線性無(wú)關(guān)組，其個(gè)數(shù)為，因此，線性無(wú)關(guān)，且中其余列向量均可由其線性表示(且表示的系數(shù)不變)。因此，的列秩等于的秩。將按行分塊，，則，因此，按照前面的結(jié)論，的行秩為的秩，而的秩等于的秩。至此，結(jié)論證明完畢！【備注10】證明的過(guò)程其實(shí)也給出了求極大線性無(wú)關(guān)組的方法。7.擴(kuò)大定理定理2設(shè)，秩為，為其中的個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，，則能在其中參加中的個(gè)向量，使新向量組為的極大線性無(wú)關(guān)組。證明：如果，則已經(jīng)是的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，無(wú)須再添加向量。如果，則不是的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，于是，必有元素不能由其線性表示，設(shè)為，由性質(zhì)(5)，向量組線性無(wú)關(guān)。如果，則已經(jīng)是的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，無(wú)須再添加向量。如果，則不是的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，于是，必有元素不能由其線性表示，設(shè)為，由性質(zhì)(5)，向量組線性無(wú)關(guān)。同樣的過(guò)程一直進(jìn)展下去，直到得到個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量為止?！緜渥?1】證明的過(guò)程其實(shí)也給出了求極大線性無(wú)關(guān)組的方法。只是，這方法并不好實(shí)現(xiàn)。8.求極大線性無(wú)關(guān)組并將其余向量由極大線性無(wú)關(guān)組線性表示求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，可以按照下面的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。(1)將合在一起寫成一個(gè)矩陣；(2)將通過(guò)初等行變換化成行階梯形或者行最簡(jiǎn)形，不妨設(shè)化得的行階形為，，(3)在上半局部找出個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，設(shè)為列，則為列向量組的極大線性線性無(wú)關(guān)組，也是列向量組的極大線性線性無(wú)關(guān)組，也就是的極大線性無(wú)關(guān)組。為了在上半局部尋找個(gè)線性無(wú)關(guān)向量，必須且僅須在上半局部尋找階的非奇異子矩陣。階非奇異子矩陣的列向量組線性無(wú)關(guān)。顯而易見，上面矩陣第1到第列即向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。其余情形同理。(4)將其余向量組表示為極大線性無(wú)關(guān)組的線性組合。這時(shí)候得解方程組。我們將矩陣化為行最簡(jiǎn)形，則一步就很容易完成了。不妨設(shè)行最簡(jiǎn)形為在中第1到第列為列向量組的極大線