人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課課件

人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)13.4

課題學(xué)習(xí):最短路徑問(wèn)題人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)13.4課題學(xué)習(xí):最短路徑問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)：能利用“兩點(diǎn)之間線段最短”及“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”并結(jié)合對(duì)稱、平移等變換解決最短路徑問(wèn)題。學(xué)習(xí)目標(biāo)：所用知識(shí)：1、兩點(diǎn)之間線段最短。

A.

.B2、連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短

.P

Q

.所用知識(shí)：.問(wèn)題1

L是一條河流，點(diǎn)A是一個(gè)村莊，現(xiàn)要在河邊修一個(gè)水站向A村供水。問(wèn)：水站建在何處才能使管道最短？LA.P點(diǎn)P即為所求知識(shí)應(yīng)用：.問(wèn)題1L是一條河流，點(diǎn)A是一個(gè)村莊，現(xiàn)要在LA.P點(diǎn)P問(wèn)題2

L是一條河流，點(diǎn)A、B是分別位于河兩岸的兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河邊修一個(gè)水站向A、B兩村供水。問(wèn)：水站建在何處才能使管道最短？LA..BP點(diǎn)P即為所求知識(shí)應(yīng)用：人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT問(wèn)題2L是一條河流，點(diǎn)A、B是分別位于河兩岸LA..A

..B問(wèn)題3：如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）知識(shí)應(yīng)用：MN人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPTA..B問(wèn)題3：如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河BMNEA.作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，

2.連接AE交河對(duì)岸于點(diǎn)M,

則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。.F..人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPTBMNEA.作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)證明：若橋的位置建在CD處，連接AC，CD，DB，CE,由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,在MN處建橋：A、B兩地的距離為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN在CD處建橋：A、B兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN。在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以橋的位置建在MN處，A、B兩地的路程最短。EBMNCDAF.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPTEBMNCDAF.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PP問(wèn)題4相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAl知識(shí)應(yīng)用（將軍呢飲馬問(wèn)題）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT問(wèn)題4相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久BAl知識(shí)應(yīng)

將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．B··Al數(shù)學(xué)建模：現(xiàn)在的問(wèn)題就是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，

AC與CB的和最?。瓹人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？B·lA·B′C基本方法：.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT作法：如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直B

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C說(shuō)明理由:.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′∴AC+BC

=AC+B′C=AB′AC′+BC′

=AC′+B′C′B·lA·B′CC′在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′即AC+BC＜AC′+BC′因此AC+BC最短.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與B·lA·B′C

若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說(shuō)明AC+BC最?。?/p>

B·lA·B′CC′

證明AC+BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？思考：.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)B·lA·B′CC′證明A拓展提高1：

如圖，直線l是草場(chǎng)的邊緣，直線m是河流的岸邊，點(diǎn)A是牧場(chǎng)，牧羊人要先到草場(chǎng)放牧，再到河邊飲水，最后回到牧場(chǎng)。問(wèn):他怎么行走才能是所走的路徑最短？lm.AA1

.A2.BCB1.C1.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT拓展提高1：如圖，直線l是草場(chǎng)的邊緣，直線m是河如圖，點(diǎn)A、B是直角坐標(biāo)系中第一象限的兩點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)先到達(dá)X軸在到達(dá)Y軸，最后到達(dá)B點(diǎn)。問(wèn)：怎么行走才能使所走的路徑最短？OXY.

A.

B拓展提高2：A1.B1.MN

M1.N1.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT如圖，點(diǎn)A、B是直角坐標(biāo)系中第一象限的兩點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)如圖，L是一條直線，點(diǎn)A、B是直線同側(cè)的兩點(diǎn)，在直線L上求一點(diǎn)C，使AC與BC的差最大?.A.BL提高一步1：Cc1點(diǎn)C即為所求人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT如圖，L是一條直線，點(diǎn)A、B是直線同側(cè)的兩點(diǎn)，變形：如圖，L是一條直線，點(diǎn)A、B是直線異側(cè)的兩點(diǎn)，在直線L上求一點(diǎn)C，使AC與BC的差最大?.

A.BL.

B1CC1點(diǎn)C即為所求提高一步2：人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT變形：如圖，L是一條直線，點(diǎn)A、B是直線異側(cè)的兩（1）本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？（2）軸對(duì)稱、平移等數(shù)學(xué)變換在所研究問(wèn)題中起什么作用？歸納小結(jié)：人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT（1）本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？歸納小結(jié)：人教版數(shù)學(xué)謝謝再見(jiàn)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT謝謝再見(jiàn)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)13.4

課題學(xué)習(xí):最短路徑問(wèn)題人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)13.4課題學(xué)習(xí):最短路徑問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)：能利用“兩點(diǎn)之間線段最短”及“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”并結(jié)合對(duì)稱、平移等變換解決最短路徑問(wèn)題。學(xué)習(xí)目標(biāo)：所用知識(shí)：1、兩點(diǎn)之間線段最短。

A.

.B2、連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短

.P

Q

.所用知識(shí)：.問(wèn)題1

L是一條河流，點(diǎn)A是一個(gè)村莊，現(xiàn)要在河邊修一個(gè)水站向A村供水。問(wèn)：水站建在何處才能使管道最短？LA.P點(diǎn)P即為所求知識(shí)應(yīng)用：.問(wèn)題1L是一條河流，點(diǎn)A是一個(gè)村莊，現(xiàn)要在LA.P點(diǎn)P問(wèn)題2

L是一條河流，點(diǎn)A、B是分別位于河兩岸的兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河邊修一個(gè)水站向A、B兩村供水。問(wèn)：水站建在何處才能使管道最短？LA..BP點(diǎn)P即為所求知識(shí)應(yīng)用：人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT問(wèn)題2L是一條河流，點(diǎn)A、B是分別位于河兩岸LA..A

..B問(wèn)題3：如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）知識(shí)應(yīng)用：MN人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPTA..B問(wèn)題3：如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河BMNEA.作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，

2.連接AE交河對(duì)岸于點(diǎn)M,

則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。.F..人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPTBMNEA.作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)證明：若橋的位置建在CD處，連接AC，CD，DB，CE,由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,在MN處建橋：A、B兩地的距離為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN在CD處建橋：A、B兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN。在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以橋的位置建在MN處，A、B兩地的路程最短。EBMNCDAF.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPTEBMNCDAF.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PP問(wèn)題4相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAl知識(shí)應(yīng)用（將軍呢飲馬問(wèn)題）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT問(wèn)題4相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久BAl知識(shí)應(yīng)

將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．B··Al數(shù)學(xué)建模：現(xiàn)在的問(wèn)題就是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，

AC與CB的和最?。瓹人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？B·lA·B′C基本方法：.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT作法：如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直B

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C說(shuō)明理由:.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′∴AC+BC

=AC+B′C=AB′AC′+BC′

=AC′+B′C′B·lA·B′CC′在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′即AC+BC＜AC′+BC′因此AC+BC最短.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與B·lA·B′C

若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說(shuō)明AC+BC最?。?/p>

B·lA·B′CC′

證明AC+BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？思考：.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)B·lA·B′CC′證明A拓展提高1：

如圖，直線l是草場(chǎng)的邊緣，直線m是河流的岸邊，點(diǎn)A是牧場(chǎng)，牧羊人要先到草場(chǎng)放牧，再到河邊飲水，最后回到牧場(chǎng)。問(wèn):他怎么行走才能是所走的路徑最短？lm.AA1

.A2.BCB1.C1.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課PPT拓展提高1：如圖，直線l是草場(chǎng)的邊緣，直線