Cucker-Smale 動(dòng)力學(xué)模型的漸進(jìn)群聚現(xiàn)象

Cucker-Smale動(dòng)力學(xué)模型的漸進(jìn)群聚現(xiàn)象摘要：本文將主要介紹Carrillo等人關(guān)于Cucker和Smale對(duì)群聚現(xiàn)象連續(xù)動(dòng)力學(xué)模型的研究工作[7,30]，該模型常用于描述有機(jī)體、動(dòng)物及人造設(shè)備等多體系統(tǒng)的群聚現(xiàn)象．我們將首先從一個(gè)Biltzmann型方程出發(fā)，得到類似于參考文獻(xiàn)[5]中的動(dòng)力學(xué)方程，然后運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)逼近的方法以及一個(gè)與距離有關(guān)的穩(wěn)定性，對(duì)相空間中分布的長時(shí)間形態(tài)進(jìn)行考察，得到類似于文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果．確切地說，動(dòng)力學(xué)方程的所有解將指數(shù)收斂，而它們的速度將收斂到一個(gè)平均值，從而整個(gè)狀態(tài)就會(huì)最終收斂到一個(gè)平行移動(dòng)的群聚解．Abstract：Inthispaper,weintroducedtheworkofCarrilloabouttheasymptoticbehaviorofsolutionsofthecontinuouskineticversionofflockingbyCuckerandSmale[7,30],whichdescribesthecollectivebehaviorofanensembleoforganisms,animalsordevices.Thiskineticversionintroducedin[5]ishereobtainedstartingfromaBoltzmann-typeequation.Thelarge-timebehaviorofthedistributioninphasespaceissubsequentlystudiedbymeansofparticleapproximationsandastabilitypropertyindistancesbetweenmeasures.Acontinuousanalogueofthetheoremsof[7]isshowntoholdforthesolutionsonthekineticmodel.Moreprecisely,thesolutionswillconcentrateexpo-nentiallyfasttheirvelocitytotheirmeanwhileinspacetheywillconvergetowardsatranslationalflockingsolution.關(guān)鍵詞：群聚現(xiàn)象；非線性方程；運(yùn)輸模型；第一節(jié)引言近年來，關(guān)于群聚現(xiàn)象及多主體互動(dòng)的自閉狀態(tài)研究已在生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、電子智能、控制理論乃至社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域收到越來越多的關(guān)注．在自然界中，魚群、鳥群及細(xì)菌群落自發(fā)性的聚集現(xiàn)象是人口學(xué)，生物學(xué)以及生態(tài)學(xué)的重要研究課題[1,4,7,14,15,18,20,23,24]．同樣，多個(gè)移動(dòng)主體(機(jī)器人，傳感器)的協(xié)調(diào)合作也已在傳感器網(wǎng)絡(luò)中起著關(guān)鍵的作用，從而在環(huán)境控制中有著廣泛的應(yīng)用[22,13,28]．經(jīng)濟(jì)行為的聚合，如現(xiàn)代社會(huì)中的財(cái)富分布[12,9]，或決策和觀點(diǎn)的形成[10,32]，也是近年來研究的重要課題，這些領(lǐng)域也回出現(xiàn)一個(gè)不斷聚合的平衡點(diǎn)．特別地，最近Cucker和Smale[7]關(guān)于聚集現(xiàn)象的數(shù)學(xué)研究工作引起了數(shù)學(xué)界引起了不小的關(guān)注度．類似物理學(xué)，在現(xiàn)實(shí)世界里，一個(gè)理想模型如果能真正把握到一些本質(zhì)的屬性，就能對(duì)觀察對(duì)象做一個(gè)有效的描述．在生物和物理學(xué)中，對(duì)聚集現(xiàn)象進(jìn)行模擬的主要目的主要是為了能夠解釋和預(yù)測不同的群聚現(xiàn)象或是多體系統(tǒng)的分散行為．目前，相關(guān)研究主要集中于建模和模擬上[23,24,35]，對(duì)群聚現(xiàn)象的漸進(jìn)收斂速率的定量研究則非常少[7,22]．但是，數(shù)學(xué)研究已逐漸在交叉學(xué)科領(lǐng)域取得重要進(jìn)展，例如,連續(xù)極限方面近來已取得很多研究成果[23,24]，人們可以運(yùn)用適當(dāng)?shù)陌瑪U(kuò)散項(xiàng)和作用項(xiàng)(質(zhì)點(diǎn)間相互吸引/排斥勢能)的偏微分方程來建模分析一些整體群聚現(xiàn)象(高密度多體系統(tǒng))．在[19]中，作者通過一些經(jīng)典的相互作用勢能對(duì)離散模型進(jìn)行了分類，然后通過相應(yīng)的熱力學(xué)方程[14]和動(dòng)力學(xué)方程[8]對(duì)其進(jìn)行研究．迄今對(duì)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)方面群聚現(xiàn)象的研究工作中，數(shù)學(xué)方面的效果表現(xiàn)得更為突出．這一領(lǐng)域的主流思想認(rèn)為，一個(gè)由足夠大數(shù)量個(gè)體構(gòu)成的一個(gè)群體的群聚行為，事實(shí)上是可以用物理系統(tǒng)中用于研究多質(zhì)點(diǎn)相互作用的統(tǒng)計(jì)力學(xué)來描述．到目前為止，人們已經(jīng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)物理發(fā)展出很多方法來建立和分析相關(guān)模型．特別地，已有大量的工作，借鑒用于研究稀薄氣體的動(dòng)力學(xué)理論發(fā)展出有效的方法來構(gòu)建出了相應(yīng)的Boltzmann型動(dòng)力方程以描述常見的群聚現(xiàn)象，見參考文獻(xiàn)[25]等等．本文的第一個(gè)目的就是想通過動(dòng)力學(xué)方程的分析方法來描述Cucker和Smale關(guān)于聚集現(xiàn)象的工作[7]．將描述個(gè)體之間相互作用的碰撞力學(xué)原理運(yùn)用到[7]中關(guān)于鳥群個(gè)體速度變化上，我們得出一個(gè)空間耗散的Boltzmann型方程，其可以通過密度函數(shù)來描述相應(yīng)的群聚現(xiàn)象．這個(gè)方程也是人想起Povzner[29]對(duì)Boltzmann方程的一個(gè)變形．然后，在一個(gè)所謂的擦邊碰撞的極限漸近過程中，我們可以得到一個(gè)約化方程，其不僅保留了所得Boltzmann型方程的所有性質(zhì)，還便于進(jìn)行更詳細(xì)的研究．這個(gè)方程最近已在Ha和Tadmor的工作中也得到了[5]，在Ha和Liu的工作中還有更進(jìn)一步的分析[26]．在Cucker和Smale建立的粒子模型中，粒子之間的相互作用是以一個(gè)距離為自變量的單調(diào)遞減函數(shù)來刻畫的;總結(jié)有限個(gè)粒子模型的結(jié)果，只要在遠(yuǎn)距離上有足夠強(qiáng)的相互作用力，它們就會(huì)以指數(shù)速度聚合,速度也將趨于它們運(yùn)動(dòng)速度的平均值，而且這個(gè)結(jié)果與初始狀態(tài)無關(guān)．這種情形稱為無條件群聚．在[5]中的工作表明，能量的振動(dòng)是動(dòng)力學(xué)方程古典解的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，它關(guān)于時(shí)間是次指數(shù)衰減于零的，但是，為了達(dá)到無條件群聚目的，它需要比有限粒子模型的長距離相互作用更多的限制條件．本文的第二個(gè)目的就是要發(fā)展后面這些結(jié)果，并一個(gè)與有限粒子模型同等收斂估計(jì)的新無條件群聚定理．而且該結(jié)果對(duì)古典解和可測解都成立．我們進(jìn)行方式是，首先用原子測度的觀點(diǎn)來重新建立有限質(zhì)點(diǎn)模型，并在這種測量框架下證明無條件聚集模型．特別地，我們將在命題5中證明聚集到平均速度的原子測度的存在性，而且這個(gè)動(dòng)力學(xué)方程的原子測度解是在一個(gè)與有界Lipschitz函數(shù)有關(guān)的對(duì)偶距離下，關(guān)于時(shí)間指數(shù)收斂到該平均速度的．特別地，空間中可測解的解集在過程中一直保持有界．我們對(duì)群體的估計(jì)都是依據(jù)時(shí)間，而非群體的個(gè)數(shù)，因此，在定理6中我們可以通過簡單的初值數(shù)據(jù)對(duì)任意可測解進(jìn)行近似討論，以推廣該支集的形式．我們將質(zhì)點(diǎn)的解和[26]中說明的穩(wěn)定性綜合起來（[26]定理3D中給出了這個(gè)穩(wěn)定性），可以通過動(dòng)能以指數(shù)收斂于零得出Ha和Tadomr的結(jié)論的簡化結(jié)果．Carrillo等人完成了這部分研究，并將Cucker和Smale的部分質(zhì)點(diǎn)模型進(jìn)行推廣，并在定理9中給出了無條件聚集的理論[30]，其中陳述了，任意有緊支集初值的可測解的集合，只與平均速度有關(guān)．這篇綜述的概要如下：第二節(jié)中重述了Cucker和Smale的有限粒子模型和他們關(guān)于無條件聚集的理論．構(gòu)造了一個(gè)動(dòng)力方程使模型中復(fù)雜的碰撞規(guī)則進(jìn)行合并．通過追尾碰撞限制，得出一個(gè)發(fā)散的非線性摩擦方程.第三節(jié)中致力于闡述[5,26]中的結(jié)論，其中后者的方程獨(dú)立地反映了自然界狀態(tài)限制下的有限粒子模型．第四節(jié)中介紹了Carrillo等人的主要結(jié)論，它推廣了[5,26]中的主要結(jié)論并完整地概括了有限粒子模型．第五節(jié)中對(duì)以上模型進(jìn)行了總結(jié)，并提出了可能的繼續(xù)研究的方向．第二節(jié)群聚現(xiàn)象的Boltzmann方程2.1Cucke-Smale模型在[7]中，Cucker和Smale研究了空間中鳥群的群聚現(xiàn)象，目的是證明在特定的鳥群的交流頻率下，群集現(xiàn)象中所有鳥都能保持以相同的速度飛行的狀態(tài)．主要假設(shè)證明群體中每只鳥隨群體中其他鳥來調(diào)整自身速度，以達(dá)到一個(gè)有利的平均相對(duì)速度．在只鳥中，當(dāng)，且時(shí)，對(duì)第只鳥有：（2.1）其中權(quán)值量化了鳥群的互相影響方式，與個(gè)體總數(shù)和衡量相互作用力的值無關(guān)．在[7]中，假設(shè)兩只鳥的交流頻率是一個(gè)函數(shù),對(duì)于部分記為：（2.2）對(duì)于，給出：（2.3）和，（2.4）在對(duì)和及初值進(jìn)行適當(dāng)?shù)南拗频那闆r下，當(dāng)時(shí)收斂于0且對(duì)于所有，向量趨于一個(gè)極限向量，則可以得到一個(gè)常數(shù)使得對(duì)任意成立．特別地，當(dāng)時(shí)，對(duì)初值及沒有限制[17.定理1][7]．在這一情況下，稱為無條件群聚．鳥群的行為有唯一解，所有鳥都成指數(shù)收斂，趨于同速飛行，同時(shí)，它們之間的距離趨于恒定，這一結(jié)論最近在多個(gè)研究中被證明[5,20,26]．其中研究了其他權(quán)值和交流速率的情況，在特定的情況下能使收斂速度加快．（2.1）中的情況可以用另一種形式來表示，設(shè)一個(gè)群體只有兩只鳥，記為和．設(shè)它們按下面的規(guī)則來修正自己的速度：(2.5a)(2.5b)由互動(dòng)后動(dòng)量不變，動(dòng)能的增減由控制，（2.6）對(duì)于，動(dòng)能有耗散，這種情況下，平均速度會(huì)降低，因?yàn)椋海?.7）兩只鳥的速度趨于平均值，在的情況下，（2.5）近似于一個(gè)耗散氣體分子空間的相互作用．（見參考文獻(xiàn)[11]）在有只鳥的情況下，考慮（2.5）中的規(guī)律，并假設(shè)第只鳥修正其速度給其他鳥的速度相同的權(quán)值，得出結(jié)論：（2.8）這是對(duì)（2.1）的另一種寫法．2.2Cucker-Smale群聚模型的Boltzmann方程不同于對(duì)有限個(gè)體的控制，大群體的互動(dòng)可能受到一個(gè)大的ODEs系統(tǒng)的控制，這給研究造成一定的困難．參考?xì)怏w動(dòng)力學(xué)理論中的方法，我們可能要考慮群體的密度分布和隨機(jī)的空間位置、速度和時(shí)間變化（參考?xì)怏w動(dòng)力學(xué)理論中的經(jīng)典碰撞規(guī)則）．在這一情況下，這種影響在空間中是混亂的，因?yàn)閮芍圾B即使距離很遠(yuǎn)也存在相互作用．因此，選擇用密度分布來描述整體的群聚行為，而不模擬每一個(gè)個(gè)體的行為，這樣可以得到一個(gè)一階偏微分方程．用給出鳥的密度，在位置，速度及時(shí)間，時(shí)，動(dòng)力學(xué)模型中的變化可以用動(dòng)力學(xué)理論的標(biāo)準(zhǔn)模式來控制．考慮到隨時(shí)間的變化量依賴鳥之間的互動(dòng)（不進(jìn)行互動(dòng)鳥的速度不變）．這一變化在密度上依賴鳥在二元相互作用下速度的增減（不考慮其他影響因素）．假設(shè)，兩只鳥的位置和速度，它們?cè)谙嗷ビ绊懞蟀聪率叫拚鼈兊乃俣龋?2.9a)(2.9b)關(guān)于交流速率的函數(shù)為：(2.10)其中．注意，與一般的動(dòng)力學(xué)碰撞理論一樣，在二元相互作用下，速度的改變與時(shí)間無關(guān)，因此得到下面的Boltzmann方程：(2.11)其中:（2.12）在（2.12）中，是在鳥的互動(dòng)后的得到的碰撞速度．是由轉(zhuǎn)換成的Jacobian矩陣．由于假設(shè)，故是恒正的．雙線性算子在（2.12）中類似于Macwell方程，其中碰撞頻率為常數(shù)．在不同的動(dòng)力學(xué)方程中，密度的變化是由用定義的碰撞和交流速率決定的．Boltzmann碰撞算子的推論中的一個(gè)假設(shè)是，只有空間中兩個(gè)粒子在同一點(diǎn)發(fā)生的單獨(dú)碰撞（對(duì)碰）是有意義的．Povzner給出了一個(gè)考慮了對(duì)碰的混亂性的Boltzmann碰撞算子[29]，這個(gè)Povzner碰撞算子如下：(2.13)在（2.13）中，是一個(gè)碰撞中心,其中的碰撞速度如下給出：(2.14a)(2.14b)其中A是一個(gè)的矩陣，I是單位陣.這一關(guān)系式中動(dòng)力不變。與(2.9)不同，在Povzner方程中，矩陣A在碰撞中動(dòng)力也不變?？汕逦乜闯?，（2.11）可看作一個(gè)耗散的Povzner互動(dòng)方程，其中矩陣．值得注意的是，當(dāng)Povzner方程最初以純數(shù)學(xué)的原因產(chǎn)生時(shí)，往往被其他學(xué)科所忽略，然而其相關(guān)的動(dòng)力學(xué)方程在生物學(xué)和生態(tài)學(xué)中有很好的應(yīng)用．（2.9）中給出了相互作用原理的一個(gè)最重要的結(jié)果是，速度的支集是不增的．事實(shí)上，由于和，（2.12）中Jacobian矩陣的出現(xiàn)事實(shí)上是可以通過一個(gè)較弱的形式避免掉，通過（2.11）方程相應(yīng)于初始密度的一個(gè)初值問題的弱解，我們可以將任何滿足這個(gè)（2.11）和（2.12）弱形式的密度表示為：（2.15）對(duì)于和有緊支集的平滑函數(shù)，有（2.16）（2.15）中的形式更容易掌握，且這是目前對(duì)于宏觀物質(zhì)變換研究的起點(diǎn)．2.3關(guān)于Flocking的動(dòng)力學(xué)方程當(dāng)群體密度隨時(shí)間的變化在（2.11）的Boltzmann方程中詳細(xì)描述后，對(duì)群聚現(xiàn)象的精確描述主要是依據(jù)解的長時(shí)間形態(tài)分布．另一方面，長時(shí)間形態(tài)分布主要依賴（2.9）給出的碰撞方式，而與決定互動(dòng)本身強(qiáng)度的參數(shù)無關(guān)．在這種情況下，用簡化的模型也可以給出精確的描述，且這種模型在長時(shí)間下也是精確有效．這種想法最初被McNamara和Young應(yīng)用在耗散動(dòng)力學(xué)理論中[36]，在一個(gè)合適的漸進(jìn)過程中化成Boltzmann方程，是一個(gè)簡化的表示氣體密度變化的非線性模型[2,33]．類似的漸進(jìn)過程隨后應(yīng)用在研究財(cái)富聚集和觀點(diǎn)形成的Fokker-Planck方程中[6,34]．假設(shè)表示速度改變程度的參數(shù)在二元相互作用中是一個(gè)小量（）．那么為使碰撞整體速度不衰減到零，碰撞頻率必然增加．一個(gè)更有趣的情況來自對(duì)的選擇，是一個(gè)確定的正常數(shù)，通過對(duì)進(jìn)行泰勒展開，碰撞的弱形式寫作：（2.17）其中，．如果碰撞只是接近擦過，（）我們可以從第一級(jí)后切斷（2.17），事實(shí)上，Boltzmann方程解的二階距是非增的．且，（2.18）因此，在余項(xiàng)中有了一個(gè)統(tǒng)一的時(shí)間上限．接下來，在一個(gè)小的和高的碰撞頻率下，得到．Boltzmann碰撞算子是由耗散算子在強(qiáng)的發(fā)散形式下近似得到的，（2.19）其中，，*是的卷積．注意，McNamara和Young在[36]中提出，算子保持了與滿的Boltzmann碰撞算子相同的耗散性質(zhì)．關(guān)于非線性方程的一個(gè)研究這一部分是用來研究長時(shí)間形態(tài)下，前面得到的Boltzmann方程的近似解．為了方便研究，在下文中．該方程近似于一個(gè)密度的非線性函數(shù)方程，（3.1）其中，（3.2）在[5]中，Ha和Tadmor給出并分析了類似的方程，其中依據(jù)了Cucker和Smale在（2.1）中給出的有限維模型和平均場限制．他們的主要結(jié)論給出了以下方程[5,定理4.3]：（3.3）其中是一個(gè)（3.1）古典解的李雅普諾夫函數(shù)，它次指數(shù)衰減于0．由于即，，其中常數(shù)是正的，并由決定．在初值時(shí)，在上是緊支的．在[5,注1，P482]中，Ha和Tadmor指出，目前得到的這一結(jié)果只是次優(yōu)的，因此，他們?cè)赱7,17]中繼續(xù)分析時(shí)，沒有使用這一結(jié)果．這個(gè)結(jié)果對(duì)密度的空間支集沒有給出一個(gè)統(tǒng)一的限制，因此與有限維模型中的不同，這個(gè)次優(yōu)的估計(jì)中．另外，在（3.3）中定義的表示速度的函數(shù)，明確給出了這一結(jié)果與空間無關(guān)．另一方面，在[26]中，作者給出了一個(gè)(3.1)柯西問題可測解的適定性結(jié)果，這一結(jié)果說明了三個(gè)重要結(jié)論：首先，質(zhì)點(diǎn)可以看作是（3.1）的可測解；其次，這一質(zhì)點(diǎn)模型收斂到（3.1）的一個(gè)可測解；最后，所構(gòu)造的解在后面特定的意義下是唯一的．然而，[26]中的結(jié)論對(duì)漸進(jìn)行為的考慮和定性地可測解構(gòu)造是次優(yōu)的，他們對(duì)位置和速度的解的支集的增量給出了估計(jì)，這些時(shí)間增量的限制在離散模型中并不影響群聚現(xiàn)象的發(fā)生，意味著速度能夠收斂到平均值且位置的限制是可變的．另外，他們改變了傳統(tǒng)離散的Cucker-Smale模型中指數(shù)時(shí)的結(jié)果，并證明了此時(shí)的無條件群聚[26,命題4.3]．此處，我們將給出一個(gè)更好的的支集的變化的估計(jì)，將[5,注1，P482]指出的缺口聯(lián)系起來，事實(shí)上，我們會(huì)給出，當(dāng)位置的支集被限制在由平均速度這一常數(shù)控制的線性增長的群體中心附近時(shí)，速度向平均速度收斂的支集成指數(shù)變化．這一結(jié)論對(duì)后續(xù)研究很重要，并且，它對(duì)可測解也是有效的．基于對(duì)支集變化的改進(jìn)，得到兩個(gè)主要結(jié)論：群聚現(xiàn)象可測解是收斂的，及在整個(gè)區(qū)間上，古典解的李雅普諾夫函數(shù)的指數(shù)收斂于0．我們首先重述一下（3.1）的解的概念，用給出當(dāng)恒大于0時(shí)Radon測度的形式．定義１：在初值條件，時(shí)間在上時(shí)，稱是（3.1）的一個(gè)弱可測解，如果它滿足：，其中給出（3.4）對(duì)任意，有注2：如[26]中指出的，如果是(3.1)在分布意義下的一個(gè)弱解，那么是（3.1）的一個(gè)可測解．另一方面，如果(3.1)的一個(gè)可測解在Lebesgue測度下還是絕對(duì)連續(xù)的，那么它也是(3.1)在分布意義下的一個(gè)弱解．質(zhì)點(diǎn)解：給出離散系統(tǒng)且，（3.5）然后下面給出的測量曲線是（3.1）的一個(gè)弱可測解，給出集合和如下賦值的Lipschitz函數(shù)：用測度來定義有界的Lipschitz距離：（3.6）這個(gè)距離在[27,31]的Vlasov方程中有經(jīng)典的應(yīng)用．總的來說，Ha和Liu論文的主要發(fā)現(xiàn)是下面關(guān)于（3.1）的可測解的定理．定理3：[26]中給出緊支集，存在一個(gè)可測的特解滿足：系統(tǒng)中的總體和它的平均速度有當(dāng)它的群體中心線性增加時(shí)關(guān)于支集的推論：對(duì)所有的時(shí)間，方程的解是緊支的，且存在時(shí)間的增函數(shù)和，是中心的初值，使得對(duì)一切C.由于上連續(xù)且在上Lipschitz連續(xù)，關(guān)于典型方程的流形：（3.7）是一個(gè)對(duì)每個(gè)固定的時(shí)間的良好定義的同胚，且是時(shí)間的一個(gè)函數(shù)．另外，在物質(zhì)運(yùn)輸方法中，（3.1）的特解由給出，即對(duì)于所有，（3.8）D.給出方程（3.1）的另一個(gè)可測解，以下穩(wěn)定估計(jì)對(duì)一切和成立，其中時(shí)，增函數(shù)．第四節(jié)速度支集的時(shí)間衰減指數(shù)首先從給出質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的結(jié)論開始，考慮一個(gè)遵循（3.5）動(dòng)態(tài)的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng),由于方程具有平移不變性，不妨設(shè)平均速度為0，此時(shí)集群的中心在過程中保持不變，即對(duì)所有和有，令和保持不變，使得所有速度的初值都在中，所有速度在中．現(xiàn)在對(duì)于位置和速度及任意的，系統(tǒng)的解為．定義函數(shù)為：由于質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目是有限的，曲線隨時(shí)間的變化是光滑的，故存在至多有限個(gè)時(shí)間增量，在任何時(shí)間區(qū)間上，可以找到由決定的參數(shù)，使得對(duì)一切，有．推出：(4.1)由于下標(biāo)的選擇，對(duì)于有在時(shí)得出是一個(gè)不增函數(shù)．因此對(duì)一切，．接下來看位置的方程，推出，對(duì)所有和，．進(jìn)而得到，因此，對(duì)所有和，其中．再次回到方程（4.1）上，得到：通過直接結(jié)合或Gronwall引理得到：易得：對(duì)于，函數(shù)在處不可積，因此：且，給出了速度支集中一個(gè)單獨(dú)點(diǎn)收斂到的平均速度．現(xiàn)在，再次估計(jì)位置變量，我們有（4.2）我們分兩種情況來討論.首先不難驗(yàn)證當(dāng)時(shí)然后對(duì)于任何，存在使得當(dāng)，．總結(jié)為：且因此，加到（4.2）中得：由于常數(shù)在充分小的時(shí)候是任意的，得到結(jié)論：積分限為，存在，使得對(duì)所有和，．另外，回到速度上，能夠得出．所以由（4.1）得：從中最終得出趨于零[30]．現(xiàn)在，我們?cè)俅位氐轿恢藐P(guān)于速度曲線的變化，由于指數(shù)衰減，速度曲線關(guān)于時(shí)間可積，推出每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的曲線長度是有限的，由于平均速度恒定，可以減去平行移動(dòng)的部分．在的情況下，由（4.2）可以計(jì)算準(zhǔn)確的積分：可直接得出，其中，只與相關(guān)．在這種情況下，像前面一樣，進(jìn)行另一個(gè)位置變量推導(dǎo)的循環(huán)，顯然：因此可以回到與相同的情況，在時(shí)可以給出相同的結(jié)果．注4：[26]在其第三,四節(jié)中，用完全不同的方法也給出了整個(gè)區(qū)間上的無條件群聚的結(jié)論，作者對(duì)Cucker-Smale模型在時(shí)的無條件群聚給出了不一樣的證明，并通過在歐式范數(shù)下對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)做耗散估計(jì)證明了的情形．非常關(guān)鍵的是，所得質(zhì)點(diǎn)速度支集指數(shù)衰減至0的指數(shù)常數(shù)與質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)和質(zhì)量均無關(guān)．它們只取決于和的初始值，即粒子初值的最大速度和兩兩間最遠(yuǎn)距離．給出無條件群聚的證明的重點(diǎn)是估計(jì)值與質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)無關(guān)，這與[26]中的情況不同，由于他們的證明是基于速度和位置的歐式范數(shù)，而不是有界范數(shù)．以上部分可以聯(lián)想到[13,3]中使用的連續(xù)介質(zhì)模型．總結(jié)以上觀點(diǎn)，對(duì)（3.1）的求解給出如下命題：命題5：對(duì)有限個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的，即個(gè)原子的原子測度，存在，使得時(shí)（3.1）的可測特解為其中曲線由ODEs系統(tǒng)（3.5）給出，滿足和其中，是初始平均速度．另外，給出最大速度的定義最大空間距離，考慮群體初始中心．對(duì)所有，，，只與初值和這一結(jié)論的證明是平凡的，注意到，有限原子測度中的有界Lipschitz范數(shù)，被其中任意一個(gè)點(diǎn)的排列的歐式距離所限制，我們也把它寫作偏微分方程的解，比質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的一般可測解更有用．下面給出這個(gè)結(jié)論：定理6：緊支集，（3.1）的特解在時(shí)滿足以下支集的限制．對(duì)于一切，且只與初值有關(guān)，證明：對(duì)任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，可以假設(shè)和，對(duì)一切，不妨令，任意，可以找出一個(gè)質(zhì)點(diǎn)數(shù)目，一組位置一組速度，且群體，使得與初值有關(guān)的質(zhì)點(diǎn)解由給出，根據(jù)命題5，我們得到由于結(jié)果與質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)無關(guān)，對(duì)一切，滿足給出的狀態(tài)．由[26]中定理3的穩(wěn)定性結(jié)果，得到：由于是固定的，且可以任意小，對(duì)于當(dāng)，弱*收斂到.再由于一個(gè)測度的支集在弱*意義下是穩(wěn)定的,證畢.同樣的證明思路也在[7]中運(yùn)用于連續(xù)模型的群聚問題．另外,上述結(jié)論的一個(gè)直接推論就是可以直接考慮文獻(xiàn)[5]中所給李雅普諾夫泛函的的衰減控制．推論7：給出緊支集，在時(shí)，（3.1）的特解滿足其中和在定理6中給出．證明：由于在時(shí)間上，定理6是緊支的證完．最后，得出更多關(guān)于漸近限制的信息，用定理3的特征值的特征根，得到，特征值滿足（3.7）．可知：對(duì)一切有．但是用位置變化的方程發(fā)現(xiàn)右側(cè)分量隨時(shí)間指數(shù)衰減，在無窮處可積?？偟膩碚f們對(duì)于一切，為初值時(shí)，有這是關(guān)于解的位置密度的一種改寫．如果給出一個(gè)測度，用向量定義變量，對(duì)于一切：記為位置變量的邊際測度，即，對(duì)于一切，這樣我們就可以得到關(guān)于漸近行為的主要結(jié)論，即，群體的相對(duì)中心將收斂到一個(gè)固定的密度，這個(gè)密度由一個(gè)初值和相應(yīng)唯一解所確定．定理８：給出緊支集，（3.1）的特解在時(shí)滿足其中定義為對(duì)于一切，證明：給出檢驗(yàn)函數(shù)，計(jì)算出在上述特征值中，我們用時(shí)間限制的標(biāo)準(zhǔn)，從控制收斂定理中可以得到結(jié)果．研究展望本文綜述了Carrillo等人關(guān)于Cucker和Smale對(duì)群聚現(xiàn)象連續(xù)動(dòng)力學(xué)模型的研究工作．作為論文的結(jié)束，我們給出一些將來可能的研究方向．在第二節(jié)中給出了Cucker-Smale模型中的Boltzmann方程，其中給出了群體中每個(gè)個(gè)體都依照整體平均速度調(diào)整自身速度時(shí)，速度的收斂情況．而如果假設(shè)群體中存在一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，而這一領(lǐng)導(dǎo)者的速度是自由改變而不依據(jù)其他個(gè)體速度的，這樣的模型是更接近實(shí)際情況的，研究起來也一定很有趣．第三節(jié)中針對(duì)模型中進(jìn)行了討論，并證明了這種情況下的無條件群聚，而對(duì)于的情況則還沒有找到明顯的規(guī)律．另外，可以考慮把等級(jí)制度[21]或根制度[16]引入Cucker-Smale模型，以推出更好的模型．最后，如果能找到一個(gè)更一般的初始狀態(tài)，使得群體收斂到兩個(gè)或多個(gè)不同的速度，而不是一個(gè)共同的速度，也是一個(gè)值得研究的問題．致謝光陰似箭，日月如梭。四年的大學(xué)時(shí)光，在我們漫長的人生旅途中是那么的短暫，但是這短短四年中有我們最美麗的大學(xué)生活。我感謝四年來教過我的所有的恩師，是您賦予我最有意義的收獲，帶領(lǐng)我走進(jìn)知識(shí)的殿堂。在這次的畢業(yè)論文中，我盡可能地發(fā)揮了在學(xué)校學(xué)到知識(shí)，我要感謝我的指導(dǎo)老師史少云教授，在我寫這篇論文期間，史老師多次詢問研究進(jìn)程，并為我指點(diǎn)迷津，幫助我開拓研究思路，精心點(diǎn)撥、熱忱鼓勵(lì)。我不是您最出色的學(xué)生，而您卻是我最尊敬的老師。您治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)識(shí)淵博，思想深邃，視野雄闊，為我營造了一種良好的精神氛圍。同時(shí)也要感謝黎文磊師兄在我論文寫作中給予的幫助，在我思路不清晰時(shí)及時(shí)引導(dǎo)，指明方向，不厭其煩地回答我極其初級(jí)的問題，正是由于師兄的幫助和支持，我才能克服一個(gè)一個(gè)的困難，直至本文的順利完成。論文即將完成之際，我的心情無法平靜，從準(zhǔn)備到論文的順利完成，有多少可敬的師長、同學(xué)、朋友給了我無言的幫助，在這里請(qǐng)接受我誠摯的謝意!謝謝你們！參考文獻(xiàn)[1]A.Barbaro,K.Taylor,P.F.Trethewey,L.YouseffandB.Birnir.Discreteandcontinuousmodelsofthedynamicsofpelagicfish:applicationtothecapelin.Preprint.[2]D.Benedetto,E.Caglioti,andM.Pulvirenti.Akineticequationforgranularmedia.RAIRO,Mod′elisationMath.Anal.Num′er.,31(1997),615-641.[3]A.Bertozzi,J.A.CarrilloandT.Laurent.Blowupinmultidimensionalaggregationequationswithmildlysingularinteractionkernels,Nonlinearity,22(2009),683-710.[4]B.Birnir.AnODEmodelofthemotionofpelagicfish.J.Stat.Phys.,128(2007),535–568.[5]S.-Y.HaandE.Tadmor.Fromparticletokineticandhydrodynamicdescriptionsofflocking.KineticandRelatedModels,1(3)(2008),415-435.[6]M.J.C′aceres,G.Toscani.Kineticapproachtolongtimebehavioroflinearizedfastdiffusionequations.J.Stat.Phys.,128,(2007),883-925.[7]F.CuckerandS.Smale.Emergentbehaviorinflocks.IEEETrans.Automat.Control,52(2007),852–862.[8]J.A.Carrillo,M.R.D’OrsognaandV.Panferov.Doublemillinginself-propelledswarmsfromki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