彈性力學(xué)接觸問題課件

兩彈性體之間的接觸壓力問題兩球體的接觸問題圓球與平面（或凹球面）的接觸例題接觸問題兩彈性體之間的接觸壓力問題兩球體的接觸問題接觸問1

根據(jù)半空間體在邊界上受法向分布力中有關(guān)知識(shí)，可導(dǎo)出兩彈性體之間的接觸壓力以及由此所引起的應(yīng)力和變形，下面我們先對(duì)兩彈性球體進(jìn)行討論。設(shè)兩個(gè)球體半徑分別為R1和R2,如圖。一.兩球體的接觸問題設(shè)開始時(shí)兩球體不受壓力作用，它僅接觸于一點(diǎn)O，那么此時(shí)，在兩球體表面上取距公共法線距離為r的M1和M2兩點(diǎn)，與O點(diǎn)的切平面之間的距離z1和z2.根據(jù)半空間體在邊界上受法向分布力中有關(guān)知識(shí)，2則由幾何關(guān)系有：(R1－z1)2+r2=R12(R2－z2)2+r2=R22得（a）當(dāng)M1,M2離O點(diǎn)很近時(shí)，則z1＜＜R1,z2＜＜R2，上面兩式可化為：則由幾何關(guān)系有：（a）當(dāng)M1,M2離O點(diǎn)很近時(shí)，則z1＜＜R3而M1、M2兩點(diǎn)之間的距離為：當(dāng)兩球體沿接觸點(diǎn)的公共法線用力F相壓時(shí)，在接觸點(diǎn)的附近，將產(chǎn)生局部變形而形成一個(gè)圓形的接觸面。由于接觸面邊界的半徑總是遠(yuǎn)小于R1、R2，所以可以采用關(guān)于半無限體的結(jié)果來討論這種局部變形。而M1、M2兩點(diǎn)之間的距離為：當(dāng)兩球體沿接觸點(diǎn)的公共4現(xiàn)分別用w1和w2表示M1點(diǎn)沿z1方向的位移及M2點(diǎn)沿z2方向的位移（即相外的相對(duì)移動(dòng)）；α－(w1+w2)=z1+z2

設(shè)α為圓心O1、O2因壓縮而相互接近的距離，如果M1與O1、M2與O2之間無相對(duì)移動(dòng)則M1與M2、之間接近的距離也為α；于是M1點(diǎn)和M2點(diǎn)之間的距離減少為α－(w1+w2)，如果點(diǎn)M1、M2由于局部變形而成為接觸面內(nèi)的同一點(diǎn)M，則由幾何關(guān)系有：現(xiàn)分別用w1和w2表示M1點(diǎn)沿z1方向的位移及M2點(diǎn)5將式（a）代入，得w1+w2=α－βr2(b)其中，（c）根據(jù)對(duì)稱性接觸面一定是以接觸點(diǎn)O為中心的圓?，F(xiàn)以圖中的圓表示接觸面，而M點(diǎn)表示下面的球體在接觸面上的一點(diǎn)（即變形以前的點(diǎn)M1），則按照彈性半空間受垂直壓力q的解答，該點(diǎn)的位移為：將式（a）代入，得w1+w2=α－βr26其中ν1及E1為下面球體的彈性常數(shù)，而積分應(yīng)包括整個(gè)接觸面。對(duì)于上面的球體，也可以寫出相似的表達(dá)式，于是：（d）其中并由（d）式及(c)式得（e）其中ν1及E1為下面球體的彈性常數(shù)，而積分應(yīng)包括整個(gè)7到此，把問題歸結(jié)為去尋求未知函數(shù)q（即要找出壓力的分布規(guī)律），使式（e）得到滿足。

根據(jù)Hertz的假設(shè)，如果在接觸面的邊界上作半圓球面，而用它在各個(gè)點(diǎn)的高度代表壓力q各該點(diǎn)處的大小。例如弦mn上一點(diǎn)壓力的大小，可用過mn所作半圓的高度h來代表。到此，把問題歸結(jié)為去尋求未知函數(shù)q（即要找出壓力的分8接觸圓內(nèi)任一點(diǎn)的壓力，應(yīng)等于半球面在該點(diǎn)的高度h和k=q0/a的乘積。由此，不難從圖可以看出，令q0表示接觸圓中心O的壓力，則根據(jù)上述假定，應(yīng)有

q0=ka由此得：

k=

q0/ak這個(gè)常數(shù)因子表示壓力分布的比例尺。A為弦mn上的半圓（用虛線表示）面的面積，即ψ接觸圓內(nèi)任一點(diǎn)的壓力，應(yīng)等于半球面在該點(diǎn)的高度h和k9由于代入后再代入式（e）積分后得：，dψψθ有由于代入后再代入式（e）積分后得：，dψψθ有10要使此式對(duì)所有的r都成立，等號(hào)兩邊的常數(shù)項(xiàng)和r2的系數(shù)分別相等，于是有這樣，只要式（g）成立，Hertz所假定的接觸面上壓力分布是正確的。根據(jù)平衡條件，上述半球體的體積與的乘積應(yīng)等于總壓力F，即(g)要使此式對(duì)所有的r都成立，等號(hào)兩邊的常數(shù)項(xiàng)和r2的系11由此的最大壓力（h）它等于平均壓力F/πa2的一倍半。將式（c）和式（h）代入式（g），求解a及α即得：由此并可求得最大接觸壓力為；由此的最大壓力（h）它等于平均壓力F/πa2的一倍半。將式（12在E1=E2=E及ν1=ν

2=0.3時(shí)，由上列各式得出工程實(shí)踐中廣泛采用的公式：在E1=E2=E及ν1=ν2=0.3時(shí)，由上列各13在求出接觸面間的壓力之后，可利用按照彈性半空間受垂直壓力q的解答導(dǎo)出的公式計(jì)算出兩球體中的應(yīng)力。最大壓應(yīng)力發(fā)生在接觸面中心，值為q0；最大剪應(yīng)力發(fā)生在公共法線上距接觸中心約為0.47a

處，其值為0.31q0；

最大拉應(yīng)力發(fā)生在接觸面的邊界上，其值為0.133q0。在求出接觸面間的壓力之后，可利用按照彈性半空間受垂直14二.圓球與平面（或凹球面）的接觸利用上面關(guān)于兩彈性球體接觸時(shí)的有關(guān)結(jié)論，可得如下公式：當(dāng)圓球與平面接觸時(shí)，將以上結(jié)果中的R1=R0,R2→∞則得：F二.圓球與平面（或凹球面）的接觸利用上面關(guān)于15在E1=E2=E及ν1=ν

2=0.3時(shí)，F(xiàn)在E1=E2=E及ν1=ν2=0.3時(shí)，F(xiàn)16

當(dāng)圓球與凹球面接觸時(shí)，將以－R1代替兩圓球接觸時(shí)公式中的R1，則可得：F當(dāng)圓球與凹球面接觸時(shí)，將以－R1代替兩圓球17在E1=E2=E及ν1=ν

2=0.3時(shí)，F(xiàn)在E1=E2=E及ν1=ν2=0.3時(shí)，F(xiàn)18三例題直徑為10mm的鋼球與a)直徑為100mm的鋼球；b)鋼平面；c)半徑為50mm的凹球面相接觸，其間的壓緊力P=10N，試球接觸圓的半徑a,兩球中心相對(duì)位移α和最大接觸應(yīng)力q0.(E=2.1×105N/mm2,ν=0.3）。三例題直徑為10mm的鋼球與兩球中心相對(duì)19解:a)直徑為10mm的鋼球與直徑為100mm的鋼球；=0.067mm=9.8×10-4

mm=1080N/mmF解:a)直徑為10mm的鋼球與直徑為100mm的鋼球；=020=0.069mm=9.5×10-4

mm=1010N/mm(b)直徑為10mm的鋼球與鋼平面；F=0.069mm=9.5×10-4mm=1010N21=9.8×10-4

mm=940N/mm=0.071mm(c)直徑為10mm的鋼球與半徑為50mm的凹球面相接觸；F=9.8×10-4mm=940N/mm=0.07122兩彈性體之間的接觸壓力問題兩球體的接觸問題圓球與平面（或凹球面）的接觸例題接觸問題兩彈性體之間的接觸壓力問題兩球體的接觸問題接觸問23

根據(jù)半空間體在邊界上受法向分布力中有關(guān)知識(shí)，可導(dǎo)出兩彈性體之間的接觸壓力以及由此所引起的應(yīng)力和變形，下面我們先對(duì)兩彈性球體進(jìn)行討論。設(shè)兩個(gè)球體半徑分別為R1和R2,如圖。一.兩球體的接觸問題設(shè)開始時(shí)兩球體不受壓力作用，它僅接觸于一點(diǎn)O，那么此時(shí)，在兩球體表面上取距公共法線距離為r的M1和M2兩點(diǎn)，與O點(diǎn)的切平面之間的距離z1和z2.根據(jù)半空間體在邊界上受法向分布力中有關(guān)知識(shí)，24則由幾何關(guān)系有：(R1－z1)2+r2=R12(R2－z2)2+r2=R22得（a）當(dāng)M1,M2離O點(diǎn)很近時(shí)，則z1＜＜R1,z2＜＜R2，上面兩式可化為：則由幾何關(guān)系有：（a）當(dāng)M1,M2離O點(diǎn)很近時(shí)，則z1＜＜R25而M1、M2兩點(diǎn)之間的距離為：當(dāng)兩球體沿接觸點(diǎn)的公共法線用力F相壓時(shí)，在接觸點(diǎn)的附近，將產(chǎn)生局部變形而形成一個(gè)圓形的接觸面。由于接觸面邊界的半徑總是遠(yuǎn)小于R1、R2，所以可以采用關(guān)于半無限體的結(jié)果來討論這種局部變形。而M1、M2兩點(diǎn)之間的距離為：當(dāng)兩球體沿接觸點(diǎn)的公共26現(xiàn)分別用w1和w2表示M1點(diǎn)沿z1方向的位移及M2點(diǎn)沿z2方向的位移（即相外的相對(duì)移動(dòng)）；α－(w1+w2)=z1+z2

設(shè)α為圓心O1、O2因壓縮而相互接近的距離，如果M1與O1、M2與O2之間無相對(duì)移動(dòng)則M1與M2、之間接近的距離也為α；于是M1點(diǎn)和M2點(diǎn)之間的距離減少為α－(w1+w2)，如果點(diǎn)M1、M2由于局部變形而成為接觸面內(nèi)的同一點(diǎn)M，則由幾何關(guān)系有：現(xiàn)分別用w1和w2表示M1點(diǎn)沿z1方向的位移及M2點(diǎn)27將式（a）代入，得w1+w2=α－βr2(b)其中，（c）根據(jù)對(duì)稱性接觸面一定是以接觸點(diǎn)O為中心的圓?，F(xiàn)以圖中的圓表示接觸面，而M點(diǎn)表示下面的球體在接觸面上的一點(diǎn)（即變形以前的點(diǎn)M1），則按照彈性半空間受垂直壓力q的解答，該點(diǎn)的位移為：將式（a）代入，得w1+w2=α－βr228其中ν1及E1為下面球體的彈性常數(shù)，而積分應(yīng)包括整個(gè)接觸面。對(duì)于上面的球體，也可以寫出相似的表達(dá)式，于是：（d）其中并由（d）式及(c)式得（e）其中ν1及E1為下面球體的彈性常數(shù)，而積分應(yīng)包括整個(gè)29到此，把問題歸結(jié)為去尋求未知函數(shù)q（即要找出壓力的分布規(guī)律），使式（e）得到滿足。

根據(jù)Hertz的假設(shè)，如果在接觸面的邊界上作半圓球面，而用它在各個(gè)點(diǎn)的高度代表壓力q各該點(diǎn)處的大小。例如弦mn上一點(diǎn)壓力的大小，可用過mn所作半圓的高度h來代表。到此，把問題歸結(jié)為去尋求未知函數(shù)q（即要找出壓力的分30接觸圓內(nèi)任一點(diǎn)的壓力，應(yīng)等于半球面在該點(diǎn)的高度h和k=q0/a的乘積。由此，不難從圖可以看出，令q0表示接觸圓中心O的壓力，則根據(jù)上述假定，應(yīng)有

q0=ka由此得：

k=

q0/ak這個(gè)常數(shù)因子表示壓力分布的比例尺。A為弦mn上的半圓（用虛線表示）面的面積，即ψ接觸圓內(nèi)任一點(diǎn)的壓力，應(yīng)等于半球面在該點(diǎn)的高度h和k31由于代入后再代入式（e）積分后得：，dψψθ有由于代入后再代入式（e）積分后得：，dψψθ有32要使此式對(duì)所有的r都成立，等號(hào)兩邊的常數(shù)項(xiàng)和r2的系數(shù)分別相等，于是有這樣，只要式（g）成立，Hertz所假定的接觸面上壓力分布是正確的。根據(jù)平衡條件，上述半球體的體積與的乘積應(yīng)等于總壓力F，即(g)要使此式對(duì)所有的r都成立，等號(hào)兩邊的常數(shù)項(xiàng)和r2的系33由此的最大壓力（h）它等于平均壓力F/πa2的一倍半。將式（c）和式（h）代入式（g），求解a及α即得：由此并可求得最大接觸壓力為；由此的最大壓力（h）它等于平均壓力F/πa2的一倍半。將式（34在E1=E2=E及ν1=ν

2=0.3時(shí)，由上列各式得出工程實(shí)踐中廣泛采用的公式：在E1=E2=E及ν1=ν2=0.3時(shí)，由上列各35在求出接觸面間的壓力之后，可利用按照彈性半空間受垂直壓力q的解答導(dǎo)出的公式計(jì)算出兩球體中的應(yīng)力。最大壓應(yīng)力發(fā)生在接觸面中心，值為q0；最大剪應(yīng)力發(fā)生在公共法線上距接觸中心約為0.47a

處，其值為0.31q0；

最大拉應(yīng)力發(fā)生在接觸面的邊界上，其值為0.133q0。在求出接觸面間的壓力之后，可利用按照彈性半空間受垂直36二.圓球與平面（或凹球面）的接觸利用上面關(guān)于兩彈性球體接觸時(shí)的有關(guān)結(jié)論，可得如下公式：當(dāng)圓球與平面接觸時(shí)，將以上結(jié)果中的R1=R0,R2→∞則得：F二.圓球與平面（或凹球面）的接觸利用上面關(guān)于37在E1=E2=E及ν1=ν

2=0.3時(shí)，F(xiàn)在E1=E2=E及ν1=ν2=0.3時(shí)，F(xiàn)38

當(dāng)圓球與凹球面接觸時(shí)，將以－R1代替兩圓球接觸時(shí)公式中的R1，則可得：F當(dāng)