考點34 數(shù)列的遞推關(guān)系與通項（解析版）

考點34數(shù)列的遞推關(guān)系與通項正確選用方法求數(shù)列的通項公式(1)對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為an＋1＝an＋f(n)的數(shù)列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通項公式．(2)對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列{f(n)}前n項的積時，采用累乘法求數(shù)列{an}的通項公式．(3)對于遞推關(guān)系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項．2．避免2種失誤(1)利用累乘法，易出現(xiàn)兩個方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到eq\f(a2,a1)，漏掉a1而導(dǎo)致錯誤；二是根據(jù)連乘求出an之后，不注意檢驗a1是否成立．(2)利用構(gòu)造法求解時應(yīng)注意數(shù)列的首項的正確求解以及準(zhǔn)確確定最后一個式子的形式．1、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則an＝________.【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2))【解析】(1)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.))2、數(shù)列滿足，則________．【答案】【解析】由得，=，∵，∴==，∴==-1，∴==2，∴==，∴==-1，∴==2，==．3、（2020年全國2卷）數(shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.4、【2022·廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】已知數(shù)列的前項和為，滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；【解析】（1），即，，因為，，所以，，則數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，，.考向一由Sn與an的遞推關(guān)系求通項公式例1、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求通項an．(1)Sn＝3n－1；(2)Sn＝n2＋3n＋1．【解析】：(1)n＝1時，a1＝S1＝2．n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1．當(dāng)n＝1時，an＝1符合上式．∴an＝2·3n－1．n＝1時，a1＝S1＝5．n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2．當(dāng)n＝1時a1＝5不符合上式．∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n＋2，n≥2.))變式1、記為數(shù)列的前項和．若，則．【答案】【解析】為數(shù)列的前項和，，①，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，②，由①②可得，，是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，．變式2、若數(shù)列{}的前n項和為Sn＝，則數(shù)列{}的通項公式是=______．【答案】【解析】當(dāng)=1時，==，解得=1，當(dāng)≥2時，==－()=，即=，∴{}是首項為1，公比為－2的等比數(shù)列，∴=．方法總結(jié)：an與Sn關(guān)系的應(yīng)用(1)僅含有Sn的遞推數(shù)列或既含有Sn又含有an的遞推數(shù)列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實施消元法，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含an的關(guān)系式或僅含Sn的關(guān)系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形后能否得到簡單可求的數(shù)列關(guān)系，如等差數(shù)列關(guān)系或等比數(shù)列關(guān)系，若消去an留Sn可以得到簡單可求的數(shù)列關(guān)系，那么就應(yīng)當(dāng)消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰更好，變形易把關(guān)系找”．(3)值得一提的是：數(shù)列通項公式an求出后，還需要驗證數(shù)列首項a1是否也滿足通項公式，即“通項求出莫疏忽，驗證首項滿足否”?？枷蚨\用累計與疊乘法求數(shù)列的通項例2、(1)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2nan＋1)(n∈N*)，求{an}的通項公式；(2)在數(shù)列{an}中，已知a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－2)an(n∈N*)，an≠0，求an.【解析】(1)對an＋1＝eq\f(an,2nan＋1)兩邊“取倒數(shù)”，得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2nan＋1,an)，即eq\f(1,an＋1)＝2n＋eq\f(1,an)，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝2n.∴n≥2時，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝2n－1，eq\f(1,an－1)－eq\f(1,an－2)＝2n－2，…，eq\f(1,a3)－eq\f(1,a2)＝22，eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝2，將以上各式累加得，得eq\f(1,an)－eq\f(1,a1)＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＝eq\f(2（1－2n－1）,1－2)＝2n－2，∴eq\f(1,an)＝2n－1，∴an＝eq\f(1,2n－1)，當(dāng)n＝1也滿足，∴an＝eq\f(1,2n－1).(2)因an≠0，由(3n＋2)an＋1＝(3n－2)an，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n－2,3n＋2)，∴n≥2時，eq\f(an,an－1)＝eq\f(3n－4,3n－1)，eq\f(an－1,an－2)＝eq\f(3n－7,3n－4)，…，eq\f(a3,a2)＝eq\f(5,8)，eq\f(a2,a1)＝eq\f(2,5)，逐項累乘，得eq\f(an,a1)＝eq\f(2,3n－1)，∴an＝eq\f(6,3n－1)，當(dāng)n＝1也滿足，∴an＝eq\f(6,3n－1).變式1、數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列前10項的和為．【答案】【解析】由題意得：，所以．變式2、(2019南京學(xué)情調(diào)研）在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(1,n（n＋1）)(n∈N*)，則a10的值為________．【答案】eq\f(19,10)【解析】解法1(裂項法)由an＋1＝an＋eq\f(1,n（n＋1）)得an＋1－an＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故a2－a1＝1－eq\f(1,2)，a3－a2＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，a4－a3＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…，a10－a9＝eq\f(1,9)－eq\f(1,10)，所以a10＝eq\f(19,10).解法2(常數(shù)列)由an＋1＝an＋eq\f(1,n（n＋1）)，得an＋1＋eq\f(1,n＋1)＝an＋eq\f(1,n)，故a10＋eq\f(1,10)＝a1＋1＝2，即a10＝eq\f(19,10).方法總結(jié)：給出了兩種不同形式的遞推關(guān)系，經(jīng)常采取其它方法：取倒數(shù)后，相鄰兩項的差是一個等比數(shù)列，迭加即可；變形為eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n－2,3n＋2)，再用累乘處理，累加、累乘是遞推數(shù)列的基本而常用的方法，考查我們的觀察、變形和轉(zhuǎn)化的能力，需要牢固掌握．考向三構(gòu)造等差、等比數(shù)列研究通項例3、【2022·廣東省梅江市梅州中學(xué)10月月考】已知數(shù)列前n項和為，且.（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；【解析】：（1）當(dāng)時，因為，所以，兩式相減得，.所以.當(dāng)時，因為，所以，又，故，于是，所以是以4為首項2為公比的等比數(shù)列.所以，兩邊除以得，.又，所以是以2為首項1為公差的等差數(shù)列.所以，即.變式1、（2021·四川宜賓市·高三二模（文））已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，而當(dāng)時，，即，則，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，即有，而，∴，故選：A.變式2、已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求數(shù)列{an}的通項公式；【解析】兩邊同除以3n＋1，得eq\f(an＋1,3n＋1)＝eq\f(2,3)·eq\f(an,3n)＋eq\f(1,3)，bn＝eq\f(an,3n)，則原式變?yōu)閎n＋1＝eq\f(2,3)bn＋eq\f(1,3)，設(shè)bn＋1＋x＝eq\f(2,3)(bn＋x)，與原式待定系數(shù)，得－eq\f(1,3)x＝eq\f(1,3)，得x＝－1，an＋3n，eq\f(bn＋1－1,bn－1)＝eq\f(2,3)，∴數(shù)列{bn－1}是一個公比為eq\f(2,3)的等比數(shù)列，首項為bn－1＝eq\f(1,3)－1＝－eq\f(2,3)，∴bn－1＝－eq\f(2,3)(eq\f(2,3))n－1，bn＝1－(eq\f(2,3))n，∴an＝3n(1－(eq\f(2,3))n)＝3n－2n.方法總結(jié)：構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項，常見形式一：an＋1＝pan＋q(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1)，常利用待定系數(shù)構(gòu)造，可化為an＋1＋x＝p(an＋x)，從而解出x＝eq\f(q,p－1).常見形式二：an＋1＝pan＋qn(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通過兩邊同時除以qn＋1，得eq\f(an＋1,qn＋1)＝eq\f(p,q)·eq\f(an,qn)＋eq\f(1,q)，換元bn＝eq\f(an,qn)，即轉(zhuǎn)化形式一．當(dāng)然，1、【2022·廣東省深圳市六校上學(xué)期第二次聯(lián)考中學(xué)10月月考】“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，依次構(gòu)成的數(shù)列的第n項，則的值為__________．【答案】【解析】設(shè)第個數(shù)為，則，，，，…，，疊加可得，∴．故答案為：2、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知數(shù)列中，，其前項和滿足，則__________；__________.【答案】【解析】（1）由題：，令，，得：，所以；（2）由題，，化簡得：，，是一個以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，，，故答案為：(1).(2).3、設(shè)數(shù)列的前項和為．若，，，則=，=．【答案】．【解析】由于，解得，由，所以，所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以．4、【2022·廣東省深圳市育才中學(xué)10月月考】已知數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，成立．（1），求數(shù)列通項公式；【解析】在中令得．因為對任