數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)三角形的中位線(xiàn)課件公開(kāi)課

第十八章18.1.5三角形的中位線(xiàn)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章18.1.5三角形的中位線(xiàn)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)1平行四邊形的判定邊角對(duì)角線(xiàn)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形復(fù)習(xí)舊知平行四邊形的判定邊角對(duì)角線(xiàn)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊2同學(xué)們，今天這節(jié)課，我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)關(guān)于三角形的中位線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)。三角形的中位線(xiàn)導(dǎo)入新知同學(xué)們，今天這節(jié)課，我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)關(guān)于三角形的中位線(xiàn)的相關(guān)3學(xué)習(xí)目標(biāo)1.三角形中位線(xiàn)定理及應(yīng)用.2.利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明三角形的中位線(xiàn)定理,以及復(fù)雜圖形中通過(guò)作輔助線(xiàn)應(yīng)用三角形中位線(xiàn)定理.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.三角形中位線(xiàn)定理及應(yīng)用.4三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，并且∵AE=EC，DE=EF，通過(guò)上述證明，我們得到三角形的中位線(xiàn)定理：三角形中位線(xiàn)在四邊形中的應(yīng)用∵AE=EC，DE=EF，應(yīng)用，熟記三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于∴DE//BC，且DE=BC.∵AE=EC，DE=EF，(2)證明一條線(xiàn)段是另一條線(xiàn)段的2倍的常用方法：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明三角形的中位線(xiàn)定理,以及復(fù)雜圖形中通過(guò)作輔助線(xiàn)應(yīng)用三角形中位線(xiàn)定理.在△ABC中，中位線(xiàn)DE和邊BC什么關(guān)系?兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形∴OF是△ABC的中位線(xiàn)，∴AB＝2OF.的中點(diǎn)，即證明OF是△ABC的中位線(xiàn)．因?yàn)閘1∥l2，所以AD∥BC，D．線(xiàn)段EF的長(zhǎng)先增大后減小C．線(xiàn)段EF的長(zhǎng)不改變∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+GH+FG+EF=AD+BC，現(xiàn)測(cè)得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，則AB＝()1知識(shí)點(diǎn)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)探究思考請(qǐng)同學(xué)們按要求畫(huà)圖：畫(huà)任意△ABC中，畫(huà)AB、AC邊中點(diǎn)D、E，連接DE．DE定義：像DE這樣，連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)．合作探究三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，并且1知識(shí)點(diǎn)三角形中位線(xiàn)5觀察猜想

在△ABC中，中位線(xiàn)DE和邊BC什么關(guān)系?DE和邊BC關(guān)系數(shù)量關(guān)系：位置關(guān)系：ABCDEDE//BCDE＝BC觀察猜想在△ABC中，中位線(xiàn)DE和邊BC什么關(guān)系6如圖，D，E分別是△ABC的AB，AC的中點(diǎn).求證：DE//BC，DE=BC.本題既要證明兩條線(xiàn)段所在的直線(xiàn)平行，又要證明其中一條線(xiàn)段的長(zhǎng)等于另一條線(xiàn)段長(zhǎng)的一半.將DE延長(zhǎng)一倍后，可以將證明DE=BC轉(zhuǎn)化為證明延長(zhǎng)后的線(xiàn)段與BCE是AC的中點(diǎn)，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形構(gòu)造一個(gè)平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明.分析：如圖，D，E分別是△ABC的AB，AC的中點(diǎn).分析：7如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接FC，DC，AF.∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，CFDA.∴CFBD.∴四邊形DBCF是平行四邊形，DF

BC.又DE=DF，∴

DE//BC，且DE=BC.∥＝∥＝∥＝證明：如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接FC，∥＝∥＝∥＝證8

通過(guò)上述證明，我們得到三角形的中位線(xiàn)定理：

三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.新知小結(jié)通過(guò)上述證明，我們得到三角形的中位線(xiàn)定理：新9

中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的

第三邊，并且等于第三邊的一半；

數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵AD＝BD，AE＝EC，∴DE∥BC，且DE＝

BC.中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的10例1如圖所示，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是

．利用勾股定理列式求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．11分析：例1如圖所示，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=11∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=6+5=11．解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，解：12

本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．新知小結(jié)本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理，勾股定理的新知小結(jié)13例2如圖，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊延長(zhǎng)線(xiàn)

上一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE，分別交BC，BD

于點(diǎn)F，G，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OF.求證：AB＝2OF.點(diǎn)O是平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，要證明AB＝2OF，我們只需證明點(diǎn)F是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，即證明OF是△ABC的中位線(xiàn)．導(dǎo)引：例2如圖，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊延長(zhǎng)線(xiàn)點(diǎn)O14∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵E為平行四邊形ABCD中DC邊延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，

且CE＝DC，∴AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．又∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OF是△ABC的中位線(xiàn)，∴AB＝2OF.證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，證明：15

證明線(xiàn)段倍分關(guān)系的方法：由于三角形的中位線(xiàn)等于三角形第三邊的一半，因此當(dāng)需要證明某一線(xiàn)段是另一線(xiàn)段的一半或兩倍，且題中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，?？紤]三角形中位線(xiàn)定理．新知小結(jié)證明線(xiàn)段倍分關(guān)系的方法：由于三角形的中位線(xiàn)新知小結(jié)16又DE=DF，三角形中位線(xiàn)在四邊形中的應(yīng)用∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC.∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+GH+FG+EF=AD+BC，BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是．所以AB＝CD，且AB∥CD.在△ABC中，中位線(xiàn)DE和邊BC什么關(guān)系?要證明AB＝2OF，我們只需證明點(diǎn)F是線(xiàn)段BC是△EBC的中位線(xiàn)即可．而要證得M，N分別為的中點(diǎn)，即證明OF是△ABC的中位線(xiàn)．利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明三角形的中位線(xiàn)定理,以及復(fù)雜圖形中通過(guò)作輔助線(xiàn)應(yīng)用三角形中位線(xiàn)定理.利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明三角形的中位線(xiàn)定理,以及復(fù)雜圖形中通過(guò)作輔助線(xiàn)應(yīng)用三角形中位線(xiàn)定理.通過(guò)上述證明，我們得到三角形的中位線(xiàn)定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形又DE=DF，所以四邊形ABCD是平行四邊形．EH=FG=AD，∴AB∥CD，AB＝CD.對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形求證：DE//BC，DE=BC.1如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn).以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，在圖中，你能畫(huà)出多少個(gè)平行四邊形？為什么？可畫(huà)出3個(gè)平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理可得平行四邊形有：?BDFE，?DFCE，?ADEF.解：鞏固新知又DE=DF，1如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別172如圖，直線(xiàn)l1∥l2，在l1，l2上分別截取AD，BC，使AD=BC，連接AB，CD.AB和CD有什么關(guān)系？為什么？AB＝CD且AB∥CD.因?yàn)閘1∥l2，所以AD∥BC，又因?yàn)锳D＝BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形．所以AB＝CD，且AB∥CD.解：2如圖，直線(xiàn)l1∥l2，在l1，l2上分別截取AD，BC，使183如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和BC.怎樣測(cè)出A，B兩點(diǎn)間的距離？根據(jù)是什么？如圖所示，分別取AC，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則EF就是△ABC的中位線(xiàn)．量出EF的長(zhǎng)，根據(jù)AB＝2EF，即可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．解：3如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和B194【中考·宜昌】如圖，要測(cè)定被池塘隔開(kāi)的A，B兩點(diǎn)的距離，可以在AB外選一點(diǎn)C，連接AC，BC，并分別找出它們的中點(diǎn)D，E，連接ED.現(xiàn)測(cè)得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，則AB＝(

)A．50mB．48mC．45mD．35mB4【中考·宜昌】如圖，要測(cè)定被池塘隔開(kāi)的A，B兩點(diǎn)的距離，205【中考·梧州】如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC的中點(diǎn)，連接DF，F(xiàn)E，則四邊形DBEF的周長(zhǎng)是(

)A．5B．7C．9D．11B5【中考·梧州】如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC216【中考·營(yíng)口】如圖，在△ABC中，AB＝AC，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，以AC為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，則下列結(jié)論不正確的是(

)A．∠ECD＝112.5°B．DE平分∠FDCC．∠DEC＝30°D．AB＝

CDC6【中考·營(yíng)口】如圖，在△ABC中，AB＝AC，E，F(xiàn)分別222知識(shí)點(diǎn)三角形中位線(xiàn)在四邊形中的應(yīng)用欲證MN

BC，只需證明MN是△EBC的中位線(xiàn)即可．而要證得M，N分別為BE，CE的中點(diǎn)，則可利用E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)證四邊形ABFE和四邊形EFCD為平行四邊形得到．例3如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，

連接AF，DF分別交BE，CE于點(diǎn)M，N，連接MN.

求證：MN

BC.∥＝∥＝導(dǎo)引：合作探究2知識(shí)點(diǎn)三角形中位線(xiàn)在四邊形中的應(yīng)用欲證MN23如圖，連接EF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD

BC.∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，∴AE＝

AD，BF＝

BC，∴AE

BF.∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴MB＝ME.同理，四邊形EFCD是平行四邊形，∴NC＝NE.∴MN是△EBC的中位線(xiàn)．∴MN

BC.∥＝∥＝∥＝證明：如圖，連接EF.∥＝∥＝∥＝證明：24(1)證明兩直線(xiàn)平行的常用方法：

①利用同平行(垂直)于第三條直線(xiàn)；②利用同位角、

內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；③利用平行四邊形

的性質(zhì)；④利用三角形的中位線(xiàn)定理．(2)證明一條線(xiàn)段是另一條線(xiàn)段的2倍的常用方法：①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四邊

形的對(duì)角線(xiàn)；③利用三角形的中位線(xiàn)定理．新知小結(jié)(1)證明兩直線(xiàn)平行的常用方法：新知小結(jié)251如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，R，P分別是DC，BC上的點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論成立的是(

)A．線(xiàn)段EF的長(zhǎng)逐漸增大B．線(xiàn)段EF的長(zhǎng)逐漸減小C．線(xiàn)段EF的長(zhǎng)不改變D．線(xiàn)段EF的長(zhǎng)先增大后減小C鞏固新知1如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，R，P分別是DC，BC上的點(diǎn)，262【中考·懷化】如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE＝5cm，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.102【中考·懷化】如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交273【中考·廣州】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，點(diǎn)M，N分別為線(xiàn)段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_______．33【中考·廣州】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝28三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．幾何語(yǔ)言(如圖)：∵DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DE∥BC．DE=BC．ABCDE歸納新知三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．AB29中位線(xiàn)平行于一半課后練習(xí)中位線(xiàn)平行于一半課后練習(xí)30DD31BB32數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)三角形的中位線(xiàn)課件公開(kāi)課33【答案】A【答案】A34CC35平行四邊形平行四邊形368837第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．∴DE//BC，且DE=BC.出多少個(gè)平行四邊形？為什么？又DE=DF，∴DE//BC，且DE=BC.三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，并且應(yīng)用，熟記三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于∵AE=EC，DE=EF，∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，現(xiàn)測(cè)得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，則AB＝()本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理，勾股定理的O，連接OF.求證：MNBC.∵AE=EC，DE=EF，如圖所示，分別取AC，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則EF就是△ABC的中位線(xiàn)．量出EF的長(zhǎng)，根據(jù)AB＝2EF，即可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．的中點(diǎn)，即證明OF是△ABC的中位線(xiàn)．【中考·宜昌】如圖，要測(cè)定被池塘隔開(kāi)的A，B兩點(diǎn)的距離，可以在AB外選一點(diǎn)C，連接AC，BC，并分別找出它們的中點(diǎn)D，E，連接ED.如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和BC.定義：像DE這樣，連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)．對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形D第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．D38BB39DD40數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)三角形的中位線(xiàn)課件公開(kāi)課41【答案】B【答案】B42數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)三角形的中位線(xiàn)課件公開(kāi)課43應(yīng)用，熟記三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于又DE=DF，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度上一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE，分別交BC，BD應(yīng)用，熟記三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于出多少個(gè)平行四邊形？為什么？?jī)?nèi)錯(cuò)角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；∵AE=EC，DE=EF，例1如圖所示，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，的中點(diǎn)，即證明OF是△ABC的中位線(xiàn)．又∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，并且定義：像DE這樣，連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)．應(yīng)用，熟記三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于的中點(diǎn)，即證明OF是△ABC的中位線(xiàn)．上一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE，分別交BC，BD又DE=DF，如圖所示，分別取AC，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則EF就是△ABC的中位線(xiàn)．量出EF的長(zhǎng)，根據(jù)AB＝2EF，即可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．④利用三角形的中位線(xiàn)定理．又DE=DF，應(yīng)用，熟記三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于44數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)三角形的中位線(xiàn)課件公開(kāi)課45數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)三角形的中位線(xiàn)課件公開(kāi)課46數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)三角形的中位線(xiàn)課件公開(kāi)課47數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)三角形的中位線(xiàn)課件公開(kāi)課48再見(jiàn)再見(jiàn)49第十八章18.1.5三角形的中位線(xiàn)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章18.1.5三角形的中位線(xiàn)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)50平行四邊形的判定邊角對(duì)角線(xiàn)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形復(fù)習(xí)舊知平行四邊形的判定邊角對(duì)角線(xiàn)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊51同學(xué)們，今天這節(jié)課，我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)關(guān)于三角形的中位線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)。三角形的中位線(xiàn)導(dǎo)入新知同學(xué)們，今天這節(jié)課，我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)關(guān)于三角形的中位線(xiàn)的相關(guān)52學(xué)習(xí)目標(biāo)1.三角形中位線(xiàn)定理及應(yīng)用.2.利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明三角形的中位線(xiàn)定理,以及復(fù)雜圖形中通過(guò)作輔助線(xiàn)應(yīng)用三角形中位線(xiàn)定理.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.三角形中位線(xiàn)定理及應(yīng)用.53三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，并且∵AE=EC，DE=EF，通過(guò)上述證明，我們得到三角形的中位線(xiàn)定理：三角形中位線(xiàn)在四邊形中的應(yīng)用∵AE=EC，DE=EF，應(yīng)用，熟記三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于∴DE//BC，且DE=BC.∵AE=EC，DE=EF，(2)證明一條線(xiàn)段是另一條線(xiàn)段的2倍的常用方法：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明三角形的中位線(xiàn)定理,以及復(fù)雜圖形中通過(guò)作輔助線(xiàn)應(yīng)用三角形中位線(xiàn)定理.在△ABC中，中位線(xiàn)DE和邊BC什么關(guān)系?兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形∴OF是△ABC的中位線(xiàn)，∴AB＝2OF.的中點(diǎn)，即證明OF是△ABC的中位線(xiàn)．因?yàn)閘1∥l2，所以AD∥BC，D．線(xiàn)段EF的長(zhǎng)先增大后減小C．線(xiàn)段EF的長(zhǎng)不改變∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+GH+FG+EF=AD+BC，現(xiàn)測(cè)得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，則AB＝()1知識(shí)點(diǎn)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)探究思考請(qǐng)同學(xué)們按要求畫(huà)圖：畫(huà)任意△ABC中，畫(huà)AB、AC邊中點(diǎn)D、E，連接DE．DE定義：像DE這樣，連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)．合作探究三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，并且1知識(shí)點(diǎn)三角形中位線(xiàn)54觀察猜想

在△ABC中，中位線(xiàn)DE和邊BC什么關(guān)系?DE和邊BC關(guān)系數(shù)量關(guān)系：位置關(guān)系：ABCDEDE//BCDE＝BC觀察猜想在△ABC中，中位線(xiàn)DE和邊BC什么關(guān)系55如圖，D，E分別是△ABC的AB，AC的中點(diǎn).求證：DE//BC，DE=BC.本題既要證明兩條線(xiàn)段所在的直線(xiàn)平行，又要證明其中一條線(xiàn)段的長(zhǎng)等于另一條線(xiàn)段長(zhǎng)的一半.將DE延長(zhǎng)一倍后，可以將證明DE=BC轉(zhuǎn)化為證明延長(zhǎng)后的線(xiàn)段與BCE是AC的中點(diǎn)，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形構(gòu)造一個(gè)平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明.分析：如圖，D，E分別是△ABC的AB，AC的中點(diǎn).分析：56如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接FC，DC，AF.∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，CFDA.∴CFBD.∴四邊形DBCF是平行四邊形，DF

BC.又DE=DF，∴

DE//BC，且DE=BC.∥＝∥＝∥＝證明：如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接FC，∥＝∥＝∥＝證57

通過(guò)上述證明，我們得到三角形的中位線(xiàn)定理：

三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.新知小結(jié)通過(guò)上述證明，我們得到三角形的中位線(xiàn)定理：新58

中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的

第三邊，并且等于第三邊的一半；

數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵AD＝BD，AE＝EC，∴DE∥BC，且DE＝

BC.中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的59例1如圖所示，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是

．利用勾股定理列式求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．11分析：例1如圖所示，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=60∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=6+5=11．解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，解：61

本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．新知小結(jié)本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理，勾股定理的新知小結(jié)62例2如圖，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊延長(zhǎng)線(xiàn)

上一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE，分別交BC，BD

于點(diǎn)F，G，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OF.求證：AB＝2OF.點(diǎn)O是平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，要證明AB＝2OF，我們只需證明點(diǎn)F是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，即證明OF是△ABC的中位線(xiàn)．導(dǎo)引：例2如圖，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊延長(zhǎng)線(xiàn)點(diǎn)O63∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵E為平行四邊形ABCD中DC邊延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，

且CE＝DC，∴AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．又∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OF是△ABC的中位線(xiàn)，∴AB＝2OF.證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，證明：64

證明線(xiàn)段倍分關(guān)系的方法：由于三角形的中位線(xiàn)等于三角形第三邊的一半，因此當(dāng)需要證明某一線(xiàn)段是另一線(xiàn)段的一半或兩倍，且題中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，?？紤]三角形中位線(xiàn)定理．新知小結(jié)證明線(xiàn)段倍分關(guān)系的方法：由于三角形的中位線(xiàn)新知小結(jié)65又DE=DF，三角形中位線(xiàn)在四邊形中的應(yīng)用∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC.∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+GH+FG+EF=AD+BC，BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是．所以AB＝CD，且AB∥CD.在△ABC中，中位線(xiàn)DE和邊BC什么關(guān)系?要證明AB＝2OF，我們只需證明點(diǎn)F是線(xiàn)段BC是△EBC的中位線(xiàn)即可．而要證得M，N分別為的中點(diǎn)，即證明OF是△ABC的中位線(xiàn)．利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明三角形的中位線(xiàn)定理,以及復(fù)雜圖形中通過(guò)作輔助線(xiàn)應(yīng)用三角形中位線(xiàn)定理.利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明三角形的中位線(xiàn)定理,以及復(fù)雜圖形中通過(guò)作輔助線(xiàn)應(yīng)用三角形中位線(xiàn)定理.通過(guò)上述證明，我們得到三角形的中位線(xiàn)定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形又DE=DF，所以四邊形ABCD是平行四邊形．EH=FG=AD，∴AB∥CD，AB＝CD.對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形求證：DE//BC，DE=BC.1如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn).以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，在圖中，你能畫(huà)出多少個(gè)平行四邊形？為什么？可畫(huà)出3個(gè)平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理可得平行四邊形有：?BDFE，?DFCE，?ADEF.解：鞏固新知又DE=DF，1如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別662如圖，直線(xiàn)l1∥l2，在l1，l2上分別截取AD，BC，使AD=BC，連接AB，CD.AB和CD有什么關(guān)系？為什么？AB＝CD且AB∥CD.因?yàn)閘1∥l2，所以AD∥BC，又因?yàn)锳D＝BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形．所以AB＝CD，且AB∥CD.解：2如圖，直線(xiàn)l1∥l2，在l1，l2上分別截取AD，BC，使673如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和BC.怎樣測(cè)出A，B兩點(diǎn)間的距離？根據(jù)是什么？如圖所示，分別取AC，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則EF就是△ABC的中位線(xiàn)．量出EF的長(zhǎng)，根據(jù)AB＝2EF，即可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．解：3如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和B684【中考·宜昌】如圖，要測(cè)定被池塘隔開(kāi)的A，B兩點(diǎn)的距離，可以在AB外選一點(diǎn)C，連接AC，BC，并分別找出它們的中點(diǎn)D，E，連接ED.現(xiàn)測(cè)得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，則AB＝(

)A．50mB．48mC．45mD．35mB4【中考·宜昌】如圖，要測(cè)定被池塘隔開(kāi)的A，B兩點(diǎn)的距離，695【中考·梧州】如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC的中點(diǎn)，連接DF，F(xiàn)E，則四邊形DBEF的周長(zhǎng)是(

)A．5B．7C．9D．11B5【中考·梧州】如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC706【中考·營(yíng)口】如圖，在△ABC中，AB＝AC，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，以AC為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，則下列結(jié)論不正確的是(

)A．∠ECD＝112.5°B．DE平分∠FDCC．∠DEC＝30°D．AB＝

CDC6【中考·營(yíng)口】如圖，在△ABC中，AB＝AC，E，F(xiàn)分別712知識(shí)點(diǎn)三角形中位線(xiàn)在四邊形中的應(yīng)用欲證MN

BC，只需證明MN是△EBC的中位線(xiàn)即可．而要證得M，N分別為BE，CE的中點(diǎn)，則可利用E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)證四邊形ABFE和四邊形EFCD為平行四邊形得到．例3如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，

連接AF，DF分別交BE，CE于點(diǎn)M，N，連接MN.

求證：MN

BC.∥＝∥＝導(dǎo)引：合作探究2知識(shí)點(diǎn)三角形中位線(xiàn)在四邊形中的應(yīng)用欲證MN72如圖，連接EF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD

BC.∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，∴AE＝

AD，BF＝

BC，∴AE

BF.∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴MB＝ME.同理，四邊形EFCD是平行四邊形，∴NC＝NE.∴MN是△EBC的中位線(xiàn)．∴MN

BC.∥＝∥＝∥＝證明：如圖，連接EF.∥＝∥＝∥＝證明：73(1)證明兩直線(xiàn)平行的常用方法：

①利用同平行(垂直)于第三條直線(xiàn)；②利用同位角、

內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；③利用平行四邊形

的性質(zhì)；④利用三角形的中位線(xiàn)定理．(2)證明一條線(xiàn)段是另一條線(xiàn)段的2倍的常用方法：①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四邊

形的對(duì)角線(xiàn)；③利用三角形的中位線(xiàn)定理．新知小結(jié)(1)證明兩直線(xiàn)平行的常用方法：新知小結(jié)741如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，R，P分別是DC，BC上的點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論成立的是(

)A．線(xiàn)段EF的長(zhǎng)逐漸增大B．線(xiàn)段EF的長(zhǎng)逐漸減小C．線(xiàn)段EF的長(zhǎng)不改變D．線(xiàn)段EF的長(zhǎng)先增大后減小C鞏固新知1如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，R，P分別是DC，BC上的點(diǎn)，752【中考·懷化】如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE＝5cm，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.102【中考·懷化】如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交763【中考·廣州】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，點(diǎn)M，N分別為線(xiàn)段BC，