專題13 創(chuàng)新型問題（原卷版）

專題13創(chuàng)新型問題專題點撥1.創(chuàng)新型數(shù)學(xué)問題，主要涉及兩大類：一類是創(chuàng)造性地綜合運用已有的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗解決新情境問題或陌生的問題；另一類是發(fā)現(xiàn)新問題(或提出新問題)并解決提出的新問題.不論是哪一類創(chuàng)新型數(shù)學(xué)問題，都需要強化閱讀理解,充分研究問題的條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)知識方法，發(fā)現(xiàn)解題策略，展開充分的數(shù)學(xué)推理，完成數(shù)學(xué)問題提出的研究目標(biāo)．2．創(chuàng)新型數(shù)學(xué)問題常見的問題類型：(1)構(gòu)造型問題：一般需要構(gòu)造不等式、方程、代數(shù)式、函數(shù)、圖形等加以解決的問題；(2)歸納猜想型問題：通過歸納--猜想---證明實現(xiàn)從特殊到一般的推理論證；(3)新概念型問題：問題情境給出新定義、新法則(公式、原理)，考察學(xué)習(xí)者的及時學(xué)習(xí)能力，一般需要先理解新概念，再運用新概念解決問題；存在判斷型：這類問題常見的有：①探究給定的結(jié)論是否成立；②探究符合條件的數(shù)學(xué)對象是否存在；③類比已有結(jié)論探索獲得的新命題是否成立；(4)探究性問題：探究一類問題的解題策略，或是探究給定命題是否正確，或可否進一步推廣．總之，解決創(chuàng)新型數(shù)學(xué)問題，既需要閱讀理解問題情境,也需要綜合運用邏輯思維與直覺思維、演繹推理與合情推理，需要運用特殊與一般、歸納與類比等數(shù)學(xué)思維方式解決問題．例題剖析【例1】稱項數(shù)相同的兩個有窮數(shù)列對應(yīng)項乘積之和為這兩個數(shù)列的內(nèi)積，設(shè)：數(shù)列甲：x1，x2，…，x5為遞增數(shù)列，且xi∈N?（i＝1，2，…，5）；數(shù)列乙：y1，y2，y3，y4，y5滿足yi則在甲、乙的所有內(nèi)積中（）A．當(dāng)且僅當(dāng)x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝7，x5＝9時，存在16個不同的整數(shù)，它們同為奇數(shù) B．當(dāng)且僅當(dāng)x1＝2，x2＝4，x3＝6，x4＝8，x5＝10時，存在16個不同的整數(shù)，它們同為偶數(shù) C．不存在16個不同的整數(shù)，要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù) D．存在16個不同的整數(shù)，要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)【例2】已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項是20，接下來的兩項是20、21，再接下來的三項是20、21、22，以此類推，若N＞100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪，則N的最小值為（）A．440 B．330 C．220 D．110【例3】（2021秋?寶山區(qū)期末）設(shè)，，定義運算“△”和“”如下：，．若正數(shù)，，，滿足，，則△，△ B．， C．△， D．，△【例4】和平面解析幾何的觀點相同，在空間中，空間平面和曲面可以看作是適合某種條件的動點的軌跡，在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，空間平面和曲面的方程是一個三元方程F（x，y，z）＝0．（1）類比平面解析幾何中直線的方程，寫出①過點P（x0，y0，z0），法向量為n→=(A，B，C)的平面的點法式方程；②平面的一般方程；③在x，y，z軸上的截距分別為a，b，（2）設(shè)F1，F(xiàn)2為空間中的兩個定點，|F1F2|＝2C，我們將曲面Γ定義為滿足|PF1|+|PF2|＝2a（a＞c）的動點P的軌跡，試建立一個適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O﹣xyz，求曲面Γ的方程；（3）對（2）中的曲面Γ，指出和證明曲面C的對稱性，并畫出曲面Γ的直觀圖．【例5】設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)α∈（0，1）以及D中的任意兩數(shù)x1、x2，恒有f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．（1）證明函數(shù)f1(x)=x（2）判斷函數(shù)f2(x)=1（3）若f（x）是定義域為R的函數(shù)，且最小正周期為T，試證明f（x）不是R上的C函數(shù)．【例6】（2021秋?徐匯區(qū)期末）已知數(shù)列和，其中是的小數(shù)點后的第位數(shù)字，（例如，．若，且對任意的，均有，則滿足的所有的值為．鞏固訓(xùn)練填空題1.天干地支紀年法，源于中國．中國自古便有十天干與十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推．已知2017年為丁酉年，那么到改革開放100年時，即2078年為年．2.（2021秋?普陀區(qū)期末）設(shè)非空集合，當(dāng)中所有元素和為偶數(shù)時（集合為單元素時和為元素本身），稱是的偶子集．若集合，2，3，4，5，6，，則其偶子集的個數(shù)為．二、選擇題3.朱載堉（1536～1611），是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”．即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍．設(shè)第三個音的頻率為f1，第七個音的頻率為f2，則f2A．4122 B．1116 C．824.已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項是20，接下來的兩項是20、21，再接下來的三項是20、21、22，以此類推，若N＞100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪，則N的最小值為（）A．440 B．330 C．220 D．110三、解答題5.已知集合Pn（1）用列舉法寫出集合P4；（2）是否存在自然數(shù)n，使得2019∈Pn，若存在，求出n的值，并寫出此時集合P的元素個數(shù)；若不存在，請說明理由．6.閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）＝2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③令α+β＝A，α﹣β＝B有α=A+B2，代入③得sinA+sinB＝2sinA+B2cosA?B類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA﹣cosB＝﹣2sinA+B2sinA?B7.絕對值|x﹣1|的幾何意義是數(shù)軸上的點x與點1之間的距離，那么對于實數(shù)a，b，|x﹣a|+|x﹣b|的幾何意義即為點x與點a、點b的距離之和．（1）直接寫出|x﹣1|+|x﹣2|與|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值，并寫出取到最小值時x滿足的條件；（2）設(shè)a1≤a2≤…≤an是給定的n個實數(shù)，記S＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣an|．試猜想：若n為奇數(shù)，則當(dāng)x∈時S取到最小值；若n為偶數(shù)，則當(dāng)x∈時，S取到最小值；（直接寫出結(jié)果即可）（3）求|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|的最小值．8.（2021秋?嘉定區(qū)期末）已知函數(shù)的定義域為區(qū)間，若對于給定的非零實數(shù)，存在，使得，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間，上是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）若函數(shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且（2），求證：函數(shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)．9.由下面四個圖形中的點數(shù)分別給出了四個數(shù)列的前四項，將每個圖形的層數(shù)增加可得到這四個數(shù)列的后繼項．按圖中多邊形的邊數(shù)依次稱這些數(shù)列為“三角形數(shù)列”、“四邊形數(shù)列”…，將構(gòu)圖邊數(shù)增加到n可得到“n邊形數(shù)列”，記它的第r項為P（n，r），（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）問3725是否為“五邊形數(shù)列”中的項，若是，為第幾項；若不是，說明理由；（3）試推導(dǎo)P（n，r）關(guān)于n、r的解析式．10.如果數(shù)列{an}同時滿足：（1）各項均為正數(shù)，（2）存在常數(shù)k，對任意n∈N*，an+12＝anan+2+k都成立，那么，這樣的數(shù)列{an}我們稱之為“類等比數(shù)列”．由此各項均為正數(shù)的等比數(shù)列必定是“類等比數(shù)列”．問：（1）若數(shù)列{an}為“類等比數(shù)列”，且k＝（a2﹣a1）2，求證：a1、a2、a3成等差數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}為“類等比數(shù)列”，且k＝0，a2、a4、a5成等差數(shù)列，求a2（3）若數(shù)列{an}為“類等比數(shù)列”，且a1＝a，a2＝b（a、b為常數(shù)），是否存在常數(shù)λ，使得an+an+2＝λan+1對任意n∈N*都成立？若存在，求出λ；若不存在，說明理由．11.（2021秋?普陀區(qū)期末）設(shè)，為常數(shù)，若存在大于1的整數(shù)，使得無窮數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．（1）設(shè)，，若首項為1的數(shù)列為“（3）數(shù)列”，求；（2）若首項為1的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式，并指出相應(yīng)的，，的值；（3）設(shè)，，若首項為1的數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項和．12.給定整數(shù)n（n≥4），設(shè)集合A＝{a1，a2，…，an}．記集合B＝{ai+aj|ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}．（1）若A＝{﹣3，0，1，2}，求集合B；（2）若a1，a2，…an構(gòu)成以a1為首項，d（d＞0）為公差的等差數(shù)列，求證：集合B中的元素個數(shù)為2n﹣1；（3）若a1，a2，…，an構(gòu)成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求集合B中元素的個數(shù)及所有元素之和．13.將n個數(shù)a1，a2，…，an的連乘積a1?a2?…?an記為πni=1ai，將n個數(shù)a1，a2，…，an的和a1+a2+…+an記為i=