高等數(shù)學(xué)(專升本)

小學(xué)試題——可以編輯高等數(shù)學(xué)〔專升本〕-學(xué)習(xí)指南一、選擇題1．函數(shù)的定義域?yàn)椤綝】A．B．C．D．解：z的定義域?yàn)椋海识xD。2．設(shè)在處間斷，那么有【D】A．在處一定沒有意義；B．;(即)；C．不存在，或；D．假設(shè)在處有定義，那么時(shí)，不是無窮小3．極限【B】A．B．C．1D．0解：有題意，設(shè)通項(xiàng)為：原極限等價(jià)于：4．設(shè)，那么【A】A．B．C．D．解：對原式關(guān)于x求導(dǎo)，并用導(dǎo)數(shù)乘以dx項(xiàng)即可，注意三角函數(shù)求導(dǎo)規(guī)那么。所以，，即5．函數(shù)在區(qū)間上極小值是【D】A．-1B．1C．2D．0解：對y關(guān)于x求一階導(dǎo)，并令其為0，得到；解得x有駐點(diǎn)：x=2，代入原方程驗(yàn)證0為其極小值點(diǎn)。6．對于函數(shù)的每一個駐點(diǎn)，令，，，假設(shè)，那么函數(shù)【C】A．有極大值B．有極小值C．沒有極值D．不定7．多元函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)【C】A．B．C．D．8．向量與向量平行，那么條件：其向量積是【B】A．充分非必要條件B．充分且必要條件C．必要非充分條件D．既非充分又非必要條件9．向量、垂直，那么條件：向量、的數(shù)量積是【B】A．充分非必要條件B．充分且必要條件C．必要非充分條件D．既非充分又非必要條件10．向量、、兩兩相互垂直，且，，，求【C】A．1B．2C．4D．8解：因?yàn)橄蛄颗c垂直，所以，故而有：11．以下函數(shù)中，不是根本初等函數(shù)的是【B】A．B．C．D．解：因?yàn)槭怯?，?fù)合組成的，所以它不是根本初等函數(shù)。12．二重極限【D】A．等于0B．等于1C．等于D．不存在解：與k相關(guān)，因此該極限不存在。13．無窮大量減去無窮小量是【D】A．無窮小量B．零C．常量D．未定式解：所謂的無窮大量，或者無窮小量只是指的是相對而言，變量的一種變化趨勢，而非具體的值。所以，相對的無窮大量減去相對的無窮小量沒有實(shí)際意義，是個未定式。14．【C】A．1B．C．D．解：根據(jù)原式有：15．設(shè)，那么【D】A．B．C．D．解：對原式直接求導(dǎo)，注意乘積項(xiàng)的求導(dǎo)即可。16．直線上的一個方向向量，直線上的一個方向向量，假設(shè)與平行，那么【B】A．B．C．D．17．平面上的一個方向向量，平面上的一個方向向量，假設(shè)與垂直，那么【C】A．B．C．D．18．假設(shè)無窮級數(shù)收斂，而發(fā)散，那么稱稱無窮級數(shù)【C】A．發(fā)散B．收斂C．條件收斂D．絕對收斂19．下面哪個是二次曲面中拋物柱面的表達(dá)式【A】A．B．C．D．20．設(shè)是矩形：，那么【A】A.B.C.D.解：關(guān)于單位1對于一個矩形區(qū)域進(jìn)行二重積分就是計(jì)算矩形區(qū)域的面積。由題意知：，那么：21．設(shè)，那么【D】A．B．C．D．解：由于，得＝將代入，得=22．利用變量替換，一定可以把方程化為新的方程【A】A．

B．

C．

D．解：z是x，y的函數(shù)，從，可得，，故z是u，v的函數(shù)，又因?yàn)?，。所以z是x,y的復(fù)合函數(shù)，故，，從而左邊=因此方程變?yōu)椋?3．曲線在點(diǎn)處的切線斜率是【A】A．B．C．2D．解：。所以，在點(diǎn)(0,1)處，切線的斜率是：24．【A】A．0B．C．D．解：因?yàn)椋?5．【C】A．B．C．0D．1解：因?yàn)橛薪?，所?6．向量，，，求向量在軸上的投影及在軸上的分量【A】A．27，51B．25，27C．25，51D．27，25解：A因此，27．向量與軸與軸構(gòu)成等角，與軸夾角是前者的2倍，下面哪一個代表的是的方向【C】A．，，B．，，C．，，D．，，解：C設(shè)的方向角為、、，按題意有=，=2由于即化簡得到解得或因?yàn)?、、都?到的范圍里，因此可以通過解反三角函數(shù)得到：，，或者，，28．向量垂直于向量和，且滿足于，求【B】A．B．C．D．解：B因?yàn)榇怪庇谙蛄亢?，故而必定與平行，因此又因?yàn)榧矗航獾茫?9．假設(shè)無窮級數(shù)收斂，且收斂，那么稱稱無窮級數(shù)【D】A．發(fā)散B．收斂C．條件收斂D．絕對收斂30．設(shè)D是方形域：，【D】A.1B.C.D.解：D31．假設(shè)，為無窮間斷點(diǎn)，為可去間斷點(diǎn)，那么【C】A．B．C．D．解：由于為無窮間斷點(diǎn)，所以，故。假設(shè)，那么也是無窮間斷點(diǎn)。由為可去間斷點(diǎn)得，應(yīng)選C。32．設(shè)函數(shù)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，那么當(dāng)時(shí)，有【A】A．B．C．D．解：考慮輔助函數(shù)33．函數(shù)函數(shù)可能存在極值的點(diǎn)是【B】A．B．C．D．不存在解：由作圖知道，函數(shù)在第二象限是減函數(shù)，在第一象限是增函數(shù)。當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值y=5。34．，那么【D】A．B．C．D．解：35．設(shè)，那么【C】A．B．C．D．解：對y關(guān)于x求一階導(dǎo)有：所以，36．設(shè)直線與平面平行，那么等于【A】A.2B.6C.8D.10解：直線的方向向量為，平面的法向量為。因?yàn)橹本€和平面平行，所以兩個向量的內(nèi)積為0。即：得到：37．假設(shè)，那么【A】A.4B.0C.2D.解：因?yàn)樗?8．和在點(diǎn)連續(xù)是在點(diǎn)可微分的【A】A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.無關(guān)條件解：由定理直接得到：如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，那么函數(shù)在該點(diǎn)的全微分存在。39．在面上求一個垂直于向量，且與等長的向量【D】A．B．C．D．解：由題意設(shè)向量，因?yàn)榇怪庇谇?，所以有：，即：由以上方程解得，，，同號故而所求向量或?0．微分方程的通解是【B】A.B.C.D.解：令，由一階線性非齊次微分方程的公式有：二、判斷題1．是齊次線性方程的解，那么也是?！病?．〔不顯含有〕，令，那么?！病辰猓焊鶕?jù)微分方程解的性質(zhì)得到。3．對于無窮積分，有?！病?．在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，假設(shè)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。那么為極小值點(diǎn)?！病辰猓焊鶕?jù)極值判定定理第一充分條件，為極大值點(diǎn)。5．在上連續(xù)，在上有一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，假設(shè)對于,那么在上的圖形是凸的?！病?．二元函數(shù)的極大值點(diǎn)是?！病辰猓涸街?，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取到極小值0；同樣，，當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)，取到極小值0。所以，函數(shù)的極小值點(diǎn)位于〔0，0〕7．設(shè)，其中，那么1?！病辰猓褐苯忧笪⒂?jì)算：8．設(shè)由，，所確定，那么1。〔〕解：由題意得到積分區(qū)域?yàn)楦飨虺叨葹?的立方體，其體積即為1。9．函數(shù)的定義域是?！病辰猓河蓪?shù)定義得到。10．設(shè)，那么?！病?1．是齊次線性方程的線性無關(guān)的特解，那么是方程的通解。()12．齊次型微分方程，設(shè)，那么。()13．對于瑕積分，有，其中為瑕點(diǎn)。()14．在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，假設(shè)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。那么為極大值點(diǎn)。()解：根據(jù)極值判定定理第一充分條件，為極小值點(diǎn)。15．設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，曲線的凹凸性改變了，那么稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)。()16．設(shè)是矩形區(qū)域，那么1〔〕解：顯然該積分表示長為3，寬為1的矩形面積，值應(yīng)為3。17．假設(shè)積分區(qū)域是，那么?！病辰猓菏且粋€外環(huán)半徑為2，內(nèi)環(huán)半徑為1的圓環(huán)，積分式是在圓環(huán)上單位1的二重積分，所以求的是圓環(huán)的面積。原式=18．設(shè)是由，所確定，函數(shù)在上連續(xù)，那么?！病辰猓骸?9．設(shè)不全為0的實(shí)數(shù)，，使，那么三個向量共面?！病?0．二元函數(shù)的極大值點(diǎn)是極大值。〔〕21．假設(shè)為非齊次方程的通解，其中為對應(yīng)齊次方程的解，為非齊次方程的特解。()解：根據(jù)齊次線性方程解的性質(zhì)，與必須是線性無關(guān)的解，是其特解。22．假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么，使得。()23．函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)。()24．在處二階可導(dǎo)，且，。假設(shè)，那么為極大值點(diǎn)。()25．假設(shè)，那么為一條水平漸近線。()解：根據(jù)函數(shù)漸近線的定義和概念可以得到，為一條鉛直漸近線。26．設(shè)表示域：，那么1。〔〕解：由定義得知表示以原點(diǎn)為中心，半徑為1的正球體，故而z軸方向關(guān)于球體的積分值為0。27．微分方程的通解為?！病辰猓簩?yīng)的線性一階齊次方程是：結(jié)合原方程，等式右邊項(xiàng)含x，所以通項(xiàng)公式為：將通項(xiàng)公式帶入原式，得到：代入，得到：最后得到：28．設(shè)，，，且滿足，那么6。〔〕解：經(jīng)計(jì)算向量積得到模值為36。29．,那么。〔〕30．設(shè)為，與為頂點(diǎn)三角形區(qū)域，?！病?1．假設(shè)為非齊次方程的通解，其中為對應(yīng)齊次方程的解，為非齊次方程的解?！病辰猓焊鶕?jù)齊次線性方程解的性質(zhì)，與必須是線性無關(guān)的解，是其特解。32．假設(shè)為的一個原函數(shù)，那么?！病?3．函數(shù)可微可導(dǎo)，且?！病?4．在處二階可導(dǎo)，且，。假設(shè)，那么為極小值點(diǎn)?！病辰猓焊鶕?jù)極值判定定理第二充分條件可以直接得到。35．假設(shè)，那么為一條鉛直漸近線?！病辰猓焊鶕?jù)函數(shù)漸近線的定義和概念可以得到，為一條水平漸近線。36．二元函數(shù)的最小值點(diǎn)是?！病辰猓阂?yàn)樵街校?dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取到極小值0；同樣，，當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)，取到極小值0。所以，函數(shù)的極小值點(diǎn)位于〔0，0〕37．微分方程的一個特解應(yīng)具有的形式是?！病辰猓涸⒎址匠痰奶卣骱瘮?shù)是：，。得到兩個無理根：。即是特征根。因此，特解的形式為：38．設(shè)，那么〔〕解：經(jīng)計(jì)算得到微分表達(dá)式。39．微分方程的通解為?！病辰猓河晌⒎址匠掏ń馇蠼鉁?zhǔn)那么直接得到。40．設(shè)由，，，所確定，且，那么?！病辰猓鹤儞Q積分方程即可求得。三、填空題1．假設(shè)，那么。解：，因此。2．求的導(dǎo)數(shù)。解：此函數(shù)的反函數(shù)為，故那么：3．設(shè)，那么。解：所以，4．設(shè)求。解：由5．將函數(shù)展開成的冪級數(shù)是。解：因?yàn)椋憾遥核裕?．極限。解：07．求。解：8．。解：原式：原式分子有界，分母有界，其余項(xiàng)均隨著趨于無窮而趨于無窮。這樣，原式的極限取決于分子、分母高階項(xiàng)的同階系數(shù)之比。9．設(shè)的頂點(diǎn)為,,，求三角形的面積是。解：由向量的模的幾何意義知的面積.因?yàn)榈?，所以。于?0．無窮級數(shù)的和是。解：先將級數(shù)分解：第二個級數(shù)是幾何級數(shù)，它的和求第一個級數(shù)的和轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)求和，考察因此原級數(shù)的和11．，那么_____，_____。解：，由所給極限存在知,,得,又由,知。12．，求。解：先兩邊取對數(shù)再兩邊求導(dǎo)因?yàn)樗?3．。解：直接積分就可以得到：14．求平行于軸，且過點(diǎn)和的平面方程是。解：由于平面平行于軸，因此可設(shè)這平面的方程為：因?yàn)槠矫孢^、兩點(diǎn)，所以有解得，，以此代入所設(shè)方程并約去，便得到所求的平面方程：15．無窮級數(shù)的收斂發(fā)散性是。解：收斂因?yàn)椋核裕簾o窮級數(shù)收斂16．。解：17．計(jì)算廣義積分。解：18．設(shè)，那么。解：19．冪級數(shù)的收斂區(qū)間是。解：此級數(shù)是缺項(xiàng)的冪級數(shù)令因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)，即時(shí)，級數(shù)發(fā)散。所以冪級數(shù)的收斂區(qū)間為20．冪級數(shù)的收斂域是。解：由于該冪級數(shù)缺項(xiàng)冪級數(shù)，那么直接用比值判別法求之。設(shè)當(dāng)，即時(shí)，原級數(shù)絕對收斂；當(dāng)即時(shí)，原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間是四、解答題圓柱形罐頭，高度與半徑應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最??？解：由題意可知：為一常數(shù)，面積故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。故：時(shí)，用料最省。2．求，其中是由平面，，及所圍成的區(qū)域。解：把化為先對z積分，再對y和x積分的累次積分，那末應(yīng)把投影到平面上，求出投影域.它就是平面與平面的交線和x軸、y軸所圍成的三角區(qū)域。

我們?yōu)榱舜_定出對z積分限，在固定點(diǎn)，通過此點(diǎn)作一條平行于z的直線，它與上下邊界的交

點(diǎn)的豎坐標(biāo)：與，這就是對z積分的下限與