高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)真題源講義保分練(二)

保分練(二)1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S3-2S2=1,a2n+1-2an=3,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=(-1)n-14nanan+1,數(shù)列{b解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由S3-2S2=1,可得(3a1+3d)-2(2a1+d)=1,即a1-d+1=0,①又因?yàn)閍2n+1-2an=3,n∈N*,取n=1,得a3-2a1=3,即a1-2d+3=0,②由①②可得a1=1,d=2,故{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.(2)bn=(-1)n-14nanan+1=(-1)n-1·4n(當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-3+12n-當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-故Tn=22.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積,且2S+3AB→·(1)求A的大小;(2)若a=7,b=1,D為直線BC上一點(diǎn),且AD⊥AB,求△ABD的周長(zhǎng).解:(1)因?yàn)?S+3AB→·AC→=0,所以2×12b·c·sinA+3cosA=0,又b·c>0,所以sinA+3cosA=0,即tanA=-3,又A∈(0,π),所以A=2π3(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cosA,又a=7,b=1,A=2π3,所以c2在△ABC中,由正弦定理得sinB=2114又a>b,所以B為銳角,所以cosB=1-sin2在Rt△ABD中,ABBD=cosB,所以BD=475,AD=BD·sinB=475所以△ABD的周長(zhǎng)為2+235+473.(2022·河北張家口高三期末)已知某區(qū)A,B兩所初級(jí)中學(xué)的初一年級(jí)在校學(xué)生人數(shù)之比為9∶11,該區(qū)教育局為了解“雙減”政策的落實(shí)情況,用分層隨機(jī)抽樣的方法在A,B兩校初一年級(jí)在校學(xué)生中共抽取了100名學(xué)生,調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了頻率分布直方圖.(1)在抽取的100名學(xué)生中,A,B兩所學(xué)校各抽取的人數(shù)是多少?(2)該區(qū)教育局想了解學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的平均時(shí)長(zhǎng)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)3h的學(xué)生比例,請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這兩個(gè)數(shù)值.(3)另?yè)?jù)調(diào)查,這100人中做作業(yè)時(shí)間超過(guò)3h的人中的20人來(lái)自A中學(xué),根據(jù)已知條件填寫列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為做作業(yè)時(shí)間超過(guò)3h與學(xué)校有關(guān)?學(xué)校做作業(yè)時(shí)間合計(jì)超過(guò)3h不超過(guò)3hA校B校合計(jì)附表:α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828附:χ2=n(解:(1)設(shè)A,B兩校所抽取人數(shù)分別為x,y,由已知可得xy=(2)由題圖可知,學(xué)生做作業(yè)的平均時(shí)長(zhǎng)的估計(jì)值為0.5×(1.25×0.1+1.75×0.3+2.25×0.4+2.75×0.6+3.25×0.3+3.75×0.2+4.25×0.1)=2.675(h).由0.5×(0.1+0.2+0.3)=0.3,可知有30%的學(xué)生做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)3h.綜上,估計(jì)該區(qū)學(xué)生做作業(yè)的平均時(shí)長(zhǎng)為2.675h,該區(qū)有30%的學(xué)生做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)3h.(3)由(2)可知,有30%×100=30(人)做作業(yè)時(shí)間超過(guò)3h.故可得列聯(lián)表(單位:人).學(xué)校做作業(yè)時(shí)間合計(jì)超過(guò)3h不超過(guò)3hA校202545B校104555合計(jì)3070100χ2=100×(所以有99%的把握認(rèn)為做作業(yè)時(shí)間超過(guò)3h與學(xué)校有關(guān).4.(2022·江西模擬預(yù)測(cè))如圖,在三棱錐PABC中,△PAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,BC=AC,∠ACB=2π3,D為AB上靠近A的三等分點(diǎn).(1)若PB=22,求證:平面PCD⊥平面PCB;(2)當(dāng)三棱錐PABC的體積最大時(shí),求二面角BPDC的余弦值.(1)證明:因?yàn)椤鱌AC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,所以BC=AC=2,PC=2,又PB=22,所以PB2=PC2+BC2,從而PC⊥BC.因?yàn)锽C=AC,∠ACB=2π3,所以AB=23又因?yàn)镈為AB上靠近A的三等分點(diǎn),所以BD=433,在△BCD中,由余弦定理得CD=4+16因此CD2+BC2=BD2,所以CD⊥BC.又CD∩PC=C,CD,PC?平面PCD,所以BC⊥平面PCD,又BC?平面PCB,所以平面PCD⊥平面PCB.(2)解:由題意,當(dāng)三棱錐PABC的體積最大時(shí),有平面PAC⊥平面ABC.取AC的中點(diǎn)O,連接PO,DO,則PO⊥AC,平面PAC∩平面ABC=AC,PO?平面PAC,從而PO⊥平面ABC,又可得DA=DC,O為AC的中點(diǎn),所以DO⊥AC.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A→,OD→,則B(-2,3,0),C(-1,0,0),D(0,33,0),P(0,0,3從而PC→=(-1,0,-3),PB→=(-2,3,-3),PD→=(0,33設(shè)平面PCD的法向量為n=(x1,y1,z1),則PC→·取z