四年級入學分班考試試卷

目錄第一講消去問題（一）第二講消去問題（二）第三講一般應用題第四講盈虧問題（一）第五講盈虧問題（二）第六講流水問題第七講等差數(shù)列第八講找規(guī)律能力測試（一）第九講加法原理第十講乘法法原理第十一講周期問題（一）第十二講周期問題（二）第十三講巧算（一）第十四講巧算（二）第十五講數(shù)陣問題（一）第十六講數(shù)陣問題（二）能力測試（二）第十七講平面圖形的計算（一）第十八講平面圖形的計算（二）第十九講列方程解應用題（一）第二十講列方程解應用題（二）第二十一講行程問題（一）第二十二講行程問題（二）第二十三講行程問題（三）第二十四講行程問題（四）能力測試（三）第二十五講平均數(shù)問題（一）第二十六講平均數(shù)問題（二）第二十七講長方體和正方體（一）第二十八講長方體和正方體（二）第二十九講數(shù)的整除特征第三十講奇偶性問題第三十一講最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)第三十二講分解質(zhì)因數(shù)（一）第三十三講分解質(zhì)因數(shù)（二）第三十四講牛頓問題能力測試（四）第一講消去問題（一）在有些應用題里，給出了兩個或者兩個以上的未知數(shù)量間的關(guān)系，要求出這些未知數(shù)的數(shù)量。我們在解題時，可以通過比較條件，分析對應的未知數(shù)量變化的情況，想辦法消去其中的一個未知量，從而把一道數(shù)量關(guān)系較復雜的題目變成比較簡單的題目解答出來。這樣的解題方法，我們通常把它叫做“消去法”。例題與方法在學習例題前，我們先進行一些基本數(shù)量關(guān)系的練習，為用消去法解題作好準備。(1)買1個皮球和1個足球共用去40元，買同樣的5個皮球和5個足球一共用去多少元？(2)3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克，1袋大米和1袋面粉共重多少千克？（3）6行桃樹和6行梨樹一共120棵，照這樣子計算8行桃樹和8行梨樹一共有多少棵？（4）學校買了4個水瓶和25個茶杯，一共用去172元，每個水瓶18元，每個茶杯多少元？學校第一次買了3個水瓶和20個茶杯，共用去134元；第二次又買了同樣的3個水瓶和16個差杯，共用去118元。水瓶和茶杯的單價各是多少元？買3個籃球和5個足球共、用去480元，買同樣的6個籃球和3個足球共用去519元?；@球和足球的單價各是多少元？練習與思考１、1袋黃豆和1袋綠豆共重50千克，同樣的7袋黃豆和7袋綠豆共重（）千克。２、買5條毛巾和5條枕巾共用去90元，買1條毛巾和1條枕巾要（）元。３、買4本字典和4本筆記本共、用去了68元，買同樣的9本字典和9本筆記本一共要（）元。４、9筐蘋果和9筐梨共重495千克，找這樣計算，2筐蘋果和2筐梨共重（）千克。５、媽媽買了５米畫布和３米白布，一共用去１０２元?；ú济棵祝保翟撞济棵锥嗌僭?？６、果園里有１４行桃樹和２０行梨樹，桃樹和梨樹一共有４４０棵。每行梨樹１５棵，每行桃樹多少棵？８、食堂第一次運來６袋大米和４袋面粉，一共重400千克；第二次又運來9袋大米和4袋面粉，一共重550千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克？9、3豹味精和7包糖共重3800克，同樣的3包味精和14包糖共重7300克。每包味精和每包糖各重多少克？10、育新小學買了8個足球和12個籃球，一共用去了984元；青山小學買了同樣的16個足球和10個籃球，一共用去1240元。每個足球和每個籃球各多少元？11、買15張桌子和25把椅子共用去3050元；買同樣的5張桌子和20張椅子，需要1600元。買一張桌子和一把椅子需要多少元？12、3頭牛和6只羊一天共吃草93千克，6頭牛和5只羊一天共吃草130千克。每頭牛每天比每只羊多吃多少千克？第二講消去問題（二）7袋大米和3袋面粉共重425千克同樣的3袋大米和7袋面粉共重325千克。求每袋大米和每袋面粉的重量。3..三頭牛和8只羊每天共吃青草93千克，5頭牛和15只羊每天吃青草165千克。一頭牛和一只羊每天各吃青草多少千克？練習與思考3個皮球和5個足球共245元，同樣的6個皮和10個足球共（）元。5盒鉛筆和9盒鋼筆共190支，同樣的2盒鉛筆和6盒鋼筆共100支。3盒鉛筆和3盒鋼筆共（）支，1盒鉛筆和1支鋼筆共（）支。育才小學體育組第一次買了4個籃球和3個排球，共用去了141元；第二次買了5個籃球和4個排球，共用去180元。每個籃球和每個排球各多少元？3筐蘋果和5筐梨共重138千克，5筐同樣的蘋果和3筐同樣的共重134千克。，每筐蘋果和每筐梨各重多少千克？某食堂第一次運進大米5袋，面粉7袋，共重1350千克；第二次運進大米3袋，面粉5袋，共重850千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克？3件上衣和7條褲子共430元，同樣的7件上衣和3條褲子共470元。每件上衣和每條棵子各多少元？2千克水果糖和5千克餅干共64元，同樣的3千克水果糖和4千克餅干共68元。每千克水果糖和每千克餅干各多少元？5包科技書和7包故事書共620本，6包科技書和3包故事書共420本。每包科技書比每包故事書少多少本？3個水瓶和8個茶杯共92元，5個水瓶和6個茶杯共102元。每個水瓶和每個茶杯各多少元？甲有5盒糖，乙有4盒糕共值44元。如果甲、乙兩人對換一盒，則每人所有物品的價值相等。一盒糖、一盒糕各值多少元？第三講一般應用題在小學里，通常把應用題分為“一般應用題”和“典型應用題|”兩大類?！暗湫蛻妙}”

有基本的數(shù)量關(guān)系、解題模式，較復雜的問題可以通過“轉(zhuǎn)化”，向基本的問題靠攏。我們已經(jīng)學過的“和差問題”、和“倍差問題”等等，都是“典型應用題”?！耙话銘妙}|”沒有各頂?shù)臄?shù)量關(guān)系，也沒有可以以來的解題模式。解題時要具體問題具體分析，在認真審題，理解題意的基礎(chǔ)上，理清一知條件與所求問題之間的數(shù)量關(guān)系，從而確定解題的方法。對于比較復雜的問題，可以借助線段圖、示意圖、直觀演示等手段幫助分析。例題與方法例1、把一條大魚分成魚頭、魚身、魚尾三部分，魚尾重4千克，魚頭的重量等于魚尾的重量加身一般的重量，而魚身體、的重量等于魚頭的重量加上魚尾的重量。這條魚重多少千克？例2、一所小學的五年級有四個班，其中五（1）班和五（2）班共有81人，五（2）班和五（3）班共有83人五（3）班和五（4）班共有86人，五（1）班比五（4）班多2人。這所學校五年級四個班各有多少人？例3、甲、乙兩位漁夫在和邊掉魚，甲釣了5條，乙釣了3條，吃魚時，來了一位客人和甲、乙平均分吃這條魚。吃完后來客付了8角錢作為餐費。問：甲、乙兩為漁夫各應得這8角錢中的幾角？例4、一個工地用兩臺挖土機挖土，小挖土機工作6小時，大挖土機工作8小時，一共挖土312方。已知小挖土機5小時的挖土量等于大挖土機2小時的完土量，兩種挖土機每小時各挖土多少方？例5、甲、乙、丙三人用同樣多的錢合買西瓜。分西瓜時，甲和丙都比乙多拿西瓜7。5千克。結(jié)果甲和丙各給乙1.5元錢。每千克西瓜多少元|？例6、小紅有一個儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個。而按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多4角。已知這些硬幣中有36個1分幣。問：小紅的儲蓄筒里共存了多少錢？練習與思考（第1～4題13分，其余每題12分，共100分。）有一段木頭，不知它的長度。用一根繩子倆量它，繩子多15米；如果將繩子對折以后再來量，又不夠04米。問：這段繩子長多少米？甲、乙兩人拿出同樣多的錢合買一段花布，原約定各拿花布同樣多。結(jié)果甲拿了6米，乙拿了14米。這樣，乙就要給甲12元錢。每米花布的單價是多少元？甲、乙丙合三人各出同樣多的錢合買蘋果若干千克。分蘋果時，甲和丙都比乙多拿7。8千克蘋果，這樣甲和丙各應給乙6元錢。每千克蘋果多少錢？學校買了2張桌子和5把椅子，共付了330元。每張桌子的價錢是每把椅子的3倍。每張桌子多少元？某校六年級有甲、乙、丙丁四個班，不算甲班，期于三個班的總?cè)藬?shù)是131人，不算丁班，期于三個班的總?cè)藬?shù)是134人。已知乙、丙兩個班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩個班的總?cè)藬?shù)少1人，甲、乙丙、丁四個班共有多少人？李大伯買了15千克特制面粉和35千克大米，共用去31.2元。已知1千克特特制面粉的價格是1千克大米的2倍。李大伯買特制面粉和大米各用去多少元？14千克大豆的價錢與8千克花生的價錢相等，已知1千克花生比1千克大豆貴12元，大豆和花生的單價各是多少元？某車間按計劃每天應加工50個零件，實際每天加工56個零件。這樣，不僅提前3天完成原計劃加工凌駕的任務，而求多加工了120個零件。這個車間實際加工了多少個零件？用8千克絲可以織6分米寬的綢4米，現(xiàn)在有10千克的絲，要織75分米寬的綢，可以織幾米？|第四講盈虧問題（一）盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對象，如果按某種標準分，則分配后會有剩余（盈）；按另一種標準分，又會不足（虧），求物品的數(shù)量和分配對象的數(shù)量。例如：小朋友分蘋果，如果每人分2個，就多余16個；如果每人分5個，就缺少14個。小朋友有多少個？蘋果有多少個？比較兩次分的結(jié)果，第一次余16個，第二次少14個，兩次相差1+14=30（個）。這是因為第二次比第一次每人多分了5-2=3（個）蘋果。相差30個，就說明有30÷3=10（個）小朋友。請小讀者自己算出蘋果的個數(shù)。例題與方法例1、將一些糖果分給幼兒園小班的小朋友，如果每人分3 粒，就會余下糖果17粒；如果每人分5粒，就會缺少糖果13粒。問：幼兒園下班有多少個小朋友|這些糖果共有多少粒？例2、學生搬一批磚，每人搬4塊，其中5人要搬兩次；如果么人搬5塊，就有兩人沒有磚可搬。搬磚的學生有多少人？這批磚共有多少塊？例3某校在植樹活動中，把一批樹苗分給各班，如果每班分18棵，就會有余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。這個學校有多少個班？這批樹苗共有多少棵？練習與思考小朋友分糖果若每人分4粒則多9粒；若每人呢分5粒則少6粒。問：有多少小朋友？有多少粒糖果？小朋友分糖果，每人分10粒正好分完；若每人呢分16粒，則有3個小朋友分不到糖果。問：有多少粒糖果？在橋上測量橋高。把繩長對折后垂到水面，還余4米；把繩長3折后垂到水面，還余1米。橋高多少米？繩長多少米？某校安排新生宿舍，如果每間住12人，就會有34人沒有宿舍?。蝗绻块g住14人就會有空出4間宿舍。這個學校有多少間？要安排多少個新生？在依次大掃除中，有一些同學被分配擦玻璃，他們當中如果有2人擦4塊，其余的人各擦5塊，就會多下12塊玻璃沒有人擦；如果么人擦6塊，剛好擦完。擦玻璃的同學有多少人？玻璃共有多少塊？有一個數(shù)，減去3所的差的4倍，等于它的2倍加上36。這個數(shù)是多少？體育老師和一個朋友一起上街買足球。他發(fā)現(xiàn)自己身邊的錢，如果買10個“冠軍”牌足球，還差42元；后來他向朋友借了1000元，買了31個“冠軍”牌足球，結(jié)果多了13元。體育老師原來身邊帶了多少元？某小學生乘汽車去春游，如果每輛車坐65人，就會有15人不能乘車；如果每輛車多坐5人恰好多余了一輛車。一共有多少輛汽車？有多少個學生？第五講盈虧問題（二）上一講，我們講了盈虧問題的一般情形，也就是在量詞分配中恰好洋盈（多余），一次虧（不足）。事實上，在許多問題里，也會出現(xiàn)兩次都是盈（多余），或者兩次都是虧（不足）的情況。例1、學校將一批鉛筆獎給三好學生，每人9支缺15支；每人7支就缺7支。問：三好學生有多少人，鉛筆有多少支？例2、某小學的部分同學外出參觀，如果每輛車坐55人就會余下30個座位；如果每輛車坐50人，就還可以坐10人。有多少輛車？去參觀的學生多少人？例3、學校規(guī)定上午8時到校。王強上學去，如果每分鐘走60米，可以提早10分鐘到校；如果每分鐘作嘔50米可以提早8分鐘到校。問：王強什么時候離開家？他家離學校多遠？練習與思考（第1～4題13分，其余每題12分，共100分。）同學們打羽毛球，每兩人一組。每組分6個羽毛球，少10個球；每組分4個羽毛球，少2個球。問：共、有多少個同學打球？有多少個羽毛球？學校將一批鋼筆獎給三好學生，每人8支缺11支；每人7支缺7支。問：三好學生有多少人？鋼筆有多少支？某小學的部分學生去春游，如果每輛車坐50人，就會余下30個座位；如果每輛車坐40個人，還可以坐10人。問有多少輛車？去春游的學生多少人？一筐蘋果分給一個小組，每人5個剩16個；每人7個缺12個。這個小組有多少人？共有多少蘋果？一些學生分練習本。其中兩人每人分6本，其余每人分4本，就會多4本；如果有一人分10本，其余每人分6本，就會少18本。學生有多少人？練習本多少本？一個學生從家到學校，先用每分50米的速度走了2分，如果這樣走下去，他會遲到8分；后來他改用每分60米的速度前進，結(jié)果早到學校5分。這個學生家到學校的路程是多少米？筑路對計劃每天筑路720米，實際每天比原計劃多筑802米，這樣，在規(guī)定完成任務時間的前3天，就只剩下1160米未筑。這條路多長？老師給幼兒園小朋友分蘋果。每2人3個蘋果，多2個蘋果，每3人5個蘋果，少4個蘋果。問：有多少小朋友？多少蘋果？第六講流水問題想一想：從南京長江逆流而上去長江三峽，與從長江三峽順水而下回南京，哪個花的時間少？哪個花的時間多？為什么？原因很簡單。在長江行船與在一個平靜的湖這行船是不一樣的，因為長江的水是一直從西向東（也就是從上游向下游）流著的，船的速度會受到江水的影響。而在平靜的湖水中行船時，船的速度不會受到水流的影響?？紤]船在水流速度的情況下行駛的問題，就是我們這一講要講的流水問題。船在順水航行時（比方說，從長江三峽順流而下到南京），船一方面按照自己本身的速度即船速（船在靜水中行駛的速度）行駛，同時整個水面又按照水的流動速度在前進，水推動著船向前，所以，船順水時的航行速度應該等于船本身的速度與水流速度的和。也就是順水速度=船速+水速比方說，船在靜水中行駛10千米，水流速度是每小時5千米，那么，船順水航行的速度就是每小時10+5=15（千米）。同學們可以想一想，上面的問題中，如果是問“船逆水航行的速度是多少？”答案又該怎么樣呢？船逆水行駛，情況恰好相反。本來船每小時行駛10千米，但由于水每小時又把它往回推了5千米，結(jié)果船每小時只向上游行駛了10—5=5（千米）。也就是船在逆水中的速度等于船速度與水速之差。即逆水速度=船速—水速一艘每小時行駛30千米的客輪，在一河水中順水航行165千米，水速每小時3千米。問：這艘客輪需要航行多少小時？一艘船順水行320千米需要8小時，水流速度是每小時15千米，這艘船逆水每小時行多少千米？這艘船逆水行這段路程，需要多少小時？甲船逆水航行360千米需要18小時，返回原地需要10小時；乙船逆水航行同樣的異端水路需要15小時，返回原地需要多少小時？練習與思考一只小船以每小時30千米的速度在176千米長的河中逆水而行，用了211小時。這只小船返回原處需要用多少小時？船在靜水中的速度是每小時25千米，河水流速位每小時5千米，一只船往返甲、乙兩港共花了9小時，兩港相距多少千米？兩地距280千米，一艘輪船在期間航行，順流用去14小時，逆流用去20小時。求這艘輪船在靜水中的速度和水流的速度。一架飛機所帶的燃料，最多可以用6小時，飛機去是順風，每小時可以飛1500千米，飛回時逆風，每小時可以飛1200千米。這架飛機最多飛出多少千米，就需要往回飛？乙船順水航行2小時，行了120千米，返回原地用了4小時。甲船順水航行同一段水路，用了3小時。甲船返回原地比去時多用多少小時？第七講等差數(shù)列（1）1，2，3，4，5，6，7，8，…（2）2，4，6，8，10，12，14，16，…（3）1，4，9，16，25，36，49，…上面三組數(shù)都是數(shù)列。數(shù)列中稱為項，第一個數(shù)叫第一項，又叫首項，第二個數(shù)叫第二項……以此類推，最后一個數(shù)叫做這個數(shù)列的末項。項的個數(shù)叫做項數(shù)。一個數(shù)列中，如果從第二項起，每一項與它前面一項的差都相等，這樣的數(shù)列叫等差數(shù)列。后項與前項的差叫做這個等差數(shù)列的公差。如等差數(shù)列：4，7，10，13，16，19，22，25，28。首項是4，末項是28，共差是3。這一講我們學習有關(guān)等差數(shù)列的知識。例題與方法在等差數(shù)列1，5，9，13，17，…，401中401是第幾項？100個小朋友排成一排報數(shù)，每后一個同學報的數(shù)都比前一個同學報的數(shù)多3，小明站在第一個位置，小宏站在最后一個位置。已知小宏報的數(shù)是300，小明報的數(shù)是幾？有一堆粗細均勻的圓木，堆成梯形，最上面的一層有5根圓木，每向下一層增加一根，一共堆了28層。最下面一層有多少根？1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+100=？求100以內(nèi)所有被5除余10的自然數(shù)的和。小王和小胡兩個人賽跑，限定時間為10秒，誰跑的距離長誰就獲勝。小王第一秒跑1米，以后每秒都比以前一秒多跑0.1米，小胡自始至終每秒跑1.5米，誰能取勝？練習與思考（每題10分，共100分。）數(shù)列4，7，10，……295，298中298是第幾項？蝸牛每小時都比前一小時多爬0.1米，第10小時蝸牛爬了1.9米，第一小時蝸牛爬多少米？在樹立俄，10，13，16，…中，907是第幾個數(shù)？第907個數(shù)是多少？求自然數(shù)中所有三位數(shù)的和。求所有除以4余1的兩位數(shù)的和。0.1+0.3+0.58.+0.7+0.9+011+013+015+…099的和是多少？梯子最高一級寬32厘米，最底一級寬110厘米，中間還有6級，各級的寬度成等差數(shù)列，中間一級寬多少厘米？有12個數(shù)組成等差數(shù)列，第六項與第七項的和是12，求這12個數(shù)的和。一個物體從高空落下，已知第一秒下落距離是4.9米，以后每秒落下的距離是都比前一秒多9.8米50秒后物體落地。求物體最初距地面的高度。求下面數(shù)字方陣中所有數(shù)的和。1，2，3，…，98，99，1002，3，4，…99，100，1013，4，5，…，100，101，102……100,101,102,…197,198,199第八講找規(guī)律你能找出下面各數(shù)列暴烈的規(guī)律嗎？請在括號內(nèi)填上合適的數(shù)》8，15，22，（），36，…；17，1，15，1，13，1，（），（），9，1，…；45，1，43，3，41，5，（），（），37，9，…；1，2，4，8，16，（），64，…；10，20，21，42，43，（），（），174，175，…；1，2，3，5，8，13，21，（），55。1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，6，7，…從第一個數(shù)算起，前100個數(shù)的和是多少？.練習與思考（第1題30分，其余每題10分，共100分。）找規(guī)律，在括號內(nèi)填上合適的數(shù)。1,3,9,27,(),243;2,7,12,17,22,(),(),37;1,3,2,4,3,(),4;0,3,8,15,24,(),.48;6,3,8,5,10,7,12,9,(),11;2,3,5,(),(),17,23;81,64,（），36，（），16，9，4，1；21，26，19，24，（），（），15，20；1，8，9，17，26，（），69；4，11，18，25，（），39，46；一串數(shù)按下面規(guī)律排列：1，3，5，2，4，6，3，5，7，4，6，8，5，7，9，…從第一個數(shù)算起，前100個數(shù)的和是多少？有一串黑白相間的珠子（如下圖），第100個黑珠前面一共有多少個白珠？在平面中任意作100條直線，這些直線最多能形成多少個交點？在平面中任意作20條直線，這些直線最多可把這個平面分成多少個部分？序號12345算式1+12+33+51+72+9序號6789…算式3+111+132+153+17…根據(jù)上面的規(guī)律，第40個序號的算式是什么？算式‘1+103“的序號上多少？小正方形的邊長是1厘米，依次作出下面這些圖形。

已知第一幅圖的周長是10厘米。（1）36個正方形組成的圖形的周長是多少厘米？（2）周長是70厘米的圖形，由多少個正方形組成？已知第一幅圖的周長是10厘米。36個正方形組成的圖形的周廠是多少厘米？周長是70厘米的圖形，由多少個正方形組成？在方格紙上畫折線（如本講例4圖），小方格的邊長是1，圖中的1，2，3，4，…分別表示折線擴大第1，2，3，4，…段。求折線中第100段的長度。長度是30的是第幾段？能力測試（一）填空題（每空3分，工39分）。在下面的括號里按照規(guī)律填上適當?shù)臄?shù)字。1，2，3，4，8，16，（），64，128。5，10，15，20，25，（），35，40。4，7，10，13，16，（），22，25。1，1，2，3，5，8，13，21，（）1024，512，256，（），64，32，16，8，4。2，5，11，20，32，（），65，86。1，3，2，4，3，5，（），6，5。1，4，9，16，25，（），49，64。9個人9天共讀書1620頁，平均1個人1天共讀書（）頁；照這樣計算，5個同學5天讀書（）頁。如果平均1個同學1天植樹（）棵，那么，3個同學4天共植樹120棵。買3只足球和9只籃球共用了570元，買9只足球和27只籃球要用（）元。計算題（每小題5分，共10分）。2+4+6+8+10+…+22+24+261+2+3+4+5+6+…+1996+1997+1998應用題（第1～4題10其余每題10分，第5題11分，共51分）。李老師將一疊練習本分給第一組的同學，如果每人分7本，還多7本。如果每人分9，那么有一個同學譯本也分不到。第一組有多少同學？這疊練習本一共有多少本？一只小船在河中逆流航行176千米，用了11小時。一知水流速度是每小時4千米，這只小船返回原處要用多少小時？4只籃球和8只足球共買560元，6只籃球和3只足球共買390元。問：一只籃球和一只足球各買多少元？有10元鈔票與5元鈔票共128張，其中10元比5元多260元。兩種面額的鈔票各是多少張？下面是一種特殊數(shù)列的求和方法。要求數(shù)列2，4，8，16，32，64，…，1024，2048的和，方法如下：S=2+4+8+16+32+64+…+1024+204822S=4+8+16+32+64+…+1024+2048+4096用下面的式子減去上面的式子，就得到S=4096–2=4094即數(shù)列2，4，8，16，32，64，…，1024，2048的和是4094。仔細閱讀上面的求和方法，然后利用這種方法求下面數(shù)列的和。1，3，9，27，81，243，…，177147，531441。第九講加法原理在日常生活與實踐中，我們經(jīng)常會遇到分組、計數(shù)的問題。解答這一類問題，我們通常運用加法與那里與乘法原理這兩個基本的計數(shù)原理。熟練掌握這兩個原理，不僅可以順利解答這類問題，而求可以為今后升入中學后學習排列組合等數(shù)學知識打下好的基礎(chǔ)。什么叫做加法原理呢？我們先來看這樣一個問題：從南京到上海，可以乘火車，也可以乘汽車、輪船或者飛機。假如一天中南京到上海有4班火車、6班汽車，3班輪船、2班飛機。那么一天中乘做這些交通工具從南京到上海共有多少種不同的走法？我們把乘坐不同班次的火車、汽車、輪船、飛機稱為不同的走法，那么從南京到上海，乘火車有4種走法，乘汽車有6種走法，乘輪船有3種走法，乘坐飛機有2種走法。因為每一種走法都可以從南京到上海，因此，一天中從南京到上海共有4+6+3+2=15(種)不同的走法。我們說，如果完成某一種工作可以有分類方法，一類方法中又有若干種不同的方法，那么完成這件任務工作的方法的總數(shù)就等于各類完成這件工作的總和。即N=m1+m2+…+mn(N代表完成一件工作的方法的總和，m1,m2,…mn表示每一類完成工作的方法的種數(shù))。這個規(guī)律就乘做加法原理。書架上有10本故事書，3本歷史書，12本科普讀物。志遠任意從書架上取一本書，有多少種不同的取法？例2一列火車從上上海到南京，中途要經(jīng)過6個站，這列火車要準備多少中不同的車票？例3在4x4的方格圖中（如下圖），共有多少個正方形？例4媽媽，爸爸，和小明三人去公園照相：共有多少種不同的照法？練習與思考從甲城到乙城，可乘汽車，火車或飛機。已知一天中汽車有2班，火車有4班，甲城到乙城共有（）種不同的走法。一列火車從上海開往杭州，中途要經(jīng)過4個站，沿途應為這列火車準備____種不同的車票。3.下面圖形中共有____個正方形。圖中共有_____個角。書架上共有７種不同的的故事書，中層６本不同的科技書，下層有４鐘不同的歷史書。如果從書架上任取一本書，有____種不同的取法。平面上有８個點（其中沒有任何三個點在一條直線上），經(jīng)過每兩個點畫一條直線，共可以畫_____條直線。圖中共有_____個三角形。圖中共有____個正方形．從2，3，5，7，11，13，這六個數(shù)中，每次取出兩個數(shù)分別作為一個分數(shù)的分子和分母，一共可以組成_____個真分數(shù)．某鐵路局從Ａ站到Ｆ站共有６個火車站（包括Ａ站和Ｆ站）鐵路局要為在Ａ站到F站之間運行的火車準備_____種不同的車票，其中票價不相同的火車票有_____種。第十講乘法原理上一講我們學習了用“加法原理”計數(shù)，這一講我們學習“乘法原理”。什么是乘法原理呢？我們來看這樣一個問題：從甲地到乙地有3條不同的道路，從乙地到丙地有4條不同的道路。從甲地經(jīng)過乙地到丙地，共有多少種走法？我們這樣思考：從甲地到乙地的3條道路中任意選一條都可以從甲地到乙地，再從乙地大丙地的4條道路中任意選一條都可以從乙地到丙地，那么，從甲地到乙地的3條道地第一條到達乙地后，可以走從乙地到丙地的任意一條路，這樣就有了4種不同的走法。從甲地到乙地的第二條、第三條路到達乙地后，仍可以從乙地到丙地的4條路中任選一條到丙地，如圖所示：從圖中可以看出，從甲地到丙地共有3X4=12（種）走法。如果完成一件事情需要幾個步，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，…那么，完成這件工作共有N=m1xm2xm3x…xmn種不同的方法。這就是乘法原理。書架上有4本故事書，7本科普書，志遠從書架上任取一本故事書和一本科普書，共有多少種不同的取法？從2、3、5、7、11這五個數(shù)字中每次取出2個數(shù)字，分別作為一個分數(shù)的分子和分母，一共可以組從多少個分數(shù)？其中有多少個真分數(shù)？用9、8、7、6這四個數(shù)可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？這些位數(shù)的和是多少？如圖，A、B、C、D四個區(qū)域分別用紅、黃、藍、白四種顏色中的某一種染色。若要求相鄰的區(qū)域染不同的顏色，問：共有多少種不同的染色方法？ABCD如圖，小明家到學校有3條東西向的馬路和5條南北向的馬路。他每天步行從家到學校（只能向東或向南走），最多有多少種不同的走法？小明家學校練習與思考1.從甲地到乙地有兩條河，從乙地到丙地有3條路可走，從甲地經(jīng)乙地到丙地共有種走法。2.書架的上、中、下層各有3本、5本、、4本故事書。若要從每層書架上任取一個本書，共有種不同的取法。3.有1，2，3，三數(shù)字，一共可以組成個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)。4.兩個班級進行乒乓球比賽，每班選3人，每人都要和對方的每個選手賽一場，一共要賽場。5.從5，7，11，13這四個數(shù)中每次取2個數(shù)組成分數(shù)，一共可以組成個分數(shù)，其中真分數(shù)有個。6.圖中一共有個不同的長方形。7.一個口袋里裝有5個小球，另.一個口袋里裝有4個小球。這些小球的顏色互不相同。（1）從兩個口袋里任意取一個小球，有種不同的取法。（2）從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有種不同的取法。8.某信號兵用紅、黃、藍三面棋從上到下掛在旗桿上的三個位置表示信號。每次可掛一面、二面或三面，并且不同的順序、不同的位置表示不同的信號。一共可以表示種不同的信號。9.用0到9這十個數(shù)字可以組成個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)。第十一講周期問題（一）世間萬物，千奇百怪；運動變化，千姿百態(tài)?？蛇@貌似“雜亂無章”的世界卻受到各式各樣的規(guī)律支配著。在這些規(guī)律中，有一種最常見的規(guī)律就是從形形色色的周期現(xiàn)象中提煉出來的規(guī)律。如果某一事物的變化具有周期性，那么，該事物在經(jīng)歷一段變化后，又會呈現(xiàn)原倆的狀態(tài)。我們把事物所經(jīng)歷的這一段，叫該事物變化的周期。例如，在自然數(shù)列中，各位數(shù)字變化的周期是10；星期日出現(xiàn)的周期是7（天）；用動物記年的走器是12（年）等等。在數(shù)學中，我們把與周期性有關(guān)的數(shù)學問題叫做周期問題。解答這類問題，要抓住一下幾點：找出規(guī)律，發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象。把要求的問題和某一周期的變化相對應，以求得問題解決。有249朵花，按5朵紅花，9朵黃花，13朵綠花的順序輪流排列，最后一朵是什么顏色的花？這249朵花中，紅花、黃花、綠花各有多少朵？1997年元旦是星期三，那么，同年12月1日是星期幾？國慶節(jié)，路旁掛起了一盞盞彩燈，小華看到每兩盞白燈之間有紅、黃、綠燈各一盞。那么，第80盞燈應是什么顏色的？71998表示1998個7連乘，它的結(jié)果末位上的數(shù)字是幾？下面是一個11位數(shù)，每3個相鄰數(shù)字之和都是17，你知道“？”表示的數(shù)字是幾嗎？8？6思考與練習把1\7化成小數(shù)，請回答：（1）小數(shù)點后面第80個數(shù)字是幾？（2）小數(shù)點后面前80個數(shù)字的和是多少？把1\81化成小數(shù)后，小數(shù)點后面100位數(shù)字之和是多少？今天是星期一，從明天開始第1800天是星期幾？有同樣大小的紅珠、白珠、黑株共有160個？按4個紅株，3個白株，2個黑株的順序排列著。黑株共有幾個？第101個株子是什么顏色？我國農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬這12種動物按順序輪流代表各年號。如果1940年是龍年，那么，1996年是什么年？科學家進行一項試驗，每隔6小時做一次記錄。第10次記錄時，掛鐘的時針恰好指向7，問：做第幾一次記錄時，時針指向幾？12415表示15個124連乘，所得積的末位數(shù)字是幾？下面是一個11位數(shù)，每三個相鄰數(shù)字之和都是15，你知道問好表示的數(shù)字是幾嗎？這個11位數(shù)水多少？8？第十二講周期問題（二）有13名小朋友編成1到13號，他們呢依次圍成月毫個源泉做游戲?，F(xiàn)在從1號開始，每數(shù)到第3個人發(fā)一粒糖（每人只拿一次糖）。那么，最后一個拿到糖的小朋友是幾號？緊接著1998后面寫一串數(shù)字，寫下的每個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的各個位數(shù)。例如，9X8=72 。在8后面寫1，8，X2=16，在2后面寫6，……得到一串數(shù)：199826……這串數(shù)字從1開始往右數(shù)，第1998個數(shù)字是幾？把自然數(shù)按下表規(guī)律排列后，可分成A、B、C、D、E五類，例如，3在C類，10在B類。那么985在哪一行，哪一類？ABCDE123487659101112………13…………把1至8個數(shù)碼擺成一個圓圈《現(xiàn)在有一個小球，第一天從1號順時針前進203個位置，第二天再順時針前進335個位置，第三天又順時針前進203個位置，第四天再舒適鎮(zhèn)前進335個位置，第五天又順時針前進203個位置……試問：至少經(jīng)過幾天后，小球又回到1號位置？下表中，將每列上下兩個漢字組成一組，例如，第一組為（學做），第二組為（習接）。那么第649組是什么？學習好學習好學習好…做接班人做接班人做…在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔６厘米染一個紅點，同時自右至左每隔５厘米也染一個紅點，然后沿紅點處將木棍逐段鋸開。那么，長度是1厘米的短木棍有多少根？練習與思考（第1～4題每題17分，其余每題16分，共100分。）有a、b、c、d四條直線（如圖），從直線a上開始，按箭頭方向從1開始依次在a、b、c、d上寫自然數(shù)1，2，3，4，5，6，…106在哪條線上？直線a上第56個數(shù)是多少？.在一列數(shù)2，9，8，2，…從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)成積的個位數(shù)。比如，第三個數(shù)8，是前兩個數(shù)的積2X9=18的個位數(shù)字。這一列數(shù)的第180個數(shù)是幾？3.將奇數(shù)1，3，5，7，…依次排成五列（如圖），把最左邊的一列叫做第一列，從左到右依次將每列寫上數(shù)。1997出現(xiàn)在哪一列？135715131191719212331292725…4.把16把椅子擺成一個圓圈，依次編上1到16號。現(xiàn)在有一個人從第一號椅子順時針前進213把椅子，再逆時針前進285把椅子，又順時針前進213把椅子，再逆時針前進285把椅子，又順時針前進12把椅子，這時他到了第幾號椅子？5.下表中每列上下兩個漢字和字母組成一組，例如，第一組是（我A），第二組是（們B），…我們愛數(shù)學我們愛數(shù)學我…ABCDABCDABC…第82組是什么？如果（愛C）代表1978年，（數(shù)D）代表1979年，…那么，2000年將對應哪一組？在一根長80厘米的木棍上，自左至右每隔5厘米染上一個紅點，同時自右至左每隔4厘米染上一個紅點，然后沿紅點處將木棍逐段鋸開，那么，長度是1厘米的短木棍有多少根？第十三講巧算（一）德國大教育家高斯（1777-1855）讀小學的時候，有一天，老師出了這樣一道題：1+2+3+…+99+100的和是多少？老師剛把這道題說完，小高斯已迅速、準確地說出了答案5050，這令班上的同學吃驚不已。原來高斯是用一種巧妙的方法算出這道題的。后來人們稱這種計算方法為“高斯原理”。同學們一定想提高自己的計算能力，使自己計算時算得又快又巧。這一講，我們學習整數(shù)的巧算，也就是根據(jù)數(shù)的點，數(shù)的排列規(guī)律，巧妙地運用運算定律或性質(zhì)，使計算簡便。例題與方法例1．計算（1+3+3+…+1999）-（2+4+6+…+1998）例2．計算99999×77778+33333×66666例3．計算654321×123456-654322×123455=654321*123456-654321*123455-123455例4．計算1234562-1234552例5．9=3×3，16=4×4，這里“9”和“16”都叫做“完全平方數(shù)”。在前300個自然數(shù)中，“完全平方數(shù)”的和是多少？練習與思考1．計算1+2+3+…+199+2002．計算100+99-98+97-96+…3-2+13．計算1961+1971+1981+1991+20014．計算1990-1985+1980-1975+…+20-15+10-55．計算999+99+9+9999+999996．計算33333×666667．計算9999×2222+3333×33348．計算1989×1999-1988×20009．計算1999+999×99910．計算333333211．已知數(shù)列1，4，7，10，…（1）這列數(shù)的第21項是多少？（2）118是這列數(shù)中的第幾個數(shù)？12．在前200個自然數(shù)中，去掉所有的“完全平方數(shù)”，剩下的自然數(shù)的和是多少？13．計算2974×302614．計算202-192+182-172+…+22-1215．計算1997×19981998-1998×19971997第十四講巧算（二）上一講我們學習了整數(shù)的巧算，這一講我們學習小數(shù)的巧算。例1．計算578.47-4.62-78.47-3.38例2．計算0.9999×1.3-0.1111×2.7例3．計算3.6×31.4+43.9×6.4例4．7.37×12.5×0.15×16例5．計算0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.99例6．計算（44332-443.32）÷（88664-886.64）練習與思考用簡便方法計算下面各題。1．15.4-2.17-3.83+4.62.25.6-(0.23+5.6)-51.73.146.95-48.3-6.95-51.74.12.5×0.64×2.55.36.3×4.5+6.37×456.1+0.2+0.3+0.4+0.5+8.9+8.8+8.7+8.6+8.57.0.876+0.765+0.654+0.543+0.4328.36×2.54+1.8×49.29.5.76×1.1+57.7×0.8910.(22944-22.944)÷(45888-45.888)11.16.15÷1.8+1.85÷1.812.(4.8+3.6+2.4+1.2)÷1.813.2.8×7.2×5.1÷2.8÷3.6÷5.114.0.7777×0.7+0.1111×215.(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+…+(99+1.2×99)+(100+1.2×100)第十五講數(shù)陣問題（一）把給定的一些數(shù)，按照一定的要求或規(guī)律填在規(guī)定形狀的圖形中，這樣的圖形叫做數(shù)陣圖。傳說在四千年前，洛河洪水泛濫，大禹去治水。有一天，從河里浮出其不意一只大烏龜，龜馱著一本書，稱為“洛書”，書上有一幅奇特的圖案（見下左圖）。492357816這幅圖用現(xiàn)在的數(shù)字表示，即為1到9這九個數(shù)字，填在九個格子里，每一縱列、每一橫行以及兩條對角線上的三個數(shù)字之和都是15（見上右圖）。多么巧妙、奇特的數(shù)字圖！我國古代數(shù)學家稱它為“縱橫圖”可“九宮圖”，國外稱它為“魔方”或“幻方”。我們這一講學習的數(shù)陣問題就是由幻方演變而來的填數(shù)問題。數(shù)陣問題的題型主要有三種：（1）輻射型；（2）封閉型；（3）綜合型。這一講我們學習三階幻方和輻射型數(shù)陣圖。例題與方法5例1．將1～9九個數(shù)字填在右圖正方形的九個方格中，使得每個橫行、豎列和對角線上三個數(shù)的和都相等。例2．用7、9、11、13、15、17、19、21、23構(gòu)制一個三階幻方。67例3．下面是一個九宮圖，第一行第三列上的數(shù)是6，第二行第一列上的數(shù)是7，請你在其他位置上填上適當?shù)臄?shù)，使每行、每列以及每條對角線上三個數(shù)的和為30。例4．把3、4、5、6、7這五個數(shù)分別填入下圖中的五個方格里，使橫行、豎列三個數(shù)的和都是14。例5．將1～7分別填入右圖中的○內(nèi)，使每條線段上三個○內(nèi)數(shù)的和相等。例6．把1～9九個數(shù)填入“七一”內(nèi)，使每一橫行、豎行的數(shù)字和是13。練習與思考1．按四個填數(shù)步驟把4～12這9個數(shù)填在右圖3×3的格內(nèi)，制成三階幻方。2．用“楊輝法”，將9～17這9個數(shù)制成三階幻方。3．用11，13，15…，25，27這9個數(shù)制一個三階幻方。4.用4,6,8,14,16,18,24,26,28制一個三階幻方。5．在圖中空格內(nèi)填上適當?shù)臄?shù)，使每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和都為27。1213142419142419142419第5題第6題6．將圖中的數(shù)重新排列，使每行、每列以及每條對角線上三個數(shù)的和相等。7．將5，6，7，8，9五個數(shù)分別填入圖中，使橫行、豎行三個數(shù)的和都是21。8．將3～9這7個數(shù)填入圖中的○內(nèi)，使每條線段上三個○內(nèi)的數(shù)的和相等。9．將1～13這13個數(shù)分別填入圖中的○內(nèi)，使每條線段上四個○內(nèi)的數(shù)的和相等。10．將1～6這六個數(shù)分別填入圖中的○內(nèi)，使每條直線上三個○內(nèi)所填數(shù)的和相等。11．將1～8這八個數(shù)填入方格內(nèi)，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中間四格、對角線和四角四格內(nèi)四個數(shù)相加的和都是18。12．將九個不同的自然數(shù)填入九宮圖中，使得每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的積都相等。第十六講數(shù)陣問題（二）上一講我們學習了三階幻方數(shù)陣圖的輻射數(shù)陣圖，這一講我們學習封閉型數(shù)陣圖和復合型數(shù)陣圖。例1．將1～6這六個數(shù)分別填入圖中的○內(nèi)，使每條邊上三個○內(nèi)的數(shù)字之和相等。例2．將5～14這十個自然數(shù)填入右圖中的○內(nèi)，使每個大圓上六個數(shù)的和是55。例3．將1～10這十個自然數(shù)分別填入圖中的十個○內(nèi)，使各條線段上四個○內(nèi)數(shù)的和相等，每個三角形三個頂點上○內(nèi)數(shù)的和也相等。例4．把0～9這十個整數(shù)分別填入右圖圓圈中，使每個正方形頂點上四個數(shù)字之和相等。練習與思考1．將5～10這六個自然數(shù)分別填入圖中的○內(nèi)，使圖中每條邊上三個數(shù)的和都是21。2．將1—10這十個自然數(shù)填入圖中的○內(nèi)，使五邊形每條邊上的三個數(shù)之和相等，并使和盡可能地小。3．將1—9這九個自然數(shù)分別填入圖中九個小三角形中，使每4個小三角形組成的三角形內(nèi)的4個數(shù)的和等于20。4．將1—9這九個自然數(shù)分別填入圖中九個小三角形中，要求靠近三角形每條邊上五個數(shù)的和相等，并盡可能地大。這五個數(shù)之和最大是多少？5．將1—8這八個自然數(shù)分別填入圖中的○內(nèi)，使每個大圓上五個○內(nèi)所填數(shù)的和等于21。6．將3—10這八個自然數(shù)填在圖中立方體八個頂點上的○中，使立方體每個面四個頂點上○中數(shù)的和相等。7．將1—9這九個自然數(shù)填入圖中的○內(nèi)，使對角結(jié)上五個○內(nèi)數(shù)的和相等，每個正方形四個頂點上數(shù)的和也相等。8．如圖，三個正方形組成八個三角形?，F(xiàn)在把每個正方形的四個頂點上都分別填上2，3，4，5這四個數(shù)。這連續(xù)的八個自然數(shù)各是多少|(zhì)9．如圖，三個圓相互交割成七部分，請在空白部分中分別五上2，3，5，7，使每個圓圈內(nèi)四個數(shù)之和都等于15。10．上右圖是五圓連環(huán)圖，相互交割成九個部分。將1—9這九個自然數(shù)分別填入九個部分內(nèi)，使每個圓圈里數(shù)的和都相等。11．下左圖中有三個正三角形，其中有三條通過四點的線段。請你把1—9這九個自然數(shù)分別填在九個黑點的旁邊，使每個正三角形頂點上三個數(shù)的和相等，每條線段上四個數(shù)的和也相等。12．將1—16這16個自然數(shù)填入圖中的16個圓圈內(nèi)，使每條線段上四個圓圈內(nèi)數(shù)的和相等，兩個八邊形頂點上的數(shù)的和也相等。能力測試（二）一、計算（每小題4分，共32分）。1．9+99+999+9999+99999+9999992．1998+1996+1994+1992+…+4+23．1.999+2.998+3.997+4.996+…+999.0014.2.19+6.48+0.51-1.38-5.48-0.625.0.6×1.6+0.6×26.4+0.6×26.7.5×45+17×2.57.1998+199.8+19.98++1.998+0.19988.205×32-68×95二、解答下面和問題1．下面是一個沒有寫完成的算式，請你在等式左邊的數(shù)字之間插入一些括號和運算符號，使等式成立。（在兩個相連數(shù)之間，如果沒有插入括號或運算符號，就應看成是兩位數(shù)。比如1和2之間不加括號或運算符號，就看成是12。）123456789=722．0，1，2，3四個數(shù)字，共能組成多少個各位數(shù)字不同的四位數(shù)？3．把元錢換成角票，共有幾種換法？（人民幣中的角票有五角、二角、一角三種。）4．在下面和空格中填上1，2，3，4，5，6，7，8，9，使得每行、每列、兩條對角線上的三個數(shù)之和都相等。5．1998個1998相乘，結(jié)果的末位數(shù)字是多少？6．下面寫了一串數(shù)：0，1，6，7，12，13，18，19，…按照這個規(guī)律寫下去，第1998個數(shù)被除余多少？7．下面圖中，從左向右、從上到下讀“我們愛數(shù)學”，共有多少種讀法？我們愛們愛數(shù)愛數(shù)學8.在自然數(shù)中，從1998開始往后數(shù)，第1998個不能被7整除的數(shù)是多少？第十七講平面圖形的計算（一）在這兩講，我們主要討論這樣的問題：根據(jù)已知平面圖形的特點以及圖中各部分之間的關(guān)系，應用公式或其他數(shù)量關(guān)系，計算出該圖形（或其中某個部分）的面積或圖形中有關(guān)線段的長度。到目前為止，我們已經(jīng)學過了長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形這五咱簡單圖形，它們的概念、性質(zhì)（特征）與它們的周長、面積的意義的計算公式，課本上都作了介紹。這些都是我們解答“圖形計算”問題所必需的基礎(chǔ)知識。例題與方法例1．圖中的甲和乙都是正方形，求陰影部分的面積。（單位：厘米）例2．計算右圖的面積。（單位：厘米）例3．如圖，已知四條線段的長分別是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有兩個直角。求四邊形ABCD的面積。例4．右圖是兩面三刀個相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積。（單位：分米）例5．下頁左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16，寬是10，中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，那么，有草部分（陰影部分）的面積有多大？（單位：米）練習與思考1．求圖中陰影部分的面積。2．求圖中陰影部分的面積。3．下左圖的長方形中，三角形ADE與四邊形DEBF和三角形CDF的面積分別相等，求三角形DEF的面積。4．四中平等四邊形ABCD的邊BC長10厘米，直角三角形BCE的直角邊EC長8厘米，已知陰影部分的面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求CF的長。5．圖中三角形的高為4，面積為16；長方形的寬為6，長方形的面積是三角形面積的多少倍？6．如圖，長方形的長是8，寬是6，A和B是寬的中點，求長方形內(nèi)陰影部分的面積。7．如圖，BC長為5，求畫斜線的兩個三角形的面積之和。8．上右圖是兩個一樣的直角三角形重疊在一起，按照圖上標出的數(shù)，計算陰影部分的面積。9．右圖是一塊長方形草地，長方形長為16，寬為12，中間有一條寬為2的道路，求草地（陰影部分）的面積。第十八講平面圖形的計算（二）例1．一個正方形，如果它的邊長增加5厘米，那么，所成的正方形比原來正方形的面積多95平方厘米。原來的正方形的面積是多少平方厘米？例2．右圖中由9個小長方形組成的一個大長方形。按圖中的編號，1號、2號、3號、4號、5號長方形的面積依次為1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米、4平方厘米、5平方厘米。求6號長方形的面積。132456例3．右圖中三角形ABC為等邊三角形，D為AB邊上的中點。已知三角形BDE的面積為5平方厘米。求等邊三角形ABC的面積。例4．右圖中長方形的長為12厘米，寬為6厘米。把它的長3等分，寬2等分，然后在長方形內(nèi)任取一點，把這一點與分點及頂點連結(jié)（如圖）。求圖中陰影部分的面積。例5．把一塊邊長為9.5分米的正方形鋼板切割成兩條直角邊分別為4.5分米的直角三角形小鋼板，最多可以切割成多少塊？練習與思考1．有四個完全一樣的直角三角形，它們的兩條直角邊分別是7厘米、5厘米。把它們拼成下左圖圖的正方形，求大、小兩個正方形的面積。第2題第2題2．上右圖中，大、小兩個正方形對應邊的距離均為1厘米。已知兩個正方形之間部分的面積是20平方厘米，求小正方形的面積。3．求下左圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）4．上右圖中，長方形的周長是多少厘米？（單位：厘米）5．下左圖中，甲三角形的面積比乙三角形的面積大多少平方厘米？（單位：厘米）6．求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）7．如圖，在腰長為10厘米，面積為34平方厘米的等腰三角形的底邊上任意取一點，設(shè)這個點到兩腰的垂線段分別長a厘米和b厘米，那么，a+b的長度是多少厘米？8．一個正方形，面積為18.75平方厘米。在正方形內(nèi)有兩條平行于對角的線段把正方形分成3等份（如圖）。圖中線段AB、CD各長多少厘米？9．如圖，在梯形ABCD中，BO的長度等于DO長度的2倍，陰影部分的面積是4平方分米。求梯形ABCD的面積。10．在等腰三角形ABC中，AB的長度是AC的2倍，如果這個等腰三角形中的周長是200厘米，那么，BC長多少厘米？11．一個梯形，它的下底是上底的2倍。如果上底延長7厘米，就形成一個面積是42平方厘米的平行四邊形。這個梯形的面積是多少平方厘米？12．一個直角梯形的周長是48厘米，兩底之和是兩腰之和的4倍，一條腰的長度是另一條腰的1.5倍。還應這個梯形的面積。13．一個長方形，如果長增加2厘米，寬增加5厘米，那么，面積增加60平方厘米，這時恰好成為一個正方形。原來長方形的面積是多少平方厘米？第十九講列方程解應用題（一）列方程解應用題是小學數(shù)學的一項重要內(nèi)容，是一種不同于算術(shù)解法的新的解題方法。傳統(tǒng)的算術(shù)方法，要求用應用題里給出的已知條件，通過四則運算，逐步求出未知量。而列方程解應用題是用字母來代替未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系，列出含有未知數(shù)的等式，也就是方程，然后解出未知數(shù)的值。它的優(yōu)點在于可以使未知數(shù)直接參加運算。列方程解應用題的關(guān)鍵在于能夠正確地設(shè)立未知數(shù)，找出等量關(guān)系，從而建立方程。而找出等量關(guān)系，又在于熟練運用數(shù)量之間的各種已知條件。掌握了這兩點，就能正確地列出方程。列方程解應用題的一般步驟是：1．弄清題材意，找出未知數(shù)，并用x表示；2．找出應用題中數(shù)量之間的相等關(guān)系，列方程；3．解方程；4．檢驗，寫出答案。例題與方法例1．一個數(shù)的5倍加上10等于它的7倍減去6，求這個數(shù)。例2．兩塊地一共100公頃，第一塊地的4們比第二塊地的3倍多120公頃。這兩塊地各有多少公頃？例3．瑯琊路小學少年數(shù)學愛好者俱樂部五年級有三個班，一班人數(shù)是三班人數(shù)的1.12倍，二班比三班少3人，三個班共有153人。三個班各有多少人？例4．被除數(shù)與除數(shù)的和是98，如果被除數(shù)與除數(shù)都減去9，那么，被除數(shù)是除數(shù)的4倍。求原來的被除數(shù)和除數(shù)。練習與思考1．列方程解應用題，有時要求的未知數(shù)有兩個或兩個以上，我們必須視具體情況，設(shè)對解題有利的未知數(shù)為x，根據(jù)數(shù)量關(guān)系用含有x的式子來表示另一個未知數(shù)。2．籃球、足球、排球各1個，平均每個36元?；@球比排球貴10元，足球比排球貴8元。每個排球多少元？3.一次數(shù)學競賽有10道題，評分規(guī)定對一道題得10分，錯一題倒扣2分。小明回答了全部10道題，結(jié)果只得了76分，他答對了幾道題？.5．拉薩路小學圖書館一個書架上有上、下兩層，一共有245本書。上層每天借出15本，下層每天借出10本，3天后，上、下兩層剩下圖書的本數(shù)一樣多。上、下兩層原來各有圖書多少本？6．甲、乙、丙三個數(shù)的和是166，已知甲數(shù)除以乙數(shù)，乙數(shù)除以丙數(shù)都是商3余2，甲、乙、丙三個數(shù)各是多少？7．玲玲今年11歲，爺爺今年74歲。再過幾年，爺爺?shù)哪挲g是玲玲年齡的4倍？8.甲、乙兩個養(yǎng)雞專業(yè)戶，一共養(yǎng)雞3000只。乙養(yǎng)雞專業(yè)戶賣掉800只雞后，甲養(yǎng)雞專業(yè)戶養(yǎng)雞的只數(shù)正好是乙養(yǎng)雞專業(yè)戶剩下的3倍。甲、乙兩個養(yǎng)雞專業(yè)戶原來各養(yǎng)雞多少只？第二十講列方程解應用題（二）這一講我們繼續(xù)學習列方程解應用題。列方程解應用題，關(guān)鍵是掌握分析問題的方法，對應用題中數(shù)量關(guān)系分析得越深刻，所列的方程就越優(yōu)化，解答起來就越方便。例題與方法例1．六（1）班同學合買一件禮物送給母校留作紀念。如果每人出6元，則多48元；如果每人出4.5元，則少27元。求六（1）班學生人數(shù)。例2．五老村小學體育器材室里的足球個數(shù)是排球的2倍。體育活動課上，每班借7個足球，5個排球，排球借完時，還有足球72個。體育器材室里原有足球、排球各多少個？例3．甲、乙、丙、丁四人共做零件325個。如果甲多做10個，乙少做5個，丙做的個數(shù)乘以2，丁做的個數(shù)除以3，那么，四個人做的零件數(shù)恰好相等。問：丁做了多少個？.練習與思考1．媽媽買回一箱庫爾勒香梨，按計劃天數(shù)，如果每天吃4個，則多出24個香梨；如果每天吃6個，則又少4個香梨。問：計劃吃多少天？媽媽買回香梨多少個？2．一架飛機所帶的燃料最多可以用9小時，飛機去時順風，每小時可飛1500千米；返回時逆風，每小時可以飛1200千米。這架飛機最多飛出多少千米，就需要往回飛？3．某商店庫存的花布比白布的2倍多20米每天賣出30米白布和40米花布，幾天以后，白布全部賣完，而花布還剩下140米。原來庫存這兩種布共多少米？4．一條大鯊魚，頭長3米，身長等于頭長加尾長，尾長等于頭長加身長的一半。這條大鯊魚全長是多少米？5．甲、乙從東鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時出發(fā)，途中丙與乙相遇2分后又遇到甲。如果每分甲行50米，乙行60米，丙行70米，問：乙比甲早多少分到西鎮(zhèn)？6．供銷社張叔叔買回一批酒精，放在甲、乙兩個桶里，兩個桶都未裝滿。如果把甲酒精倒入乙桶，乙桶裝滿后，甲桶還剩下10升；如果把乙桶酒精全部倒入甲桶，甲桶還能再盛20升。已知甲桶容量是乙桶的2.5倍，張叔叔一共買回多少升酒精？7．一個兩位數(shù)十位止的數(shù)字比個位上的數(shù)字擴大4倍，個位上的數(shù)字減去2，那么，所得的兩位數(shù)比原來大58。求原來的兩位數(shù)。8．如右圖，正方形ABCD的邊長是8厘米，三角形ADF的面積比三角形CEF的面積小6平方厘米。求CE的長。第二十一講行程問題（一）討論有關(guān)物體運動的速度、時間、路程三者關(guān)系的應用題叫做行程應用題。行程問題的主要數(shù)量關(guān)系是：路程=速度×時間如果用字母s表示路程，t表示時間，v表示速度，那么，上面的數(shù)量關(guān)系可用字母公式樣表示為：s=vt。行程問題內(nèi)容豐富多彩、千變?nèi)f化。主要有一個物體的運動和兩個或幾物體的運動兩大類。兩個或幾個物體的運動又可以分為相遇問題、追及問題兩類。這一講我們學習一個物體運動的問題的一些簡單的相遇問題。例題與方法例1．小明上學時坐車，回家時步行，在路上一共用了90分。如果他往返都坐車，全部行程需30分。如果他往返都步行，需多少分？例2．甲、乙兩城相距280千米，一輛汽車原定用8小時從甲城開到乙城。汽車行駛了一半路程，在中途停留30分。如果汽車要按原定時間到達乙城，那么，在行駛后半段路程時，應比原來的時速加快多少？例3．一列火車于下午1時30分從甲站開出，每小時行60千米。1小時后，另一列火車以同樣的速度從乙站開出，當天下午6時兩車相員。甲、乙兩站相距多少千米？例4．蘇步青教授是我國著名的數(shù)學家。一次出國訪問，他在電車上碰到了一位外國數(shù)學家，這位外國數(shù)學家出了一道題目讓蘇步青做，題目是：甲、乙兩人同時從兩地出發(fā)，相向而行，距離是100千米。甲每小時行6千米，乙每小時行4千米。甲帶著一只狗，狗每小時行10千米。這只狗同甲一道出發(fā)，碰到乙的時候，它就掉頭朝甲這邊走，碰到甲時又往乙那邊走，直到兩人相遇。這只狗一共走了多少千米？蘇步青略加思索，就把正確答案告訴了這位外國數(shù)學家。小朋友們，你能解答這道題嗎？例5．甲、乙兩輛汽車同時從東、西兩地相向開出，甲車每小時行56千米，乙車每小時行48千米，兩輛汽車在距中點32千米處相遇。東、西兩地相距多少千米？練習與思考1．小王、小李從相距50千米的兩地相向而行，小王下午2時出發(fā)步行，每小時行4.5千米。小李下午3時半騎自行車出發(fā)，、經(jīng)過2.5小時兩人相遇。小李騎自行車每小時行多少千米？2．A、B兩地相距60千米。兩輛汽車同時從A地出發(fā)前往B地。甲車比乙車早30分到達B地。當甲車到達B地時，乙車離B地還有10千米。甲國君從A地到B地共行了幾小時？3．一輛公共汽車和一輛面包車同時從相距255千米的兩地相向而行，公共汽車每小時行33千米，面包車每小時行35千米。行了幾小時后兩車相距51千米？再行幾小時兩車又相距51千米？4．甲、乙兩人同時從A、B兩地相對而行，甲騎車每小時行16千米，乙騎摩托車每小時行65千米。甲離出發(fā)點62.4千米處與乙相遇。A、B兩地相距多少千米？5．小張的小王同時分別從甲、乙兩村出發(fā)，相向而行。步行1小時15分后，小張走了兩村間路程的一半還多0.75千米，此時恰好與小王相遇。小王的速度是每小時3.7千米，小張每小時行多少千米？6．A、B兩地相距20千米，甲、乙兩人同時從A地出發(fā)去B地。甲騎車每小時行10千米，乙步行每小時行5千米。甲在途中停了一段時間修車。乙到達B地時，甲比乙落后2千米。甲修車用了多少時間？7．A、B兩地相距1000千米，甲列車從A地開出駛往B地，2小時后，乙列車從B地開出駛往A地，經(jīng)過4小時與甲列車相遇。已知甲列車比乙列車每小時多行10千米。甲列車每小時行多少千米？8．小李由鄉(xiāng)里到縣城辦事，每小時行4千米，到預定到達的時間時，離縣城還有1.5千米。如果小要每小時走5.5千米，到預定到達的時間時，又會多走4。5千米。鄉(xiāng)里距縣城多少千米？9．A、B兩城相距75千米，小紅從A向B走，每小時走6.5千米，小明從B地走向A，每小時走6千米。小軍騎自行車在小紅和小明間聯(lián)絡(luò)，小軍從A走向B，每小時走15千米。三人同時動身，小軍在途中遇見的小明即折順往A走，遇見了小紅，又折回向B走，再遇見了小明又折回往A走……一直到三人在途中相遇為止。小巧玲瓏軍共走了多少千米？10．東、西兩鎮(zhèn)相距240千米，一輛客車上午8時從東鎮(zhèn)開往西鎮(zhèn)，一輛貨車上午9時從西鎮(zhèn)開往東鎮(zhèn)，到中午12時，兩車恰好在兩鎮(zhèn)間的中點相遇。如果兩車都從上午8時由兩地相向開出，速度不變，到上午10時，兩車還相距多少千米？第二十二講行程問題（二）本講主要講“相遇問題”。相遇問題一般是指兩個物體從兩地出發(fā)，相向而行，共同行一段路程，直至相遇，這類應用題的基本數(shù)量關(guān)系是：總路程=速度和×相遇時間這里的“速度和”是指兩個物體在單位時間內(nèi)共同行的路程。例題與方法例1．甲、乙兩輛汽車同時從東村、西村之間公路的中點向相反方向行駛，6小時后，甲車到達東村，乙車離西村還有42千米。已知甲車的速度是乙車的2倍。東、西兩村之間的公路長多少千米？例2．一支1800米長的隊伍以每分90米的速度行進，隊伍前端的聯(lián)系員用9分的時間跑到隊伍末尾傳達命令。聯(lián)絡(luò)員每分跑多少米？例3．甲、乙兩車相距516千米，兩車同時從兩地出發(fā)豐向而行，乙車行駛6小時后停下修理車子，這時兩車相距72千米。甲車保持原速繼續(xù)前進，經(jīng)過2小時與乙車相遇。求乙車的速度。例4．甲、乙兩列車同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地75千米處相遇。相遇后兩列車繼續(xù)前進，到達目的地后又立刻返回，第二次相遇在離B地55千米處。求A、B兩會間的路程。練習與思考1．甲、乙兩人分別從東、西兩地同時相向而行。2小時后兩人相距96千米，5小時后兩人相距36千米。東、西兩地相距多少千米？2．甲、乙兩人騎車從同一地點向相反方向出發(fā)，甲車每小時行13千米，乙車每小時行12千米。如果甲先行2小時，那么，乙行幾小時后兩人相距99千米？3．甲、乙兩地相距59千米，汽車行完全程要0.7小時，步行要14小時。一個人從甲地出發(fā)，步行1.5小時后改乘汽車，他到達乙地共要幾小時？4．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相向而行。甲車每小時行82千米，乙車每小時行72千米，兩車在離中點30千米處相遇。A|B兩地相距多少千米？5．甲、乙兩車同時從東、西兩地相向開出，甲車每小時行40千米，經(jīng)過3小時已駛過中點25千米，這時乙車與甲車還相距7千米。求乙車的速度。6．甲、乙兩車同時同地同向行進，甲車每小時行30千米，乙車每小時行的路程是甲車的1.5倍。當乙車行到90千米的地方時立即按原路返回，又行了幾小時和甲車相遇？7．兩輛汽車從同一地點向相反方向開出，第一輛汽車每小時行48千米，第二輛汽車每小進行52千米。如果第一輛車先行1.2小時，那么，兩輛汽車同時行駛幾小時后，它們之間的距離為557.6千米？8．一架運輸機和一架客機同時從某地起飛相背飛行，2.5小時后兩機相距3650千米。已知客機比運輸機每小時多飛行100千米，運輸機每小時飛行多少千米？9．A、B兩地相距6千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)在兩面三刀地間往返行走（到達另一地后就馬上返回），在出發(fā)40分后兩人么一次相遇。乙到達A地后馬上返回，在離A地2千米的地方兩面三刀人第二次相遇。求甲、乙兩人的速度。10．客車和貨車同時從甲、乙兩地相對開出，客車每小時行54千米，貨車每小時行48千米。兩車相遇后又以原速繼續(xù)前進，客車到達乙地后立即返回，貨車到達甲地后也立即返回，兩車在距中點108千米處再以、次相遇。甲、乙兩地相距多少千米？第二十三講行程問題（三）本講的內(nèi)容是“追及問題”。追及問題一般是知兩個物體同時運動，經(jīng)過一定時間，后者追上前者的問題。追及問題的基本數(shù)量關(guān)系是：速度差×追及時間=追及路程中巴車每小時行60千米，小轎車每小時行84千米，兩車由同一個車庫出發(fā)。已知道中巴車先開出，30分鐘后小轎車順著中巴車的路線出發(fā)，小轎車經(jīng)過多少時間能追上中巴車？甲、乙兩車同時、同地出發(fā)去同一目的地，甲車每小時行40千米，乙車每小時行35千米。途中甲車因故障修車用了3小時，結(jié)果甲車比乙車遲1小時到達目的地。兩地間的路程是多少千米？兄妹兩人同時離家去上學，哥哥每分走90米，妹妹每分走60米。哥哥到校門口時，發(fā)現(xiàn)忘帶課本，立即沿原路回家去取，行到離學校180米處與妹妹向隅，他們呢家離學校有多遠？小華、小麗個小霞三人都要從甲地到乙地，早上6時小華和小麗兩人一起從甲地出發(fā)一，小華每小時走5千米，小麗每小時走4千米。小霞上午8時才從甲地出發(fā)。傍晚6時，小華和小霞同到到達乙地。小霞是在什么時間追上小麗的？練習與思考1．哥哥放學回家，以每小時6千米的速度步行，18分后，弟弟也從同一所學校放學回家，弟弟騎自行車以每小時15千米的速度追上哥哥。經(jīng)過幾分弟弟可以追上哥哥？2．兩輛卡車為王村送化肥，第一輛以每小時30千米的速度由倉庫開往王村，第二輛晚開12分，以每小時40千米的速度由倉庫開往王村，結(jié)果兩車同時到達。倉庫到王村的路程有多少千米？3．好馬每天走240里，劣馬每分走150里，劣馬先走12天，好馬幾天可以追上劣馬？（我國古代算題）4．小玲每分行100米，小平每分行80米，兩人同時同地背向行了5分后，小玲調(diào)轉(zhuǎn)方向去追趕小平。小玲追上小平時一共行了多少米？5．一架飛機從甲地飛往乙地，原計劃每分飛行9千米，現(xiàn)在按每分12千米的速度飛行，結(jié)果比原計劃提前半小時到百葉窗。甲、乙兩地相距多少千米？6．一輛摩托車追前面的汽車，汽車每小時行28千米，摩托車每小時行40千米，摩托車開出4小時后追上汽車。汽車比摩托車早出發(fā)幾小時？（得數(shù)保留一位小數(shù)）7．一支隊伍長450米，以每秒1。5米的速度行進。一個戰(zhàn)士因畫需從排尾趕到排頭，并立即返回排尾。如果他的速度是每秒3米，那么，這位戰(zhàn)士往返共需多少時間？8．李華以每小時4千米的速度從學校出發(fā)步持到20.4千米以外的冬令營報到，半小時后，營地的老師聞訊前往迎接，老師每小時比李華多走1.2千米。又過了1.5小時，張明從學校騎車去營地報到，結(jié)果三人同時在途中相遇。張明騎車每小時行多少千米？9．甲、乙兩人各騎一輛自行車由同一地點出發(fā)，到相隔45千米的某地辦事。乙比甲早出發(fā)20分，而甲比乙早到45分，甲到達時乙在甲的后面10千米處。甲每小時行多少千米？（得數(shù)保留整數(shù)）10．玲玲從家到縣城上學，她以每分50米的速度走了2分后，發(fā)現(xiàn)按個人速度走下去要遲到8分，于是她加快了速度，每分多走10米，結(jié)果到學校時，離上課還有5分。玲玲家到學校的路程是多少米？第二十四講行程問題（四）要講主要講兩種比較特殊的行程問題，“火車過橋”和“環(huán)形跑道”?！盎疖囘^橋”是兩個物體，一動一靜，火車在前進、在運動，橋是靜的、不動的。為了弄清運動過程中的數(shù)量關(guān)系，我們可以利用身邊一些適宜演示這類問題的實物，如直尺、鉛、筆、橡皮等，把它們當作“火車”和“橋”，按照題意比試比試，使題目具體、形象化，從而找到解題的思路?！碍h(huán)形跑道”，也是稱為封閉回路，它可以是圓形的、長方形的、三角形的，也可以是由長方形和兩個半圓組成的運動場形狀。解題時，我們可以運動“轉(zhuǎn)化法”把線路“拉直”或“截斷”，從布把物體在“環(huán)形路道”上的運動轉(zhuǎn)化為我們熟悉的物體在直線上的運動。例題與方法例1．一列火車長150米，每秒行20米。全車通過一座450米長的大橋。需要多少時間？例2．某人沿著鐵路旁的便道步行，一列客車從身后開來，在此人身旁通過的時間是7秒。已知客車長105米，每小時行72千米。步行人每秒行多少千米？例3．小張和小王各自以一定的速度在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步。小王每分跑180米。小張和小王同時從一個地點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人相遇，求小張的速度。小張和小王同時從同一地點出發(fā)，沿同一方向跑步，經(jīng)過多少分兩人第一次在途中相遇？例4．在一個600米長的環(huán)形跑道上，兄妹