2017-2018全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案（最完整版）

四.解:（1〉解：?球缺所在的球體衣而的方程為x2+y2+r=/?2.球缺的屮心線為z軸，記球缺的區(qū)域?yàn)镈，則R體積為JjJWV=Jdz\\dxdy=J傘:-z2）dz=冬、3R-h）（注：這足用截面法計(jì)算的）Q R-hD. R-h 3*因?yàn)榍蛉彼谇蛎娴姆絤jx2+y2+z2=R2,取h<R，則z=y]R2-x2-y2它在J0.v而上的投影區(qū)域D=[（.V,｝）|.v:+y2<r=R2-（R-hy]則球冠的面積表示為Z2ydxdy=^DZ2ydxdy=^DRdxdy f2.crRpdp=-^fr—―^4=-2^R(R2-p2)?0=-2^R^JR~-r-R」=_2;z7^/e—A—尺]=2nRh。<2）記球缺Q的底而凼為€，萬(wàn)14指㈧球缺外，且記J=JJaW.v炎+.V炎A+zrfr辦。山高斯公式，介/+J=[[[3av=3Vn，Jt中Vn^Q的體積。FhrY-面尸的IE向中位法14煢為_(kāi)(1，1.1)，故J=_#(.r+y+z)a=_o^)=-A/Jo^).其屮a(C)為G的而積。故/=3Vn-J=3Vn+2^(^)。W為球缺底Jil腳心為C(2,2.2),ifij球缺的頂點(diǎn)為/)(3,3,3)，故球缺的^h=\QD\=>/i。再山(1)所證并代入A= 和尺=2>/5^:I=3~(3R-h)lr+2^7r(2Rli-lr)=33^7r。證明：由r/在[a，M上非負(fù)連續(xù)，嚴(yán)格甲増，故fw<f(h)j'\x)<f"(b).則cb Icbf[f(x)Ydx<(b-a)fn(b)9即-5-f[f(x)Ydx<r(b)9“ b-a“同時(shí)f\[/(Ajr^<f"[/wr^,巾稅分中值定理得，/f^^(b--.b),使得Jft-— Ja iti/■⑷r■丄=C[/wr心，則<J-\\f(x)YdX<r(b),㈨此n n(b-a) h-aJa<f(Xll)<f(b).巾極限的保號(hào)性衍：luu~4== /(x?)<f(b),^Jn(b一a) /J^X 一a)由4e(/?—丄，辦)知，=J\b),由夾遙準(zhǔn)則f3lun/(xn)=/(/?),又由.f(x)n q，i(b-a)在［a，b］上嚴(yán)格單增知limx?=b。解:令徹=占.因?yàn)槿?客南?故品4,以記、4,則A,,=宴;O,)辦.故A=^X［v'(/U)-/U)Xx?由拉格朗日中值定理，存在《e(u)使得A=n^j1'/X^Xa-aJJa。令，M11似，分別WU)在［W，］上的|?1?最小最大值，則心’(⑽"故積分〔/WU-咖介于-咖和1 所以存在rjie(xi^xt)使得Vi人=-?S/'o?,)(XiU=-^-fm).從而z；=i zni=ilimnfy-A(J=