步步高2015高考數(shù)學(xué)(人教A理)一輪講義：126離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

第14頁共14頁§12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差稱D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．2．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b為常數(shù))3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝__p__，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝__np__，D(X)＝np(1－p)．4．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R)．我們稱函數(shù)φμ、σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與x軸之間的面積為__1__；⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著__μ__的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ__越小__，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ__越大__，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝?eq\o\al(b,a)φμ，σ(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)．正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量，它不確定． (√)(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小． (√)(3)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差． (√)(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布． (√)2．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,5)(k＝2,4,6,8,10)，則D(ξ)等于 ()A．5 B．8 C．10 D．答案B解析∵E(ξ)＝eq\f(1,5)(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D(ξ)＝eq\f(1,5)[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.3．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，則c等于()A．1 B．2 C．3 D．答案B解析∵μ＝2，由正態(tài)分布的定義知其圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，于是eq\f(c＋1＋c－1,2)＝2，∴c＝2.4．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)＝________.答案eq\f(9,16)解析由題意知取到次品的概率為eq\f(1,4)，∴X～B(3，eq\f(1,4))，∴D(X)＝3×eq\f(1,4)×(1－eq\f(1,4))＝eq\f(9,16).5．在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是________．答案0.7 解析E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差例1(2013·浙江)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．(1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若E(η)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.思維啟迪首先列出隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值，然后計(jì)算ξ的每個(gè)取值的概率．解(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(2×3×2,6×6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq\f(5,18)，P(ξ＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36).所以ξ的分布列為ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)(2)由題意知η的分布列為Η123Peq\f(a,a＋b＋c)eq\f(b,a＋b＋c)eq\f(c,a＋b＋c)所以E(η)＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(3c,a＋b＋c)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,3)))2·eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))2·eq\f(b,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,3)))2·eq\f(c,a＋b＋c)＝eq\f(5,9).化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0.))解得a＝3c，b＝2故a∶b∶c＝3∶2∶1.思維升華(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算．(2)注意性質(zhì)的應(yīng)用：若隨機(jī)變量X的期望為E(X)，則對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量aX＋b的期望是aE(X)＋b，方差為a2D(X)．袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值．解(1)ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴E(ξ)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(ξ)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4.))題型二二項(xiàng)分布的均值、方差例2(2012·四川)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為eq\f(1,10)和p.(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為eq\f(49,50)，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)．思維啟迪利用對(duì)立事件的概率公式表示(1)中概率可求p.解(1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1－P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,10)·p＝eq\f(49,50)，解得p＝eq\f(1,5).(2)由題意，得P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3＝eq\f(1,1000)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))＝eq\f(27,1000)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\f(1,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))2＝eq\f(243,1000)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))3＝eq\f(729,1000).所以，隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,1000)eq\f(27,1000)eq\f(243,1000)eq\f(729,1000)故隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×eq\f(1,1000)＋1×eq\f(27,1000)＋2×eq\f(243,1000)＋3×eq\f(729,1000)＝eq\f(27,10).(或∵ξ～B(3，eq\f(9,10))，∴E(ξ)＝3×eq\f(9,10)＝eq\f(27,10).)思維升華求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時(shí)，可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．假設(shè)某班級(jí)教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時(shí)，每扇窗戶或被敞開或被關(guān)閉，且概率均為0.5.記此時(shí)教室里敞開的窗戶個(gè)數(shù)為X.(1)求X的分布列；(2)若此時(shí)教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關(guān)閉，班長就會(huì)將關(guān)閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變．記每天上午第三節(jié)課上課時(shí)該教室里敞開的窗戶個(gè)數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望．解(1)∵X的所有可能取值為0,1,2,3,4，X～B(4,0.5)，∴P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,4)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(3,8)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,4)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,16)，∴X的分布列為X01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)(2)Y的所有可能取值為3,4，則P(Y＝3)＝P(X＝3)＝eq\f(1,4)，P(Y＝4)＝1－P(Y＝3)＝eq\f(3,4)，∴Y的期望值E(Y)＝3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(3,4)＝eq\f(15,4).題型三正態(tài)分布的應(yīng)用例3在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績?cè)?0～85分的有17人．試計(jì)算該班成績?cè)?0分以上的同學(xué)有多少人．思維啟迪本題主要考查正態(tài)分布及其應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要記住正態(tài)總體取值在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率值，將所給問題轉(zhuǎn)化到上述區(qū)間內(nèi)解決，同時(shí)要注意對(duì)稱性的運(yùn)用和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解依題意，由80～85分的同學(xué)的人數(shù)和所占百分比求出該班同學(xué)的總數(shù)，再求90分以上同學(xué)的人數(shù)．∵成績服從正態(tài)分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成績?cè)?75,85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.26%.由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，成績?cè)?80,85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的eq\f(1,2)×68.26%＝34.13%.設(shè)該班有x名同學(xué)，則x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成績?cè)?70,90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%.∴成績?cè)?80,90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的47.72%.∴成績?cè)?0分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的50%－47.72%＝2.28%.即有50×2.28%≈1(人)，即成績?cè)?0分以上的同學(xué)僅有1人．思維升華解答此類題目關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性表示出所給區(qū)間的概率．利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時(shí)，要注意正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x＝μ，只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績?chǔ)畏恼龖B(tài)分布，即ξ～N(100,100)，已知滿分為150分．(1)試求考試成績?chǔ)挝挥趨^(qū)間(80,120]內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有2000名考生參加，試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)．解(1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.∴P(80<ξ≤120)＝P(100－20<ξ≤100＋20)＝0.9544，即考試成績位于區(qū)間(80,120]內(nèi)的概率為0.9544.(2)P(90<ξ≤110)＝P(100－10<ξ≤100＋10)＝0.6826，∴P(ξ>110)＝eq\f(1,2)(1－0.6826)＝0.1587，∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.1587＝0.8413.∴及格人數(shù)為2000×0.8413≈1683(人)．離散型隨機(jī)變量的均值與方差問題典例：(12分)甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個(gè)球，乙袋中共有2m個(gè)球，從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為eq\f(2,5)，從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P2.(1)若m＝10，求甲袋中紅球的個(gè)數(shù)；(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個(gè)紅球的概率是eq\f(1,3)，求P2的值；(3)設(shè)P2＝eq\f(1,5)，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個(gè)球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次．設(shè)ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，求ξ的分布列和均值．思維啟迪(1)概率的應(yīng)用，知甲袋中總球數(shù)為10和摸1個(gè)為紅球的概率，求紅球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，關(guān)鍵是求ξ的所有可能值及每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率．規(guī)范解答解(1)設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為x，依題意得x＝10×eq\f(2,5)＝4. [3分](2)由已知，得eq\f(\f(2,5)m＋2mP2,3m)＝eq\f(1,3)，解得P2＝eq\f(3,10). [6分](3)ξ的所有可能值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\f(3,5)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(48,125)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,5)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(56,125)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,5)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(19,125)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(2,125). [8分]所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(48,125)eq\f(56,125)eq\f(19,125)eq\f(2,125)[10分]所以E(ξ)＝0×eq\f(48,125)＋1×eq\f(56,125)＋2×eq\f(19,125)＋3×eq\f(2,125)＝eq\f(4,5). [12分]求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟：第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值．第二步：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率．第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范．溫馨提醒(1)本題重點(diǎn)考查了概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值．(2)本題解答中的典型錯(cuò)誤是計(jì)算不準(zhǔn)確以及解答不規(guī)范．如第(3)問中，不明確寫出ξ的所有可能值，不逐個(gè)求概率，這都屬于解答不規(guī)范．方法與技巧1．均值與方差的常用性質(zhì)．掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會(huì)給解題帶來方便：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)若ξ～B(n，p)，則E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．2．基本方法(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機(jī)變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如二項(xiàng)分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．3．關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等．②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(x<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．(3)3σ原則在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之間的值，取該區(qū)間外的值的概率很小，通常認(rèn)為一次試驗(yàn)幾乎不可能發(fā)生．失誤與防范1．在沒有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式．2．對(duì)于應(yīng)用問題，必須對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行具體分析，一般要將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的均值、方差.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1．正態(tài)總體N(1,9)在區(qū)間(2,3)和(－1,0)上取值的概率分別為m，n，則 ()A．m>n B．m<nC．m＝n D．不確定答案C解析正態(tài)總體N(1,9)的曲線關(guān)于x＝1對(duì)稱，區(qū)間(2,3)與(－1,0)到對(duì)稱軸距離相等，故m＝n.2．已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則a的值為 ()X4a9P0.50.1bA.5 B．6 C．7 D．答案C解析由分布列性質(zhì)知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.3．(2013·湖北)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)等于 ()A.eq\f(126,125) B.eq\f(6,5)C.eq\f(168,125) D.eq\f(7,5)答案B解析125個(gè)小正方體中8個(gè)三面涂漆，36個(gè)兩面涂漆，54個(gè)一面涂漆，27個(gè)沒有涂漆，∴從中隨機(jī)取一個(gè)正方體，涂漆面數(shù)X的均值E(X)＝eq\f(54,125)×1＋eq\f(36,125)×2＋eq\f(8,125)×3＝eq\f(150,125)＝eq\f(6,5).4．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為 ()A．100 B．200 C．300 D．答案B解析記“不發(fā)芽的種子數(shù)為ξ”，則ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.5．一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的期望值為 ()A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．答案C解析X的所有可能取值為3,2,1,0，其分布列為X3210P0.60.240.0960.064∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.二、填空題6．從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，則隨機(jī)變量X的分布列為X012P答案0.10.60.3解析P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝0.1，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝0.6，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝0.3.7．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,2k－1)，k＝1,2,3，…，n，則P(2<ξ≤5)＝________.答案eq\f(7,16)解析P(2<ξ≤5)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＝eq\f(7,16).8．已知某次英語考試的成績X服從正態(tài)分布N(116,64)，則10000名考生中成績?cè)?40分以上的人數(shù)為________．答案13解析由已知得μ＝116，σ＝8.∴P(92<X≤140)＝P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974，∴P(X>140)＝eq\f(1,2)(1－0.9974)＝0.0013，∴成績?cè)?40分以上的人數(shù)為13.三、解答題9．某超市為了響應(yīng)環(huán)保要求，鼓勵(lì)顧客自帶購物袋到超市購物，采取了如下措施：對(duì)不使用超市塑料購物袋的顧客，超市給予9.6折優(yōu)惠；對(duì)需要超市塑料購物袋的顧客，既要付購買費(fèi)，也不享受折扣優(yōu)惠．假設(shè)該超市在某個(gè)時(shí)段內(nèi)購物的人數(shù)為36人，其中有12位顧客自己帶了購物袋，現(xiàn)從這36人中隨機(jī)抽取兩人．(1)求這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率；(2)設(shè)這兩人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．解(1)設(shè)“兩人都享受折扣優(yōu)惠”為事件A，“兩人都不享受折扣優(yōu)惠”為事件B，則P(A)＝eq\f(C\o\al(2,12),C\o\al(2,36))＝eq\f(11,105)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,24),C\o\al(2,36))＝eq\f(46,105).因?yàn)槭录嗀，B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(11,105)＋eq\f(46,105)＝eq\f(57,105)＝eq\f(19,35).故這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率是eq\f(19,35).(2)據(jù)題意，得ξ的可能取值為0,1,2.其中P(ξ＝0)＝P(B)＝eq\f(46,105)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(1,24),C\o\al(2,36))＝eq\f(48,105)，P(ξ＝2)＝P(A)＝eq\f(11,105).所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(46,105)eq\f(48,105)eq\f(11,105)所以E(ξ)＝0×eq\f(46,105)＋1×eq\f(48,105)＋2×eq\f(11,105)＝eq\f(70,105)＝eq\f(2,3).10．為了某項(xiàng)大型活動(dòng)能夠安全進(jìn)行，警方從武警訓(xùn)練基地挑選防爆警察，從體能、射擊、反應(yīng)三項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行檢測，如果這三項(xiàng)中至少有兩項(xiàng)通過即可入選．假定某基地有4名武警戰(zhàn)士(分別記為A、B、C、D)擬參加挑選，且每人能通過體能、射擊、反應(yīng)的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2).這三項(xiàng)測試能否通過相互之間沒有影響．(1)求A能夠入選的概率；(2)規(guī)定：按入選人數(shù)得訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)(每入選1人，則相應(yīng)的訓(xùn)練基地得到3000元的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi))，求該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列與數(shù)學(xué)期望．解(1)設(shè)A通過體能、射擊、反應(yīng)分別記為事件M、N、P，則A能夠入選包含以下幾個(gè)互斥事件：MNeq\x\to(P)，Meq\x\to(N)P，eq\x\to(M)NP，MNP.∴P(A)＝P(MNeq\x\to(P))＋P(Meq\x\to(N)P)＋P(eq\x\to(M)NP)＋P(MNP)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(12,18)＝eq\f(2,3).所以，A能夠入選的概率為eq\f(2,3).(2)記ξ表示該訓(xùn)練基地得到的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)，則ξ的所有可能值為0,3000,6000,9000,12000.P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))4＝eq\f(1,81)，P(ξ＝3000)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(8,81)，P(ξ＝6000)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(24,81)，P(ξ＝9000)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(32,81)，P(ξ＝12000)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81)，ξ的分布列為ξ030006000900012000Peq\f(1,81)eq\f(8,81)eq\f(24,81)eq\f(32,81)eq\f(16,81)E(ξ)＝3000×eq\f(8,81)＋6000×eq\f(24,81)＋9000×eq\f(32,81)＋12000×eq\f(16,81)＝8000(元)．所以，該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為8000元．B組專項(xiàng)能力提升1．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為 ()A.eq\f(32,3) B.eq\f(28,3) C.eq\f(14,3) D.eq\f(16,3)答案D解析由已知得，3a＋2b＋0×c即3a＋2b＝2，其中0<a<eq\f(2,3)，0<b<1.又eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\f(3a＋2b,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,3b)))＝3＋eq\f(1,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(10,3)＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＝eq\f(16,3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2b時(shí)取“等號(hào)”，又3a＋2b＝2，即當(dāng)a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)時(shí)，eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為eq\f(16,3)，故選D.2．若p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則E(ξ)的最大值為________，D(ξ)的最大值為________.ξ012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)答案eq\f(3,2)1解析E(ξ)＝p＋1≤eq\f(3,2)(0≤p≤eq\f(1,2))；D(ξ)＝－p2－p＋1≤1.3．某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為eq\f(2,3)，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)．若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________.答案eq\f(5,3)解析由題意知P(X＝0)＝eq\f(1,3)(1－p)2＝eq\f(1,12)，∴p＝eq\f(1,2).隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1,12)eq\f(1,3)eq\f(5,12)eq\f(1,6)E(X)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).4．馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：x123P(ξ＝x)？??？請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________.答案2解析設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為1－2x，則E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.5．某保險(xiǎn)公司新開設(shè)一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，規(guī)定該份保單，在一年內(nèi)如果事件E發(fā)生，則該公司要賠償a元，在一年內(nèi)如果事件E發(fā)生的概率為p，為使該公司收益期望值等于eq\f(a,10)，公司應(yīng)要求該保單的顧客繳納的保險(xiǎn)金為________元．答案eq\f(a10p＋1,10)解析設(shè)隨機(jī)變量X表示公司此項(xiàng)業(yè)務(wù)的收益額，x表示顧客交納的保險(xiǎn)金，則X的所有可能值為x，x－