空間立體幾何講義87967

2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)分類整理-1-第頁第1講空間幾何體高考《考試大綱》的要求：①認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).②能畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖.③會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.④會(huì)畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）.⑤了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）.（一）例題選講：例1.四面體ABCD的外接球球心在CD上，且CD＝2，AB＝，在外接球面上兩點(diǎn)A、B間的球面距離是（）A．B．C．D．例2.如果圓臺(tái)的母線與底面成60°角,那么這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積與軸截面面積的比為()A．B．C．D．例3.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面三角形的邊長(zhǎng)為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角是.例4.如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=6,高CD=3，點(diǎn)B是線段BD上異于點(diǎn)B、D的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.記BE＝x，V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積.求V(x)的表達(dá)式；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，V(x)取得最大值？（3）當(dāng)V(x)取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值。（二）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1．下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（）①①正方形②圓錐③三棱臺(tái)④正四棱錐A．①② B．①③ C．①④ D．②④2．設(shè)地球半徑為R，若甲地位于北緯東經(jīng)，乙地位于南緯度東經(jīng)，則甲、乙兩地球面距離為（）（A）(B)(C)(D)3．若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，棱長(zhǎng)為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球的面上，則此球的體積為．4.已知三點(diǎn)在球心為，半徑為的球面上，，且，那么兩點(diǎn)的球面距離為___________，球心到平面的距離為________5．如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=8，AD=4，側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60°.（Ⅰ）求四棱錐P—ABCD的體積；（Ⅱ）證明PA⊥BD.（三）鞏固練習(xí)：1．若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的全面積是（）（A）（B）（C）（D）2、已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A．B．C．D．3.一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那么，這個(gè)圓錐軸截面頂角的余弦值是()

A.EQ\f(3,4)B.EQ\f(4,5)C.EQ\f(3,5)D.－EQ\f(3,5)4．已知球O的半徑為1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且每?jī)牲c(diǎn)間的球面距離為，則球心O到平面ABC的距離為（）（A）（B）（C）（D）5.表面積為的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則此球的體積為（）A．B．C．D．6.已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于________O7．請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？O8．如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且=。（I）證明：⊥BD；（II）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？請(qǐng)給出證明。第2講空間直線和平面高考《考試大綱》的要求：①理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.◆公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi).◆公理2：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.◆公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.◆定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.理解以下判定定理：◆如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.◆如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行.◆如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.◆如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：◆如果一條直線與一個(gè)平面平行,經(jīng)過該直線的任一個(gè)平面與此平面相交,那么這條直線就和交線平行.◆如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行.◆垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.◆如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直.③能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.（一）例題選講：例1．如圖，在正四棱柱中，E、F分別是的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是()A．B.C.D.αβABA′B′例2.如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為EQ\f(π,4)和EQ\f(π,6)，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′αβABA′B′則AB∶A′B′＝（）（A）2∶1（B）3∶1（C）3∶2（D）4∶3例3.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A—BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則例4.在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。（Ⅰ）證明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大??；（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面CMN的距離.（二）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1．已知兩條直線，兩個(gè)平面，給出下面四個(gè)命題：①②③④其中正確命題的序號(hào)是（）A．①③B．②④C．①④D．②③2.已知P為平面a外一點(diǎn)，直線la,點(diǎn)Q∈l,記點(diǎn)P到平面a的距離為a,點(diǎn)P到直線l的距離為b，點(diǎn)P、Q之間的距離為c，則（）(A)(B)c(C)(D)3、給出以下四個(gè)命題：=1\*GB3①如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，=2\*GB3②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面=3\*GB3③如果兩條直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行，=4\*GB3④如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.4B.3C.2D.14、下列命題中，正確的是（）A．經(jīng)過不同的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線C．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線D．垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行5.已知點(diǎn)O在二面角α－AB－β的棱上，點(diǎn)P在α內(nèi)，且∠POB＝45°．若對(duì)于β內(nèi)異于0的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β的大小是__________．6．已知平面和直線，給出條件：①；②；③；④；⑤.PCAB（i）當(dāng)滿足條件PCAB（ii）當(dāng)滿足條件時(shí)，有.（填所選條件的序號(hào)）7．三棱錐P—ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.(1)求證AB⊥BC；(2)如果AB=BC=，求側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成二面角的大小.（三）鞏固練習(xí)：1．若是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是（）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則2.設(shè)為兩條直線,為兩個(gè)平面,下列四個(gè)命題中，正確的命題是()A．若與所成的角相等，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則3.若三個(gè)平面兩兩相交,且三條交線互相平行,則這三個(gè)平面把空間分成（）A．5部分B.6部分C.7部分D.8部分4．給出下列四個(gè)命題:=1\*GB3①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.=2\*GB3②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行.=3\*GB3③若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.=4\*GB3④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個(gè)數(shù)是（）(A)1(B)2(C)3(D)45.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面.考查下列命題，其中正確的命題是（）A． B．C．D．6.在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是（）（A）BC//平面PDF（B）DF⊥平面PAE（C）平面PDF⊥平面ABC（D）平面PAE⊥平面ABC7．設(shè)為平面，為直線，則的一個(gè)充分條件是()(A) (B)(C) (D)8．對(duì)于不重合的兩個(gè)平面，給定下列條件：①存在平面，使得α、β都垂直于；②存在平面，使得α、β都平等于；③存在直線，直線，使得；④存在異面直線l、m，使得其中，可以判定α與β平行的條件有（） A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)9．設(shè)P是的二面角內(nèi)一點(diǎn)，垂足，則AB的長(zhǎng)為：（）ABCD10.已知直線、m，平面、，且，給出下列四個(gè)命題。(1)若;(2);(3)若，則;(4)若其中正確命題的個(gè)數(shù)是（） A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)11．已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：①若則②若則③若,則④m、n是兩條異面直線，若則上面命題中，真命題的序號(hào)是____________(寫出所有真命的序號(hào)）12．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，，E、F分別為AA1、C1B1的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為.13．已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，則a、b在α上的射影有可能是:①兩條平行直線②兩條互相垂直的直線③同一條直線④一條直線及其外一點(diǎn)在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.14．已知平面α和平面β交于直線，P是空間一點(diǎn)，PA⊥α，垂足為A，PB⊥β，垂足為B，且PA=1，PB=2，若點(diǎn)A在β內(nèi)的射影與點(diǎn)B在α內(nèi)的射影重合，則點(diǎn)P到的距離為。15．在空間中，①若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線．②若兩條直線沒有共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線．以上兩個(gè)命題中，逆命題為真命題的是．（把符合要求的命題序號(hào)都填上）16．如圖，已知四棱錐P—ABCD，PB⊥AD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.（I）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；（II）求面APB與面CPB所成二面角的大小第3講空間向量與立體幾何高考《考試大綱》的要求：（1）空間向量及其運(yùn)算①了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.②掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.③掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.（2）空間向量的應(yīng)用①理解直線的方向向量與平面的法向量.②能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.③能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）.④能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用.（一）基礎(chǔ)知識(shí)回顧：1.向量的數(shù)量積：已知非零向量，則叫做的數(shù)量積。2.兩向量夾角的求法：，立體幾何中有關(guān)夾角的問題，一般用此式解決3.⊥（可證明兩直線垂直）4.已知兩點(diǎn)A(x1,y1，z1),B(x2,y2,z2)，則向量,線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是，A,B兩點(diǎn)間的距離是5.若，則.6.用空間向量解決立體幾何問題的“三部曲”：(1)化為向量問題:建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面；(2)進(jìn)行向量運(yùn)算:通過向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角問題；(3)回到向量問題:把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。7.設(shè)A，B，平面α的法向量是，直線AB與平面α所成的角是θ，則二面角的平面角或（，為平面，的法向量）8.設(shè)A，B，平面α的法向量是，點(diǎn)A到平面α的距離異面直線間的距離：(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).（二）例題選講：例1.如圖,在中,,斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)的斜邊上．（=1\*ROMANI）求證：平面平面；（=2\*ROMANII）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的大小；（=3\*ROMANIII）求與平面所成角的最大值．例2.如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)。（1）求證：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A－A1D－B的大?。唬?）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離。（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1.如圖5所示，、分別世、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑，,.(=1\*ROMANI)求二面角的大小；(=2\*ROMANII)求直線與所成的角.圖5圖52.如圖,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,點(diǎn)A在直線l上的射影為A1,點(diǎn)B在l的射影為B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=eq\r(2),求:(Ⅰ)直線AB分別與平面α,β所成角的大小;(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.（四）鞏固練習(xí)：1.如圖,在直四棱柱中,已知,，．BCDAE（Ⅰ）設(shè)是的中點(diǎn)，求證：平面；BCDAE（Ⅱ）求二面角的余弦值．2.如圖，已知長(zhǎng)方體,,直線與平面所成的角為,垂直于為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求異面直線與所成的角；（Ⅱ）求平面與平面所成二面角（銳角）的大小；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離。3、如圖，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形（1）求證：ADBC（2）求二面角B－AC－D的大?。?）在直線AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。典型問題分析一、求二面角的方法例1.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐，,BC=6.求二面角的大小.例2.如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).若，求二面角的平面角的余弦值.例3．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方