Matlab筆記-數(shù)值計(jì)算-概率篇017

17.數(shù)值計(jì)算—概率篇一、計(jì)算組合數(shù)、排列數(shù)——factorial(n)或prod(1:n)——nchoosek(n,k)——factorial(n)/factorial(n-k)二、生成隨機(jī)數(shù)1.rand(m,n)——生成m×n的服從[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)；用a+(b-a).*rand(m,n)生成m×n的服從[a,b]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。2.二項(xiàng)分布與正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)binornd(N,P,m,n)——生成m×n的服從二項(xiàng)分布B(N,P)的隨機(jī)數(shù)；normrnd(MU,SIGMA,m,n)——生成m×n的服從正態(tài)分布N(MU,SIGMA2)的隨機(jī)數(shù)；3.通用格式：分布縮寫+rnd(分布參數(shù),m,n)或random(‘分布名或縮寫’,分布參數(shù),m,n)可以用來生成m×n該分布的隨機(jī)數(shù)。各種分布名見下圖：表1一維隨機(jī)變量概率分布名稱表分布縮寫、分布名稱函數(shù)說明'beta'或'Beta'Beta分布'bino'或'Binomial'二項(xiàng)分布'chi2'或'Chisquare'卡方分布'exp'或'Exponential'指數(shù)分布'f'或'F'F分布'gam'或'Gamma'GAMMA分布'geo'或'Geometric'幾何分布'hyge'或'Hypergeometric'超幾何分布'logn'或'Lognormal'對(duì)數(shù)正態(tài)分布'nbin'或'NegativeBinomial'負(fù)二項(xiàng)式分布'ncf'或'NoncentralF'非中心F分布'nct'或'Noncentralt'非中心t分布'ncx2'或'NoncentralChi-square'非中心卡方分布'norm'或'Normal'正態(tài)分布'poiss'或'Poisson'泊松分布'rayl'或'Rayleigh'瑞利分布't'或'T'T分布'unif'或'Uniform'均勻分布'unid'或'DiscreteUniform'離散均勻分布'weib'或'Weibull'威布爾分布4.使用randsample和randsrc函數(shù)生成指定離散分布隨機(jī)數(shù)X=randsample(N,k,replace,w)N相當(dāng)于[1:N],也可以是具有確定值的向量；k表示生成k個(gè)隨機(jī)數(shù)；replace=’true’表示可重復(fù)，或’false’表示不可重復(fù)（默認(rèn)）；w是權(quán)重向量。X=randsrc(m,n,[x;p])生成m×n的隨機(jī)矩陣，服從取值為向量x,對(duì)應(yīng)概率為向量p的離散分布。例1設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從如下分布：X-2-1012P0.050.20.50.20.05生成服從3×5的該分布的隨機(jī)數(shù)。代碼：xvalue=[-2-1012];xp=[0.050.20.50.20.05];%調(diào)用randsample函數(shù)生成100個(gè)服從指定離散分布的隨機(jī)數(shù)x=randsample(xvalue,15,true,xp);reshape(x,[35])%調(diào)用randsrc函數(shù)生成10*10的服從指定離散分布的隨機(jī)數(shù)矩陣y=randsrc(3,5,[xvalue;xp])運(yùn)行結(jié)果：ans=00100000-1-111001y=-1-111-1-10020-10-1005.已知概率密度函數(shù)，生成服從該分布的隨機(jī)數(shù)例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為（拋物線分布）：調(diào)用crnd函數(shù)（來自《MATLAB統(tǒng)計(jì)分析與應(yīng)用40個(gè)案例分析》作者：謝中華），生成3×5個(gè)服從該分布的隨機(jī)數(shù)。代碼：pdffun='6*x*(1-x)';%密度函數(shù)表達(dá)式x=crnd(pdffun,[01],3,5)運(yùn)行結(jié)果：x=0.31600.68660.27240.28160.12680.26810.84390.19480.79990.53830.73770.20400.49320.19480.69096.生成多元分布的隨機(jī)數(shù)mrnd(N,P,m)——多項(xiàng)分布，P為概率向量；mvnrnd(mu,sigma,m)——多元正態(tài)分布，mu,sigma為n元向量；mvtrnd(C,df,m)——多元t分布；wishrnd(sigma,df,m)——Wishart分布；iwishrnd(sigma,df,m)——逆Wishart分布；例3利用mvnrnd函數(shù)生成3組的二元正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，其中分布的參數(shù)為代碼：mu=[1020];sigma=[13;316];xy=mvnrnd(mu,sigma,3)運(yùn)行結(jié)果：xy=11.833625.73859.034717.80269.603019.5821三、隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)及其圖像概率密度函數(shù)，描述隨機(jī)變量X在點(diǎn)x附近取值的可能性。1.通用格式：pdf(‘分布名或縮寫’,x,分布參數(shù))——返回該分布在X=x處的概率密度值；例如，Pk=pdf('bino',3,10,0.4)2.專用函數(shù)分布名縮寫+pdf(x,分布參數(shù))例如，binopdf(k,n,p)例4繪制卡方分布密度函數(shù)在自由度分別為1、5、15的圖形。代碼：x=0:0.1:30;y1=chi2pdf(x,1);plot(x,y1,':')holdony2=chi2pdf(x,3);plot(x,y2,'+')y3=chi2pdf(x,10);plot(x,y3,'o')axis([0,30,0,0.2])運(yùn)行結(jié)果：四、隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)定義為：F(x)=P{X≤x}，表示隨機(jī)變量X的取值落在(-∞,x)范圍內(nèi)的概率。引入分布函數(shù)的目的，就是可以計(jì)算隨機(jī)變量X的取值落在任意區(qū)間內(nèi)的概率，例如，P{a<X≤b}=F(b)-F(a)1.通用格式：cdf(‘分布名或縮寫’,x,分布參數(shù))——返回該分布的分布函數(shù)；例如，Pk=cdf('bino',3,10,0.4)2.專用函數(shù)分布名縮寫+cdf(x,分布參數(shù))例如，binocdf(k,n,p)五、逆分布函數(shù)已知F(x)=P{X≤x}的值，求x點(diǎn)。1.通用格式：icdf(‘分布名或縮寫’,p,分布參數(shù))——返回該分布的分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}=p的x值；例如，Pk=icdf('bino',3,10,0.4)2.專用函數(shù)分布名縮寫+inv(p,分布參數(shù))例如，binoinv(p,N,P)3.分位數(shù)N(0,1)的上α分位數(shù)：P{X>uα}=α，故uα=norminv(1-α,0,1)其它分布的上分位數(shù)也是類似的。N(0,1)的雙側(cè)α分位數(shù)：P{|X|>uα/2}=α,故uα/2=norminv(1-α/2,0,1)注意：-uα/2=u1-α/2（-uα/2右側(cè)的面積為1-α/2），其它對(duì)稱分布也成立，例如，t1-α(n)=-tα(n).六、隨機(jī)變量的數(shù)字特征注：若要X中除NaN（非數(shù)）之外的數(shù)進(jìn)行操作，加前綴nan,例如nanmean(X).1.幾種平均(1)算術(shù)平均值（樣本均值）適用于性質(zhì)相同、單峰，且近似服從正態(tài)分布的定量數(shù)據(jù)；代碼：mean(X)（若X為矩陣，返回每列的均值）(2)中位數(shù)代碼：median(X)(3)幾何平均值適用于對(duì)比率數(shù)據(jù)的平均，并主要用于計(jì)算數(shù)據(jù)平均增長(zhǎng)（變化）率；服從正偏態(tài)分布（較長(zhǎng)右尾），特別是對(duì)數(shù)正態(tài)分布數(shù)據(jù)（取對(duì)數(shù)變換后服從正態(tài)分布）。代碼：geomean(X)(4)調(diào)和平均值即先取倒數(shù)，再取算術(shù)平均值，再取倒數(shù)回來。例如前半段時(shí)速60公里，后半段時(shí)速30公里（兩段距離相等），則其平均速度為兩者的調(diào)和平均數(shù)時(shí)速40公里。在實(shí)際中，往往由于缺乏總體單位數(shù)的資料而不能直接計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，這時(shí)需用調(diào)和平均法來求得平均數(shù)。代碼：harmmean(X)(5)眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，代碼：mode(X)2.期望和方差(1)樣本數(shù)據(jù)mean(X)——樣本均值var(X)或var(X,0)——樣本方差var(X,1)——方差std(X)或std(X,0)——樣本標(biāo)準(zhǔn)差Sstd(X,1)——標(biāo)準(zhǔn)差(2)常見分布的期望和方差通用格式：[E,D]=分布名縮寫+stat(分布參數(shù))返回E為期望，D為方差；例如，[E,D]=normstat(MU,SIGMA)(3)已知離散型隨機(jī)變量的分布律，求期望和方差例5設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從如下分布：X-2-1012P0.30.10.20.10.3求E(X),E(X2-1),D(X).代碼：X=[-2-1012];p=[0.30.10.20.10.3];EX=sum(X.*p)%或EX=X*p’Y=X.^2-1;EY=sum(Y.*p)XX=X.^2;EXX=sum(XX.*p);DX=EXX-EX^2運(yùn)行結(jié)果：EX=0EY=1.6000DX=2.60003.極差、偏度、峰度極差，數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差。代碼：range(X)偏度，是數(shù)據(jù)關(guān)于均值不對(duì)稱的指標(biāo)。若偏度為負(fù)，說明均值左邊的數(shù)據(jù)比右邊的數(shù)據(jù)更散；若偏度為正，說明均值右邊的數(shù)據(jù)比左邊的數(shù)據(jù)更散，正態(tài)分布的偏度為0.代碼：skewness(X)峰度，是用來反映數(shù)據(jù)的分布曲線頂端尖峭或扁平程度的指標(biāo)。代碼：kurtosis(X)4.矩k階中心矩——m=moment(X,k)k階原點(diǎn)矩——可以使用下面自編的OriginMoment.mfunctiony=OriginMoment(X,k);%X為樣本矩陣[n,m]=size(X);y=zeros(1,m);forii=1:m;y(ii)=sum(X(:,ii).^k)/n;end5.協(xié)方差（矩陣）、相關(guān)系數(shù)（矩陣）對(duì)于樣本數(shù)據(jù)矩陣：Matlab將矩陣X的每一列Xj,j=1,…,n作為一個(gè)隨機(jī)變量的樣本，每一行[xj1,xj2,…,xjn],j=1,2,...,m作為n個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的一個(gè)樣本。由于矩陣X給出的只是隨機(jī)變量的樣本數(shù)據(jù)，并不知道這些隨機(jī)變量的（聯(lián)合）概率分布，因此是不能計(jì)算出這些隨機(jī)變量的總體期望、方差或協(xié)方差的，而只能計(jì)算出它們的一個(gè)無偏估計(jì)，即樣本均值、樣本方差與樣本協(xié)方差。樣本協(xié)方差公式：,其中稱為隨機(jī)變量X1,…,Xn的協(xié)方差矩陣（實(shí)對(duì)稱、非負(fù)定）。協(xié)方差矩陣是一維隨機(jī)變量方差、二維隨機(jī)向量協(xié)方差向高維隨機(jī)向量的推廣，常應(yīng)用于在主成分分析中。相關(guān)系數(shù)（矩陣）是協(xié)方差（矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)化，反映了隨機(jī)變量?jī)蓛芍g的線性關(guān)系的強(qiáng)弱程度。代碼：cov(X)——返回樣本矩陣X的協(xié)方差矩陣；corrcoef(X)——返回樣本矩陣X的相關(guān)系數(shù)矩陣；例6隨機(jī)生成樣本數(shù)據(jù)矩陣X，計(jì)算X的協(xié)方差矩陣、相關(guān)系數(shù)矩陣。代碼：M=5;N=3;X=10.*rand(M,N)CovX=cov(X)Cov12=cov(X(:,1),X(:,2))Cov11=cov(X(:,1),X(:,1))var(X(:,1))RhoX=corrcoef(X)運(yùn)行結(jié)果：X=1.06658.68694.31419.61900.84449.10650.04633.99781.81857.74912.59872.63808.17308.00071.4554CovX=19.6061-6.38125.3900-6.381211.6214-5.58945.3900-5.58949.7937Cov12=19.6061-6.3812-6.381211.6214Cov11=19.606119.606119.606119.6061VarX1=19.6061RhoX=1.0000-0.42270.3890-0.42271.0000-0.52390.3890-0.52391.0000七、頻率直方圖1.統(tǒng)計(jì)數(shù)值或字符出現(xiàn)的頻數(shù)、頻率設(shè)X為數(shù)值型或字符型向量，代碼：tabulate(X);輸出X的值、頻數(shù)、頻率的三列表。注意：若X中的值都是非負(fù)整數(shù)，則min(X)與max(X)之間的任一整數(shù)都統(tǒng)計(jì)，未出現(xiàn)的頻數(shù)=0.2.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)實(shí)際上是累積頻率直方圖曲線。依據(jù)樣本以頻率估計(jì)概率，當(dāng)n充分大時(shí)，是總體分布函數(shù)的近似。例7生成指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)，計(jì)算其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)值并繪圖，并與其分布函數(shù)做對(duì)比。代碼：X=exprnd(3,100,1);[fp,xp]=ecdf(X);%計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)值subplot(1,2,1)ecdfhist(fp,xp,20);%繪制頻率直方圖subplot(1,2,2)plot(xp,fp,'r')%繪制經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖形(連線型）holdon[h,stats]=cdfplot(X)%繪制經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖形(階梯型）x=0:0.01:15;y=expcdf(x,3);plot(x,y,'g');legend('連線型經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)','階梯型經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)','分布函數(shù)');運(yùn)行結(jié)果：h=177.0125（圖形句柄）stats=min:0.0180max:27.9801mean:3.2968median:2.1667std:3.29693.直方圖定量數(shù)據(jù)常用直方圖來展示某變量取值的分布，利用直方圖可以估計(jì)總體的概率密度。例8隨機(jī)生成服從F(3,5)分布的樣本數(shù)據(jù)，繪制直方圖并與該分布的真實(shí)概率密度曲線做對(duì)比。代碼：n=5000;X=frnd(3,5,n,1);%生成F分布隨機(jī)數(shù)m=150;%分組區(qū)間數(shù)a=min(X);b=max(X);d=(b-a)/m;%分組寬度[r,xout]=hist(X,[a:d:b]);%或者[r,xout]=hist(X,m);%計(jì)算直方圖數(shù)據(jù),r返回每段的頻數(shù),xout返回每段的中心位置f=r./(n*d);%計(jì)算頻率bar(xout,f);%繪制頻率直方圖holdonx=0:0.01:10;y=fpdf(x,3,5);plot(x,y,'k-');axis([01001]);title('頻率密度直方圖');運(yùn)行結(jié)果：注：也可以用例7中方法繪制頻率直方圖：[fp,xp]=ecdf(X);%計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)值ecdfhist(fp,xp,20);%繪制頻率直方圖4.繪制分布的概率圖形normplot(X)——繪制X的正態(tài)分布概率圖形（若X為矩陣，則針對(duì)每列繪制）；可以用來驗(yàn)證數(shù)據(jù)X是否服從正態(tài)分布，若是，則近似一條直線。類似的還有，weibplot(X)——繪制X的威布爾分布概率圖形。例9隨機(jī)生成服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)，繪制其正態(tài)概率分布圖形，驗(yàn)證數(shù)據(jù)的正態(tài)性。代碼：X=normrnd(5,1.44,100,1);normplot(X)運(yùn)行結(jié)果：八、箱線圖又稱為盒形圖。在一條數(shù)軸上，以數(shù)據(jù)的上下四分位數(shù)（Q1-Q3）為界畫一個(gè)矩形盒子（中間50%的數(shù)據(jù)落在盒內(nèi)）；在數(shù)據(jù)的中位數(shù)位置畫一條線段為中位線；默認(rèn)延長(zhǎng)線不超過盒長(zhǎng)的1.5倍，之外的點(diǎn)認(rèn)為是異常值（用+標(biāo)記）。盒形圖的主要應(yīng)用就是，剔除數(shù)據(jù)的異常值、判斷數(shù)據(jù)的偏態(tài)和尾重。代碼：boxplot(X,notch,'sym',vert,whis)當(dāng)notch=1時(shí)，產(chǎn)生一凹盒圖，notch=0時(shí)產(chǎn)生一矩箱圖；sym表示異常值的標(biāo)記符號(hào)，默認(rèn)值為“+”；當(dāng)vert=0時(shí)，生成水平盒圖，vert=1時(shí)，生成豎直盒圖（默認(rèn)值vert=1）；whis定義“須線”的長(zhǎng)度，默認(rèn)值為1.5.例10繪制箱線圖。代碼：x1=normrnd(5,1,100,1);x2=normrnd(6,1,100,1);x=[x1x2];boxplot(x,0,'g+',1,1.5)運(yùn)行結(jié)果：注：若有異常值，應(yīng)先去掉異常值，再重新繪制修正的箱線圖。九、參數(shù)估計(jì)刻畫總體某方面概率特性的量，稱為參數(shù)；當(dāng)某參數(shù)未知時(shí)，從總體抽取樣本，用某種方法（矩估計(jì)、最大似然估計(jì)）對(duì)該未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，就是參數(shù)估計(jì)。通過構(gòu)造樣本的函數(shù)，給出未知參數(shù)的估計(jì)值（點(diǎn)估計(jì)）、取值范圍（區(qū)間估計(jì)）。1.通過格式（基于最大似然估計(jì)）[phat,pci]=分布名縮寫+fit(X,alpha)phat返回參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值，pci返回區(qū)間估計(jì)的兩端點(diǎn)；alpha為顯著水平，即估計(jì)結(jié)果具有(1-alpha)×100%的置信度。注意：對(duì)于二項(xiàng)分布的參數(shù)估計(jì)需要帶參數(shù)“N”表示試驗(yàn)次數(shù)：[phat,pci]=binofit(x,N,alpha)2.或者使用[phat,pci]=mle(‘分布名縮寫’,X,alpha)對(duì)于二項(xiàng)分布為：[phat,pci]=mle(‘分布名縮寫’,X,alpha,N)3.求最大對(duì)數(shù)似然函數(shù)值[logL,info]=分布名縮寫+like(給定參數(shù),X)其中，給定參數(shù)為行向量形式，輸入的是參數(shù)的極大似然估計(jì)值；info返回回Fisher逆信息矩陣，其對(duì)角線為為相應(yīng)參數(shù)的漸近方差。例11某廠生產(chǎn)的滾珠隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得滾珠直徑(mm)如下：15.1414.8115.1115.2615.0815.1715.1214.9515.0514.87設(shè)測(cè)定值總體服從N(μ,σ2),μ和σ未知，分別求μ和σ的最大似然估計(jì)以及95%的置信區(qū)間。代碼：X=[15.1414.8115.1115.2615.0815.1715.1214.9515.0514.87];[muhat,sigmaheat,muci,sigmaci]=normfit(X,0.05)運(yùn)行結(jié)果：muhat=15.0560sigmahat=0.1397muci=14.956115.1559sigmaci=0.09610.2550logL=-5.9933info=0.00200.00000.00000.0011十、假設(shè)檢驗(yàn)實(shí)際中，我們只能抽取部分樣本，做統(tǒng)計(jì)分析得到統(tǒng)計(jì)結(jié)果，進(jìn)一步推斷總體的特征，但是這種推斷必然有可能犯錯(cuò)，犯錯(cuò)的概率為多少時(shí)應(yīng)該接受這種推斷呢？為此，統(tǒng)計(jì)學(xué)家就開發(fā)了一些統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢定，通過把所得到的統(tǒng)計(jì)檢定值，與統(tǒng)計(jì)學(xué)家樹立了一些隨機(jī)變量的概率分布進(jìn)行對(duì)比，我們可以知道在百分之多少的機(jī)遇下會(huì)得到目前的結(jié)果。倘若經(jīng)比較后發(fā)現(xiàn)，涌現(xiàn)這結(jié)果的機(jī)率很少，即是說，是在時(shí)機(jī)很少、很罕有的情況下才出現(xiàn)；那我們便可以有信念地說，這不是巧合，該推斷結(jié)果是具有統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義的。否則，就是推斷結(jié)果不具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。假設(shè)檢驗(yàn)是基于反證法思想：先提出原假設(shè)（H0），再用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法確定假設(shè)成立的可能性（P值）大小，如可能性小（P≤α），則認(rèn)為原假設(shè)不成立，若可能性大，則還不能認(rèn)為備擇假設(shè)（H1）成立。原假設(shè)與備擇假設(shè)是是完備且相互獨(dú)立的事件組，一般，原假設(shè)（H0）——研究者想收集證據(jù)予以反對(duì)的假設(shè)；備擇假設(shè)（H1）——研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)；假設(shè)檢驗(yàn)的P值是由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本觀察值得出的原假設(shè)可被拒絕的最小顯著水平。（1）雙側(cè)檢驗(yàn)（H1:μ≠μ0）I.原假設(shè)H0:μ=μ0,備擇假設(shè)H1:μ≠μ0;Ⅱ.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量t的觀察值t0;Ⅲ.P值=P{|t|≥|t0|}=t0的雙側(cè)尾部的面積；Ⅳ.若P值≤α（在右尾部分），則在顯著水平α下拒絕H0;若P值>α，則在顯著水平α下接受H0;注意：α為臨界值，看P值在不在陰影部分（拒絕域），空白部分為接受域。（2）左側(cè)檢驗(yàn)（H1:μ<μ0）I.原假設(shè)H0:μ≥μ0,備擇假設(shè)H1:μ<μ0;Ⅱ.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量t的觀察值t0（<0）;Ⅲ.P值=P{t≤t0}=t0的左側(cè)尾部的面積；Ⅳ.若P值≤α（在左尾部分），則在顯著水平α下拒絕H0;若P值>α，則在顯著水平α下接受H0;（3）右側(cè)檢驗(yàn)（H1:μ>μ0）I.原假設(shè)H0:μ≤μ0,備擇假設(shè)H1:μ>μ0;Ⅱ.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量t的觀察值t0（>0）;Ⅲ.P值=P{t≥t0}=t0的右側(cè)尾部的面積；Ⅳ.若P值≤α（在右尾部分），則在顯著水平α下拒絕H0;若P值>α，則在顯著水平α下接受H0;1.總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，單個(gè)正態(tài)總體均值的U檢驗(yàn)[h,p,muci,zval]=ztest(X,mu,sigma,alpha,tail)p返回p值，h=1或p≤alpha時(shí)，拒絕H0;h=0或p>alpha時(shí)接受H0.muci返回總體均值的1-alpha置信區(qū)間；zval返回檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值；tail=’both’或’right’或’left’,用來規(guī)定雙側(cè)、右側(cè)、左側(cè)檢驗(yàn)，默認(rèn)是’both’.例12某切割機(jī)正常工作時(shí)，切割的金屬棒的長(zhǎng)度服從N(100,4),隨機(jī)抽取15根，測(cè)得長(zhǎng)度(mm)如下：9710210511299103102941009510598102100103假設(shè)總體方差不變，檢驗(yàn)該切割機(jī)是否正常，即總體均值是否等于100mm？顯著性水平取α=0.05.H0:μ=μ0=100,H1:μ≠μ0代碼：X=[9710210511299103102941009510598102100103];[h,p,muci,zval]=ztest(X,100,2,0.05)%h=1或p≤0.05時(shí)，拒絕原假設(shè)；h=0或p>0.05時(shí)，接受原假設(shè)[h1,p1,muci1,zval1]=ztest(X,100,2,0.05,'right')運(yùn)行結(jié)果：h=1p=0.0282muci=100.1212102.1455zval=2.1947（U統(tǒng)計(jì)量值）h1=1p1=0.0141uci1=100.2839Infzval1=2.1947由于p值=0.0282<α=0.05,拒絕原假設(shè)H0，故結(jié)論是：在顯著水平α=0.05下，設(shè)備工作不正常。注意到，總體均值的置信區(qū)間均大于100，有必要繼續(xù)做假設(shè)檢驗(yàn)：H0:μ≤μ0=100,H1:μ>μ0經(jīng)檢驗(yàn)，p值=0.0141<α=0.05,拒絕原假設(shè)H0,故結(jié)論是：在顯著水平α=0.05下，總體均值大于100.2.t檢驗(yàn)t檢驗(yàn)，用來檢驗(yàn)“單樣本均值與已知均值、兩獨(dú)立樣本均值、配對(duì)設(shè)計(jì)資料的均值”是否存在差異，這種差異是否能推論至總體。t檢驗(yàn)適用于樣本含量較小（比如n<60，大樣本數(shù)據(jù)可以用U檢驗(yàn)），適用條件：①數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布（做正態(tài)性檢驗(yàn)）；②滿足方差齊性（即兩樣本的總體方差相等，做F檢驗(yàn)）；若數(shù)據(jù)不滿足①，②，可以嘗試對(duì)數(shù)據(jù)做變量變換：對(duì)數(shù)變換、平方根變換、倒數(shù)變換、平方根反正弦變換等。（1）總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，單個(gè)正態(tài)總體均值的t檢驗(yàn)[h,p,muci,stats]=ttest(X,x0,alpha,tail)（2）總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，兩正態(tài)總體均值的t檢驗(yàn)[h,p,muci,stats]=ttest2(X,Y,alpha,tail,vartype)vartype用來指定方差類型：’equal’（方差齊）、’unequal’（方差不齊）.例13某化肥廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝化肥，某日測(cè)得9包化肥的質(zhì)量(kg)如下：49.450.550.751.749.847.949.251.448.9假設(shè)每包化肥的質(zhì)量服從正態(tài)分布，是否可以認(rèn)為每包化肥的平均質(zhì)量為50kg?顯著性水平取α=0.05.H0:μ=μ0=50,H1:μ≠μ0代碼：X=[49.450.550.751.749.847.949.251.448.9];[h,p,muci,stats]=ttest(X,50,0.05)運(yùn)行結(jié)果：h=0p=0.8961muci=48.994350.8945stats=tstat:-0.1348df:8sd:1.2360經(jīng)檢驗(yàn)，p值=0.8961>α=0.05,接受原假設(shè)，故結(jié)論是：在顯著水平α=0.05下，每包化肥的平均質(zhì)量等于50kg.例14甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一種產(chǎn)品，從這兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取若干件，測(cè)得產(chǎn)品直徑(mm)如下：甲機(jī)床：20.120.019.320.620.219.920.019.919.119.9乙機(jī)床：18.619.120.020.020.019.719.919.620.2設(shè)甲、乙兩機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑分別服從N(μ1,σ12)和N(μ2,σ22)，試比較兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑是否有差異？顯著性水平取α=0.05.H0:μ1=μ2,H1:μ1≠μ2代碼：X=[20.120.019.320.620.219.920.019.919.119.9];Y=[18.619.120.020.020.019.719.919.620.2];[h,p,muci,stats]=ttest2(X,Y,0.05,'both','equal')運(yùn)行結(jié)果：h=0p=0.3191muci=-0.23460.6791stats=tstat:1.0263df:17sd:0.4713經(jīng)檢驗(yàn)，p值=0.3191>α=0.05,接受原假設(shè)，故結(jié)論是：在顯著水平α=0.05下，兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑?jīng)]有顯著差異。3.總體均值未知，單個(gè)正態(tài)總體方差的χ2檢驗(yàn)卡方的統(tǒng)計(jì)原理，是取觀