選修4-2矩陣與變換教案

第22頁(yè)共22頁(yè)第一講二階矩陣、二階矩陣與平面向量的乘法、二階矩陣與線性變換。一、二階矩陣1.矩陣的概念—2—3—yx23OP(2,3)①eq\o(OP,\d\fo1()\s\up5(→))(2,3)，將eq\o(OP,\d\fo1()\s\up5(→))的坐標(biāo)排成一列，并簡(jiǎn)記為eq\b\bc\—2—3—yx23OP(2,3)eq\b\bc\[(\a\al\vs2(2,3))②某電視臺(tái)舉辦歌唱比賽，甲、乙兩名選手初、復(fù)賽成績(jī)?nèi)缦拢撼踬恊q\b\beq\b\bc\[(\a\al\vs4(8090,8688))甲8090乙868823m3－24簡(jiǎn)記為③簡(jiǎn)記為概念一：象eq\b\bc\[(\a\al\vs2(2,3))的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱為矩陣.通常用大寫的拉丁字母A、B、C…表示，橫排叫做矩陣的行,豎排叫做矩陣的列.名稱介紹：①上述三個(gè)矩陣分別是2×1矩陣，2×2矩陣（二階矩陣），2×3矩陣，注意行的個(gè)數(shù)在前。②矩陣相等：行數(shù)、列數(shù)相等，對(duì)應(yīng)的元素也相等的兩個(gè)矩陣，稱為A＝B。③行矩陣：[a11,a12]（僅有一行）④列矩陣：eq\b\bc\[(\a\al\vs2(a11,a21))（僅有一列）⑤向量＝（x,y），平面上的點(diǎn)P（x,y）都可以看成行矩陣或列矩陣，在本書中規(guī)定所有的平面向量均寫成列向量的形式。練習(xí)1：1.已知,，若A=B，試求2.設(shè)，，若A=B，求x,y,m,n的值。概念二：由4個(gè)數(shù)a,b,c,d排成的正方形數(shù)表稱為二階矩陣。a,b,c,d稱為矩陣的元素。①零矩陣：所有元素均為0，即，記為0。②二階單位矩陣：，記為E2.二、二階矩陣與平面向量的乘法定義：規(guī)定二階矩陣A=，與向量的乘積為，即＝＝練習(xí)2：1.（1）＝（2）＝2.=，求三、二階矩陣與線性變換1.旋轉(zhuǎn)變換問(wèn)題1:P（x,y）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180o得到P’(x’,y’),稱P’為P在此旋轉(zhuǎn)變換作用下的象。其結(jié)果為，也可以表示為，即＝＝怎么算出來(lái)的？問(wèn)題2.P（x,y）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30o得到P’(x’,y’),試完成以下任務(wù)①寫出象P’；②寫出這個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的方程組形式；③寫出矩陣形式.3030o問(wèn)題3.把問(wèn)題2中的旋轉(zhuǎn)30o改為旋轉(zhuǎn)角，其結(jié)果又如何？2.反射變換定義：把平面上任意一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)到它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P’的線性變換叫做關(guān)于直線的反射。研究：P（x,y）關(guān)于x軸的反射變換下的象P’(x’,y’)的坐標(biāo)公式與二階矩陣。3.伸縮變換定義：將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，（、均不為0），這樣的幾何變換為伸縮變換。試分別研究以下問(wèn)題：①.將平面內(nèi)每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變的伸縮變換的坐標(biāo)公式與二階矩陣.②.將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍的伸縮變換的坐標(biāo)公式與二階矩陣.4.投影變換定義：將平面上每個(gè)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)到它在直線上的投影P’（即垂足），這個(gè)變換稱為關(guān)于直線的投影變換。研究：P（x,y）在x軸上的（正）投影變換的的坐標(biāo)公式與二階矩陣。5.切變變換定義：將每一點(diǎn)P（x,y）沿著與x軸平行的方向平移個(gè)單位，稱為平行于x軸的切變變換。將每一點(diǎn)P（x,y）沿著與y軸平行的方向平移個(gè)單位，稱為平行于y軸的切變變換。研究：這兩個(gè)變換的坐標(biāo)公式和二階矩陣。練習(xí)：P101.2.3.4四、簡(jiǎn)單應(yīng)用1.設(shè)矩陣A=，求點(diǎn)P(2,2)在A所對(duì)應(yīng)的線性變換下的象。練習(xí)：P131.2.3.4.5【第一講.作業(yè)】1.關(guān)于x軸的反射變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣是2.在直角坐標(biāo)系下，將每個(gè)點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120o的旋轉(zhuǎn)變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣是3.如果一種旋轉(zhuǎn)變換對(duì)應(yīng)的矩陣為二階單位矩陣，則該旋轉(zhuǎn)變換是4.平面內(nèi)的一種線性變換使拋物線的焦點(diǎn)變?yōu)橹本€y=x上的點(diǎn)，則該線性變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣可以是5.平面上一點(diǎn)A先作關(guān)于x軸的反射變換，得到點(diǎn)A1,在把A1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180o，得到點(diǎn)A2，若存在一種反射變換同樣可以使A變?yōu)锳2，則該反射變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣是6.P（1，2）經(jīng)過(guò)平行于y軸的切變變換后變?yōu)辄c(diǎn)P1(1,-5)，則該切變變換對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)公式為7.設(shè)，，且A=B.則x＝8.在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于直線y=-x的正投影變換對(duì)應(yīng)的矩陣為9.在矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換作用下，點(diǎn)P(2,1)的像的坐標(biāo)為10.已知點(diǎn)A（2，－1），B（－2，3），則向量在矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換下得到的向量坐標(biāo)為11.向量在矩陣的作用下變?yōu)榕c向量平行的單位向量，則＝12.已知，＝，＝，設(shè)，，①求，；13.已知，＝，＝，若與的夾角為135o，求x.14.一種線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣為。①若點(diǎn)A在該線性變換作用下的像為（5，－5）,求電A的坐標(biāo)；②解釋該線性變換的幾何意義。15.在平面直角坐標(biāo)系中，一種線性變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣為。求①點(diǎn)A（1/5,3）在該變換作用下的像；②圓上任意一點(diǎn)在該變換作用下的像。答案：1.2.3.4.5.6.7.－18.9.（0，5）10.（2，8）11.，12.、ｘ＝2/314.(5,y)15.,第二講線性變換的性質(zhì)·復(fù)合變換與二階矩陣的乘法數(shù)乘平面向量與平面向量的加法運(yùn)算1.數(shù)乘平面向量：設(shè)，是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，則2.平面向量的加法：設(shè)，，則性質(zhì)1：設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，是平面上的任意兩個(gè)向量，是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，則①數(shù)乘結(jié)合律：；②分配律：【探究1】對(duì)以上的性質(zhì)進(jìn)行證明，并且說(shuō)明其幾何意義。二、直線在線性變換下的圖形研究分別在以下變換下的像所形成的圖形。①伸縮變換：②旋轉(zhuǎn)變換：③切變變換：④特別地：直線x=a關(guān)于x軸的投影變換？性質(zhì)2：二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換（線性變換）把平面上的直線變成.（證明見(jiàn)課本P19）三、平面圖形在線性變換下的像所形成的圖形分別研究單位正方形區(qū)域在線性變換下的像所形成的圖形。恒等變換：②旋轉(zhuǎn)變換：③切變變換：④反射變換：⑤投影變換：【練習(xí)：P27】【應(yīng)用】試研究函數(shù)在旋轉(zhuǎn)變換作用下得到的新曲線的方程。四、復(fù)合變換與二階矩陣的乘法1.研究任意向量先在旋轉(zhuǎn)變換：作用，再經(jīng)過(guò)切變變換：作用的向量2.二階矩陣的乘積定義：設(shè)矩陣A＝，B＝，則A與B的乘積AB＝＝【應(yīng)用】1.計(jì)算＝2.A＝，B＝，求AB3.求在經(jīng)過(guò)切變變換：A=，及切變變換：B=兩次變換后的像。4.設(shè)壓縮變換：A＝，旋轉(zhuǎn)變換：B＝，將兩個(gè)變換進(jìn)行復(fù)合，①求向量在復(fù)合變換下的像；②求在復(fù)合變換下的像；③在復(fù)合變換下單位正方形變成什么圖形？5.試研究橢圓①伸縮變換：②旋轉(zhuǎn)變換：；③切變變換：；④反射變換：；⑤投影變換：五種變換作用下的新曲線方程。進(jìn)一步研究在④②，①④等變換下的新曲線方程?！揪毩?xí)：P35】【第二講.作業(yè)】A.B.C.D.1.下列線性變換中不會(huì)使正方形變?yōu)槠渌麍D形的是（）A.反射變換B.投影變換C.切變變換D.伸縮變換2.在切變變換：作用下，直線y=2x-1變?yōu)?.在A＝作用下，直線變?yōu)閥=-2x-3,則直線為4.在對(duì)應(yīng)的線性邊變換作用下，橢圓變?yōu)?.已知平面內(nèi)矩形區(qū)域?yàn)椋?≤x1≤1,0≤x2≤2）,若一個(gè)線性變換將該矩形變?yōu)檎叫螀^(qū)域，則該線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣為6.將橢圓繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45ｏ后得到新的橢圓方程為7.在對(duì)應(yīng)的線性邊變換作用下，圓(x+1)2+(y+1)2=1變?yōu)?.計(jì)算：①＝②＝③＝9.向量經(jīng)過(guò)和兩次變換后得到的向量為10.向量先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o，再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15o得到的向量為11.函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)的伸縮變換，和的反射變換后的函數(shù)是12.橢圓先后經(jīng)過(guò)反射變換和伸縮變換后得到的曲線方程為13.已知Ｍ＝，且ＭＮ＝，求矩陣Ｎ。14.分別求出在、、對(duì)應(yīng)的線性邊變換作用下，橢圓變換后的方程，并作出圖形。15.函數(shù)先后經(jīng)過(guò)怎樣的變換可以得到？寫出相應(yīng)的矩陣。答案：1.Ａ2.y=-13.3x-y+3=04.y=-x5.6.7.y=x（－2≤x≤0）8.、、9.10.11.13.14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－2≤x≤2)、15.＝第三講矩陣乘法的性質(zhì)·逆變換、逆矩陣矩陣乘法的性質(zhì)1.設(shè)Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩陣是否滿足，①結(jié)合律；②交換律；③消去律。結(jié)論：2.由結(jié)合律研究矩陣Ａ的乘方運(yùn)算。3.單位矩陣的性質(zhì)【應(yīng)用】1.設(shè)Ａ＝，求Ａ82.【練習(xí)：P41】二、逆變換與逆矩陣1.逆變換：設(shè)是一個(gè)線性變換，如果存在一個(gè)線性變換，使得＝＝，（是恒等變換）則稱變換可逆，其中是的逆變換。2.逆矩陣：設(shè)Ａ是一個(gè)二階矩陣，如果存在二階矩陣Ｂ，使得BA=AB=E2,則稱矩陣Ａ可逆，其中Ｂ為Ａ的逆矩陣。符號(hào)、記法：，讀作Ａ的逆?！緫?yīng)用】1.試尋找Ｒ30o的逆變換。【應(yīng)用】1.A＝，問(wèn)A是否可逆？若可逆，求其逆矩陣。2.A＝，問(wèn)A是否可逆？若可逆，求其逆矩陣。由以上兩題，總結(jié)一般矩陣A＝可逆的必要條件。三、逆矩陣的性質(zhì)1.二階矩陣可逆的唯一性。2.設(shè)二階矩陣A、B均可逆，則也可逆，且【練習(xí)：P50】【第三講.作業(yè)】1.已知非零二階矩陣A、B、C，下列結(jié)論正確的是（）A.AB=BAB.(AB)C=A(BC)C.若AC=BC則A=BD.若CA=CB則A=B2.下列變換不存在逆變換的是（）A.沿x軸方向，向y軸作投影變換。B.變換。C.橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)增加橫坐標(biāo)的兩倍的切變變換。D.以y軸為反射變換3.下列矩陣不存在逆矩陣的是（）A.B.C.D.4.設(shè)A,B可逆，下列式子不正確的是（）A.B.C.D.5.，則Ｎ2＝6.＝7.＝8.設(shè)，則向量經(jīng)過(guò)先Ａ再Ｂ的變換后的向量為經(jīng)過(guò)先Ｂ再A的變換后的向量為9.關(guān)于x軸的反射變換對(duì)應(yīng)矩陣的逆矩陣是10.變換將（3，2）變成（1，0），設(shè)的逆變換為－1，則－1將（1，0）變成點(diǎn)11.矩陣的逆矩陣為12.設(shè)：＝，點(diǎn)（－2，3）在－1的作用下的點(diǎn)的坐標(biāo)為13.A＝，則=14.△ABC的頂點(diǎn)A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果將三角形先后經(jīng)過(guò)和兩次變換變成△A‘B’C’,求△A‘B’C’的面積。15.已知A＝，B＝，求圓在變換作用下的圖形。16.已知，試分別計(jì)算：,,,答案：1.B2.A3.D4.A5.6.7.8.、9.10.（3，2）11.12.（1，3）13.14.115.16.、、、第四講二階行列式與逆矩陣·逆矩陣與二元一次方程組一.二階行列式與逆矩陣【概念】如果矩陣A＝是可逆的，則0.其中稱為二階行列式，記作，即＝，也稱為行列式的展開式。符號(hào)記為：detA或|A|【可逆矩陣的充要條件】定理：二階矩陣A＝可逆，當(dāng)且僅當(dāng)detA=0.此時(shí)（請(qǐng)同學(xué)一起證明此定理）【應(yīng)用】1.計(jì)算二階行列式：①②2.判斷下列二階矩陣是否可逆，若可逆，求出逆矩陣。①A＝②B＝【練習(xí)：P55】二、二元一次方程組的矩陣形式1.二元一次方程組的矩陣形式一般的，方程組可寫成矩陣形式為：2.二元一次方程組的線性變換意義設(shè)變換：，向量、，則方程組，意即：＝三、逆矩陣與二元一次方程組1.研究方程組：的矩陣形式與逆矩陣的關(guān)系?！径ɡ怼咳绻P(guān)于x,y的二元一次方程組的系數(shù)矩陣A＝是可逆的，則該方程組有唯一解：＝【推論】關(guān)于x,y的二元一次方程組（a,b,c,d,均不為0），有非零解＝0【應(yīng)用】1.用逆矩陣解二元一次方程組【思考】課本60頁(yè)思考的系數(shù)矩陣A＝不可逆，方程組的解如何？【練習(xí)：P61】【應(yīng)用】1.為何值時(shí)，二元一次方程組＝有非零解？三、三階矩陣與三階行列式1.三階矩陣的形式2.三階行列式的運(yùn)算【第四講.作業(yè)】1.矩陣A＝，則|A|=2.矩陣A＝，若A是不可逆的，則x=3.的逆矩陣為4.A＝，B＝，則＝5.A＝，，若A不可逆，則＝6.若關(guān)于x,y的二元一次方程組有非零解，則m＝7.設(shè)二元一次方程組＝?jīng)]有非零解，則m所有值的集合為8.向量在旋轉(zhuǎn)變換的作用下變?yōu)椋瑒t向量＝9.若＝，則x+y＝10.A＝，B＝，向量滿足＝，則向量＝11.用逆矩陣的方法解方程組：①②12.求下列未知的二階矩陣X：①②13.當(dāng)為何值時(shí)，二元一次方程組＝有非零解？14.設(shè)A＝，矩陣B滿足＝，求矩陣B.答案：1.22.3.4.5.6.-33/47.8.9.－310.11.x=k,y=3k12.、13.1或414.第五講變換的不變量與特征向量一.特征值與特征向量【探究】計(jì)算下列結(jié)果：＝＝以上的計(jì)算結(jié)果與，的關(guān)系是怎樣的？計(jì)算下列結(jié)果：＝＝以上的計(jì)算結(jié)果與，的關(guān)系是怎樣的？【定義】設(shè)矩陣A＝，如果存在實(shí)數(shù)及非零向量，使得，則稱是矩陣A的一個(gè)特征值。是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量。（結(jié)合探究1、2說(shuō)明，特征值與特征向量）【定理1】如果是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量，則對(duì)任意的非零常數(shù)k，k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。其幾何意義是什么？【定理2】屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線。【應(yīng)用】從幾何角度解釋旋轉(zhuǎn)變換的特征值與特征向量。二、特征值與特征向量的計(jì)算1.設(shè)A＝，求A的特征值及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量。【總結(jié)規(guī)律】一般的，矩陣A＝的特征值及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量的求法?！緫?yīng)用】求A＝的特征值及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量?！揪毩?xí)：P70】【第五講.作業(yè)】1.設(shè)反射變換對(duì)應(yīng)的矩陣為A，則下列不是A的特征向量的是（）A.B.C.D.2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.矩陣A的一個(gè)特征向量只能屬于A的一個(gè)特征值B.每個(gè)二階矩陣均有特征向量C.屬于矩陣A的不同特征值的特征向量一定不共線D.如果是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量，則對(duì)任意的非零常數(shù)k，k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。3.設(shè)，分別是恒等變換與零變換的特征值，則－＝4.投影變換的所有特征值組成的集合為5.矩陣的特征多項(xiàng)式為6.已知A是二階矩陣，且A2＝0，則A的特征值為7.若0是矩陣A＝的一個(gè)特征值，則A的屬于0的特征向量為8.已知1、2是矩陣A＝的特征值，則＝9.若向量是矩陣的一個(gè)特征向量，則m＝10.求下列矩陣的特征值及其對(duì)應(yīng)的所有特征向量：①②③11.已知向量是矩陣的一個(gè)特征向量，求m的值。12.設(shè)A＝，分別求滿足下列條件的所有矩陣A：①是A的屬于2的一個(gè)特征向量。②是A的一個(gè)特征向量。13.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，矩陣總存在特征向量，求m的取值范圍。14設(shè)A是可逆的二階矩陣，求證：①A的特征值一定不是0；②若是A的特征值，則1/是A－1的特征值。1.Ｄ2.Ｂ3.１4.｛0，1｝5.6.07.8.9.１10.①或；②或③或11.ｍ＝012.①②13.－3≤ｍ≤214.①有特征多項(xiàng)式證明；②，得征。第六講特征向量的應(yīng)用一.的簡(jiǎn)單表示【探究1】關(guān)于x軸的反射變換的坐標(biāo)公式為：相應(yīng)的二階矩陣為A＝矩陣A的特征值為：對(duì)應(yīng)于每個(gè)特征值的特征向量為：試研究對(duì)特征向量作了n次變換后的結(jié)果：【定義】設(shè)矩陣A＝，是矩陣A的屬于特征值的任意一個(gè)特征向量，則（）【探究2】設(shè)探究1中的兩個(gè)特征向量為、，因?yàn)檫@兩個(gè)向量不共線，所以平面上任意一個(gè)向量可以用、為基底表示為：試研究的值?！拘再|(zhì)1】設(shè)、是二階矩陣A的兩個(gè)不同特征值，、是矩陣A的分別屬于特征值、的特征向量，對(duì)于平面上任意一個(gè)非零向量，設(shè)，則＝【應(yīng)用】1.【P761、2】2.人口遷移問(wèn)題課本P73【第五講.作業(yè)】1.求矩陣A＝的特征值及其對(duì)應(yīng)的所有特征向量。2.①設(shè)是矩陣A的一個(gè)特征值，求證：是的一個(gè)特征值。②若＝。求證A的特征值為0或1。3.設(shè)是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量，求證：是的屬于特征值的一個(gè)特征向量?！?－2綜合·作業(yè)】一、選擇題1.設(shè)矩陣A＝，B＝，若A＝B，則x的值為（）A.3B.9C.-3D.±32.矩陣的逆矩陣為（）A.B.C.D.3.矩陣A＝，，則＝