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文檔簡介
數(shù)論專題典型結(jié)論匯總整除一、常有數(shù)字的整除判斷方法1.一個(gè)數(shù)的末位能被2或5整除,這個(gè)數(shù)就能被2或5整除;一個(gè)數(shù)的末兩位能被4或25整除,這個(gè)數(shù)就能被4或25整除;一個(gè)數(shù)的末三位能被8或125整除,這個(gè)數(shù)就能被8或125整除;一個(gè)位數(shù)數(shù)字和能被3整除,這個(gè)數(shù)就能被3整除;一個(gè)數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除,這個(gè)數(shù)就能被9整除;3.假如一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除,那么這個(gè)數(shù)能被11整除.4.假如一個(gè)整數(shù)的末三位與末三位從前的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)之差能被7、11或13整除,那么這個(gè)數(shù)能7、11或13整除.假如一個(gè)數(shù)能被99整除,這個(gè)數(shù)從后兩位開始兩位一截所得的全部數(shù)(假如有偶數(shù)位則拆出的數(shù)都有兩個(gè)數(shù)字,假如是奇數(shù)位則拆出的數(shù)中若干個(gè)有兩個(gè)數(shù)字還有一個(gè)是一位數(shù))的和是99的倍數(shù),這個(gè)數(shù)必定是99的倍數(shù)。【備注】(以上規(guī)律僅在十進(jìn)制數(shù)中成立.)二、整除性質(zhì)性質(zhì)1假如數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除,那么它們的和或差也能被c整除.即假如c︱a,c︱,那么c︱(a±).bb性質(zhì)2假如數(shù)a能被數(shù)b整除,b又能被數(shù)c整除,那么a也能被c整除.即假如b∣a,c∣b,那么c∣a.用相同的方法,我們還能夠夠得出:性質(zhì)3假如數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除,那么a也能被b或c整除.即假如bc∣a,那b∣a,c∣a.性質(zhì)4假如數(shù)a能被數(shù)b整除,也能被數(shù)c整除,且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì),那么a必定能被b與c的乘積整除.即假如b∣,∣,且(,)=1,那么bc∣.a(chǎn)cabca比方:假如3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4)∣12.性質(zhì)5假如數(shù)a能被數(shù)b整除,那么am也能被bm整除.假如b|a,那么bm|am(m為非0整數(shù));性質(zhì)6假如數(shù)a能被數(shù)b整除,且數(shù)c能被數(shù)d整除,那么ac也能被bd整除.假如b|a,且d|c(diǎn),那么bd|ac;質(zhì)數(shù)合數(shù)一、判斷一個(gè)數(shù)能否為質(zhì)數(shù)的方法依據(jù)定義假如能夠找到一個(gè)小于p的質(zhì)數(shù)(均為整數(shù)),使得q能夠整除,那么p就不是質(zhì)qp數(shù),所以我們只需拿全部小于p的質(zhì)數(shù)去除p就能夠了;可是這樣的計(jì)算量很大,關(guān)于不太大的p,我們能夠先找一個(gè)大于且湊近p的平方數(shù)K2,再列出全部不大于K的質(zhì)數(shù),用這些質(zhì)數(shù)去除p,如沒有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).比方:149很湊近1441212,依據(jù)整除的性質(zhì)149不可以夠被2、3、5、7、11整除,所以149是質(zhì)數(shù).二、獨(dú)一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都能夠?qū)懗少|(zhì)數(shù)的連乘積,即:npa1pa2pa3pak此中123k為質(zhì)數(shù),a1a2ak為自然數(shù),而且這類表示是獨(dú)一的.該式稱為n的質(zhì)因子分解式.比方:三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個(gè)數(shù).分析:∵210=2×3×5×7,∴可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7.三、部分特別數(shù)的分解111337;100171113;1111141271;1000173137;199535719;1998233337;200733223;2008222251;10101371337.約數(shù)倍數(shù)一、求最大合約數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)法:先分解質(zhì)因數(shù),此后把相同的因數(shù)連乘起來.比方:2313711,25222327,所以(231,252)3721;21812②短除法:先找出全部共有的約數(shù),此后相乘.比方:396,所以(12,18)236;32③展轉(zhuǎn)相除法:每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除,能夠整除的那個(gè)余數(shù),就是所求的最大合約數(shù).用展轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大合約數(shù)的步驟以下:先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù),得第一個(gè)余數(shù);再用第一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù),得第二個(gè)余數(shù);又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù),得第三個(gè)余數(shù);這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前一個(gè)余數(shù),直到余數(shù)是0為止.那么,最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大合約數(shù).(假如最后的除數(shù)是1,那么本來的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的).比方,求600和1515的最大合約數(shù)6003151285;315285130;28530915;301520;所以1515和600的最大合約數(shù)是15.二、最大合約數(shù)的性質(zhì)①幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大合約數(shù),所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù);②幾個(gè)數(shù)的合約數(shù),都是這幾個(gè)數(shù)的最大合約數(shù)的約數(shù);③幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)n,所得的積的最大合約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大合約數(shù)乘以n.三、求一組分?jǐn)?shù)的最大合約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù),其余分?jǐn)?shù)不變;求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a;求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大合約數(shù)b;b即為所求.a(chǎn)四、約數(shù)、合約數(shù)最大合約數(shù)的關(guān)系1)約數(shù)是對一個(gè)數(shù)說的;2)合約數(shù)是最大合約數(shù)的約數(shù),最大合約數(shù)是合約數(shù)的倍數(shù)五、求最小公倍數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)的方法;比方:2313711,25222327,所以231,25222327112772;②短除法求最小公倍數(shù);21812比方:396,所以18,12233236;32③[,]ab.(a,b)六、最小公倍數(shù)的性質(zhì)①兩個(gè)數(shù)的隨意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).②兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積.③兩個(gè)數(shù)擁有倍數(shù)關(guān)系,則它們的最大合約數(shù)是此中較小的數(shù),最小公倍數(shù)是較大的數(shù).七、求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù);求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)a;求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最大合約數(shù)b;b即為所求.比方:35[3,5]15[,]4a412(4,12)注意:兩個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的最大合約數(shù)不可以夠是整數(shù),最小公倍數(shù)能夠是整數(shù).比方:1,41,44232,3八、倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的關(guān)系1)倍數(shù)是對一個(gè)數(shù)說的;2)最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的約數(shù),公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)九、最大合約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1.兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大合約數(shù),所得的商互質(zhì)。假如m為A、B的最大合約數(shù),且Ama,Bmb,那么a、b互質(zhì),所以A、B的最小公倍數(shù)為mab,所以最大合約數(shù)與最小公倍數(shù)有以下一些基本關(guān)系:ABmambmmab,即兩個(gè)數(shù)的最大合約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的積;②最大合約數(shù)是A、B、AB、AB及最小公倍數(shù)的約數(shù).2.兩個(gè)數(shù)的最大合約和最小公倍的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。即(a,b)[a,b]ab,此性質(zhì)比較簡單,學(xué)生比較簡單掌握。3.關(guān)于隨意3個(gè)連續(xù)的自然數(shù),假如三個(gè)連續(xù)數(shù)的奇偶性為a)奇偶奇,那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)比方:567210,210就是567的最小公倍數(shù)b)偶奇偶,那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的2倍比方:678336,而6,7,8的最小公倍數(shù)為3362168性質(zhì)(3)不是一個(gè)常有考點(diǎn),可是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系,即“幾個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)必定不會比他們的乘積大”。十、求約數(shù)個(gè)數(shù)與全部約數(shù)的和1.求任一整數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)一個(gè)整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后,將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)此后為23527,所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個(gè)。(包含1和1400自己)約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式是本講的一個(gè)要點(diǎn)和難點(diǎn),講課時(shí)應(yīng)要點(diǎn)解說,公式的推導(dǎo)過程是成立在開篇講過的數(shù)字“獨(dú)一分解定理”形式基礎(chǔ)之上,聯(lián)合乘法原理推導(dǎo)出來的,不是很復(fù)雜,建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點(diǎn)在于公式的逆推,有相當(dāng)一部分常考的偏難題型觀察的就是對這個(gè)公式的逆用,即先告訴一個(gè)數(shù)有多少個(gè)約數(shù),此后再聯(lián)合其余幾個(gè)條件將原數(shù)“復(fù)原結(jié)構(gòu)”出來,或者是“結(jié)構(gòu)出可能的最值”。2.求任一整數(shù)的全部約數(shù)的和一個(gè)整數(shù)的全部約數(shù)的和是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后,將它的每個(gè)質(zhì)因數(shù)挨次從1加至這個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高次冪乞降,此后再將這些獲得的和相乘,乘積即是這個(gè)合數(shù)的全部約數(shù)的和。如:21000233537,所以21000全部約數(shù)的和為(122223)(13)(155253)(17)74880此公式?jīng)]有第一個(gè)公式常用,推導(dǎo)過程相對復(fù)雜,需要好多步提取公因式,建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的記憶即可。十一、完滿平方數(shù)常用性質(zhì)主要性質(zhì)完滿平方數(shù)的尾數(shù)只好是0,1,4,5,6,9。不可以能是2,3,7,8。在兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完滿平方數(shù)。完滿平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù),約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完滿平方數(shù)。若質(zhì)數(shù)p整除完滿平方數(shù)a2,則p能被a整除。性質(zhì)性質(zhì)1:完滿平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0,1,4,5,6,9.性質(zhì)2:完滿平方數(shù)被3,4,5,8,16除的余數(shù)必定是完滿平方數(shù).性質(zhì)3:自然數(shù)N為完滿平方數(shù)自然數(shù)N約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù).因?yàn)橥隄M平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個(gè)質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次,所以,假如p是質(zhì)數(shù),n是自然數(shù),N是完滿平方數(shù),p2n1|N,則p2n|N.性質(zhì)4:完滿平方數(shù)的個(gè)位是6它的十位是奇數(shù).性質(zhì)5:假如一個(gè)完滿平方數(shù)的個(gè)位是0,則它后邊連續(xù)的0的個(gè)數(shù)必定是偶數(shù).假如一個(gè)完滿平方數(shù)的個(gè)位是5,則其十位必定是2,且其百位必定是0,2,6中的一個(gè).性質(zhì)6:假如一個(gè)自然數(shù)介于兩個(gè)連續(xù)的完滿平方數(shù)之間,則它不是完滿平方數(shù).一些重要的推論1.任何偶數(shù)的平方必定能被4整除;任何奇數(shù)的平方被4(或8)除余1.即被4除余2或的數(shù)必定不是完滿平方數(shù)。2.一個(gè)完滿平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)必定不是完滿平方數(shù)。自然數(shù)的平方末兩位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。完滿平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)(1,5,9)時(shí),其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。完滿平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)(0,4)時(shí),其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。完滿平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字為6時(shí),其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7.凡個(gè)位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完滿平方數(shù);尾端只有奇數(shù)個(gè)“0”的自然數(shù)不是完滿平方數(shù);個(gè)位數(shù)字為1,4,9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完滿平方數(shù)。3.要點(diǎn)公式回首:平方差公式:
a2
b2
(a
b)(a
b)余數(shù)一、三大余數(shù)定理:1.余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù),等于a,b分別除以c的余數(shù)之和,或這個(gè)和除以c的余數(shù)。比方:23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4,即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí),所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。比方:23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為22.余數(shù)的減法定理a與b的差除以c的余數(shù),等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。比方:23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23-16=7除以
5的余數(shù)等于
2,兩個(gè)余數(shù)差3-1=2.當(dāng)余數(shù)的差不夠減不時(shí),補(bǔ)上除數(shù)再減。比方:23,14除以5的余數(shù)分別是3和4,23-14=9除以5的余數(shù)等于4,兩個(gè)余數(shù)差為3+5-4=43.余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù),等于,分別除以c的余數(shù)的積,或許這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。ab比方:23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23×16除以5的余數(shù)等于3×1=3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí),所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。比方:23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23×19除以5的余數(shù)等于3×4除以5的余數(shù),即2.乘方:假如a與b除以m的余數(shù)相同,那么an與bn除以m的余數(shù)也相同.二、同余定理1、定義:若兩個(gè)整數(shù)、b被自然數(shù)除有相同的余數(shù),那么稱a、b關(guān)于模同余,用式子表示amm為:a≡b(modm),左側(cè)的式子叫做同余式。同余式讀作:a同余于b,模m。2、重要性質(zhì)及推論:(1)若兩個(gè)數(shù)a,b除以同一個(gè)數(shù)獲得的余數(shù)相同,則a,b的差必定能被整除mm比方:17與11除以3的余數(shù)都是2,所以(1711)能被3整除.(2)用式子表示為:假如有a≡b(modm),那么必定有a-b=mk,k是整數(shù),即m|(a-b)3、余數(shù)鑒別法當(dāng)一個(gè)數(shù)不可以夠被另一個(gè)數(shù)整除時(shí),固然能夠用長除法去求得余數(shù),但當(dāng)被除位數(shù)好多時(shí),計(jì)算是很麻煩的.成立余數(shù)鑒別法的基本思想是:為了求出“N被除的余數(shù)”,我們希望找到一個(gè)較m簡單的數(shù)R,使得:N與R關(guān)于除數(shù)m同余.因?yàn)镽是一個(gè)較簡單的數(shù),所以能夠經(jīng)過計(jì)算R被m除的余數(shù)來求得N被m除的余數(shù).⑴整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N的個(gè)位數(shù)被2或5除的余數(shù);⑵整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù);⑶整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù);⑷整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù);⑸整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù);(不夠減的話先適合加11的倍數(shù)再減);⑹整數(shù)N被7,11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù)N從個(gè)位起從右往左每三位分一節(jié),奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7,11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被7,11或13除的余數(shù).奇偶一、奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1:偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù),奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)性質(zhì)2:偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)性質(zhì)3:偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和或差是偶數(shù)性質(zhì)4:奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和或差是奇數(shù)性質(zhì)5:偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù),奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù),偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)二、兩個(gè)適用的推論推論1:在加減法中偶數(shù)不改變運(yùn)算結(jié)果奇偶性,奇數(shù)改變運(yùn)算結(jié)果的奇偶性。推論2:關(guān)于隨意2個(gè)整數(shù)a,b,有a+b與a-b同奇或同偶位值原理一、位值原理的定義:同一個(gè)數(shù)字,因?yàn)樗谒鶎懙臄?shù)里的地點(diǎn)不一樣樣,所表示的數(shù)值也不一樣樣。也就543210(100110)2=1×2+0×2+0×2+1×2+1×2+0×2?!皾M二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”,乘法口訣是:零零得零,一零得零,零一得是說,每一個(gè)數(shù)字除了有自己的一個(gè)值外,還有一個(gè)“地點(diǎn)值”。比方“2”,寫在個(gè)位上,就表示2個(gè)一,寫在百位上,就表示2個(gè)百,這類數(shù)字和數(shù)位聯(lián)合起來表示數(shù)的原則,稱為寫數(shù)的位值原理。二、位值原理的表達(dá)形式:以六位數(shù)為例:abcdefa×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。三、解位值一共有三大法寶:(1)最簡單的應(yīng)用解數(shù)燈謎的方法列豎式2)利用十進(jìn)制的張開形式,列等式解答3)把整個(gè)數(shù)字整體的考慮設(shè)為x,列方
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