初一數(shù)學一元一次方程應用題類型歸納及練習

-.z一元一次方程應用題歸類〔典型例題、練習〕一、列方程解應用題的一般步驟〔解題思路〕〔1〕審題：認真審題，弄清題意，找出能夠表示此題含義的相等關系〔找出等量關系〕．〔2〕設出未知數(shù)：根據(jù)提問，巧設未知數(shù)．〔3列出方程：設出未知數(shù)后，表示出有關的含字母的式子，然后利用已找出的等量關系，列出方程．〔4〕解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值．〔5〕檢驗寫答：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案．〔注意單位統(tǒng)一及書寫規(guī)〕第一類：與數(shù)字、比例有關的問題：例1.比例分配問題：比例分配問題的一般思路為：設其中一份為*，利用的比，寫出相應的代數(shù)式。常用等量關系：各局部之和=總量。甲、乙、丙三個人每天生產機器零件數(shù)為甲、乙之比為4：3；乙、丙之比為6：5，又知甲與丙的和比乙的2倍多12件，求每個人每天生產多少件.例2.數(shù)字問題：1.要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)，一般可設百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c〔其中a、b、c均為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9〕，則這個三位數(shù)表示為：100a+10b+c．2.數(shù)字問題中一些表示：兩個連續(xù)整數(shù)之間的關系，較大的比擬小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n-2表示；奇數(shù)用2n+1或2n—1表示?！?〕有一個三位數(shù)，個位數(shù)字為百位數(shù)字的2倍，十位數(shù)字比百位數(shù)字大1，假設將此數(shù)個位與百位順序對調〔個位變百位〕所得的新數(shù)比原數(shù)的2倍少49，求原數(shù)?！?〕一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大5，且個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的和比這個2位數(shù)的大6，求這個兩位數(shù)。第二類：與日歷、調配有關的問題：例3.日歷問題：探索日歷問題中的條件和要求的結論，并找出等量關系，列出方程，解決實際問題。在日歷上，三個相鄰數(shù)〔列〕的和為54，求這三天分別是幾號.變式：將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7…排列成如下的數(shù)表用十字框框出5個數(shù)〔如圖〕1357911131517192123252729313335373941434547……〔1〕假設將十字框上下左右平移，但一定要框住數(shù)列中的5個數(shù)，假設設中間的數(shù)為a，用a的代數(shù)式表示十字框框住的5個數(shù)字之和；〔2〕十字框框住的5個數(shù)之和能等于2021嗎.假設能，分別寫出十字框框住的5個數(shù)；假設不能，請說明理由；〔3〕十字框框住的5個數(shù)之和能等于365嗎.假設能，分別寫出十字框框住的5個數(shù)；假設不能，請說明理由；例4.勞力調配問題：這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有：〔1〕既有調入又有調出；〔2〕只有調入沒有調出，調入局部變化，其余不變；〔3〕只有調出沒有調入，調出局部變化，其余不變?！?〕*廠一車間有64人，二車間有56人。現(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半。問需從第一車間調多少人到第二車間.〔2〕甲、乙兩車間各有工人假設干，如果從乙車間調100人到甲車間，則甲車間的人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的6倍；如果從甲車間調100人到乙車間，這時兩車間的人數(shù)相等，求原來甲乙車間的人數(shù)?！?〕有兩個工程隊，甲隊有285人，乙隊有183人，假設要求乙隊人數(shù)是甲隊人數(shù)的，應從乙隊調多少人到甲隊.第三類：配套問題：這類問題的關鍵是找對配套的兩類物體的數(shù)量關系。〔1〕*車間有28名工人生產螺栓和螺母，每人每小時平均能生產螺栓12個或螺母18個，應如何分配生產螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套〔一個螺栓配兩個螺母〕.〔2〕機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套.〔3〕學校分配學生住宿，如果每室住8人，還少12個床位，如果每室住9人，則空出兩個房間。求房間的個數(shù)和學生的人數(shù)。第四類：行程問題——畫圖分析法。利用圖形分析數(shù)學問題是數(shù)形結合思想在數(shù)學中的表達，仔細讀題，依照題意畫出有關圖形，使圖形各局部具有特定的含義，通過圖形找相等關系是解決問題的關鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量與量之間的關系〔可把未知數(shù)看做量〕，填入有關的代數(shù)式是獲得方程的根底.〔一〕.行程問題中的三個根本量及其關系：路程＝速度×時間時間＝路程÷速度速度＝路程÷時間〔二〕.行程問題根本類型〔1〕相遇問題：快行距＋慢行距＝原距〔2〕追及問題：快行距－慢行距＝原距〔3〕航行問題：順水〔風〕速度＝靜水〔風〕速度＋水流〔風〕速度逆水〔風〕速度＝靜水〔風〕速度－水流〔風〕速度水流速度=〔順水速度-逆水速度〕÷2抓住兩碼頭間距離不變、水流速和船速〔靜速〕不變的特點考慮相等關系．即順水逆水問題常用等量關系：順水路程=逆水路程．常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道問題。〔4〕考慮車長的過橋或通過山洞隧道問題：將每輛車的車頭或車尾看作一個人的行駛問題去分析，一切就一目了然?！?〕時鐘問題：⑴將時鐘的時針、分針、秒針的尖端看作一個點來研究⑵通常將時鐘問題看作以整時整分為起點的同向追擊問題來分析。常用數(shù)據(jù)：①時針的速度是0.5°/分或每分鐘12分之1格。②分針的速度是6°/分或每分鐘1格。③秒針的速度是6°/秒或360°/分或1格/秒或60格/分。所以，關于時鐘問題，可從12開場轉過的角度或轉過的格數(shù)上找等量關系建立方程。1.一般行程問題〔相遇與追及問題〕1.行程問題中的三個根本量及其關系：路程＝速度×時間時間＝路程÷速度速度＝路程÷時間2.行程問題根本類型〔1〕相遇問題：快行距＋慢行距＝原距〔2〕追及問題：快行距－慢行距＝原距例4.1.1：從甲地到乙地，*人步行比乘公交車多用3.6小時，步行速度為每小時8千米，公交車的速度為每小時40千米，設甲、乙兩地相距*千米，則列方程為。例4.1.2：*人從家里騎自行車到學校。假設每小時行15千米，可比預定時間早到15分鐘；假設每小時行9千米，可比預定時間晚到15分鐘；求從家里到學校的路程有多少千米.例4.1.3：一列客車車長200米，一列貨車車長280米，在平行的軌道上相向行駛，從兩車頭相遇到兩車車尾完全離開經過16秒，客車與貨車的速度之比是3：2，問兩車每秒各行駛多少米.例4.1.4：與鐵路平行的一條公路上有一行人與騎自行車的人同時向南行進。行人的速度是每小時3.6km，騎自行車的人的速度是每小時10.8km。如果一列火車從他們背后開來，它通過行人的時間是22秒，通過騎自行車的人的時間是26秒。⑴行人的速度為每秒多少米.⑵這列火車的車長是多少米.例4.1.5：一次遠足活動中，一局部人步行，另一局部乘一輛汽車，兩局部人同地出發(fā)。汽車速度是60千米/時，步行的速度是5千米/時，步行者比汽車提前1小時出發(fā)，這輛汽車到達目的地后，再回頭接步行的這局部人。出發(fā)地到目的地的距離是60千米。問：步行者在出發(fā)后經過多少時間與回頭接他們的汽車相遇〔汽車掉頭的時間忽略不計〕例4.1.6：*人方案騎車以每小時12千米的速度由A地到B地，這樣便可在規(guī)定的時間到達B地，但他因事將原方案的時間推遲了20分，便只好以每小時15千米的速度前進，結果比規(guī)定時間早4分鐘到達B地，求A、B兩地間的距離。例4.1.7：一列火車勻速行駛，經過一條長300m的隧道需要20s的時間。隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是10s，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能否求出火車的長度.火車的長度是多少.假設不能，請說明理由。例4.1.8：甲、乙兩地相距*千米，一列火車原來從甲地到乙地要用15小時，開通高速鐵路后，車速平均每小時比原來加快了60千米，因此從甲地到乙地只需要10小時即可到達，列方程得。例4.1.9：兩列火車分別行駛在平行的軌道上，其中快車車長為100米，慢車車長150米，當兩車相向而行時，快車駛過慢車*個窗口所用的時間為5秒。⑴兩車的速度之和及兩車相向而行時慢車經過快車*一窗口所用的時間各是多少.⑵如果兩車同向而行，慢車速度為8米/秒，快車從后面追趕慢車，則從快車的車頭趕上慢車的車尾開場到快車的車尾離開慢車的車頭所需的時間至少是多少秒.例4.1.10：甲、乙兩人同時從A地前往相距25.5千米的B地，甲騎自行車，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍還快2千米/時，甲先到達B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，這時距他們出發(fā)時已過了3小時。求兩人的速度。2.環(huán)行跑道與時鐘問題：例4.2.1：在6點和7點之間，什么時刻時鐘的分針和時針重合.例4.2.2：甲、乙兩人在400米長的環(huán)形跑道上跑步，甲分鐘跑240米，乙每分鐘跑200米，二人同時同地同向出發(fā)，幾分鐘后二人相遇.假設背向跑，幾分鐘后相遇.教師提醒：此題為環(huán)形跑道上，同時同地同向的追擊與相遇問題。例4.2.3：在3時和4時之間的哪個時刻，時鐘的時針與分針：⑴重合；⑵成平角；⑶成直角；例4.2.4：*鐘表每小時比標準時間慢3分鐘。假設在清晨6時30分與準確時間對準，則當天中午該鐘表指示時間為12時50分時，準確時間是多少.3.行船與飛機飛行問題：航行問題：順水〔風〕速度＝靜水〔風〕速度＋水流〔風〕速度逆水〔風〕速度＝靜水〔風〕速度－水流〔風〕速度水流速度=〔順水速度-逆水速度〕÷2例4.3.1：一艘船在兩個碼頭之間航行，水流的速度是3千米/時，順水航行需要2小時，逆水航行需要3小時，求兩碼頭之間的距離。例4.3.2：一架飛機飛行在兩個城市之間，風速為每小時24千米，順風飛行需要2小時50分鐘，逆風飛行需要3小時，求兩城市間的距離。例4.3.3：小明在靜水中劃船的速度為10千米/時，今往返于*條河，逆水用了9小時，順水用了6小時，求該河的水流速度。例4.3.4：*船從A碼頭順流航行到B碼頭，然后逆流返行到C碼頭，共行20小時，船在靜水中的速度為7.5千米/時，水流的速度為2.5千米/時，假設A與C的距離比A與B的距離短40千米，求A與B的距離。第五類：工程問題1．工程問題中的三個量及其關系為：工作總量＝工作效率×工作時間2．經常在題目中未給出工作總量時，設工作總量為單位1。即完成*項任務的各工作量的和＝總工作量＝1．例5.1：一項工程，甲單獨做要10天完成，乙單獨做要15天完成，兩人合做4天后，剩下的局部由乙單獨做，還需要幾天完成.例5.2：*工作,甲單獨干需用15小時完成,乙單獨干需用12小時完成,假設甲先干1小時、乙又單獨干4小時,剩下的工作兩人合作,問:再用幾小時可全部完成任務?例5.3：*工廠方案26小時生產一批零件，后因每小時多生產5件，用24小時，不但完成了任務，而且還比原方案多生產了60件，問原方案生產多少零件.例5.4：*工程，甲單獨完成續(xù)20天，乙單獨完成續(xù)12天，甲乙合干6天后，再由乙繼續(xù)完成，乙再做幾天可以完成全部工程?例5.5：甲、乙二人合作一項工程，甲25天獨立完成，乙20天獨立完成，甲、乙二人合5天后，甲另有事，乙再單獨做幾天才能完成.例5.6：將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網絡，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作.第六類：商品利潤問題【市場經濟問題〔利潤贏虧問題〕或儲蓄利率問題】〔1〕銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進價(或本錢)、售價、標價〔或定價〕、利潤等?！?〕利潤問題常用等量關系：商品利潤＝商品售價－商品進價＝商品標價×折扣率－商品進價商品售價＝商品標價×折扣率商品利潤率＝×100%＝×100%〔3〕商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量商品的銷售利潤＝〔銷售價－本錢價〕×銷售量〔4〕商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價的80%出售．即商品售價=商品標價×折扣率．1.市場經濟問題例6.1.1：*高校共有5個大餐廳和2個小餐廳．經過測試：同時開放1個大餐廳、2個小餐廳，可供1680名學生就餐；同時開放2個大餐廳、1個小餐廳，可供2280名學生就餐．〔1〕求1個大餐廳、1個小餐廳分別可供多少名學生就餐；〔2〕假設7個餐廳同時開放，能否供全校的5300名學生就餐.請說明理由．例6.1.2：工藝商場按標價銷售*種工藝品時，每件可獲利45元；按標價的八五折銷售該工藝品8件與將標價降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等.該工藝品每件的進價、標價分別是多少元.例6.1.3：*地區(qū)居民生活用電根本價格為每千瓦時0.40元，假設每月用電量超過a千瓦則超過局部按根本電價的70%收費．〔1〕*戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a．〔2〕假設該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦.應交電費是多少元.例6.1.4：*商店開為吸引顧客，所有商品一律按八折優(yōu)惠出售，*種旅游鞋每雙進價為60元，八折出售后，商家所獲利潤率為40%。問這種鞋的標價是多少元.優(yōu)惠價是多少.例6.1.5：甲乙兩件衣服的本錢共500元，商店老板為獲取利潤，決定將甲服裝按50%的利潤定價，乙服裝按40%的利潤定價，在實際銷售時，應顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元，求甲乙兩件服裝本錢各是多少元.例6.1.6：*商場按定價銷售*種電器時，每臺獲利48元，按定價的9折銷售該電器6臺與將定價降低30元銷售該電器9臺所獲得的利潤相等，該電器每臺進價、定價各是多少元.例6.1.7：甲、乙兩種商品的單價之和為100元，因為季節(jié)變化，甲商品降價10%，乙商品提價5%，調價后，甲、乙兩商品的單價之和比原方案之和提高2%，求甲、乙兩種商品的原來單價.例6.1.8：一家商店將*種服裝按進價提高40%后標價，又以8折優(yōu)惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少.2.儲蓄利率問題1．顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率.2．儲蓄問題中的量及其關系為：利息＝本金×利率×期數(shù)本息和＝本金+利息利息稅=利息×稅率〔20%〕例6.2.1：*同學把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少.〔不計利息稅〕第七類：方案設計問題1、*蔬菜公司的一種綠色蔬菜，假設在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當?shù)匾患夜臼召忂@種蔬菜140噸，該公司的加工生產能力是：如果對蔬菜進展精加工，每天可加工16噸，如果進展精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進展，受季度等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：方案一：將蔬菜全部進展粗加工．方案二：盡可能多地對蔬菜進展粗加工，沒來得及進展加工的蔬菜，在市場上直接銷售．方案三：將局部蔬菜進展精加工，其余蔬菜進展粗加工，并恰好15天完成．你認為哪種方案獲利最多.為什么.2、*家電商場方案用9萬元從生產廠家購進50臺電視機．該廠家生產3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元．〔1〕假設家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案．〔2〕假設商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案.第八類：〔一〕和、差、倍、分問題——讀題分析法這類問題主要應搞清各量之間的關系，注意關鍵詞語。仔細讀題，找出表示相等關系的關鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套……〞，利用這些關鍵字列出文字等式，并且據(jù)題意設出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關系填入代數(shù)式，得到方程.1、倍數(shù)關系：通過關鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率…〞來表達。2、多少關系：通過關鍵詞語“多、少、和、差、缺乏、剩余……〞來表達。增長量＝原有量×增長率現(xiàn)在量＝原有量＋增長量例1．*單位今年為災區(qū)捐款2萬5千元，比去年的2倍還多1000元，去年該單位為災區(qū)捐款多少元.例2．旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤.第八類：〔二〕等積變形問題等積變形是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤帷３Ｓ玫攘筷P系為：原料體積=成品體積。常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變．①圓柱體的體積公式V=底面積×高＝S·h＝②長方體的體積V＝長×寬×高＝abc③正方體(正六面體)的體積V＝棱長3＝a3例3．現(xiàn)有直徑為0.8米的圓柱形鋼坯30米，可足夠鍛造直徑為0.4米，長為3米的圓柱形機軸多少根.練習：〕圓柱形水桶的底面周長12.56分米，高6分米．盛滿一桶水后，把水倒入一個長方體水缸中，水缸還空著21.5%．長方體水缸寬4分米，長是寬的1.5倍，求水缸的高．第八類：〔三〕雜題：〔1〕年齡問題：抓住“年領差〞不變作為等量關系，從而列出方程。例4：兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍.例5：今年，小明一家三口的年齡之和是72歲，10年前，三人年齡的年齡之和是44歲，父親比母親大3歲．求小明家今年每人的年齡．〔2〕比賽積分問題：例6：*企業(yè)對應聘人員進展英語考試，試題由50道選擇題組成，評分標準規(guī)定：每道題的答案選對得3分，不選得0分，選錯倒扣1分。*人有5道題未作，得了103分，則這個人選錯了道題?！?〕古典數(shù)學：例7：有100個和尚100個饃，1個大和尚分3個饃，3個小和尚分1個饃．問：大、小和尚各有多少人.例8：有假設干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞和兔各有多少只.一元一次方程應用題反應訓練一.選擇題1.(2021·)假設單項式2*2ya＋b與－eq\f(1,3)*a－by4是同類項，則a，b的值分別為()A．a＝3，b＝1 B．a＝－3，b＝1C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝－12．〔2021**3分〕超市店慶促銷，*種書包原價每個*元，第一次降價打“八折〞，第二次降價每個又減10元，經兩次降價后售價為90元，則得到方程〔〕A．0.8*﹣10=90B．0.08*﹣10=90C．90﹣0.8*=10D．*﹣0.8*﹣10=903．〔20213分〕假設代數(shù)式*+2的值為1，則*等于〔〕A．1；B．﹣1；C．3；D．﹣34.〔2021·荊州·3分〕互聯(lián)網“微商〞經營已成為群眾創(chuàng)業(yè)新途徑，*微信平臺上一件商品標價為200元，按標價的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進價為〔〕A．120元；B．100元；C．80元；D．60元5.〔2021··3分〕假設2〔a+3〕的值與4互為相反數(shù)，則a的值為〔〕A．﹣1；B．﹣；C．﹣5；D．二.填空題6.〔2021·省市·5分〕書店舉行購書優(yōu)惠活動：①一次性購書不超過100元，不享受打折優(yōu)惠；②一次性購書超過100元但不超過200元一律打九折；③一次性購書200元一律打七折．小麗在這次活動中，兩次購書總共付款229.4元，第二次購書原價是第一次購書原價的3倍，則小麗這兩次購書原價的總和是元．7．〔2021·龍東·3分〕一件服裝的標價為300元，打八折銷售后可獲利60元，則該件服裝的本錢價是元．8．〔2021··3分〕為了改善辦學條件，學校購置了筆記本電腦和臺式電腦共100臺，筆記本電腦的臺數(shù)比臺式電腦的臺數(shù)的還少5臺，則購置的筆記本電腦有臺．三、解答題9.〔2021··8分〕解方程：5*＋2＝3(*＋2)．10.〔2021··8分〕如圖是一根可伸縮的魚竿，魚竿是用10節(jié)大小不同的空心套管連接而成．閑置時魚竿可收縮，完全收縮后，魚竿長度即為第1節(jié)套管的長度〔如圖1所示〕：使用時，可將魚竿的每一節(jié)套管都完全拉伸〔如圖2所示〕．圖3是這跟魚竿所有套管都處于完全拉伸狀態(tài)下的平面示意圖．第1節(jié)套管長50cm，第2節(jié)套管長46cm，以此類推，每一節(jié)套管均比前一節(jié)套管少4cm．完全拉伸時，為了使相鄰兩節(jié)套管連接并固定，每相鄰兩節(jié)套管間均有一樣長度的重疊，設其長度為*cm．〔1〕請直接寫出第5節(jié)套管的長度；〔2〕當這根魚竿完全拉伸時，其長度為311cm，求*的值．11.〔2021·**·8分〕五月初，我市多地遭遇了持續(xù)強降雨的惡劣天氣，造成局部地區(qū)出現(xiàn)嚴重洪澇災害，*愛心組織緊急籌集了局部資金，方案購置甲、乙兩種救災物品共2000件送往災區(qū)，每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用350元購置甲種物品的件數(shù)恰好與用300元購置乙種物品的件數(shù)一樣〔1〕求甲、乙兩種救災物品每件的價格各是多少元.〔2〕經調查，災區(qū)對乙種物品件數(shù)的需求量是甲種物品件數(shù)的3倍，假設該愛心組織按照此需求的比例購置這2000件物品，需籌集資金多少元.12.．〔2021〕世界讀書日，*書店舉辦“書香〞圖書展，?漢語成語大詞典?和?中華上下五千年?兩本書的標價總和為150元，?漢語成語大詞典?按標價的50%出售，?中華上下五千年?按標價的60%出售，小明花80元買了這兩本書，求這兩本書的標價各多少元．參考答案：第一類：與數(shù)字、比例有關的問題：例1.解：設乙每天生產6*件，則甲每天生產8*件，丙每天生產5*件，依題意有8*+5*=2×6*+12，解得*=12，8*=96，6*=72，5*=60．答：甲每天生產96件，乙每天生產72件，丙每天生產60件．例2〔1〕解：設這個三位數(shù)的百位數(shù)為*，則其十位數(shù)字為*+1，個位數(shù)字為2*．則調后的百位數(shù)為2*，十位數(shù)字為*+1，個位數(shù)字為*，由此可得：[100*+10〔*+1〕+2*]×2﹣49=100×2*+10〔*+1〕+*[100*+10*+10+2*]×2﹣49=200*+10*+10+*，[112*+10]×2﹣49=211*+10，224*+20﹣49=211*+10，13*=39，*=3；則十位數(shù)為3+1=4，個位數(shù)為3×2=6．所以這個三位數(shù)為：346．答：原數(shù)為346．〔2〕解：設十位上的數(shù)字為*，則個位上的數(shù)字為〔*+5〕，由題意，得：*+*+5=[10*+〔*+5〕]+6，解得：*=4．則個位上的數(shù)字為：*+5=9．所以這個兩位數(shù)為49．答：這個兩位數(shù)為49．第二類：與日歷、調配有關的問題：例3.11，18，25.變式：(1)5a；(2)a=404,不能………404是偶數(shù)；(3)a=73,能………五個數(shù)為：61，71，73，75，85。例4.〔1〕24人；〔2〕甲380人，乙180人；〔3〕27人。第三類：配套問題：〔1〕12人生產螺栓，16人生產螺母；〔2〕25人生產大齒輪，60人生產小齒輪；〔3〕30間房屋，252名學生。第四類：行程問題：例4.1.1：解：等量關系：步行時間－乘公交車的時間＝3.6小時列出方程是：例4.1.2：解：等量關系⑴速度15千米行的總路程＝速度9千米行的總路程⑵速度15千米行的時間＋15分鐘＝速度9千米行的時間－15分鐘提醒：速度時，設時間列路程等式的方程，設路程列時間等式的方程。方法一：設預定時間為*小/時，則列出方程是：15〔*－0.25〕＝9〔*＋0.25〕方法二：設從家里到學校有*千米，則列出方程是：例4.1.3：提醒：將兩車車尾視為兩人，并且以兩車車長和為總路程的相遇問題。等量關系：快車行的路程＋慢車行的路程＝兩列火車的車長之和設客車的速度為3*米/秒，貨車的速度為2*米/秒，則16×3*＋16×2*＝200＋280例4.1.4：提醒：將火車車尾視為一個快者，則此題為以車長為提前量的追擊問題。等量關系：①兩種情形下火車的速度相等②兩種情形下火車的車長相等：在時間的情況下，設速度列路程等式的方程，設路程列速度等式的方程。解：⑴行人的速度是：3.6km/時＝3600米÷3600秒＝1米/秒騎自行車的人的速度是：10.8km/時＝10800米÷3600秒＝3米/秒⑵方法一：設火車的速度是*米/秒，則26×(*－3)＝22×(*－1)解得*＝4方法二：設火車的車長是*米，則例4.1.5：提醒：此類題相當于環(huán)形跑道問題，兩者行的總路程為一圈即步行者行的總路程＋汽車行的總路程＝60×2解：設步行者在出發(fā)后經過*小時與回頭接他們的汽車相遇，則5*＋60(*－1)＝60×2例4.1.6：解：方法一：設由A地到B地規(guī)定的時間是*小時，則12*＝*＝212*＝12×2＝24(千米)方法二：設由A、B兩地的距離是*千米，則〔設路程，列時間等式〕*＝24答：A、B兩地的距離是24千米。溫馨提醒：當速度，設時間，列路程等式；設路程，列時間等式是我們的解題策略。例4.1.7：解析：只要將車尾看作一個行人去分析即可，前者為此人通過300米的隧道再加上一個車長，后者僅為此人通過一個車長。此題中告訴時間，只需設車長列速度關系，或者是設車速列車長關系等式。解：方法一：設這列火車的長度是*米，根據(jù)題意，得*＝300答：這列火車長300米。方法二：設這列火車的速度是*米/秒，根據(jù)題意，得20*－300＝10**＝3010*＝300答：這列火車長300米。例4.1.8：答案：例4.1.9：解析：①快車駛過慢車*個窗口時：研究的是慢車窗口的人和快車車尾的人的相遇問題，此時行駛的路程和為快車車長?、诼囻傔^快車*個窗口時：研究的是快車窗口的人和慢車車尾的人的相遇問題，此時行駛的路程和為慢車車長！③快車從后面追趕慢車時：研究的是快車車尾的人追趕慢車車頭的人的追擊問題，此時行駛的路程和為兩車車長之和！解：⑴兩車的速度之和＝100÷5＝20〔米/秒〕慢車經過快車*一窗口所用的時間＝150÷20＝7.5〔秒〕⑵設至少是*秒，〔快車車速為20－8〕則〔20－8〕*－8*＝100＋150*＝62.5答：至少62.5秒快車從后面追趕上并全部超過慢車。例4.1.10：解：設乙的速度是*千米/時，則3*＋3(2*＋2)＝25.5×2∴*＝52*＋2＝12答：甲、乙的速度分別是12千米/時、5千米/時。2.環(huán)行跑道與時鐘問題：例4.2.1：教師解析：6：00時分針指向12，時針指向6，此時二針相差180°，在6：00～7：00之間，經過*分鐘當二針重合時，時針走了0.5*°分針走了6*°以下按追擊問題可列出方程，不難求解。解：設經過*分鐘二針重合，則6*＝180＋0.5*解得例4.2.2：解：①設同時同地同向出發(fā)*分鐘后二人相遇，則240*－200*＝400*＝10②設背向跑，*分鐘后相遇，則240*＋200*＝400*＝例4.2.3：解：⑴設分針指向3時*分時兩針重合。答：在3時分時兩針重合。⑵設分針指向3時*分時兩針成平角。答：在3時分時兩針成平角。⑶設分針指向3時*分時兩針成直角。答：在3時分時兩針成直角。例4.2.4：解：方法一：設準確時間經過*分鐘，則*∶380＝60∶(60－3)解得*＝400分＝6時40分6：30＋6：40＝13：10方法二：設準確時間經過*時，則例4.3.1：解：設船在靜水中的速度是*千米/時，則3×(*－3)＝2×(*＋3)解得*＝152×(*＋3)＝2×(15＋3)＝36〔千米〕答：兩碼頭之間的距離是36千米。例4.3.2：解：設無風時的速度是*千米/時，則3×(*－24)＝×(*＋24)例4.3.3：解：設水流速度為*千米/時，則9(10－*)＝6(10＋*)解得*＝2答：水流速度為2千米/時.例4.3.4：解：設A與B的距離是*千米，(請你按分類畫出示意圖，來理解所列方程)①當C在A、B之間時，解得*＝120②當C在BA的延長線上時，解得*＝56答：A與B的距離是120千米或56千米。第五類：工程問題例5.1：解：設還需要*天完成，依題意，得解得*=5例5.2：解：設甲乙還要合作*小時才能完成任務，根據(jù)題意得：×〔*+1〕+×〔*+4〕=1，去分母得：4〔*+1〕+5〔*+4〕=60，去括號得：4*+4+5*+20=60，移項合并得：9*=36，解得：*=4，則甲乙還要合作4小時才能完成任務．例5.3：解：，*=780例5.4：解：1-6()=**=2.4例5.5：解：1－，*=11例5.6：解：1-，*=，2小時12分第六類：商品利潤問題〔市場經濟問題或利潤贏虧問題〕1.市場經濟問題例6.1.1：解：〔1〕設1個小餐廳可供名學生就餐，則1個大餐廳可供〔1680-2y〕名學生就餐，根據(jù)題意，得2〔1680-2y〕+y=2280解得：y=360〔名〕所以1680-2y=960〔名〕〔2〕因為，所以如果同時開放7個餐廳，能夠供全校的5300名學生就餐．例6.1.2：解：設該工藝品每件的進價是元,標價是〔45+*〕元.依題意，得:8〔45+*〕×0.85-8*=〔45+*-35〕×12-12*解得：*=155〔元〕所以45+*=200〔元〕例6.1.3：解：〔1〕由題意，得0.4a+〔84-a〕×0.40×70%=30.72解得a=60〔2〕設九月份共用電*千瓦時，0.40×60+〔*-60〕×0.40×70%=0.36*解得*=90所以0.36×90=32.40〔元〕答：90千瓦時，交32.40元．例6.1.4：利潤率=40%=*=105105*80%=84元例6.1.5：解：設甲服裝本錢價為*元，則乙服裝的本錢價為〔50–*〕元，根據(jù)題意，可列：*(1+50%)90%-*+(500-*)(1+40%)90%-(500-*)=157*=300例6.1.6：解：(48+*)90%*6–6*=(48+*-30)*9–9**=162162+48=210例6.1.7：解：[*(1-10%)+(100-*)(1+5%)]=100(1+2%)*=20例6.1.8：解：設這種服裝每件的進價是*元，則：*(1+40﹪)×0.8-*=15解得*=1252.儲蓄利率問題例6.2.1：解：設銀行半年期的年利率是*，由題意得：250+250*=252.7，解得：*=0.0108．答：銀行半年期的年利率是1.08%．第七類：方案設計問題1.解：方案一：因為每天粗加工16噸，140噸可以在15天加工完，總利潤W1=4500×140=630000(元)方案二：15天可以加工6×15=90噸，說明還有50噸需要在市場直接銷售，總利潤W2=7500×90+1000×50=725000(元)；方案三：現(xiàn)將*噸進展精加工，將〔140-*〕噸進展粗加工，，解得*=60.總利潤W3=7500×60+4500×80=810000(元)2.解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機這三種方案分別計算，設購A種電視機*臺，則B種電視機y臺．〔1〕①中選購A，B兩種電視機時，B種電視機購〔50-*〕臺，可得方程1500*+2100〔50-*〕=90000*=2550-*=25②中選購A，C兩種電視機時，C種電視機購〔50-*〕臺，可得方程1500*+2500〔50-*〕=90000*=3550-*=15③當購B，C兩種電視機時，C種電視機為〔50-y〕臺．可得方程2100y+2500〔50-y〕=900004y=350，不合題意。故可選兩種方案：一是購A，B兩種電視機25臺；二是購A種電視機35臺，C種電視機15臺．〔2〕假設選擇〔1〕①，可獲利150×25+250×15=8750〔元〕，假設選擇〔1〕②，可獲利150×35+250×15=9000〔元〕故為了獲利最多，選擇第二種方案．第八類：〔一〕和、差、倍、分問題——讀題分析法例1.解：設去年該單位為災區(qū)捐款*元，則：2*+1000=25000，解得*=12000．答：去年該單位為災區(qū)捐款12000元．例2.設油箱里原有汽油*公斤,由題意得,*(1-25%)(1-40%)+1=25%*+(1-25%)*×40%去分母整理得,9*+20=5*+6*，∴2*=20，∴*=10。答：油箱里原有汽油10公斤.例3.解：根據(jù)題意列出算式得：[30×〔0.8÷2〕2π]÷[3×〔0.4÷2〕2π]=〔30×0.16π〕÷〔3×0.04π〕=4.8π÷0.12π=4.8÷0.12=40．則的圓柱形鋼坯可鍛煉造直徑為0.4米，長為3米的圓柱形機軸40根．練習：解：圓柱底面半徑：12.56÷3.14÷2=2〔分米〕水的體積：22×3.14×6=75.36〔立方分米〕長方體的體積：75.36÷〔1﹣21.5%〕=96〔立方分米〕長方體的高：96÷4÷〔4×1.5〕=4〔分米〕答：長方體水缸的高是4分米．例4.解：設*年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，則*年后兄的年齡是15+*，弟的年齡是9+*．由題意，得2×〔9+*〕=15+*，18+2*=15+*，2*﹣*=15﹣18，∴*=﹣3．答：3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍．例5.解：72﹣44=28〔歲〕；3×10=30〔歲〕；30﹣28=2〔歲〕；10﹣2=8〔歲〕；由此可得孩子8年前出生，今年是8歲；今年父親是：〔72﹣8+4〕÷2=34〔歲〕；今年母親是：34﹣4=30〔歲〕．答：今年父親34歲，母親30歲，小明8歲．例6.解：設這個人選錯了*道題，根據(jù)題意得：3〔50﹣*﹣5〕﹣*=103，解得*=8．答：這個人選錯了8道題．例7.【考點】雞兔同籠．【專題】傳統(tǒng)應用題專題．【分析】設有*個大和尚，則小和尚就有100﹣*個，大和尚吃饅頭個數(shù)就是3*個，小和尚吃饅頭個數(shù)就是×〔100﹣*〕個，根據(jù)大和尚吃饅頭個數(shù)+小和尚吃饅頭個數(shù)=100個可列方程：3*+×〔100﹣*〕=100，依據(jù)等式的性質即可求解．【解答】解：設有*個大和尚，3*+×〔100﹣*〕=100，3*+×100﹣*=100*+﹣=100﹣，*=，*=25，100﹣25=75〔人〕答：大和尚有25人，小和尚有75人．【點評】此題屬于含有兩個未知數(shù)的應用題，這類題用方程解答比擬容易，關鍵是找準數(shù)量間的相等關系，設一個未知數(shù)為*，另一個未知數(shù)用含*的式子來表示，進而列并解方程．例8.設；小雞有*只，兔子有88-*只。2*+4(88-*)=244，2*=108，*=54。則小雞就是54只，而兔子也就是88-54=34只。反應訓練1.解析由同類項的定義可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝2，,a＋b＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1，))應選A.2.【考點】由實際問題抽象出一元一次方程．【分析】設*種書包原價每個*元，根據(jù)題意列出方程解答即可．【解答】解：設*種書包原價每個*元，可得：0.8*﹣10=90，應選A【點評】此題考察一元一次方程，解題的關鍵是明確題意，能列出每次降價后的售價．3.【考點】解一元一次方程．【專題】計算題；一次方程〔組〕及應用．【分析】根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到*的值．【解答】解：根據(jù)題意得：*+2=1，解得：*=﹣1，應選B【點評】此題考察了解一元一次方程方程，根據(jù)題意列出方程是解此題的關鍵．4.【分析】設該商品的進價為*元/件，根據(jù)“標價=〔進價+利潤〕÷折扣〞即可列出關于*的一元一次方程，解方程即可得出結論．【解答】解：設該商品的進價為*元/件，依題意得：〔*+20〕÷=200，解得：*=80．∴該商品的進價為80元/件．應選C．【點評】此題考察了一元一次方程的應用，解題的關鍵是列出方程〔*+20〕÷=200．此題屬于根底題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)數(shù)量關系列出方程〔或方程組〕是關鍵．5.【考點】解一元一次方程；相反數(shù)．【分析】先根據(jù)相反數(shù)的意義列出方程，解方程即可．【解答】解：∵2〔a+3〕的值與4互為相反數(shù)，∴2〔a+3〕+4=0，∴a=﹣5，應選C．6.【考點】一元一次方程的應用．【分析】設第一次購書的原價為*元，則第二次購書的原價為3*元．根據(jù)*的取值圍分段考慮，根據(jù)“付款金額=第一次付款金額