2020年高考理科數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題及答案

年高考理科數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題及答案（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.設(shè)集合A』x|x2—x—2<0},B={x|log2x<0},則AljB=2.3.A.(-1,2)1i1.設(shè)集合A』x|x2—x—2<0},B={x|log2x<0},則AljB=2.3.A.(-1,2)1i設(shè)2=1-iA.-1B.(0,1)C.(-二，2)D.(-1,1)Z是z的共軻復(fù)數(shù)，則z，Z=B.iC.1D.4已知向量m=(x2,1),n=(x,2),命題p命題4：：3九下0,使得m=?」n成立，則命題p是命題q的A,充分不必要條件B,A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件4.4.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)的棱的棱長(zhǎng)為5.A.3已知隨機(jī)變量B.七x2:服從正態(tài)分布C..5D.2N(0,1),如果P(￡<1)=0,8413,則P(—1<￡M0)=A.0.3413

B.0.6826

C.0.1587

D.0.07946.已知點(diǎn)A（2瓶,3癡勝雙曲線10b2=1（b>0）上，則該雙曲線的離心率為10B. 2C.,10D.2.107.若函數(shù)f(x)=.J3s\nxx+cos?ix(co>0),且fQ)=2,f(P)=0,-耳的最小值是-2,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是A.[2k二一飛■,2k二-](kz)B.[2k二JiC.[k]一一*二—](kz)D.[k二12-,2k二3](kz),n…一、,kr:—](k-z)128.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為 85.5尺，則芒種日影長(zhǎng)為9.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺,竹長(zhǎng)兩尺，松日自半,竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等.如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a,b分別為5,2,則輸出的nA.5B.4C.3D.210.已知拋物線12,.y=-x的焦點(diǎn)

42 2F是橢圓%+與=1(a〉bA0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且該拋物線的準(zhǔn)線與ab橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若△FAB是正三角形，則橢圓的離心率為A.,3-1C.11.已知三棱錐S-ABC所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,且SC_L平面ABC,若SC=AB￥C=1,/BAC=120°,則球。的表面積為A.5nB.5n C.4n D.—k2 3.已知八幻為偶函數(shù)，對(duì)任意HWR,f（x）=/（2一工）恒成立，且當(dāng)OMmMI時(shí)，/?）二2—2/.設(shè)函數(shù)義工）=f\x）-log3x,則g⑸的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A.: B. C. ：D.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）且J3a=2csinA,c=J7,.在銳角三角形ABC中，a,b,c分別為角A且J3a=2csinA,c=J7,且MBC的面積為W3,a+b的值為2.在三1B隹S—ABC中，/SAB=/SAC=/ACB=901AC=2,BC=V13,SB=V29,則異面直線SC與AB所成角的余弦值為.5.（x+yX2x—y）的展開式中x3y3的系數(shù)為（用數(shù)字填寫答案）.2.已知橢圓C：x-+y2=1,直線l：y=x—1與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A,B且與2，.… 4直線m：x=—相切的圓的方程為3三、解答題（共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第 17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。）（一）必考題（共60分）.（本小題滿分12分）已知數(shù)列Q｝滿足a1=1,an=2an,+2n—1（n22）,數(shù)列0｝滿足bn=an+2n+3.（1）求證數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列（an｝的前n項(xiàng)和Sn..（本小題滿分12分）每年六、七月份，我國(guó)長(zhǎng)江中下游地區(qū)進(jìn)入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié)，如圖是江南某地區(qū)20092018年10年間梅雨季節(jié)的降雨量（單位： mm）的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計(jì)總體概率，解答下列問(wèn)題：0003O.tK)2'HUHNNJ200WO如0NKJ圖H吊(1)假設(shè)每年的梅雨季節(jié)天氣相互獨(dú)立，求該地區(qū)未來(lái)三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過(guò)350mm的概率；(2)老李在該地區(qū)承包了20畝土地種植楊梅，他過(guò)去種植的甲品種楊梅，平均每年的總利潤(rùn)為28萬(wàn)元.而乙品種楊梅的畝產(chǎn)量計(jì)(切/畝)與降雨量之間的關(guān)系如下面統(tǒng)計(jì)表所示，又知乙品種楊梅的單位利潤(rùn)為32-O.Oln(元/屈@),請(qǐng)你幫助老李分析，他來(lái)年應(yīng)該種植哪個(gè)品種的楊梅可以使總利潤(rùn)(萬(wàn)元)的期望更大？并說(shuō)明理由.降雨量|[100,200)1(200300)[300,400)[400,500]500700600400.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐PABCD■中,AB//CD,AB=1,CD=3,AP^2,DP^2網(wǎng)， PAD=60°,AB,平面PAD點(diǎn)M在棱PC上.(1)求證：平面PABL平面PCD(2)若直線PA//平面MBD,求此時(shí)直線BP與平面MBD所成角的正弦值..(本小題滿分12分)已知P為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線x—y+3=0的最小距離為J2.(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)(1,0)作兩條互相垂直的直線Ip12,與拋物線C分別交于ARD、E,求四邊形ADBE的面積S的最小值..(本小題滿分12分), 1 1已知f(x)=elnx-—x.ex(1)求函數(shù)f(x)的極值；x e一(2)設(shè)g(x)JXx1)3%,對(duì)于任意Xu［0,+oc),x2u［1,"),總有g(shù)(X)>-f(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(二)選考題(共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。).［選彳4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)(X=2+2cosa在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為［y=2s方Z7CT(”為參數(shù))以坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 G的極坐標(biāo)方程為p=2sin0.(1)寫出曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線。的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，且/POQ=,求^POQ的面積的最大值.-r.［選彳4-5:不等式選講］(10分)已知函數(shù) ^(1)求不等式fS)&5的解集；(2)若存在實(shí)數(shù)飛,使得汽飛區(qū)6+用一切2成立的加的最大值為時(shí)，且實(shí)數(shù)也人滿足足+/=M,證明：.?.參考答案一、選擇題1.A2.C3.A4.A5.A6.C7.B8.B9.B10.C11.B12.C二、填空題13.514. 2^1715.4016.x2+卜=16.17 3 9三、解答題.解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，a1=1,故b1=6.當(dāng)n22時(shí)，an=2an」+2n-1,則bn =an +2n+3=2an」+2n-1+2n+3 =2（an,+2n+1 ）= 2 -an^+2（n-1）+31,「-bn=2bn」，二數(shù)列｛bn｝是首項(xiàng)為6,公比為2的等比數(shù)列.（n）由（I）得bn=3父2'an=bn—2n—3=3父2n—2n—3，，Sn=3（2+22+III+2n）-2（1+2+川+n）—3n=320-2）—n（n+1）—3n，1-2.Sn=32n1-n2-4n-6..解：（1）頻率分布直方圖中第四組的頻率為 1—10。乂（0田02+0.004+0.003）=0.1該地區(qū)在梅雨季節(jié)的降雨量超過(guò) 350mm的概率為5。X0.003+0.1=0.2S所以該地區(qū)未來(lái)三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過(guò) 的概率為年'（$'卜-*）+媚（$=瓦+而，（或。.15625）.⑵據(jù)題意，總利潤(rùn)為2。噌2-0.01門）元，其中”.=500,7口。,6叫4叫所以隨機(jī)變量（萬(wàn)元）的分布列如下表：273531.222.4P0.20.40.30.1故總利潤(rùn)（萬(wàn)元）的期望F<=27X02+35X0.4+3L2x0.3+22.4X0.1+22.4=5.4+14.0+9.38+2.24=31（萬(wàn)元）

因?yàn)?1>28,所以老李應(yīng)該種植乙品種楊梅可使總利潤(rùn)(萬(wàn)元)的期望更大.解：(I)因?yàn)锳B，平面PAD所以AB±DR又因?yàn)镈P=2/3,ap=2,/pad=60,PD由s出/PD由s出/PAD sinZ-PDA=-smLPDA可得 2所以/PDA=30,所以/APD=90,即DPIAP,因?yàn)?8rMp=4所以DP1平面PAB因?yàn)镈P匚平卸尸嗎所以平面PABL平面PCD(n)由AB1平面PAD,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在的直線為y軸，AB所在的直線為z其中的0,0), qo,43>D(040)P的1，°).,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系從而前=(04-1)AP=(加0)PC=(一價(jià)33)設(shè)PM=APC從而得Mf品1-4⑶+1園)BM=(73(1-2)后4+L3a-1)設(shè)平面MBD勺法向量為

<n、BM=0向的二0若直線pa//平面mbd滿足Im*幺F=0,,a'3(1-Z)x+(3A+l)y+(3A-l)z-0? 4y-z=0「一.得4 =廬-31-12)且后P=十.L—D,直線BP與平面MB而成角的正弦值等于:sin0=\n-BP\3-3+12| 2\n\\BP*156x15 65V19520解：20解：(1)設(shè)2

by022P(y-,y。)，則點(diǎn)P到直線x—y+3=0的距離2p則dmin=0不合題意，所以△<0即0<P<6所以當(dāng)y0=P時(shí)，dmin夕3即拋物線C的方程為y2=4x;(2)因?yàn)閽佄锞€C的方程為y2=4x,所以(1,0)是焦點(diǎn)設(shè)li交拋物線C于A(。y)B%,y2),I2交拋物線C于D(x3,y3),E(x4,y4)由題意l1的斜率k存在且不為0,設(shè)l1的方程為y=k(x-1),y-k(x_1) 22 2 2由2 ：kx—(2k 4)xk=0=xx2y=4x=2—k2則AB, , ,4 ———=x+x2+p=4+—,同理得DE

k2=44k2,, 1 .1 1 .4 . 9故S=-ABDE=—(4+萬(wàn))(4+4k2)=8k2 2k即S*2q8k242+16=32,當(dāng)且僅8r一 .當(dāng)8k2=二即k=省時(shí)，等號(hào)成立，所以Smin=32k21.(1)fx=-11x-ex-e所以f所以f(x)的極小值為：frie2，一2一,極大值為：f(e)=—；X(y」)1ee(事何八X)一0+0/(x)單調(diào)速遍極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞褪(2)由⑴可知當(dāng)xw1,+比)時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為-e對(duì)于彳Etx〔wb,f),&w1,f)，總有g(shù)(xf2)成立，等價(jià)于g(x)之1恒成立,gx=exgx=ex1--a①a4①a42時(shí)，因?yàn)閑x>x+1,所以g'(x)=ex+1 ? ，——-a>2-a>0,即g(x)在x110,^)上單調(diào)遞增，g(x)2g(0)=1恒成立，符合題意.②當(dāng), 7 1a②當(dāng), 7 1a>2時(shí)，設(shè)h(x)=e+ —a,v1hx=e >0,所以g'(x)在［0,")上單調(diào)遞增，且g'(0)=2—a<0,則存在xow(0,f)，使得g'(x)=0所以所以g(x族(0,x0)上單調(diào)遞減，在(/，依)上單調(diào)遞增，又g(R)<g(0)=1,所以所以g(x)>1不恒成立，不合題意.綜合①②可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是-二,21.aa為參數(shù))，1rH=2+2msa(1)曲線C的參數(shù)方程為=轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為:(x-2)2+y2=4,轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為:==4cos0.曲線G的極坐標(biāo)方程為==2sin0,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)