2022屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之專題突破詳解專題23空間角和距離計(jì)算【含答案】

專題23空間角和距離計(jì)算一．知識(shí)點(diǎn)、方法、規(guī)律（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式．2．理解空間向量的概念，理解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．3．掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示．4．掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．5.會(huì)找直線的方向向量和平面的法向量，能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.6.能用向量法證明有關(guān)直線和平面關(guān)系的一些定理.7.會(huì)用向量法計(jì)算直線與直線、直線與平面的夾角及二面角，會(huì)用向量法計(jì)算空間距離.8.理解異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角及二面角的平面角等概念，能依題設(shè)條件選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼饪臻g角和距離．特別注意兩平面法向量的夾角與二面角的關(guān)系（二）解題方法歸納1.證明平面三點(diǎn)共線的方法對(duì)平面三點(diǎn)P，A，B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線：(1)eq\o(PA,\s\up6(→）＝λeq\o(PB,\s\up6(→）(λ∈R)；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→）＝eq\o(OA,\s\up6(→）＋teq\o(AB,\s\up6(→）(t∈R)；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→）＝xeq\o(OA,\s\up6(→）＋yeq\o(OB,\s\up6(→）(x，y∈R，且x＋y＝1).2.證明空間四點(diǎn)共面的方法對(duì)空間四點(diǎn)P，M，A，B可通過證明下列結(jié)論來證明四點(diǎn)共面：(1)eq\o(MP,\s\up6(→）＝xeq\o(MA,\s\up6(→）＋yeq\o(MB,\s\up6(→）(x，y∈R)；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→）＝eq\o(OM,\s\up6(→）＋xeq\o(MA,\s\up6(→）＋yeq\o(MB,\s\up6(→）(x，y∈R)；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→）＝xeq\o(OM,\s\up6(→）＋yeq\o(OA,\s\up6(→）＋zeq\o(OB,\s\up6(→）(x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→）∥eq\o(AB,\s\up6(→）(或eq\o(PA,\s\up6(→）∥eq\o(MB,\s\up6(→）或eq\o(PB,\s\up6(→）∥eq\o(AM,\s\up6(→）).3.同時(shí)要重視空間向量基本定理的運(yùn)用，要注意空間向量基底的選取，用基向量表示出已知條件和所需解決問題的所有向量，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.4.用空間向量處理某些立體幾何問題時(shí)，除要有應(yīng)用空間向量的意識(shí)外，關(guān)鍵是根據(jù)空間圖形的特點(diǎn)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.若坐標(biāo)系選取不當(dāng)，計(jì)算量就會(huì)增大.總之，樹立用數(shù)解形的觀念，即用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.5.利用向量解決幾何問題具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先將原問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的向量問題，即將已知條件的角轉(zhuǎn)化為向量的夾角，線段長度轉(zhuǎn)化為向量的模，并用已知向量表示出未知向量(注意量的集中)，然后利用向量運(yùn)算解決該向量問題，從而原問題得解.6.利用向量坐標(biāo)解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)位置，建立恰當(dāng)、正確的空間坐標(biāo)系.表示出已知點(diǎn)(或向量)的坐標(biāo).難點(diǎn)是通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)幾何問題的代數(shù)解法.7.向量法求空間角與距離一般在易建系而又不易直接作出求角與距離時(shí)使用事半功倍.8.向量法證明線面關(guān)系時(shí)恰當(dāng)?shù)耐评砗捅匾目臻g想象是必需的.9.求異面直線所成的角，要注意角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2）)，斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找斜線在平面內(nèi)的射影；求二面角的大小方法多、技巧性強(qiáng)，但一般先想定義法，再想構(gòu)造法.10.實(shí)施解題過程仍要注意“作、證、指、求”四環(huán)節(jié)，計(jì)算一般是放在三角形中，因此，“化歸”思想很重要.11.應(yīng)用向量法求空間角要注意：①恰當(dāng)正確的建立空間直角坐標(biāo)系；②求得相關(guān)向量的夾角的三角函數(shù)值后一定要注意相應(yīng)空間角的取值范圍及問題情境確定所求角的三角函數(shù)值或大小.二、命題類型：1.空間中的軌跡問題2.點(diǎn)面距離問題3.線面距離問題4.面面距離問題5.異面直線所成角問題6.線面角7.二面角三、命題類型分析及規(guī)律總結(jié)：1.空間中的軌跡問題例1．如圖，在等腰梯形中，，分別是底邊的中點(diǎn)，把四邊形沿直線折起使得平面平面.若動(dòng)點(diǎn)平面，設(shè)與平面所成的角分別為（均不為0）.若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成的圖形的面積為（）A.B.C.D.D故答案選：D．點(diǎn)睛：這個(gè)題考查的是立體幾何中點(diǎn)的軌跡問題，在求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題中常用的方法有：建立坐標(biāo)系，將立體問題平面化，用方程的形式體現(xiàn)軌跡；或者根據(jù)幾何意義得到軌跡，但是注意得到軌跡后，一些特殊點(diǎn)是否需要去掉。練習(xí)1．在空間直角坐標(biāo)系中，到軸和軸距離相等的點(diǎn)的軌跡為（）A.一個(gè)平面B.兩個(gè)平面C.一條直線D.兩條直線B到軸和軸距離相等的點(diǎn)的軌跡為如圖所示的兩個(gè)平面，故選.2.在空間直角坐標(biāo)系中，正四面體的頂點(diǎn)、分別在軸，軸上移動(dòng)．若該正四面體的棱長是，則的取值范圍是（）．A.B.C.D.A如圖所示，若固定正四面體的位置，則原點(diǎn)在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以原點(diǎn)到點(diǎn)的最近距離等于減去球的半徑，最大距離是加上球的半徑，所以，即的取值范圍是．故選．3．如圖，是夾在的二面角之間的一條線段，,且直線與平面分別成的角，過作于,過作于.則的值為（）A.B.C.D.A4.點(diǎn)是棱長為的正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度為__________．因?yàn)?，所以在過且垂直于的平面上，如下圖（1），取，，則平面，所以在一個(gè)圓周上，如圖下圖（2），正方體的中心到該平面的距離即為，在直角三角形中，，而，故，，所在的圓周的半徑為，故其軌跡的長度為。圖（1）圖（2）點(diǎn)睛：立體幾何中軌跡問題實(shí)際是平幾或解幾中軌跡問題，解決問題的關(guān)鍵是立體幾何平面化.2.點(diǎn)面距離問題例題.設(shè)點(diǎn)是棱長為2的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在面所在的平面內(nèi)，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是（）A.B.C.1D.A【方法總結(jié)】本題主要考查的是正方體的性質(zhì)、二面角的求法、空間直角坐標(biāo)系和空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于難題．解題時(shí)一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，求二面角的常見方法有：1、利用定義找到二面角的平面角，根據(jù)平面幾何知識(shí)求解；2、利用公式，求出二面角的余弦，從而求得二面角的大??；3、利用空間相夾角余弦公式．練習(xí)1.．如圖，正方體的棱長為1，則點(diǎn)到平面的距離是（）A.B.C.D.4C，利用等體積法，設(shè)題目所求高為，則有，由此解得.2．如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且），則點(diǎn)到平面的距離為（）A.B.C.D.D∵長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G=λ（0≤λ≤1），∴D1E=，∵A1B1∥EF，∴點(diǎn)G到平面D1EF的距離即為點(diǎn)A1到平面D1EF的距離，設(shè)這個(gè)距離為h，∵，∴h=．∴點(diǎn)G到平面D1EF的距離為．故D。3．如圖，在四棱錐中底面，四邊形為正方形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，且.則點(diǎn)到平面的距離為（）A.B.C.D.D4.已知三點(diǎn)在球心為，半徑為的球面上，，，則球心到平面的距離為__________．由，，則外接圓的直徑，，則球心到平面的距離為點(diǎn)睛：本題主要考查了點(diǎn)，線，面間的距離計(jì)算，以及球面距離及相關(guān)計(jì)算，主要考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題。運(yùn)用正弦定理先計(jì)算出三角形外接圓的半徑，再利用勾股定理計(jì)算得出球心到面的距離5．正方體的棱長為1，分別為，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為__________．取的中點(diǎn)O,連接O,OE,OF,F,則△FO的面積.點(diǎn)F到平面E的距離=點(diǎn)F到平面OE的距離h,由等體積可得，即∴h=.故.點(diǎn)睛：處理點(diǎn)到平面的距離問題，方法主要有三個(gè)：（1）利用定義直接作出垂線段，計(jì)算即可，（2）把點(diǎn)到平面的距離視為某個(gè)錐體的高，通過等積法得到所求距離的方程，解之即可,(3)用向量法求平面外一點(diǎn)A到平面的距離時(shí)，可先在平面內(nèi)選擇一點(diǎn)B（點(diǎn)B的坐標(biāo)易求出），求得．然后求得直線AB與平面夾角的正弦值，即，最后根據(jù)可求得點(diǎn)到面的距離．3.線面距離問題例題3.已知正四棱柱中，，為的中點(diǎn)，則直線與平面的距離為()A.1B.C.D.2A如圖，連接交于，在三角形中，易證，平面直線與平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為在三棱錐中，在三棱錐中，故選練習(xí).4.面面距離問題例4.斜三棱柱ABC—A′B′C′的底面是正三角形，且C′B=C′C.(1)證明：AC′⊥BC；(2)若側(cè)面BCC′B′垂直于底面，側(cè)棱長為3，底棱長為2，求兩底面間的距離.（1）證明見解析。（2）5.異面直線所成角問題例題5.在如圖所示的三棱柱中，已知，點(diǎn)在底面上的射影是線段的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的正切值為（）A.B.C.D.B由題知，平面，而平面，，又，平面，在中，，則，在中，，則，過點(diǎn)作，且，連接，，，故平面，，因此為直線與直線所成的角，又，，故選B.【方法總結(jié)】本題主要考查異面直線所成的角，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.練習(xí)1．已知三棱柱的各條棱長相等，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.A如圖，過作的平行線交的延長線于，連．則即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）．設(shè)，則．在中，由余弦定理得，∴異面直線與所成角的余弦值為．選A．規(guī)律總結(jié)：求異面直線所成角的方法①作：利用定義轉(zhuǎn)化為平面角，對(duì)于異面直線所成的角，可固定一條，平移一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上；②證：證明作出的角為所求角；③求：把這個(gè)平面角置于一個(gè)三角形中，往往通過解三角形求空間角．注意：異面直線所成角的范圍為，因此若解三角形求得余弦值為正，則即為所求的異面直線所成角的余弦值；若為負(fù)，則要轉(zhuǎn)化為正值．2．在正方體中分別是和的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.0B.C.D.D設(shè)正方體的棱長為2，取CD中點(diǎn)G,連接，則所以為異面直線與所成角，且，又在中，，，由余弦定理.異面直線與所成角的余弦值為.故選D.3．在正三棱柱中，若，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A.B.C.D.C如圖，去中點(diǎn)，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，根據(jù)中位線有，故即為所求兩條直線所成角.設(shè)，故在中，，，由余弦定理得4.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若異面直線與所成角的余弦值為，求的值.（1）見解析（2）或.試題分析：（1）推導(dǎo)出四邊形BCDQ為平行四邊形，從而CD∥BQ．又QB⊥AD．從而BQ⊥平面PAD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD；（2）以Q為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出t的值，即可得到比值。解析：（Ⅰ）證明：∵，，為的中點(diǎn)，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵，∴，即.又∵平面平面，且平面平面.∵平面.∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）∵，為的中點(diǎn)，∴.∵平面平面，且平面平面.∴平面.如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，∴，，.由是上的點(diǎn)，設(shè)，化簡得.設(shè)異面直線與所成角為，則.∴，計(jì)算得或，故或.5.如圖所示，在四棱錐中，,底面為梯形，且平面.（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)異面直線與所成角為時(shí)，求四棱錐的體積.(1)證明見解析；(2).試題分析：(1)很明顯，由線面垂直的定義可知，則平面，結(jié)合面面垂直的判定定理可得平面平面.(2)取的中點(diǎn)，連接，由題意可得四邊形為平行四邊形，，則，結(jié)合(1)的結(jié)論有，由幾何關(guān)系可證得平面.據(jù)此由體積公式計(jì)算可得.試題解析：（1），所以，因?yàn)槠矫嫫矫?所以,因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平?（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，，則為異面直線所成的角，即，由（1）知，平面,所以，又，所以，而，所以，所以，如圖，取的中點(diǎn)，連接為等腰直角三角形，則，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平?所以.6.線面角例6.如圖，在多面體中，是正方形，平面，平面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成的角的正弦值.(1)見解析（2）試題分析：（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，由三角形中位線的性質(zhì)可得平面,由線面垂直的性質(zhì)定理可得為平行四邊形，則，結(jié)合面面平行的判斷定理有平面.最后，利用面面平行的判斷定理可得平面平面.（2）利用兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間幾何關(guān)系可得平面的一個(gè)法向量為，，則直線與平面所成角的正弦值.試題解析：（1）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)，∴.∵平面，平面，∴平面.∵都垂直底面，∴.∵，∴為平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴平面.又∵，∴平面平面.（2）由已知，平面，是正方形.∴兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，從而，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得.令，則，從而.∵，設(shè)與平面所成的角為，則，所以，直線與平面所成角的正弦值為.練習(xí)1．如圖，在斜三棱柱中，已知，異面直線，且.（1）求證：平面平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值.（1）證明見解析；（2）試題分析：（1）要證面面垂直可從線面垂直入手，即證垂直于面，再根據(jù)面面垂直的判定再證面面垂直；（2）建立空間坐標(biāo)系，求面的法向量和線的方向向量，計(jì)算兩個(gè)向量的夾角的余弦值即可得線面角的正弦。.解析：（1）連接，因?yàn)椋?故四邊形是菱形，所以，故得到，故得到，又因?yàn)樗源怪庇诿嫫矫嫫矫?（2）設(shè)A1C1與平面AA1B1所成角為θ，∵設(shè)平面AA1B1的一個(gè)法向量是則不妨令x=1，可得∴A1C1與平面AA1B1所成角的正弦值.練習(xí)2.四棱錐的底面是邊長為1的正方形，，，，為上兩點(diǎn)，且.（1）求證：面；（2）求與平面所成角的正弦值.(1)證明見解析；(2).試題分析：(1)連交于，連，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知，利用線面平行的判斷定理可得面；(2)由題意易知面，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面法向量，直線BF的方向向量，據(jù)此計(jì)算可得與平面所成角的正弦值為.試題解析：（1）連交于，連..（2）∵，又，得到，則面，以為坐標(biāo)原點(diǎn).為軸，為軸，為軸建立坐標(biāo)系.則，，，設(shè)面法向量，則，，令與平面所成角為，則.點(diǎn)睛：利用空間向量求線面角有兩種途徑：一是求斜線和它在平面影的方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；二是借助平面的法向量．7.二面角例7.如圖所示，平面，點(diǎn)在以為直徑的上，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在弧上，且.（1）求證：平面平面；（2）求證：平面平面；（3）設(shè)二面角的大小為，求的值.(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).試題分析：（1）由△ABC中位線的性質(zhì)可得，則平面.由線面平行的判斷定理可得平面.結(jié)合面面平行的判斷定理可得平面.（2）由圓的性質(zhì)可得，由線面垂直的性質(zhì)可得，據(jù)此可知平面.利用面面垂直的判斷定理可得平面平面.（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.結(jié)合空間幾何關(guān)系計(jì)算可得平面的法向量，平面的一個(gè)法向量，則.由圖可知為銳角，故.試題解析：（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，且平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面平?（2）證明：因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的上，所以，即.因?yàn)槠矫妫矫?，所?因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?（3）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，，所以?延長交于點(diǎn).因?yàn)?，所以，?所以，，，.所以，.設(shè)平面的法向量.因?yàn)?，所以，?令，則，.所以.同理可求平面的一個(gè)法向量.所以.由圖可知為銳角，所以.練習(xí)1.如圖，在五面體中，四邊形為矩形，為等邊三角形，且平面平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.（1）見解析；（2）試題分析：(1)取DE中點(diǎn)G，于是AG⊥DE，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AG⊥面CDEF，則AG⊥DC，又CD⊥AD，由線面垂直的判斷定理可得CD⊥面ADE，即面ADE⊥面ABCD．(2)取AD中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OE為x、z軸建系．由題意可得：平面FBC的法向量為，平面BCD的法向量為，則二面角F-BC-D的余弦值為．試題解析：（1）證明：取DE中點(diǎn)G，于是AG⊥DE，又面ADE⊥面CDEF，且面ADE∩面CDEF=DE，所以AG⊥面CDEF，則AG⊥DC，又CD⊥AD，所以CD⊥面ADE，即面ADE⊥面ABCD．（2）解：取AD中點(diǎn)O，于是EO⊥面ABCD，所以，如圖：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OE為x、z軸建系．設(shè)OA長度為1，于是點(diǎn)坐標(biāo)為：，因?yàn)镃D∥AB，所以AB∥平面CDEF，又平面ABEF∩平面CDEF=EF，則EF∥AB；所以設(shè)，所以點(diǎn)．那么，由于BF⊥DF，所以，解得．于是，進(jìn)而面FBC的法向量為，又面BCD的法向量為，記二面角F-BC-D為，所以，又因?yàn)槭卿J角，所以二面角F-BC-D的余弦值為．練習(xí)2.在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.(1)證明見解析；(2).試題分析：(1)由題意結(jié)合角的關(guān)系可得，，由線面垂直的性質(zhì)可得，故平面，.(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面的一個(gè)法向量為，而是平面的一個(gè)法向量，據(jù)此計(jì)算可得二面角的余弦值為.試題解析：（1）證明：因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，?所以.又，所以，因此，，，平面，，所以，，所以平面；所以.（2）由（1）知，，同理，又平面，因此兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，因此，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，∴，所以，取，則，由于是平面的一個(gè)法向量，則，，所以二面角的余弦值為.四．高考真題試卷演練1.【2017課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______.【考點(diǎn)】簡單幾何體的體積【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三棱錐最值問題，肯定需要用到函數(shù)的思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)得方式進(jìn)行解決.2.【2017課標(biāo)3，理19】如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.(1)證明略；(2).試題分析：(1)利用題意證得二面角的平面角為90°，則可得到面面垂直；在Rt△AOB中，.又，所以，故.所以平面ACD⊥平面ABC.（2）由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得.故.設(shè)是平面DAE的法向量，則即可取.設(shè)是平面AEC的法向量，則同理可得.則.所以二面角D-AE-C的余弦值為.【考點(diǎn)】二面角的平面角；面面角的向量求法【名師點(diǎn)睛】(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算.(2)設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與<m，n>互補(bǔ)或相等，故有|cosθ|＝|cos<m，n>|=.求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.3.【2017山東，理17】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點(diǎn).（Ⅰ）設(shè)是上的一點(diǎn)，且，求的大小；（Ⅱ）當(dāng)，，求二面角的大小.（Ⅰ）.（Ⅱ）.試題分析：（Ⅰ）利用，，證得平面，利用平面，得到，結(jié)合可得.（Ⅱ）兩種思路，一是幾何法，二是空間向量方法，其中思路一：取的中點(diǎn)，連接，，.得四邊形為菱形，得到.取中點(diǎn)，連接，，.得到，，從而為所求二面角的平面角.據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)即得所求的角.思路二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量計(jì)算即得.（Ⅱ）解法一：取的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所?取中點(diǎn)，連接，，.則，，所以為所求二面角的平面角.又，所以.在中，由于，由余弦定理得，所以，因此為等邊三角形，故所求的角為.解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意得，，，故，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量.由可得【考點(diǎn)】1.垂直關(guān)系.2.空間角的計(jì)算.【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等.4．【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分13分）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.（I）求證：EG∥平面ADF；（=2\*ROMANII）求二面角O-EF-C的正弦值；（=3\*ROMANIII）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅲ）.（I）證明：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得，又，可得，又因?yàn)橹本€，所以.（II）解：易證，為平面的一個(gè)法向量.依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值為.（III）解：由，得.因?yàn)?，所以，進(jìn)而有，從而，因此.所以，直線和平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)：利用空間向量解決立體幾何問題5.【2015江蘇高考，22】（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，,（1）求平面與平面所成二面角的余弦值；（2）點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時(shí)，求線段BQ的長（1）（2）試題分析：（1）求二面角，關(guān)鍵求出兩個(gè)平面的法向量，本題中平面法向量已知，故關(guān)鍵求平面的法向量，利用向量垂直關(guān)系可列出平面的法向量兩個(gè)獨(dú)立條件，再根據(jù)向量數(shù)量積求二面角余弦值（2）先建立直線CQ與DP所成角的函數(shù)關(guān)系式：設(shè),則,再利用導(dǎo)數(shù)求其最值，確定點(diǎn)Q坐標(biāo)，最后利用向量模求線段BQ的長試題解析：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．（1）因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，．因?yàn)?，．設(shè)平面的法向量為，則，，即．令，解得，．所以是平面的一個(gè)法向量．從而，所以平面與平面所成二面角的余弦值為．（2）因?yàn)椋O(shè)（），又，則，又，從而．設(shè)，，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為．因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，此時(shí)直線與所成角取得最小值．又因?yàn)?，所以．【考點(diǎn)定位】空間向量、二面角、異面直線所成角【名師點(diǎn)晴】1．求兩異面直線a，b的夾角θ，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cosθ＝|cos〈a，b〉|.2．求直線l與平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n與直線l的方向向量a的夾角．則sinθ＝|cos〈n，a〉|.3．求二面角α-l-β的大小θ，可先求出兩個(gè)平面的法向量n1，n2所成的角，則θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．6.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.（1）見解析；（2）；（3）存在，試題解析：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以平面；?）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)椋?又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫云矫?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.因此點(diǎn).因?yàn)槠矫?，所以平面?dāng)且僅當(dāng)，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí).考點(diǎn)：1.空間垂直判定與性質(zhì)；2.異面直線所成角的計(jì)算；3.空間向量的運(yùn)用.【名師點(diǎn)睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用：當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直(必要時(shí)可以通過平面幾何的知識(shí)證明垂直關(guān)系)，構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等.7.【2015高考陜西，理18】（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．（I）證明：平面；（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．（I）證明見解析；（II）．試題解析：（I）在圖1中，因?yàn)?，，是的中點(diǎn)，，所以即在圖2中，，從而平面又，所以平面.(II)由已知，平面平面，又由（I）知，，所以為二面角的平面角，所以.如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以得?設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，則，得，取，，得，取，從而，即平面與平面夾角的余弦值為.考點(diǎn)：1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標(biāo)系；4、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是線面垂直、二面角、空間直角坐標(biāo)系和空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對(duì)角線．8.【2014高考陜西版理第17題】四面體及其三視圖如圖所示，過棱的中點(diǎn)作平行于，的平面分別交四面體的棱于點(diǎn).（1）證明：四邊形是矩形；（2）求直線與平面夾角的正弦值.（1）證明見解析；（2）.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量因?yàn)椤?∥，所以，列出方程組，即可得到平面的一個(gè)法向量，與的夾角的余弦值的絕對(duì)值即為所求.試題解析：（1）由該四面體的三視圖可知：，由題設(shè)，∥面面面面面∥，∥，∥.同理∥，∥，∥.四邊形是平行四邊形又平面∥,∥四邊形是矩形（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量∥,∥即得，取考點(diǎn)：面面平行的性質(zhì)；線面角的求法.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是三視圖，面面平行的性質(zhì)定理、線面角、空間直角坐標(biāo)系和空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意線面角的正弦值是直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．9.【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E為邊AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°.（Ⅰ）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.試題分析：（Ⅰ）探索線面平行，根據(jù)是線面平行的判定定理，先證明線線平行，再得線面平行，而這可以利用已知的平行，易得CD∥EB；從而知為DC和AB的交點(diǎn)；（Ⅱ）求線面角，可以先找到這個(gè)角，即作出直線在平面內(nèi)的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知圖形中的垂直建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出線面角（通過平面的法向量與直線的方向向量的夾角來求得）．試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點(diǎn)M（M∈平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.，所以CD∥EB從而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.（說明：延長AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)）（Ⅱ）方法一：易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA與平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH==，所以sin∠APH==.方法二：作Ay⊥AD，以A為原點(diǎn)，以,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由得設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα==.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.考點(diǎn)：線線平行、線面平行、向量法.【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、分析問題的能力、計(jì)算能力.證明線面平行時(shí)，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線，而這條平行線一般是由過面外的直線的一個(gè)平面與此平交而得，證明時(shí)注意定理的另外兩個(gè)條件（線在面內(nèi)，線在面外）要寫全，否則會(huì)被扣分，求線面角（以及其他角），一種方法可根據(jù)定義作出這個(gè)角（注意還要證明），然后通過解三角形求出這個(gè)角．另一種方法建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求角，這種方法主要是計(jì)算，不需要“作角、證明”，關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可．10.【2014安徽理20】(本題滿分13分)如圖，四棱柱中，底面．四邊形為梯形，,且．過三點(diǎn)的平面記為，與的交點(diǎn)為．證明：為的中點(diǎn)；求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比；若，，梯形的面積為6，求平面與底面所成二面角大小．（1）為的中點(diǎn)；（2）；（3）．試題分析：（1）利用面面平行來證明線線平行∥，則出現(xiàn)相似三角形，于是根據(jù)三角形相似即可得出，即為的中點(diǎn)．（2）連接．設(shè)，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，，則．先表示出和，就可求出，從而．（3）可以有兩種方法進(jìn)行求解．第一種方法，用常規(guī)法，作出二面角．在中，作，垂足為，連接．又且，所以平面，于是．所以為平面與底面所成二面角的平面角．第二種方法，建立空間直角坐標(biāo)系，以為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)．因?yàn)?，所以．從而，，所以，．設(shè)平面的法向量，再利用向量求出二面角．試題解析：（1）證：因?yàn)椤?，?，所以平面∥平面．從而平面與這兩個(gè)平面的交線相互平行，即∥．故與的對(duì)應(yīng)邊相互平行，于是．所以，即為的中點(diǎn)．（3）解法1如第（20）題圖1，在中，作，垂足為，連接．又且，所以平面，于是．所以為平面與底面所成二面角的平面角．因?yàn)椤?，，所以．又因?yàn)樘菪蔚拿娣e為6，，所以．于是．故平面與底面所成二面角的大小為．解法2如第（20）題圖2，以為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)．因?yàn)椋裕畯亩?，，所以，．設(shè)平面的法向量，由得，所以．又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，所以，故平面與底面所成而面積的大小為．考點(diǎn)：1．二面角的求解；2．幾何體的體積求解．【名師點(diǎn)睛】立體幾何證明性問題有的看起來很顯然，但不能想當(dāng)然的寫，一定要注意在每步證明時(shí)有定理的保證；關(guān)于體積的求解要常常使用分割法和轉(zhuǎn)化法，很多不規(guī)則圖形通過分割會(huì)變成我們熟悉的幾何體，轉(zhuǎn)化法尤其喜歡出現(xiàn)在三棱錐的體積計(jì)算中；對(duì)于二個(gè)面所成角的求解，傳統(tǒng)方法先找角、再構(gòu)造、再定量的程序進(jìn)行，用空間向量法關(guān)鍵是求出法向量，注意二面角的平面角是鈍角還是銳角即可.11.【2014年湖北，卷理9】(本小題滿分12分)如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng)，且.（1）當(dāng)時(shí)，證明：直線平面；（2）是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.（1）詳見解析；（2）試題解析：幾何法：（1）證明：如圖1，連結(jié)，由是正方體，知，當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，所以，而平面，且平面，故平面.（2）如圖2，連結(jié)，因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以，且，又，，所以四邊形是平行四邊形，故，且，從而，且，在和中，因?yàn)?，，于是，，所以四邊形是等腰梯形，同理可證四邊形是等腰梯形，分別取、、的中點(diǎn)為、、，連結(jié)、，則，，而，故是平面與平面所成的二面角的平面角，若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，則，連結(jié)、，則由，且，知四邊形是平行四邊形，連結(jié)，因?yàn)?、是、的中點(diǎn)，所以，在中，，，，由得，解得，故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角.向量法：以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標(biāo)系，由已知得，所以，，，（1）證明：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，即，而平面，且平面，故直線平面.故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角.考點(diǎn)：正方體的性質(zhì)，空間中的線線、線面、面面平行于垂直，二面角.【名師點(diǎn)睛】這是一類探究型習(xí)題，重點(diǎn)考查直線與平面平行的判定定理和二面角的求法，其解題思路：第一問通過證明線線平行得出線面平行的結(jié)論；第二問正確求解的關(guān)鍵是正確地找出平面與平面所成的二面角的平面角.充分體現(xiàn)了探究型學(xué)習(xí)在高考中的重要性.12.【2015湖北理19】（本小題滿分12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接（Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（Ⅱ）若面與面所成二面角的大小為，求的值．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.（Ⅱ）如圖1，在面內(nèi)，延長與交于點(diǎn)，則是平面與平面的交線.由（Ⅰ）知，，所以.又因?yàn)榈酌妫?而，所以.故是面與面所成二面角的平面角，設(shè)，，有，在Rt△PDB中,由,得,則,解得.所以故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，.（解法2）（Ⅰ）如圖2，以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，，則，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，于是，即.又已知，而，所以.因,,則,所以.由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為.（Ⅱ）由，所以是平面的一個(gè)法向量；由（Ⅰ）知，，所以是平面的一個(gè)法向量.若面與面所成二面角的大小為，則，解得.所以故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，.【考點(diǎn)定位】四棱錐的性質(zhì)，線、面垂直的性質(zhì)與判定，二面角.【名師點(diǎn)睛】立體幾何是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，而求空間角是重中之