2022年忻州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，在?ABCD中，AB=2.6，BC=4，∠ABC的平分線(xiàn)交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為（）A．2.6 B．1.4 C．3 D．22．如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，且EH=EB．下列四個(gè)結(jié)論：①∠ABC=45°；②AH=BC；③BE+CH=AE；④△AEC是等腰直角三角形.你認(rèn)為正確的序號(hào)是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④3．如圖，為等邊三角形，為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，CE=BD，平分，下列結(jié)論:(1)；(2)；(3)是等邊三角形，其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)4．若，那么（）．A．1 B． C．4 D．35．下列式子為最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．6．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，若DC＝4，則DE＝()A．3 B．5 C．4 D．67．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，分別交AB、AD于點(diǎn)F、G．則下列結(jié)論：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)8．如圖，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，有下列結(jié)論:①CD=ED；②AC+BE=AB；③DA平分∠CDE；④∠BDE=∠BAC；⑤=AB:AC，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有()A．5個(gè) B．4個(gè)C．3個(gè) D．2個(gè)9．已知以下三個(gè)數(shù),不能組成直角三角形的是()A．9、12、15 B．、3、2 C．0.3、0.4、0.5； D．10．將0.000075用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．7.5×105B．7.5×10-5C．0.75×10-4D．75×10-6二、填空題(每小題3分,共24分)11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，1），B（1，2），點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_______．12．一組數(shù)據(jù)為：5，﹣2，3，x，3，﹣2，若每個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_____．13．已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足則=_____．14．若x2+y2=10，xy=3，則（x﹣y）2=_____．15．已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為3、8、a，則a的取值范圍是_____________．16．如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，面積是，腰的垂直平分線(xiàn)分別交，邊于，點(diǎn)．若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)________．17．2019年6月，華為第二顆自研7納米麒麟系列芯片810出爐，7納米換算為米等于_____米(用科學(xué)記數(shù)法表示)單位換算方法：1毫米=1000微米，1微米=1000納米．18．已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為_(kāi)______．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，已知線(xiàn)段，求作，使(使用直尺和圓規(guī)，并保留作圖痕跡)．20．（6分）如圖，點(diǎn)在線(xiàn)段上，，，．平分．求證：（1）；（2）.21．（6分）已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖，，，、的長(zhǎng)滿(mǎn)足關(guān)系式．（1）求、的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是.（1）在圖中畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖形，并寫(xiě)出點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在圖中軸上作出一點(diǎn)，使得的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫(xiě)作法）23．（8分）如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．（1）求證：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的長(zhǎng)．24．（8分）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)（與點(diǎn)B，C不重合），如圖1，求證：CF＝BD；（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，第（1）問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．25．（10分）如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）若與關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)，畫(huà)出的位置，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為_(kāi)______，_________，__________；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得，如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，說(shuō)明理由．26．（10分）解方程組或計(jì)算：（1）解二元一次方程組：；（2）計(jì)算：（）2﹣（﹣1）（+1）．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】由平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，可證得△BCE是等腰三角形，繼而利用DE=CE-CD，求得答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，．平分，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，能證得△BCE是等腰三角形是解此題的關(guān)鍵．2、C【分析】①根據(jù)AD⊥BC，若∠ABC=45°則∠BAD=45°，而∠BAC=45°，很明顯不成立；

②③可以通過(guò)證明△AEH與△CEB全等得到；

④CE⊥AB，∠BAC=45°，所以是等腰直角三角形．【詳解】①∵CE⊥AB，EH＝EB，∴∠EBH＝45°，∴∠ABC＞45°，故①錯(cuò)誤；∵CE⊥AB，∠BAC＝45°，∴AE＝EC，在△AEH和△CEB中，，∴△AEH≌△CEB（SAS），∴AH＝BC，故選項(xiàng)②正確；又EC＝EH＋CH，∴AE＝BE＋CH，故選項(xiàng)③正確．∵AE＝CE，CE⊥AB，所以△AEC是等腰直角三角形，故選項(xiàng)④正確．∴②③④正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行證明，找出相等的對(duì)應(yīng)邊后，注意線(xiàn)段之間的和差關(guān)系．3、D【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)可證明即可證明與；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，求出，即可判斷出是等邊三角形．【詳解】是等邊三角形，，，，平分，，，在和中，，故（2）正確；∴∴，故（1）正確；∴是等邊三角形，故（3）正確．∴正確有結(jié)論有3個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，要靈活運(yùn)用等邊三角形的三邊相等、三個(gè)角相等的性質(zhì)．4、C【分析】由非負(fù)數(shù)之和為0，可得且，解方程求得a，b，代入a-b問(wèn)題得解．【詳解】解：，且，解得，，，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的值，正確理解絕對(duì)值及算數(shù)平方根的非負(fù)性是解答本題的關(guān)鍵．5、B【分析】最簡(jiǎn)二次根式滿(mǎn)足：被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．【詳解】A.，故不符合題意；B.是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；C.，故不符合題意；D.，故不符合題意.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，掌握最簡(jiǎn)二次根式必須滿(mǎn)足的兩個(gè)條件是解題關(guān)鍵．6、C【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可．【詳解】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，CD=4，∴DE=CD=4，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．7、B【解析】利用高線(xiàn)和同角的余角相等,三角形內(nèi)角和定理即可證明①,再利用等量代換即可得到③④均是正確的,②缺少條件無(wú)法證明.【詳解】解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°,∵∠ACB＝∠BAD∴90°-∠ACB=90°-∠BAD,即∠CAD=∠B,∵三角形ABC的內(nèi)角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°,∴∠CAB=90°,①正確,∵AE平分∠CAD,EF∥AC，∴∠CAE=∠EAD=∠AEF,∠C=∠FEB=∠BAD,②錯(cuò)誤,∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠BEF+∠AEF,∴∠BAE＝∠BEA,③正確,∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF,④正確,綜上正確的一共有3個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合性質(zhì),高線(xiàn)的性質(zhì),平行線(xiàn)的性質(zhì),綜合性強(qiáng),難度較大,利用角平分線(xiàn)和平行線(xiàn)的性質(zhì)得到相等的角,再利用等量代換推導(dǎo)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.8、A【分析】由在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．可得CD＝DE，繼而可得∠ADC＝∠ADE，又由角平分線(xiàn)的性質(zhì)，證得AE＝AD，由等角的余角相等，可證得∠BDE＝∠BAC，由三角形的面積公式，可證得S△ABD：S△ACD＝AB：AC．【詳解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，

∴CD＝ED，

故①正確；

∴∠CDE＝90°?∠BAD，∠ADC＝90°?∠CAD，

∴∠ADE＝∠ADC，

即AD平分∠CDE，

故④正確；

∴AE＝AC，

∴AB＝AE＋BE＝AC＋BE，

故②正確；

∵∠BDE＋∠B＝90°，∠B＋∠BAC＝90°，

∴∠BDE＝∠BAC，

故③正確；

∵S△ABD＝AB?DE，S△ACD＝AC?CD，

∵CD＝ED，

∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，

故⑤正確．綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④⑤共5個(gè)

故答案為A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)．難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9、D【解析】欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長(zhǎng)，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】A、92+122=152，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B、（）2+32=（2）2，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；C、0.32+0.42=0.52，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；D、（32）2+（42）2≠（52）2，不能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．10、B【解析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】0.000075=7.5×10-5.故選B.【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．二、填空題(每小題3分,共24分)11、（﹣1，0）【詳解】解：由三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，由三角形三邊關(guān)系|PA﹣PB|＜AB；當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，∵A（0，1），B（1，2）兩點(diǎn)都在x軸同側(cè)，∴|PA﹣PB|=AB．∴|PA﹣PB|≤AB．∴本題中當(dāng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上．設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，∵A（0，1），B（1，2），∴，解得．∴直線(xiàn)AB的解析式為y=x+1．令y=0，得0=x+1，解得x=﹣1．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣1，0）．故答案為：（﹣1，0）．12、1【分析】由于每個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，根據(jù)眾數(shù)定義可知m=5，再根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵-2出現(xiàn)2次，1出現(xiàn)2次且每個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)∴x＝5，∴這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：-2，-2，1，1，5，5，∴中位數(shù)＝＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法．13、【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，得到可得到結(jié)果，再開(kāi)方即可得到最終結(jié)果．【詳解】，代入可得，所以故答案為：．【點(diǎn)睛】考查利用完全平方公式求代數(shù)式的值，學(xué)生熟練掌握完全平方公式是本題解題的關(guān)鍵，并利用開(kāi)平方求得最后的結(jié)果．14、1【分析】運(yùn)用完全平方公式，，將相應(yīng)數(shù)值代入可得.【詳解】解：∵，∴故答案為：1．【點(diǎn)睛】掌握完全平方公式為本題的關(guān)鍵.15、5＜a＜1【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得8-3＜a＜8+3，再解即可．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：8-3＜a＜8+3，

解得：5＜a＜1，

故答案為：5＜a＜1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．16、11【分析】連接AD，交EF于點(diǎn)M，根據(jù)的垂直平分線(xiàn)是可知CM=AM，求周長(zhǎng)的最小值及求CM+DM的最小值，當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+AD最小，即周長(zhǎng)的最?。驹斀狻拷猓哼B接AD，交EF于點(diǎn)M，∵△ABC為等腰三角形，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，底邊長(zhǎng)為∴AD⊥BC，CD=3又∵面積是24，即，∴AD=8，又∵的垂直平分線(xiàn)是，∴AM=CM，∴周長(zhǎng)=CM+DM+CD=AM+DM+CD∴求周長(zhǎng)最小值即求AM+DM的最小值，當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+AD最小，即周長(zhǎng)的最小，周長(zhǎng)=AD+CD=8+3=11最小．【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱(chēng)變換解決最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，確定最小值的位置．17、7×10﹣1【分析】根據(jù)單位換算，把7納米化為米，再用科學(xué)記數(shù)法表示即可.【詳解】解：7納米=0.000000007米=7×10﹣1米，故答案為7×10﹣1．【點(diǎn)睛】本題主要考察科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確將納米和米單位進(jìn)行換算.18、120°或20°【詳解】根據(jù)等腰三角形的特點(diǎn)，可分兩種情況：頂角與底角的度數(shù)比是1：4或底角與頂角的度數(shù)比是1：4，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可求解：當(dāng)頂角與底角的度數(shù)比是1：4時(shí)，則等腰三角形的頂角是180°×=20°；當(dāng)?shù)捉桥c頂角的度數(shù)比是1：4時(shí)，則等腰三角形的頂角是180°×=120°．即該等腰三角形的頂角為20°或120°．考點(diǎn)：等腰三角形三、解答題(共66分)19、見(jiàn)解析【分析】作直線(xiàn)，垂足為C，在直線(xiàn)m上截取CB=b，在直線(xiàn)N上截取線(xiàn)段CD=a，在CD上截取CA=，連接AB，則△ABC即為所求作．【詳解】如圖所示：△ABC即為所求【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．20、(1)見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行線(xiàn)性質(zhì)求出∠A=∠B，根據(jù)SAS推出即可．

（2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)推出CD=CE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可．試題解析：∵，∴，在和中∴，∵，∴，又∵平分，∴．21、（1）OA=4，OC=3；（2）；（3）存在，，，【分析】（1）由平方的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性解題；（2）作軸與點(diǎn)D，，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)解題；（3）分三種情況討論，當(dāng)當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，使AP=AC，或當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，使CP=AC=5，或當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸時(shí)，使AC=CP時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解題．【詳解】解：⑴由.可知，，∴.⑵作軸與點(diǎn)D，⑶存在.當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，使AP=AC，則為等腰三角形，P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，則為等腰三角形，P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸時(shí)，使AC=CP，則為等腰三角形，，；所以存在，點(diǎn)P或或．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、絕對(duì)值的非負(fù)性、平方的非負(fù)性、勾股定理、分類(lèi)討論等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．22、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找出A1、B1、C1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再依次連接即可；（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C2，連接B1C2，與x軸交點(diǎn)即為P.【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所作圖形，其中C1的坐標(biāo)為（-4，4）；（2）如圖點(diǎn)P即為所作點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—軸對(duì)稱(chēng)，最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作出最短路徑.23、（1）見(jiàn)解析；（2）AC的長(zhǎng)為1．【分析】（1）首先根據(jù)垂線(xiàn)的意義得出∠CFD=∠CEB=90°，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出CE=CF，即可判定Rt△BCE≌Rt△DCF；（2）首先由（1）中全等三角形的性質(zhì)得出DF=EB，然后判定Rt△AFC≌Rt△AEC，得出AF=AE，構(gòu)建方程得出CF，再利用勾股定理即可得出AC.【詳解】（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂線(xiàn)的意義）∴CE=CF（角平分線(xiàn)的性質(zhì)）∵BC=CD（已知）∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）（2）由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF∴DF=EB，設(shè)DF=EB=x∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，AC=AC∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）∴AF=AE即：AD+DF=AB﹣BE∵AB=21，AD=9，DF=EB=x∴9+x=21﹣x解得，x=6在Rt△DCF中，∵DF=6，CD=10∴CF=8∴Rt△AFC中，AC2=CF2+AF2=82+（9+6）2=289∴AC=1答：AC的長(zhǎng)為1．【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線(xiàn)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握，即可解題.24、（1）見(jiàn)解析；（2）仍然成立，理由見(jiàn)解析【分析】（1）要證明CF=BD，只要證明△BAD≌△CAF即可，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可以證明△BAD≌△CAF，從而可以證明結(jié)論成立；（2）首先判斷CF=BD仍然成立，然后根據(jù)題目中的條件，同（1）中的證明方法一樣，本題得以解決．【詳解】（1）證明：∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∴∠DAC+∠CAF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和