2021-2022學(xué)年重慶市南岸區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試題及答案解析

2021-2022學(xué)年重慶市南岸區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，共48.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1. ??????30°的值是( )A.1 B.√3 C.1 D.√32 2將兩個(gè)圓盤(pán)、一個(gè)茶葉桶、一個(gè)皮球和一蒙古包模型按如圖所示的方式擺放在一起，其視圖是( )B.C. D.3. 關(guān)??的方??2+????+1=0有實(shí)數(shù)根，??的取值可以( )A.??=?1 B.??=0 C.??=1 D.??=?34. 如圖已△??????△??????位似位似中心為=△??????的周長(zhǎng)2，則△??????的周長(zhǎng)( )A.4 B.6 C.8 D.18如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個(gè)三角形( )第1頁(yè)，共23頁(yè)A.與④ B.③ C.①⑤ D.與⑤160????80????；他把手臂豎直舉起，此時(shí)影子長(zhǎng)為100????，那么小明的手臂超出頭頂?shù)母叨? )A.20???? B.30???? C.40???? D.7. ????????????與????=6，????=4.則這個(gè)矩形的面積( )2448C.12√7D.24√78. 一個(gè)矩形紙片的面積30????2，將它的一邊剪1????，另一邊剪2????，恰好變成一個(gè)方形．若設(shè)正方形的邊長(zhǎng)??????，根據(jù)題意可得方( )A.(??+1)(??+2)=30C.(??+1)(???2)=30

B.(???1)(???2)=30D.(???1)(??+2)=30. △????????和????，????=????，????=5，△??????△??????的面積之比( )????A.B.

????5385

???? 32596425第2頁(yè)，共23頁(yè)10.如圖二次函??=(???1)(?????)(??為常圖象的對(duì)稱軸為直??=2.向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過(guò)原點(diǎn)則平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式( )A.??=??2?2??B.??=??2?4??C.??=??2?4???3D.??=??2?4??+311.公園的健身步道，其中一處階梯的形狀如圖所示，其中線????=????=部分的坡角45°，????部分的坡角30°，如果每一個(gè)臺(tái)階的高度不超20????，那么這一階梯的臺(tái)階數(shù)最少( )(最后一個(gè)臺(tái)階的高度不足20????，按一個(gè)臺(tái)階計(jì)算，參考數(shù)據(jù)：√2≈1.41，√3≈1.73)A.36 B.37 C.47 D.4812.如果一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為12，面積為4，設(shè)它的長(zhǎng)為??，寬為??，則??+??=6，????=4.滿足要求的(??,??)是直角坐標(biāo)系內(nèi)雙曲線??=4與直線??=???+6在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)，如圖所示，??如果把周長(zhǎng)12面積的矩形周長(zhǎng)和面積分別減(簡(jiǎn)稱為減半矩以下結(jié)論正確是( )第3頁(yè)，共23頁(yè)不存在這樣的減半矩形C.3+√73?

存在無(wú)數(shù)個(gè)這樣的減半矩形D.和2二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）13.方(??+2)(???3)=0的根．14.如圖，晚上小亮在路燈下散步，在??點(diǎn)處走??點(diǎn)處這一過(guò)程中，他在??，??，??三處對(duì)應(yīng)的在地上的影子，其中影子最的是點(diǎn)(填??，??，??)．15.若∠??是銳角，????????=3，????????．516.已??=??=3(??+??≠0)，則??+??的值．?? ?? 4 ??+????????，∠??=90°.直角邊????=3??、????=4??，現(xiàn)準(zhǔn)備修一個(gè)如圖所示的矩????????的養(yǎng)魚(yú)池，當(dāng)矩????????面積最大時(shí)，????的長(zhǎng)．??重??=??(??≠0)??第4頁(yè)，共23頁(yè)方形的一邊交于??(3,4)，且經(jīng)過(guò)小正方形的頂??.求圖中陰影部分的面積．2三、解答題（本大題共8小題，共78.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19.(本小題10.0分)解方程：(1)??2????1=0；(2)??2?2??=3．20.(10.0)如圖，是一個(gè)智慧教育產(chǎn)品的展銷廳的俯視示意圖，小李進(jìn)入展廳后，開(kāi)始自由參觀，每走到一個(gè)十字道口，他可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)成向右轉(zhuǎn)，且這三種可能性均相同．??后，向北走的概率；請(qǐng)用樹(shù)狀圖或表格分析，小李到達(dá)第二個(gè)十字道口后向西方向參觀的概率．21.(本小題10.0分)如圖，已知△??????．(1)請(qǐng)用尺規(guī)在圖中補(bǔ)充完整以下作圖，保留作圖痕跡：作∠????????????????????????；????，????；(2)求證：四邊形????????是菱形．第5頁(yè)，共23頁(yè)22.(本小題10.0分)一司機(jī)駕駛汽車從甲地到乙地，他以60????/?的平均速度行駛4?到達(dá)目的地，并按照原路返回甲地．????有怎樣的函數(shù)關(guān)系？3?返回甲地，求該司機(jī)返程的平均速度；??(????)??(?)30分鐘，休息后85????/?的速度回到甲地．求該司機(jī)返程所用的總時(shí)間．23.(本小題10.0分)如圖，已知二次函數(shù)??=????2+????+1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)??(?1,6)與??(4,1)兩點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；在圖中畫(huà)出該二次函數(shù)的圖象；結(jié)合圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．第6頁(yè)，共23頁(yè)24.(本小題10.0分)4060.個(gè)，現(xiàn)????個(gè)．??()與??()之間的函數(shù)關(guān)系式；2400元？25.(10.0)????????，????2??的標(biāo)桿．(1)∠??????=30°，????=4??????≈1.41，√3≈1.73)(2)如果????的長(zhǎng)為??，????的長(zhǎng)為??，請(qǐng)用含??，??的代數(shù)式表示旗桿????的高度．26.(本小題8.0分)??????????????????????????????，????，????．第7頁(yè)，共23頁(yè)(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)??在線段????上時(shí)，求證：????=????；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)??在線段????上時(shí)，求證：?????????=√2????；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)??在線段????的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段????，????與????間滿足的關(guān)系式．第8頁(yè)，共23頁(yè)答案和解析??【解析】解：??????30°=1．2故選：??．由30°的正弦值為1，即可求得答案．2此題考查了特殊角的三角函數(shù)值．注意熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．??包模型的主視圖是三角形與長(zhǎng)方形，再根據(jù)擺放位置可知選D．故選：??．分別判斷出圓盤(pán)、茶葉桶、皮球和蒙古包模型的主視圖形狀，再根據(jù)擺放位置可以選出答案．形狀，注意擺放位置．??【解析】解：∵關(guān)于??的方程??2+????+1=0有實(shí)數(shù)根，∴??=??2?4≥0，∴??2≥4，∴??≤?2或??≥故選：??．根據(jù)方程根的判別式??≥0，即可得出關(guān)于??的不等式，解之即可得出??的取值范圍，根據(jù)??的取值范圍和選項(xiàng)即可得到答案．本題主要考查了根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：(1)熟記“當(dāng)??>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；(2)熟練掌握一元二次的解法—因式分解法．??第9頁(yè)，共23頁(yè)【解析】解：∵△??????與△??????位似，點(diǎn)??為位似中心．∴△??????∽△??????，????：????=????：????=1：3，∴△??????的周長(zhǎng)：△??????的周長(zhǎng)=1：3，∴△??????的周長(zhǎng)為3×2=6．故選：??．利用位似的性質(zhì)得△??????∽△??????，????：????=????：????=1：3，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；對(duì)應(yīng)邊平行或共線．??②的三邊∴2√2=2√2= 4，3 3 3√2∴②與⑤相似，故選：??．先求出所有三角形的邊長(zhǎng)，由相似三角形的判定可求解．本題考查了相似三角形的判定，求出所有三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．??【解析】解：設(shè)手臂豎直舉起時(shí)總高度??????，則160=

??，解得??=200，200?160=40(????)，故小蘭的手臂超出頭頂40????，故選：??．

80 100根據(jù)在同一時(shí)物體的高度和影長(zhǎng)成正比，設(shè)出手臂豎直舉起時(shí)總高度??，即可列方程解出??再減去身高即可得出小剛舉起的手臂超出頭頂?shù)母叨龋?023頁(yè)本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時(shí)物體的高度和影長(zhǎng)成正比是解答此題的關(guān)鍵．??【解析】解：∵四邊形????????是矩形，∴????=????，????=????，????=????，∴????=????=????=4，∴????=8，∴????=√????2?????2=√64?36=2√7，∴矩形的面積=????×????=12√7，故選：??．由矩形的性質(zhì)可求????=8，由勾股定理可求????，即可求解．本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，掌握矩形的對(duì)角線相等是解題的關(guān)鍵．??【解析】解：∴正方形的邊長(zhǎng)為??????，∴矩形紙片的長(zhǎng)為(??+2)????，寬為(??+1)????．依題意得：(??+2)(??+1)=30．故選：??．由正方形的長(zhǎng)可得出矩形紙片的長(zhǎng)為(??+2)????，寬為(??+1)????，根據(jù)矩形紙片的面積為30????2，即可得出關(guān)于??的一元二次方程，此題得解．本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．??【解析】解：∵????=????，??E E??∴??E=????=5，E?? ???? 3∴??E=5，???? 8∵??E//????，∴△????E∽△??????，第11頁(yè)，共23頁(yè)∴△??????與△??????的面積比=(????)2????

=64．25故選：??．根據(jù)????//????，即可證得△??????∽△??????，然后根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，即可求解．本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：熟練掌握相似三角形的面積比是相似比的平方是解題的關(guān)鍵．??【解析】解：由二次函數(shù)??=(???1)(?????)(??為常數(shù))知，該拋物線與??軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)和(??,0)．∵對(duì)稱軸為直線??=2，∴1+??=2．2解得??=3；∴該拋物線解析式是：??=(???1)(???3)=??2?4??+3．∴拋物線向下平移3個(gè)單位后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．∴平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式是??=??2?4??．故選：??．根據(jù)拋物線解析式得到拋物線與??軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的軸對(duì)稱性質(zhì)求得??的值，即可得到拋物線解析式，結(jié)合拋物線解析式求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．??函數(shù)的解析式的特點(diǎn)，是解決本題的關(guān)鍵．??【解析】解：在????△??????中，∠??????=45°，????=6??，∴????=????=√2????=3√2(??)，2在????△??????中，∠??????=30°，????=6??，∴????=1????=3(??)，2∴????+????=3√2+3≈7.23(??)，第12頁(yè)，共23頁(yè)723÷20=36.15，則這一階梯的臺(tái)階數(shù)最少為37，故選：??．—坡度坡角問(wèn)題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．??【解析】解：由題意可知??+??=3，????=2，∴??=3???.??=2，????=3?由{??2??

整理得??2?3??+2=0，∴??=(?3)?4×1×2=1>0，∴存在這樣的減半矩形，故A不合題意；∵??2?3??+2=0，∴(???1)(???2)=0，∴??=或2，∴??=或1，∴減半矩形的邊長(zhǎng)為1和2故B、??不合題意，??符合題意．故選：??．由題意可知??+??=3，????=2，即??=3???.??=2，兩個(gè)函數(shù)圖象有是否有交點(diǎn)，有幾個(gè)交點(diǎn)是??判斷存在不存在減半矩形、以及幾個(gè)減半矩形的關(guān)鍵，解析式聯(lián)立整理得到??2?3??+2=0，關(guān)鍵根的判別式的意義即可得到結(jié)論．本題為反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，涉及到一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．13.【答案】??1=?2，??2=3【解析】解：方程(??+2)(???3)=0，可得??+2=0或???3=0，第13頁(yè)，共23頁(yè)解得：??1=?2，??2=3．故答案為：??1=?2，??2=3．方程利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．此題考查了解一元二次方程?因式分解法，熟練掌握因式分解法是解本題的關(guān)鍵．????，??，??三處對(duì)應(yīng)的在地上的影子，其中影子最短??點(diǎn)處．故答案為：??．由題意易得，小亮散步過(guò)程是距離路燈由遠(yuǎn)到近再到遠(yuǎn)的過(guò)程，根據(jù)中心投影的特點(diǎn)，即可得到身影的變化特點(diǎn)．本題考查了中心投影：由同一點(diǎn)(點(diǎn)光源)發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影．如物體在燈光的照射下形成的影子就是中心投影．45【解析】解：∵sin2??+cos2??=1，????????=3，5∴sin2??+925

=1，∴sin2??=16，25∴????????=4，5故答案為：4．5根據(jù)sin2??+cos2??=1進(jìn)行計(jì)算即可．本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握sin2??+cos2??=1進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．34??=

=3，?? ?? 4可得：??=3??，??=3??，4 4第14頁(yè)，共23頁(yè)把??=3??，??=3??代入??+??，4 4 ??+??可得：??+??

3??+3?? 3，=4 4 =??+?? ??+?? 4故答案為：3．4根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．本題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例的性質(zhì)解答．17.【答案】2.5??【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)??作????⊥????，交????，????于??，??，∵∠??=90°，????=3??，????=4??，∴????=5??，∴tan∠??=????=4，???? 5∴????=tan∠???????=4×3=2.4，5設(shè)????=????????=????=????，則????=????，????=(2.4???)??，∵????//????∴????

=????????即：2.4???=??2.4 5整理得：??=?25??+512∴??=????=??(?25??+5)=?25(???6)2+3(0<??<2.4)，12∵?1<0，

12 5∴當(dāng)??=6時(shí)，??最大，5此時(shí)??=?25×6+5=2.5，12 5第15頁(yè)，共23頁(yè)∴E??=2.5??．故答案為：2.5??．根據(jù)相似三角形求矩形的長(zhǎng)與寬的函數(shù)關(guān)系式，然后表示出有關(guān)面積的函數(shù)關(guān)系式并求出其最大值，找到最大的方案即可．此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答．18.【答案】40【解析】解：∵反比例函數(shù)??=??(??≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)??(3,4)，?? 2∴??=3×4=6，2∴反比例函數(shù)的解析式為??=6，??∵小正方形的中心與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)??重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，∴設(shè)??點(diǎn)的坐標(biāo)為(??,??)，∵反比例函數(shù)??=6的圖象經(jīng)過(guò)??點(diǎn)，??∴??=6，??∴??2=6，∴小正方形的面積為4??2=24，∵大正方形的中心與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)??重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，且??(3,4)，2∴大正方形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4)，∴大正方形的面積為4×42=64，∴圖中陰影部分的面積=大正方形的面積?小正方形的面積=64?24=40．故答案為：40．根據(jù)待定系數(shù)法求出??即可得到反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)??的幾何意義求出小正??2=4×4264小正方形的面積即可求出結(jié)果．本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式????的幾何意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．第16頁(yè)，共23頁(yè)19.【答案】解：(1)∵??=1，??=?1，??=?1，∴??=(?1)2?4×1×(?1)=5>0，則??=???±√??2?4????=1±√5，2?? 2∴??

=1+√5，??

=1?√5；1 2 2 2(2)∵??2?2??=3，∴??2?2???3=0，∴(???3)(??+1)=0，則???3=0??+1==3，??2=?【解析】(1)利用公式法求解即可；(2)先移項(xiàng)，再利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于??的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可．本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．??1；3(2)畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，小李到達(dá)第二個(gè)十字道口后向西方向參觀的結(jié)果有3種，∴小李到達(dá)第二個(gè)十字道口后向西方向參觀的概率為3=1．9 3【解析】(1)直接由概率公式求解即可；(2)由概率公式求解即可．此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步第17頁(yè)，共23頁(yè)或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．(1)解：圖形如圖所示：(2)證明：設(shè)????交????于點(diǎn)??．∵????垂直平分????，∴????=????，????=????，在△??????和△??????中，∠??????=∠??????{????=???? ，∠??????=∠??????∴△??????≌△??????(??????)，∴????=????，∴????=????=????=????，∴四邊形????????是菱形．【解析】(1)根據(jù)要求作出圖形即可；(2)根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形證明即可．此題主要考查了復(fù)雜作圖以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識(shí)，得出四邊形各邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．22.【答案】解：(1)由題意可得：兩地路程有：60×4=240(????)，故汽車的速度??與時(shí)間??的函數(shù)關(guān)系為：??=240；??(2)由題意可得：3??=240，解得：??=80．第18頁(yè)，共23頁(yè)答：返程時(shí)的平均速度為80????/?．(3)休息后所用時(shí)間為：(240?70)÷85=2(?)，∴所用時(shí)間為1+30+2=3.5(?)，60∴司機(jī)返程所用的總時(shí)間為3.5?．【解析】(1)利用路程=平均速度×?xí)r間，進(jìn)而得出汽車的速度??與時(shí)間??的函數(shù)關(guān)系；(2)結(jié)合該司機(jī)要在3個(gè)小時(shí)回到甲地，進(jìn)而得出平均速度．(3)算出每個(gè)階段司機(jī)所用時(shí)間，再相加即可．×解題關(guān)鍵．1=16??+4??+123.【答案解將(?1,6)，(4,1)代??=????2+????+得{6=?????+1 ，1=16??+4??+1??=1解得{??=?4，∴??=??2?4??+1．(2)如圖，(3)∵??=??2?4??+1=(??+2)2?3，∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線??=?2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,?3)．【解析】(1)通過(guò)待定系數(shù)法求解．(?2,?3)??(0,1)．(3)將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解．本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練將二次函數(shù)解析式化第19頁(yè)，共23頁(yè)為頂點(diǎn)式．24.【答案】解：(1)由題意，得：??=100?2(???60)=?2??+220(60≤??≤110)；(2)由題意可得：(?2??+220)(???40)=2400，解得：??=70或??=80，答：當(dāng)銷售價(jià)為70元或80元時(shí)，每星期的銷售利潤(rùn)恰為2400元；??元，由題意可得??=(?2??+220)(???40)=?2??2+300???8800=?2(???75)2+2450，∵?2<0，∴當(dāng)??=75時(shí)，??有最大值，最大值為2450元，答：每件定價(jià)為75元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2450元．【解析】(1)依據(jù)每個(gè)星期的銷售利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×銷售的件數(shù)列方程求解即可；(2)根據(jù)銷售利潤(rùn)為2400元列出關(guān)于??的一元二次方程，從而可求得售價(jià)；(3)利用配方法可求得拋物線的最大值以及此時(shí)自變量的取值．本題主要考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出??與??的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．25.【答案】解：(1)由題意得：∠??????=∠????E=∠??E??=90°，在????????E中，??E∵∠??E??=∠??E??，∴△??E??∽△??E??，∴????=E??，

????=??????30°=

2=2√3??，√3，3????∴2????

E??=E??∵∠????E=∠??????，∴△????E∽△??????，∴??E=E??，???? ????∴2= 4 ，???? 4+E??∴2√3= 4 ，E?? 4+E??第20頁(yè)，共23頁(yè)∴E??=(8√3+12)??，∴2????

= 2√3 ，8√3+12∴????=8+4√3≈14.92??，????14.92(2)由(1)得：△??E??∽△??E??，∴????=E??，????∴2=????

E????，E??由(1)得：△????E∽△??????，∴??E=E??，????∴2=????∴??=

?????? ，??+E???? ，E??∴E??==∴2=????

??+E??????，???????????，?????∴????

2??，?????????2???????

??.【解析】(1)利用兩次??字模型相似，從而建立等量關(guān)系，先求出E??，進(jìn)