2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2講復(fù)數(shù)考點(diǎn)講義【含答案】

復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的概念1、虛數(shù)單位：(1)它的平方等于，即；(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立；(3)與的關(guān)系：就是的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是；(4)的周期性：、、、。2、數(shù)系的擴(kuò)充：復(fù)數(shù)。3、復(fù)數(shù)的定義：形如()的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示。4、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：通常用字母表示，即()，把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。5、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)()，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)()是實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)，當(dāng)且時(shí)，叫做純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)。6、復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：。7、兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。這就是說(shuō)，如果、、、，那么、。例1-1．設(shè)為虛數(shù)單位，則下列命題成立的是()。A、，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)B、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C、若復(fù)數(shù)，則存在復(fù)數(shù)，使得D、，方程無(wú)解CA選項(xiàng)，只有當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，錯(cuò)，B選項(xiàng)，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，錯(cuò)，C選項(xiàng)，若復(fù)數(shù)，則存在復(fù)數(shù)，使得，對(duì)，D選項(xiàng)，，方程成立，錯(cuò)，∴C正確。例1-2．若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則()。A、B、C、D、A，∴，故選A。例1-3．已知，為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則的值為。由題意得，∵為純虛數(shù)，∴，解得。二、復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù)()與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，復(fù)數(shù)()可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)。對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為，它所確定的復(fù)數(shù)是表示是實(shí)數(shù)。除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。2、復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)。這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義。也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法。3、復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)()的模就是其在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。。4、共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)()的共軛復(fù)數(shù)為()。虛部不等于的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。例2-1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限B，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限，故選B。例2-2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限A由得，∴，∴在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限，故選A。例2-3．設(shè)復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()。A、B、C、D、B∵，∴，∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選B。三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)、(、、、)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)：1、復(fù)數(shù)與的和的定義：。(1)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律：。(2)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律：。2、復(fù)數(shù)與的差的定義：。3、乘法運(yùn)算規(guī)則：，其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把換成，并且把實(shí)部與虛部分別合并。兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)。乘法運(yùn)算律：(1)；(2)。4、復(fù)數(shù)除法的定義：滿足的復(fù)數(shù)()叫復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記為：或者。(1)除法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù)()，除以(、)，其商為()，即，∵，∴，由復(fù)數(shù)相等定義可知，解這個(gè)方程組，得，于是有：；(2)利用于是將的分母有理化得：原式，∴；點(diǎn)評(píng)：①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的的對(duì)偶式，它們之積為是有理數(shù)，而是正實(shí)數(shù)。所以可以分母實(shí)數(shù)化。把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法。例3-1．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)()。A、B、C、D、D，故選D。例3-2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是和，則()。A、