【高三數(shù)學(xué)】易錯題解析

高三數(shù)學(xué)-易錯題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）若集合，，，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求出集合，，進而可以判斷集合，的關(guān)系．【解答】解：由已知可得當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，所以，則，故選：．【點評】本題考查了集合間的包含關(guān)系，涉及到指數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）已知，則“”是“，”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】“，”，或，，解得范圍即可判斷出結(jié)論．【解答】解：“，”，或，，解得．“”是“，”的充分不必要條件．故選：．【點評】本題考查了簡易邏輯的判定方法、不等式的解法、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“二百五十四里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，七朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走254里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了7天后到達目的地，請問第四天走了A．64里 B．32里 C．16里 D．8里【分析】設(shè)此人每天走的路程構(gòu)成數(shù)列，數(shù)列的前項和為，由題設(shè)條件求得首項，即可求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)此人每天走的路程構(gòu)成數(shù)列，數(shù)列的前項和為，由題設(shè)知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，，解得：，，故選：．【點評】本題主要考查等比數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）設(shè)，則A． B． C． D．【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：，，，，，，故選：．【點評】本題考查三個數(shù)的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．5．（5分）國防部新聞發(fā)言人在2020年9月24日舉行的例行記者會上指出：“臺灣是中國不可分割的一部分，解放軍在臺海地區(qū)組織實兵演練，展現(xiàn)的是捍衛(wèi)國家主權(quán)和領(lǐng)土完整的決心和能力”，如圖為我空軍戰(zhàn)機在海面上空繞臺巡航．已知海面上的大氣壓強是，大氣壓強（單位：和高度（單位：之間的關(guān)系為是自然對數(shù)的底數(shù)，是常數(shù)），根據(jù)實驗知高空處的大氣壓強是，則我軍戰(zhàn)機在高空處的大氣壓強約是（結(jié)果保留整數(shù)）A． B． C． D．【分析】由題意知，，求出的值，再代入中，求得的值，即可．【解答】解：高空處的大氣壓強是，，即，當(dāng)時，有．故選：．【點評】本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握指數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）如圖，在平行四邊形中，，分別是，的中點，已知，，則A． B． C． D．【分析】可設(shè)，然后可得出，然后即可得出，，從而根據(jù)即可求出的值．【解答】解：設(shè)，則，兩式相加、相減得：，，．故選：．【點評】本題考查了向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘和數(shù)量積的運算，考查了計算能力，屬于中檔題．7．（5分）朱載堉是明太祖朱元璋的九世孫，雖然貴為藩王世子，卻自幼儉樸敦本，聰穎好學(xué)，遂成為明代著名的律學(xué)家，歷學(xué)家、音樂家．朱載堉對文藝的最大貢獻是他創(chuàng)建下十二平均律，亦稱“十二等程律”．十二平均律是將八度的音程按頻率比例分成十二等份，也就是說，半單比例應(yīng)該是，如果12音階中第一個音的頻率是，那么第二個音的頻率就是，第三個單的頻率就是，第四個音的頻率是，，第十二個音的頻率是，第十三個音的頻率是，就是．在該問題中，從第二個音到第十三個音，這十二個音的頻率之和為A． B． C． D．【分析】分析題意，利用等比數(shù)列的求和公式即可計算得解．【解答】解：由題意知，第二個音到第十三個音的頻率分別為，顯然以上12個數(shù)構(gòu)成了以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故其和為．故選：．【點評】本題考查學(xué)生合情推理的能力，考查了等比數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）如圖，在四面體中，，，，的重心為，則A．2 B． C． D．3【分析】畫出圖形，連接交于，連接，則為邊的中線，的重心為靠近的三等分點．把長方體的對角面單獨畫出，如圖，記為和的交點．通過三角形的相似，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：如圖，將四面體還原到長方體中，易知四面體的棱是長方體的面對角線，則，連接交于，連接，則為邊的中線，的重心為靠近的三等分點．把長方體的對角面單獨畫出，如圖，記為和的交點．因為，且，所以為靠近的三等分點，即重心與點重合，故．故選：．【點評】本題考查空間幾何體的相關(guān)知識的應(yīng)用，點線面距離的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．二、選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多選符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．（5分）已知為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A．復(fù)數(shù)的虛部為 B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù) C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點位于第二象限 D．復(fù)數(shù)滿足，則【分析】．利用復(fù)數(shù)的運算法則及其虛部的定義即可得出；．利用復(fù)數(shù)的運算法則及其共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出；．利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出；．設(shè)，，，不全為，根據(jù)滿足，化簡即可得出結(jié)論．【解答】解：．復(fù)數(shù)的虛部為，因此正確；．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，正確；．復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點，位于第四象限，因此不正確；．設(shè)，，，不全為，滿足，則，，即，，因此正確．故選：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義、共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)、幾何性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）已知是等差數(shù)列的前項和，且，則下列說法正確的是A．中的最大項為 B．?dāng)?shù)列的公差 C． D．當(dāng)且僅當(dāng)時，【分析】由，可得，，，可得，，再利用求和公式及其性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．【解答】解：，，，，，，，，因此中的最大項為，，，，故選：．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．11．（5分）已知雙曲線，若圓與雙曲線的漸近線相切，則A．雙曲線的實軸長為6 B．雙曲線的離心率 C．點為雙曲線上任意一點，若點到的兩條漸近線的距離分別為，，則 D．直線與交于，兩點，點為弦的中點，若為坐標(biāo)原點）的斜率為，則【分析】由題意知的漸近線方程為，由點到直線的距離可得圓心到漸近線的距離為半徑，，解得，進而可得雙曲線實軸長為，即可判斷是否正確；由，解得，計算離心率，即可判斷是否正確；設(shè)，，由點到直線的距離可得點到漸近線的距離，，再計算，即可判斷是否正確；設(shè)，，，，可得，，兩式相減，得，即，進而可判斷是否正確．【解答】解：由題意知的漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線實軸長為，故錯誤，所以半焦距，所以，故正確，設(shè)，，所以，，所以，故正確，對于選項：設(shè)，，，，所以，，兩式相減，得，所以，，所以，所以，所以，所以，所以．故正確，故選：．【點評】本題考查直線與雙曲線的相交問題，解題中需要一定的運算能力，屬于中檔題．12．（5分）已知雙曲線滿足條件：（1）焦點為，；（2）離心率為，求得雙曲線的方程為，若去掉條件（2），另加一個條件求得雙曲線的方程仍為，則下列四個條件中，符合添加的條件可以為A．雙曲線上的任意點都滿足 B．雙曲線的虛軸長為4 C．雙曲線的一個頂點與拋物線的焦點重合 D．雙曲線的漸近線方程為【分析】分別運用雙曲線的定義、虛軸的定義和拋物線的焦點坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程，結(jié)合離心率公式，計算可判斷符合題意的條件．【解答】解：對于，因為，所以，又焦點為，，可得，所以離心率，故符合條件；對于，雙曲線的虛軸長為4，所以，，則離心率，故不符合條件；對于，雙曲線的一個頂點與拋物線的焦點重合，可得，，故不符合條件；對于，因為漸近線的方程為，可得，又，，解得，則離心率，故符合條件．故選：．【點評】本題考查命題的真假判斷，主要是雙曲線的方程和性質(zhì)的合理運用，考查運算能力和推理能力，是中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）談祥柏先生是我國著名的數(shù)學(xué)科普作家，他寫的《數(shù)學(xué)百草園》《好玩的數(shù)學(xué)》《故事中的數(shù)學(xué)》等書，題材廣泛、妙趣橫生，深受廣大讀者喜愛．下面我們一起來看《好玩的數(shù)學(xué)》中談老的一篇文章《五分鐘內(nèi)挑出埃及分數(shù)》：文章首先告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分數(shù)（稱為埃及分數(shù)）．如用兩個埃及分數(shù)與的和表示等．從這100個埃及分數(shù)中挑出不同的3個，使得它們的和為1，這三個分數(shù)是．（按照從大到小的順序排列）【分析】由即可求出答案．【解答】解：，這三個分數(shù)是：，故答案為：．【點評】本題主要考查了簡單的合情推理，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知在，上單調(diào)遞增，．若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍為．【分析】由：先求出的導(dǎo)數(shù)，由題意可得恒成立，求出的范圍，再根據(jù)是的充分不必要條件即可求出的取值范圍．【解答】解：在，上單調(diào)遞增，在，恒成立，即在，恒成立，，，若是的充分不必要條件，，故的取值范圍為，故答案為：．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題．15．（5分）經(jīng)緯度是經(jīng)度與緯度的合稱，它們組成一個坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為地理坐標(biāo)系統(tǒng)，它是一種利用三度空間的球面來定義地球上的空間的球面坐標(biāo)系統(tǒng)，能夠標(biāo)示地球上的任何一個位置，經(jīng)度是個二面角，是兩個經(jīng)線平面（經(jīng)線與地軸所成的半平面）的夾角，某一點的經(jīng)度，就是該點所在的經(jīng)線平面與本初子午線平面間的夾角．緯度是個線面角，某一點的緯度是指該點與地球球心的連線和地球赤道面所成的線面角．城市位置東經(jīng)，北緯，城市位置為東經(jīng)，北緯，若地球的半徑為，則過，兩點和地心的平面截球所得的截面圓的劣弧的長是．【分析】由題意可求劣弧所對的圓心角的值，進而根據(jù)弧長公式即可求解．【解答】解：設(shè)球心為，由題意和劣弧所對的圓心角，即，所以過，兩點和地心的平面截球所得的截面圓的劣弧的長．故答案為：．【點評】本題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知直線與橢圓相交于，兩點，橢圓的兩個焦點分別是，，線段的中點為，則△的面積為．【分析】先設(shè)出點，的坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用點差法和的中點以及直線的斜率即可求出的值，進而可以求出的值，從而可以求解．【解答】解：設(shè)，，，，則，兩式相減得：，因為直線的斜率為，線段的中點為，所以，得，因為，所以，故△的面積為，故答案為：．【點評】本題考查了橢圓的方程以及點差法的應(yīng)用，涉及到中點坐標(biāo)公式，考查了學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足：，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)的前項和為，證明：．【分析】（1）先根據(jù)已知條件計算出的值，當(dāng)時，由，可得，兩式相減進一步計算即可得到數(shù)列的通項公式；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果判斷出數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，即可計算出的表達式，進一步計算出數(shù)列的通項公式，然后運用裂項相消法計算出前項和的表達式，再根據(jù)不等式的運算即可證明結(jié)論成立．【解答】（1）解：依題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，由①，可得②，①②，可得，即，當(dāng)時，也滿足上式，，．（2）證明：由（1）知，，故數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，，則，，不等式成立．【點評】本題主要考查數(shù)列求通項公式，以及數(shù)列求和與不等式的綜合．考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式的運算，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔題．18．（12分）如圖，在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．已知，，是邊上的一點，，若____，求的面積．【分析】若選擇①，由題意利用三角形內(nèi)角和定理可得，，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得的值，利用兩角差的正弦公式可求，進而根據(jù)三角形的面積公式可求的面積；若選擇②，由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式，結(jié)合，可得的值，結(jié)合，可求，利用三角形內(nèi)角和定理可求，由正弦定理可得，由正弦定理解得，利用兩角差的正弦公式可求，進而根據(jù)三角形的面積公式可求的面積；若選擇③，利用正弦定理，余弦定理化簡已知等式，結(jié)合，可得，由正弦定理可得，的值，利用兩角差的正弦公式可求，進而根據(jù)三角形的面積公式可求的面積．【解答】解：若選擇①，由于，則在中，，，由正弦定理：，得．在中，由正弦定理：，即，解得，可得，所以．若選擇②，由于，則，化簡得：，因為，所以，故，又，故，所以．由正弦定理：，得．在中，由正弦定理：，即，解得，可得，所以．若選擇③，由于，則有，即，可得，由于，故．由正弦定理：，得．在中，由正弦定理：，即，解得，可得，所以．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19．（12分）“十三五”規(guī)劃確定了到2020年消除貧困的宏偉目標(biāo)，打響了精準(zhǔn)扶貧的攻堅戰(zhàn)，為完成脫貧任務(wù)，某單位在甲地成立了一家醫(yī)療器械公司吸納附近貧困村民就工．已知該公司每生產(chǎn)某種型號醫(yī)療器械千件，需投入成本萬元，且，另外每年需投入固定成本200萬元，由市場調(diào)研知，每件售價0.5萬元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完．（1）請寫出年利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一型號醫(yī)療器械的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？并求出最大利潤．【分析】（1）由題意可知：，然后分段求出，再以分段函數(shù)的形式寫出即可；（2）利用二次函數(shù)以及基本不等式分段求出的最大值，比較即可求解．【解答】解：（1）由題意可知：，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以；（2）當(dāng)時，，則當(dāng)時，萬元；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，所以產(chǎn)量為100千件時，該公司在這一型號醫(yī)療器械的生產(chǎn)中所獲年利潤最大，且最大利潤為9000萬元．【點評】本題考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，涉及到二次函數(shù)以及基本不等式求最值的問題，考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．20．（12分）已知向量，，向量，．函數(shù)，且函數(shù)的周期為．（1）求函數(shù)在上的值域；（2）若，，，求的值．【分析】（1）由題意可得，而，則，由此求得值域；（2）化簡可得，結(jié)合，，可得，再展開化簡代值運算得出答案．【解答】解：（1），函數(shù)的周期為，，，（1），，，函數(shù)在上的值域為；（2）由，且，可得，整理得，，，，故，．【點評】本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運算以及三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查和差角公式的運用，考查化簡變形能力以及運算求解能力，屬于中檔題．21．（12分）已知橢圓的左．右焦點分別為，，過且斜率為的直線與橢圓的一個交點在軸上的射影恰好為．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，下頂點為，過點作一條與軸不重合的直線．該直線交橢圓于，兩點．直線，分別交軸于點，．求證：與的面積之積為定值，并求出該定值．【分析】（1）寫出直線方程，取求得值，得到直線與橢圓的交點，再由已知列關(guān)于，的方程組，求解，的值，則橢圓方程可求；（2）由題意知，直線的斜率存