北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第一章 直角三角形的邊角關(guān)系 測(cè)試題 （含答案）

直角三角形的邊角關(guān)系測(cè)試題一、選擇題1.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝eq\f(12,13)，則tanA的值為()A.eq\f(12,5)B.eq\f(13,12)C.eq\f(12,13)D.eq\f(5,12)第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D.若AC＝eq\r(,5)，BC＝2，則sin∠ACD的值為()A.eq\f(\r(,5),3)B.eq\f(2\r(,5),5)C.eq\f(\r(,5),2)D.eq\f(2,3)3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)G在BC上，連接EG，AE＝EG＝5，過點(diǎn)E作ED⊥AB，垂足為D，過點(diǎn)G作GF⊥AC，垂足為F，此時(shí)恰有DE＝GF＝4.若BG＝2eq\r(,5)，則sinB的值為()A.eq\f(2\r(,5),10)B.eq\f(\r(,5),10)C.eq\f(2\r(,5),5)D.eq\f(\r(,5),5)4.如圖，直線y＝－eq\f(\r(,3),3)x＋2與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，把△AOB沿直線AB翻折后得到△AO′B，則點(diǎn)O′的坐標(biāo)是()A．(eq\r(,3)，3)B．(eq\r(,3)，eq\r(,3))C．(2，2eq\r(,3))D．(2eq\r(,3)，4)5．tan45°的值為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(\r(,2),2)D.eq\r(,2)6．如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinB的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(,2),2)C.eq\f(\r(,3),2)D．1第6題圖第7題圖7．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為m，∠A＝35°，則直角邊BC的長(zhǎng)是()A．msin35°B．mcos35°C.eq\f(m,sin35°)D.eq\f(m,cos35°)8．在△ABC中，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(,3),3)－tanB))eq\s\up12(2)＝0，則∠C的度數(shù)為()A．30°B．60°C．90°D．120°二、填空題9.運(yùn)用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算：3eq\r(,17)sin73°52′≈________(結(jié)果精確到0.1)．10.計(jì)算：cos30°－sin60°＝________.11.如圖，鐵路的路基的橫斷面為等腰梯形，其腰的坡度為1∶1.5，上底寬為6m，路基高為4m，則路基的下底寬為________m.12.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝eq\f(4,3)，AB＝15，AC＝________．第11題圖第12題圖第13題圖第14題圖13.如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM為AB邊上的中線，AN⊥CM，交BC于點(diǎn)N.若CM＝3，AN＝4，則tan∠CAN的值為________．14.如圖，一艘漁船位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔18海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東55°方向上的B處，此時(shí)漁船與燈塔P的距離約為________海里(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答題15.如圖，CD是一高為4米的平臺(tái)，AB是與CD底部相平的一棵樹，在平臺(tái)頂C點(diǎn)測(cè)得樹頂A點(diǎn)的仰角α＝30°，從平臺(tái)底部向樹的方向水平前進(jìn)3米到達(dá)點(diǎn)E，在點(diǎn)E處測(cè)得樹頂A點(diǎn)的仰角β＝60°，求樹高AB(結(jié)果保留根號(hào))．16.某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1∶1，為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面AC的坡度為1∶eq\r(,3).(1)求新坡面的坡角α；(2)原天橋底部正前方8米處(PB的長(zhǎng))的文化墻PM是否需要拆除？請(qǐng)說明理由．17.在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，利用上述結(jié)論可以求解如下題目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(6sin30°,sin45°)＝eq\f(6×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝3eq\r(2).解決問題：如圖，甲船以每小時(shí)30eq\r(,2)海里的速度向正北方航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，乙船從B1處按北偏東15°方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘后到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10eq\r(,2)海里．(1)判斷△A1A2B2的形狀，并給出證明；(2)乙船每小時(shí)航行多少海里？參考答案與解析1.D2.A3．C解析：在Rt△ADE與Rt△EFG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝EG，,DE＝GF，)) ∴Rt△ADE≌Rt△EFG(HL)，∴∠A＝∠GEF.∵∠A＋∠AED＝90°，∴∠GEF＋∠AED＝90°，∴∠DEG＝90°.過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，則四邊形DEGH為矩形，∴GH＝DE＝4.在Rt△BGH中，sinB＝eq\f(GH,BG)＝eq\f(4,2\r(,5))＝eq\f(2\r(,5),5).故選C.4．A解析：過點(diǎn)O′作O′C⊥x軸于點(diǎn)C.∵直線y＝－eq\f(\r(,3),3)x＋2與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2eq\r(,3)，0)，(0，2)，∴tan∠BAO＝eq\f(OB,OA)＝eq\f(2,2\r(,3))＝eq\f(\r(,3),3)，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB沿直線AB翻折后得到△AO′B，∴O′A＝OA＝2eq\r(,3)，∠O′AO＝60°，∴CA＝eq\f(1,2)O′A＝eq\r(,3)，O′C＝O′A·sin∠O′AC＝2eq\r(,3)×eq\f(\r(,3),2)＝3，∴OC＝OA－CA＝2eq\r(,3)－eq\r(,3)＝eq\r(,3)，∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(eq\r(,3)，3)．故選A.5．B6.B7.A8.D9.11.910．011.1812.913.eq\f(2,3)解析：∵∠ACB＝90°，CM為AB邊上的中線，∴AB＝2CM＝6，CM＝BM，∴∠B＝∠MCB.∵AN⊥CM，∴∠CAN＋∠ACM＝90°.又∵∠ACM＋∠MCB＝90°，∴∠CAN＝∠MCB，∴∠B＝∠CAN.又∵∠ACN＝∠BCA，∴△CAN∽△CBA，∴eq\f(CN,CA)＝eq\f(AN,BA)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴tan∠CAN＝eq\f(CN,AC)＝eq\f(2,3).14．11解析：過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C.依題意可得∠A＝30°，∠B＝55°.在Rt△PAC中，∵PA＝18海里，∠A＝30°，∴PC＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(1,2)×18＝9(海里)．在Rt△PBC中，∵PC＝9海里，∠B＝55°，∴PB＝eq\f(PC,sinB)≈eq\f(9,0.8)≈11(海里)．15．解：過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，則BF＝CD＝4米，CF＝BD.設(shè)AF＝x米．在Rt△ACF中，tan∠ACF＝eq\f(AF,CF)，∠ACF＝α＝30°，則CF＝eq\f(AF,tan30°)＝eq\r(,3)x米．在Rt△ABE中，AB＝AF＋BF＝(x＋4)米，tan∠AEB＝eq\f(AB,BE)，∠AEB＝β＝60°，則BE＝eq\f(AB,tan60°)＝eq\f(\r(,3),3)(x＋4)米．∵CF＝BD＝DE＋BE，∴eq\r(,3)x＝3＋eq\f(\r(,3),3)(x＋4)，解得x＝eq\f(3\r(,3)＋4,2).則AB＝eq\f(3\r(,3)＋4,2)＋4＝eq\f(3\r(,3)＋12,2)(米)．答：樹高AB是eq\f(3\r(,3)＋12,2)米．16．解：(1)∵新坡面的坡度為1∶eq\r(,3)，∴tanα＝eq\f(1,\r(,3))＝eq\f(\r(,3),3)，∴α＝30°；(2)文化墻PM不需要拆除．理由如下：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD＝6米．∵坡面BC的坡度為1∶1，新坡面AC的坡度為1∶eq\r(,3)，∴BD＝CD＝6米，AD＝eq\r(,3)CD＝6eq\r(,3)米，∴AB＝AD－BD＝(6eq\r(,3)－6)米＜8米，∴文化墻PM不需要拆除．17．解：(1)△A1A2B2是等邊三角形．證明如下：由題意可得A2B2＝10eq\r(,2)海里，A1A2＝30eq\r(,2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(,2)(海里)，∴A1A2＝A2B2.又∵∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等邊三角形；(2)由(1)可知△A1A2B2是等邊三角形，∴A1B2＝A1A2＝10eq\r(,2)海里，∠A2A1B2＝60°，∴∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.由題意可知∠CB1A1＝180°－105°＝75°，∴∠B2B1A1＝75°－15°＝60°.在△A1B2B1中，由正