遼寧省各市年中考數(shù)學分類解析專題數(shù)量和位置變化

遼寧各市2021年中考數(shù)學試題分類解析匯編專題5：數(shù)量和位置變化選擇題1.〔2021遼寧鞍山3分〕如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于點E，且E是BC中點；動點P從點E出發(fā)沿路徑ED→DA→AB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；設點P的運動時間為t秒，△PBC的面積為S，那么以下能反映S與t的函數(shù)關系的圖象是【】A．B．C．D．【答案】B?！究键c】動點問題的函數(shù)圖象。【分析】分別求出點P在DE、AD、AB上運動時，S與t的函數(shù)關系式，結合選項即可得出答案：根據(jù)題意得：當點P在ED上運動時，S=BC?PE=2t；當點P在DA上運動時，此時S=8；當點P在線段AB上運動時，S=BC〔AB+AD+DE－t〕=5－t。結合選項所給的函數(shù)圖象，可得B選項符合。應選B。2.〔2021遼寧大連3分〕在平面直角坐標系中，點P〔－3，1〕所在的象限為【】【答案】B?！究键c】平面直角坐標系中各象限點的特征?！痉治觥扛鶕?jù)平面直角坐標系中各象限點的特征，判斷其所在象限，四個象限的符號特征分別是：第一象限〔＋，＋〕；第二象限〔－，＋〕；第三象限〔－，－〕；第四象限〔＋，－〕。故點P〔－3，1〕位于第二象限。應選B。3.〔2021遼寧沈陽3分〕在平面直角坐標系中，點P〔－1，2〕關于x軸的對稱點的坐標為【】A.〔－1，－2〕B.〔1，－2〕C.〔2，－1〕D.〔－2，1〕【答案】A。【考點】關于x軸對稱的點的坐標特征?！痉治觥筷P于x軸對稱的點的坐標特征是橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，從而點P〔－1，2〕關于x軸對稱的點的坐標是〔－1，－2〕。應選A。4.〔2021遼寧鐵嶺3分〕如圖，□ABCD的AD邊長為8，面積為32，四個全等的小平行四邊形對稱中心分別在□ABCD的頂點上，它們的各邊與□ABCD的各邊分別平行，且與□小平行四邊形的一邊長為x，且0＜x≤8，陰影局部的面積的和為y，那么y與x之間的函數(shù)關系的大致圖象是【】A.B.C.D.【答案】D?！究键c】動點問題的函數(shù)圖象，平行四邊形的性質，相似多邊形的性質?！痉治觥俊咚膫€全等的小平行四邊形對稱中心分別在□ABCD的頂點上，∴陰影局部的面積的和等于一個小平行四邊形的面積?！摺魽BCD的AD邊長為8，面積為32，小平行四邊形的一邊長為x，陰影局部的面積的和為y，且小平行四邊形與□ABCD相似，∴，即。又∵0＜x≤8，∴縱觀各選項，只有D選項圖象符合y與x之間的函數(shù)關系的大致圖象。應選D。5.〔2021遼寧營口3分〕如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠B=．動點P從點B出發(fā)，沿B-C-D的路線向點D運動．設△ABP的面積為(B、P兩點重合時，△ABP的面積可以看做0)，點P運動的路程為，那么與之間函數(shù)關系的圖像大致為【】【答案】C?！究键c】動點問題的函數(shù)圖象，菱形的性質，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥慨旤cP在BC上運動時，如圖，△ABP的高PE＝BPsiｎ∠B＝，∴△ABP的面積。當點P在BC上運動時，如圖，△ABP的高PF＝BCsiｎ∠B＝1,∴△ABP的面積。因此，觀察所給選項，只有C符合。應選C。二、填空題1.〔2021遼寧鞍山3分〕在平面直角坐標系中，將點P〔﹣1，4〕向右平移2個單位長度后，再向下平移3個單位長度，得到點P1，那么點P1的坐標為▲．【答案】〔1，1〕?！究键c】坐標平移?！痉治觥扛鶕?jù)坐標的平移變化的規(guī)律，左右平移只改變點的橫坐標，左減右加。上下平移只改變點的縱坐標，下減上加。因此，∵點P〔﹣1，4〕向右平移2個單位長度，向下平移3個單位長度，∴﹣1+2=1，4﹣3=1?！帱cP1的坐標為〔1，1〕。2.〔2021遼寧朝陽3分〕函數(shù)中，自變量x的取值范圍是▲?！敬鸢浮?。【考點】函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式和分式有意義的條件。【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)和分式分母不為0的條件，要使在實數(shù)范圍內有意義，必須。3.〔2021遼寧阜新3分〕函數(shù)中，自變量x的取值范圍是▲．【答案】?！究键c】函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件?！痉治觥壳蠛瘮?shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的條件，要使在實數(shù)范圍內有意義，必須。4.〔2021遼寧錦州3分〕函數(shù)中,自變量x的取值范圍是▲.【答案】?！究键c】函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式和分式有意義的條件?！痉治觥壳蠛瘮?shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)和分式分母不為0的條件，要使在實數(shù)范圍內有意義，必須。5.〔2021遼寧鐵嶺3分〕如圖，在平面直角坐標系中，△ABC經過平移后點A的對應點為點A′,那么平移后點B的對應點B′的坐標為▲.【答案】〔﹣2，1〕?！究键c】坐標與圖形的平移變化?！痉治觥扛鶕?jù)坐標的平移變化的規(guī)律，左右平移只改變點的橫坐標，左減右加。上下平移只改變點的縱坐標，下減上加。因此，由圖可得，點A〔1，﹣1〕，A′〔﹣3，3〕，∴平移的規(guī)律是：向左平移4個單位，再向上平移4個單位。∵點B的坐標為〔2，﹣3〕，∴B′的坐標為〔﹣2，1〕。三、解答題1.〔2021遼寧鞍山12分〕如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標〔3，3〕，將正方形ABCO繞點A順時針旋轉角度α〔0°＜α＜90°〕，得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P，連AP、AG．〔1〕求證：△AOG≌△ADG；〔2〕求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關系，說明理由；〔3〕當∠1=∠2時，求直線PE的解析式．【答案】解：〔1〕證明：∵∠AOG=∠ADG=90°，∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，∴△AOG≌△ADG〔HL〕?！?〕∠PAG=45°,PG=OG+BP。理由如下：由〔1〕同理可證△ADP≌△ABP，那么∠DAP=∠BAP?！哂伞?〕△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG。又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°?！唷螾AG=∠DAG+∠DAP=45°。∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP?！郟G=DG+DP=OG+BP?！?〕∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD。又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°?！唷?=∠2=30°。在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=，∴G點坐標為：〔，0〕，CG=3﹣。在Rt△PCG中，PC=，∴P點坐標為：〔3，〕。設直線PE的解析式為y=kx+b，那么，解得?！嘀本€PE的解析式為y=x﹣1?！究键c】一次函數(shù)綜合題，全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法，直線上點的坐標與方程的關系，解二元一次方程組?！痉治觥俊?〕由AO=AD，AG=AG，利用“HL〞可證△AOG≌△ADG。〔2〕利用〔1〕的方法，同理可證△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度數(shù)；根據(jù)兩對全等三角形的性質，可得出線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關系?！?〕由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，當∠1=∠2時，可證∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，確定P、G兩點坐標，得出直線PE的解析式。2.〔2021遼寧本溪14分〕如圖，拋物線y=ax2+bx+3經過點B〔－1，0〕、C〔3，0〕，交y軸于點A，將線段OB繞點O順時針旋轉90°，點B的對應點為點M，過點A的直線與x軸交于點D〔4,0〕．直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG,EF=EH=1。直角梯形EFGH從點D開始，沿射線DA方向勻速運動，運動的速度為1個長度單位/秒，在運動過程中腰FG與直線AD始終重合，設運動時間為t秒?！?〕求此拋物線的解析式；〔2〕當t為何值時，以M、O、H、E為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形；〔3〕作點A關于拋物線對稱軸的對稱點A′，直線HG與對稱軸交于點K，當t為何值時，以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形。請直接寫出符合條件的t值?！敬鸢浮拷猓骸?〕∵拋物線y=ax2+bx+3經過點B〔－1,0〕、C〔3,0〕,∴，解得，。∴拋物線的解析式為y=－x2+2x+3?！?〕當直角梯形EFGH運動到E′F′G′H′時，過點F′作F′N⊥x軸于點N，延長E′H’交x軸于點P?！唿cM是點B繞O點順時針旋轉90°得到的，∴點M的坐標為〔0，1〕。∵點A是拋物線與y軸的交點，∴點A的坐標為〔3，0〕。∵OA=3，OD=4，∴AD=5。∵E′H′∥OM，E′H′=OM=1，∴四邊形E′H′OM是平行四邊形〔當E′H′不與y軸重合時〕?！逨′N∥y軸，NG′∥x軸，∴△F′ND∽△AOD?！??！咧苯翘菪蜤′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射線DA方向平移得到的，∴F′D=t，∴?！唷！逧′F′=PN=1，∴OP=OD－PN－ND=4－1－=3－?！逧′P=，E′H′=1，∴H′P=－1。假設平行四邊形E′H′OM是矩形，那么∠MOH′=900，此時H′G′與x軸重合?！逨′D=t，∴，即。即當秒時，平行四邊形EHOM是矩形。假設平行四邊形E′H′OM是菱形，那么OH′=1。在Rt△H′OP中，，即得，解得。即當秒時，平行四邊形EHOM是菱形。綜上所述，當秒時，平行四邊形EHOM是矩形，當秒時，平行四邊形EHOM是菱形?！?〕秒或秒。【考點】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，直角梯形的性質，平移的性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形、矩形和菱形的判定?！痉治觥俊?〕用待定系數(shù)法，將B〔－1,0〕、C〔3,0〕代入y=ax2+bx+3即可求得拋物線的解析式?！?〕當直角梯形EFGH運動到E′F′G′H′時，過點F′作F′N⊥x軸于點N，延長E′H’交x軸于點P。根據(jù)相似三角形的判定和性質，可用t表示出OP=3－，H′P=－1。分平行四邊形E′H′OM是矩形和菱形兩種情況討論即可?！?〕∵y=－x2+2x+3的對稱軸為x=1，A〔0，3〕，∴點A關于拋物線對稱軸的對稱點A′〔2，3〕?！郃A′=2。設直線AD解析式為，那么由A〔0，3〕，D〔4，0〕得，解得?！嘀本€AD解析式為。由〔2〕知，點G的縱坐標為－1，代入得橫坐標為。由HG=2得，即或。解得或。∴當秒或秒時，以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形。3.〔2021遼寧大連12分〕如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過A〔－，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三點，線段BC與拋物線的對稱軸l相交于點D。設拋物線的頂點為P，連接PA、AD、DP，線段AD與y軸相交于點E。

〔1〕求該拋物線的解析式；

〔2〕在平面直角坐標系中是否存在點Q，使以Q、C、D為頂點的三角形與△ADP全等？假設存在，求出點Q的坐標，假設不存在，說明理由；

〔3〕將∠CED繞點E順時針旋轉，邊EC旋轉后與線段BC相交于點M，邊ED旋轉后與對稱軸l相交于點N，連接PM、DN，假設PM＝2DN，求點N的坐標〔直接寫出結果〕。

【答案】解：〔1〕∵拋物線y=ax2+bx+c經過A〔－，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三點，∴拋物線的解析式可設為，將C〔0，3〕代入得，解得。∴拋物線的解析式為，即?！?〕存在。如圖，由得對稱軸l為，由B〔3，0〕、C〔0，3〕得tan∠OBC=，∴∠OBC==300。由軸對稱的性質和三角形外角性質，得∠ADP==1200。由銳角三角函數(shù)可得點D的坐標為〔，2〕?！郉P=CP=1，AD=4。=1\*GB3①在y軸正方向上存在點Q1，只要CQ1=4，那么由SAS可判斷△Q1CD≌△ADP，此時，Q1的坐標為〔0，7〕。=2\*GB3②由軸對稱的性質，得Q1關于直線BC的對稱點Q2也滿足△Q2CD≌△ADP，過點Q2作Q2G⊥y軸于點G，那么在Rt△CQ2G中，由Q2C=4，∠Q2CG=2，Q2G=2?！郞G=1?！郠2的坐標為〔－2，1〕。=3\*GB3③在對稱軸l點P關于點D的反方向上存在點Q3，只要DQ3=4，那么△Q3DC≌△ADP，此時，Q3的坐標為〔，－2〕。=4\*GB3④由軸對稱的性質，得Q3關于直線BC的對稱點Q4也滿足△Q2DC≌△ADP，過點Q4作Q4H⊥l于點H，那么在Rt△DQ4H中，由Q4D=4，∠Q4DH=600可得DH=2，HQ4=2?！郠4的坐標為〔3，4〕。綜上所述，點Q的坐標為〔0，7〕或〔－2，1〕或〔，－2〕或〔3，4〕?！?〕〔〕?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的性質，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，軸對稱的性質，三角形外角性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質?！痉治觥俊?〕根據(jù)點的坐標，設拋物線的交點式，用待定系數(shù)法即可求?！?〕求出△ADP的兩邊夾一角，根據(jù)SAS作出判斷。〔3〕如圖，作做EF⊥l于點F，由題意易證明△PMD≌△EMD，△CME≌△DNE，∴PM=EM=EN=2DN。由題意DF=1，EF=，NF=1-DN在Rt△EFN中，，∴，整理得，解得〔負值舍去〕?！??！帱cN的縱坐標為?！郚〔〕。4.〔2021遼寧丹東14分〕拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是〔－1，0〕，O是坐標原點，且．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達式；〔2〕直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；〔3〕如圖1，D為y軸的負半軸上的一點，且OD=2，以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動，在運動過程中，設正方形ODEF與△OBC重疊局部的面積為s，運動的時間為t秒〔0＜t≤2〕.求：①s與t之間的函數(shù)關系式；②在運動過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由．〔4〕如圖2，點P〔1，k〕在直線BC上，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形？假設存在，請直接寫出M點坐標；假設不存在，請說明理由.【答案】解：〔1〕∵A〔－1，0〕,，∴C〔0，－3〕。∵拋物線經過A〔－1，0〕,C〔0，，3〕，∴，解得。∴拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=x2－2x－3。〔2〕直線BC的函數(shù)表達式為y=x－3。〔3〕當正方形ODEF的頂點D運動到直線BC上時，設D點的坐標為〔m，－2〕，根據(jù)題意得：－2=m－3，∴m=1。①當0＜t≤1時，S1=2t；當1＜t≤2時，如圖，O1〔t，0〕，D1〔t，－2〕，G〔t，t－3〕，H〔1，－2〕，∴GD1=t－1，HD1=t－1?！郤=。∴s與t之間的函數(shù)關系式為②在運動過程中，s是存在最大值：當t=2秒時，S有最大值，最大值為?！?〕存在。M1〔－，0〕M2〔，0〕，M3〔，0〕，M4〔，0〕?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，正方形的性質，二次函數(shù)的性質，平行四邊形的判定?！痉治觥俊?〕求出點C的坐標，即可根據(jù)A，C的坐標用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式?！?〕求出點B的坐標〔3，0〕，即可由待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達式?！?〕①分0＜t≤1和1＜t≤2討論即可。②由于在0＜t≤2上隨t的增大而增大，從而在運動過程中，s是存在最大值：當t=2秒時，S有最大值，最大值為?！?〕由點P〔1，k〕在直線BC上，可得k=－2?！郟〔1，－2〕。那么過點P且平行于x軸的直線N1N2和在x軸上方與x軸的距離為2的直線N3N4，與y=x2－2x－3的交點N1、N2、N3、N4的坐標分別為N1〔，－2〕，N2〔，－2〕，N3〔，2〕，N4〔，2〕。假設AP是邊，那么M1的橫坐標為－PN1加點A的橫坐標：－；M2的橫坐標為PN2加點A的橫坐標：；M3的橫坐標為N3的縱坐標加N3的橫坐標：；M4的橫坐標為N4的縱坐標加N4的的橫坐標：。假設AP是對角線，符合條件的點M與上述M1〔－，0〕和M2〔，0〕重合。綜上所述，M1〔－，0〕，M2〔，0〕，M3〔，0〕，M4〔，0〕。5.〔2021遼寧阜新12分〕在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A〔－3，0〕，B〔1，0〕兩點，與y軸交于點C．〔1〕求這個二次函數(shù)的關系解析式；〔2〕點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？假設存在，求出點P的坐標；假設不存在，說明理由；考生注意：下面的〔3〕、〔4〕、〔5〕題為三選一的選做題，即只能選做其中一個題目，多答時只按作答的首題評分，切記??！〔3〕在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？假設存在，直接寫出點Q的坐標；假設不存在，說明理由；〔4〕點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于x軸，垂足為E．是否存在點Q，使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似？假設存在，直接寫出點Q的坐標；假設不存在，說明理由；〔5〕點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？假設存在，直接寫出點Q的坐標；假設不存在，說明理由．【答案】解：〔1〕由拋物線過A〔－3，0〕，B〔1，0〕，那么，解得?！喽魏瘮?shù)的關系解析式為?！?〕設點P坐標為〔m，n〕，那么。連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N。PM=，，AO=3。當時，，所以OC=2。[∵＜0，∴函數(shù)有最大值，當時，有最大值。此時?！啻嬖邳c，使△ACP的面積最大。〔3〕存在。點?！?〕存在。點?！?〕點?！究键c】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的性質，等腰直角三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質?！痉治觥俊?〕將點A、B的坐標代入即可求得a、b，從而得到二次函數(shù)的關系解析式。〔2〕設點P坐標為〔m，n〕，那么。連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，根據(jù)求出S關于m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值求法即可求解。〔3〕分BQ為斜邊和CQ為斜邊兩種情況討論即可?！?〕分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三種情況討論即可?！?〕分AC是邊和對角線兩種情況討論即可。6.〔2021遼寧沈陽12分〕，如圖，在平面直角坐標系內，點A的坐標為〔0，24〕，經過原點的直線l1與經過點A的直線l2相交于點B，點B坐標為〔18，6〕.(1)求直線l1，l2的表達式；(2)點C為線段OB上一動點〔點C不與點O，B重合〕，作CD∥y軸交直線l2于點D，過點C，D分別向y軸作垂線，垂足分別為F，E，得到矩形CDEF.①設點C的縱坐標為a，求點D的坐標〔用含a的代數(shù)式表示〕；②假設矩形CDEF的面積為60，請直接寫出此時點C的坐標．【答案】解：〔1〕設直線l1的表達式為y=k1x，∵直線l1過B〔18，6〕，∴18k1=6，即k1=。∴直線l1的表達式為y=x。設直線l2的表達式為y=k2x+b，∵直線l2過A〔0，24〕，B(18，6)，∴解得y∴直線l2的表達式為=－x+24?！?〕①∵點C在直線l1上，且點C的縱坐標為a，∴a=x，得x=3a?！帱cC的坐標為〔3a，a〕?！逤D∥y軸，∴點D的橫坐標為3a?！唿cD在直線l2上，∴y=－3a+24?！郉〔3a，－3a＋24〕。②C〔3，1〕或C(15，5)?！究键c】一次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，直線上點的坐標與方程的關系，矩形的性質，解一元二次方程?！痉治觥俊?〕設直線l1的表達式為y=k1x，它過〔18，6〕可求出k1的值，從而得出其解析式；設直線l2的表達式為y=k2+b，由于它過點A〔0，24〕，B〔18，6〕，故把此兩點坐標代入即可求出k2，b的值，從而得出其解析式?！?〕①因為點C在直線l1上，且點C的縱坐標為a，故把y=a代入直線l1的表達式即可得出x的值，從而得出C點坐標；由于CD∥y軸，所以點D的橫坐標為3a，再根據(jù)點D在直線l2上即可得出點D的縱坐標，從而得出結論。②先根據(jù)C、D兩點的坐標用a表示出CF及CD的值，由矩形的面積為60即可求出a的值，得出C點坐標：∵C〔3a，a〕，D〔3a，－3a＋24〕，∴CF=3a，CD=－3a＋24－a=－4a＋24?！呔匦蜟DEF的面積為60，∴S矩形CDEF=CF?CD=3a×〔－4a+24〕=60，解得a=1或a=5當a=1是，3a=3，故C〔3，1〕；當a=5時，3a=15，故C〔15，5〕。綜上所述C點坐標為：C〔3，1〕或C〔15，5〕。7.〔2021遼寧沈陽14分〕，如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為(－2，0)，點B坐標為〔0，2〕，點E為線段AB上的動點(點E不與點A，B重合)，以E為頂點作∠OET=45°，射線ET交線段OB于點F，C為y軸正半軸上一點，且OC=AB，拋物線y=x2+mx+n的圖象經過A，C兩點.〔1〕求此拋物線的函數(shù)表達式；〔2〕求證：∠BEF=∠AOE；〔3〕當△EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標；〔4〕在〔3〕的條件下，當直線EF交x軸于點D，P為〔1〕中拋物線上一動點，直線PE交x軸于點G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P，使得△EPF的面積是△EDG面積的〔〕倍.假設存在，請直接寫出點P的坐標；假設不存在，請說明理由．溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補充圖形，以便作答.【答案】解：〔1〕∵A〔－2，0〕，B〔0，2〕，∴OA=OB=2。∴AB2=OA2+OB2=22+22=8?！郃B=2?！逴C=AB，∴OC=2，即C〔0，2〕?！邟佄锞€y=-x2+mx+n的圖象經過A、C兩點，得，解得：?！鄴佄锞€的表達式為y=－x2－x+2。〔2〕證明：∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°。又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，∴∠BEF=∠AOE?！?〕當△EOF為等腰三角形時，分三種情況討論①當OE=OF時，∠OFE=∠OEF=45°，在△EOF中，∠EOF=180°－∠OEF－∠OFE=180°－45°－45°=90°。又∵∠AOB＝90°，那么此時點E與點A重合，不符合題意，此種情況不成立。②如圖①，當FE=FO時，∠EOF=∠OEF=45°。在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°?！郋F∥AO?！唷螧EF=∠BAO=45°。又∵由(2)可知，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO?！郆F=EF?！郋F=BF=OF=OB=×2＝1?！郋(－1，1)。③如圖②，當EO=EF時，過點E作EH⊥y軸于點H，在△AOE和△BEF中，∵∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF，∴△AOE≌△BEF〔AAS〕?！郆E=AO=2?！逧H⊥OB，∴∠EHB=90°。∴∠AOB=∠EHB。∴EH∥AO。∴∠BEH=∠BAO=45°。在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°，∴EH=BH=BEcos45°=2×=。∴OH=OB－BH=2－2。∴E(－，2－)。綜上所述，當△EOF為等腰三角形時，點E坐標為E(－1，1)或E(－，2－)?！?〕P(0，2)或P〔－1，2〕?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理，等腰直角三角形的性質，平行的判定和性質，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】〔1〕應用勾股定理求出點C的坐標，根據(jù)點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系，用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式?！?〕應用等腰直角三角形等邊對等角的性質可證?！?〕分OE=OF，F(xiàn)E=FO，EO=EF三種情況討論即可?！?〕假設存在這樣的點P。當直線EF與x軸有交點時，由〔3〕知，此時E(－，2－)。如圖④所示，過點E作EH⊥y軸于點H，那么OH=FH=2－。由OE=EF，易知點E為Rt△DOF斜邊上的中點，即DE=EF。過點F作FN∥x軸，交PG于點N。易證△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG。依題意，可得S△EPF=〔〕S△EDG=〔〕S△EFN，∴PE：NE=。過點P作PM⊥x軸于點M，分別交FN、EH于點S、T，那么ST=TM=2－?！逨N∥EH，∴PT：ST=PE：NE=?！郟T=〔〕ST=〔〕〔2－〕=3－2?！郟M=PT+TM=2，即點P的縱坐標為2?！?=－x2－x+2，解得x1=0，x2=－1?！郟點坐標為(0，2)或〔－1，2〕。綜上所述，在直線EF上方的拋物線上存在點P，使得△EPF的面積是△EDG面積的〔〕倍，點P的坐標為(0，2)或〔－1，2〕。8.〔2021遼寧鐵嶺14分〕如圖，拋物線經過原點O和x軸上一點A〔4，0〕，拋物線頂點為E，經過拋物線上一點B〔－2，m〕且與y軸交于點C，與拋物線的對稱軸交于點F.〔1〕求m的值及該拋物線對應的解析式；〔2〕P是拋物線上的一點，假設S△ADP=S△ADC,求出所有符合條件的點P的坐標；〔3〕點Q是平面內任意一點，點M從點F出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形.假設能，請直接寫出點M的運動時間t的值；假設不能，請說明理由.備用圖【考點】動點問題，二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，解二元一次方程組和一元二次方程，二次函數(shù)的性質，勾股定理，菱形的判定和性質?！痉治觥俊?〕由點B〔﹣2，m〕在直線y=﹣2x﹣1上，將其代入即可求得m的值，從而得到點B的坐標，由點O，A，B在拋物線上，用待定系數(shù)法即可求得拋物線對應的解析式?！?〕設，求得點C的坐標，由S△ADP=S△ADC和二者是同底等高的三角形，得，即，解之即可求得點P的坐標。〔3〕∵拋物線的解析式為，∴頂點E〔2，﹣1〕，對稱軸為x=2?！唿cF是直線y=﹣2x﹣1與對稱軸x=2的交點，∴F〔2，﹣5〕，DF=5。又∵A〔4，0〕，∴AE=。如下圖，在點M的運動過程中，依次出現(xiàn)四個菱形：①菱形AEM1Q1。∵此時DM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=。∴t1=。②菱形AE