2001考研數(shù)二真題及解析

2001年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試3x3x1 xxyf(x由方程e2xycos(xye1所確定,yf(x在點(diǎn)(0,1 2x3sin2xcos2xdx2過(guò)點(diǎn)1,0且滿足關(guān)系式y(tǒng)'arcsinx 1的曲線方程 11 設(shè)方程 有無(wú)窮多個(gè)解,則a 2 1 f(x)

xx

則fff(x)等

x

(D)f(x)

x

x

x設(shè)當(dāng)x0時(shí)，(1cosx)ln(1x2)是比xsinxn高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小，整數(shù)n等于 曲線y(x1)2(x3)2的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為

xsinxn是比ex2已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù) f'(x)嚴(yán)格單調(diào)減少，f(1)f'(1)1, 在(1,1)和(1,1內(nèi)均有f(x)x在(1,1)和(1,1)內(nèi)均有f(x)x在(1,1f(xx.在(1,1f(xx在(1,1f(xx.在(1,1f(xxf(xyf(xyf

求求(2x2 x21x求極限limsintsintsinx，記此極限為f(x)，求函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn) txsinxx設(shè)(x)是拋物線y 上任一點(diǎn)M(x,y)(x1)處的曲率半徑，ss(x)是該xd

y3y(1y'2)

dsf(x在[0,f(0)0g(x.若fx)g(t)dtx2ex0f(xf(xg(xf(x)g(xg(x)2exf(x)f(0)0,g(0)2求

f(x)0 2 (1x)LP(xy)(x0處的切線在y軸上的的截距，且L經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2 ,02 試求曲L的方求L位于第一象限部分的一條切線，使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形面積最小78

,f證明在[a,a]上至少存在一點(diǎn)，使a3f()3 f 0 1已知矩陣A 0,B 1.且矩陣X滿 1 0AXABXBAXBBXAEE3X2001年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解22633x1

3x1 x2x x1x3x1lim3x1x3x1x 3x1x131 x2x13x x1x2x131 21 3x1x2x3

x1x2

1x331 1 23limx23

1x

123111 【詳解】在等式e2xycos(xye1兩邊對(duì)x求導(dǎo),yxe2xy2xysin(xyxy0，即e2xy2ysin(xyyxy 將x=0,y=1代入上式,得e2y0y'(0)2.故所求法線方程斜率k221根據(jù)點(diǎn)斜式法線方程為：y1 2

即8【分析】根據(jù)區(qū)域?qū)ΨQ性與被積函數(shù)的奇偶性：設(shè)fx在有界閉區(qū)域a,a上連續(xù)

fxdx2afx fx為偶函0，0

fxdx

fx為奇函 2x3sin2xcos2xdx 2x3cos2xdx

2sin2xcos2 ,在區(qū)間[,

x

22x3cos2xdx02

2sin2xcos2xdx2

2sin2xcos2xdx0 所以，原式x3cos2xdx所以，原式x3cos2xdx2sin2xcos222sin2xcos20 21sin22xdx

12(1cos40 4 1 x2 2cos4xd4x sin4x20 16 4 2y1y1方法1：因?yàn)閥arcsinxy'arcsinx y1y1 yarcsinx yarcsinxx 又由y()0代入上式， 0arcsinx 解得c yarcsinxx 211x2arcsiny11x2arcsinarcsin PxyQx通解公式f(x)

Pxdx

Px CQx Px

,Qx 1x21x2arcsin dx y 1x2arcsin C

1x2arcsinxdx1darcsinx

darcsin earcsin C

arcsin dxelnarcsinxC elnarcsinxdx Carcsinxdx arcsinx 又由y()0,解得C .故曲線方程為：yarcsinxx 【答案】- 互換 1 互換 A

1,3行 11 a 1 200

a 1a 201a1a1 到3行 到3行 a 1 (1a)(a2)2(2由非齊次線性方程組有無(wú)窮多解的充要條件Amn矩陣，方Axb有無(wú)窮多解rArAn可見(jiàn)，只有當(dāng)a=?2rA)rA23，對(duì)方法2:AmnAxb有無(wú)窮多解rArAn 有無(wú)窮多解rArA3.A0 2 1 a a aA 1 (a

(a 1行(1)

a 加到 (a2) a a(a2)(a1)2

=(-1)(a

aa111

1

1A11 11 0 rA1rA2原方程組無(wú)解.當(dāng)a2時(shí)，有111111111111

2行

3 3 1 1 3

3)0 1 3)0 1 0

0 0 0 0

xf(x

x

f(x0或f(x1f(x)1，于是ff(x)1，從而fff(x)f1 【詳解】根據(jù)高階無(wú)窮小的定義：如果lim0，就說(shuō)是比高階的無(wú)窮小0lim(1cosxln(1x2)等價(jià)n

1x2等價(jià)n

11n

xsin

x

x0

x0xsinxn是比(ex21)0

ex2

lim

yx1)2(x3)2所 y2(x1)(x3)22(x1)2(x3)4(x1)(x2)(xy4(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)4x25x6x24x3x23x243x212xy46x1224xy0，即3x212x110，因?yàn)榕袆e式：b24ac1224311120，y0y23221221110，所以兩個(gè)實(shí)根不則點(diǎn)x0,fx0一定是曲yfx的拐點(diǎn))，因此曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)，故選兩個(gè)交點(diǎn)的左右y符號(hào)不相同，滿足拐點(diǎn)的定義，因此選(C)【詳解】1Fxf(xxFxf(x1f(xff'(xx1,1)f(xf1Fxf(xf10；當(dāng)x1,1)時(shí)，f(xf1則Fxf(xf10，且x1F1f(1)f10，f(x)x0x0的某去心領(lǐng)x0Fxx1處取極大值，即在在(1,1)和(1,1內(nèi)均有FxF10f(xx.故選x方法2：排除法，取f(x) x，2

f(x)2x112x3f(x20，所以滿足題設(shè)在區(qū)間(1,1f'(x x1 減少，且f(1)f'(1)1,當(dāng)x1時(shí)或x1時(shí)，均有f(x) xx，因2yyf(x是x0f'(x0，對(duì)應(yīng)yf(x圖形必在x軸的上方，由此可排除(A)，(C)；yf(x)的圖形在y軸右側(cè)靠近yf'(x)0，對(duì)應(yīng)yf(x)圖形必在x軸的上方，進(jìn)一步可排除 原式

sec2

sec2(2tan2u1)tan2u(2tan2u1)tan2u(2tan2u1)cos

2sin2 1)coscos2

cos2 2sin2ucos2ucos cos 2sinucos

cosudu sinu

dsinsin2uarctan(sinu)

sinusinu1tan2

)11

f(x)limsintsintsin

lim

lnsintsintlnsinx

xlimesintsin

sintsinx txsinx

t

t lim lnsintlim

ln1sint txsintsin sinx txsintsin sin

ln

sintsinx

lim txsintsin sin txsintsinx sin txsin sin lnsint lnsint 所 f(x)limt

sintsinxsinx

tsintsin

sin esinsin由f

esinx的表達(dá)式，可以看出自變量x應(yīng)滿足sinx ，從xk,k0,1,x0 limlimf(x)limesinxex0sinxe1e x0f(x的第一類間斷點(diǎn)(左右極限相等，又進(jìn)一步可知是可去間斷點(diǎn))；對(duì)于非零整數(shù)k，

f(x)

limesinxexksinxsinx0xx4五【解答】由y ，有y'1,y xx42 2 1

11 2y 4 4xy 4 4x

2x

4x

(x) K

(4x1)22

yfxaxbbs 1fxdx，其中fx在ab有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)b2根據(jù)上述結(jié)論，所以拋物線上的弧xss(x)x

1y'2dx

dx 11112x11 3 (4x1)2

1 (4x1)2 ddx

2 3(4x1)22x611x 11x

(4xd

(6x)1(6x)

)dx

1111 6211162262111622161d d21 3 2 x1因 x1

14x2

91 六f(xg(xgf(xx，fx)g(t)dt00f(x)g(t)dtx2exgfxf(x)x2ex0gf(xxxf(x)x2ex2xexf(x)xex2ex，x(0, f(x)dxxex2exdxf(x)xexdxf(xxdex2exf(x)xexexdxf(x)xexex2exCf(x)xexexCf0

f(x)limxexexC1C0 所以C1f(x)xexex1，x[0,七f(x)g(xg(x)2exf(x)f(x)g(x)2exf(x)f(x)f(x)

xex型(Px2,m對(duì)應(yīng)的齊次方程為f(x)f(x)0 特征方程為r210，對(duì)應(yīng)的特征值為ri，于是齊次方程的通解為：yC1cosxC2sinx，m因?yàn)?ry*aexa為實(shí)數(shù))y*aexf(xf(x)2exaexaex2ex，所以aa2a1y*ex非齊次方程的fx

cosx

sinxexf(00f0Ccos0Csin0e00C10

xfxC1sinxC2cosxe,f0g(02xf0Csin0Ccos0e0C12

所以原方程的fxsinxcosx f(x) g(x)1xf 方法1：01x(1x)2dx (1 f(x)

f(x)1xf(x)dx

f(x)

f (1

01x 1f10 f10

f1

sincose

f(0)

1 f(x) f201x(1x2dx01xdx0(1x2 g(x)dx f

00001 0000

1dx

f1x分部g(x)dxf(x)fx01 1x 01gxf g(x)dx

f(x) g(x)001 10

01f10 f10

f1

sincose

f(0)

1八【詳解】(1)LP(xy)的切線方程為YyyXxX0Yxyyy軸上的截距為xyyx y2200根據(jù)兩點(diǎn)x,y,x0,y0距離x y2200x2x2 ，由題設(shè)P(x,y)(x0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離恒等于該點(diǎn)處的切線在y軸上的截距，所以：xyx2x2 x2 y ，(x xu2

u2u2ux u x u2u2 u2xx積分得 dxlnu 1u2lncxu1u2Cu2xx把uxy

y C 由題設(shè)曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,0，代入得0

x2x212 12 2x2x2

1y

1x2 (2)由(1)知y1x2，則y2x，點(diǎn)P(x,y) 1x2，所以在點(diǎn)P處的 P x21x1 Ax1x1 1 14x212,x22 8xx42 面積為SxAx

1

4x212S00Sx14x212

28x4x214x2 28x4x21x4x2

4x2112x2令Sx0得x 3，當(dāng)0x6

時(shí)，Sx0x363

時(shí)，Sx0363f(xx0x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)xx0x0f(x0xx0x0f(x0f(xx0

Sxx0處的唯一極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)363

2 36Y 23X3，即Y3X36 6 6 3 kSdVd2r3 2 2由于r是t的函數(shù)，

kS 2r2drk2r2drkdt t

r0rktc，把rt0r0代入，得cr0rktr07又半徑為r0的雪堆在開(kāi)始融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其體積的8V V7VV

，其中V表示t0時(shí)的V.以Vt 8 8 Vt

2r3

t

12r82

trktr0代入上式，兩邊約去ktr3

1r

，即ktr1 8 2 r，于是rktr rtr

t 當(dāng)t6r06 60 r016 融化完232聯(lián)立Vr3

，S2r

消去rS kS，從而推知dVk318V2,V

t

1分離變量V

k318dt3V3k318tc，把

t

1 3 1 3又由

VV

，代入上式V33V33k318，得k t

8 8

13V013V03 1V 3331 3V3V 3331

3V

3V 3333

2十【應(yīng)用定理】閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理：設(shè)f(x)在ab上連續(xù)，f(a)f(b，f(a)與f(b之間的任何數(shù)cacb)f(c.f(x)f(0)f(0)x1f()x2f(0)x 其中位于0和x為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間內(nèi)，xa, af(0)xdx1 (2)方法1：將f(x)從a到a積 af(x)dx

222

aa f(0)xdxfaa

xdxf(0)

a

f(x)dx

a fa 2f(x在aaf(x在aaM，最小值m(由mminf(x),Mmaxf[ [易 mf(x)M,x[a,

1

因 af(x)dx

()xdx M

xdx 2

1 3同 af(x)dx f()xdx xdx3 2 因 ma3af(x)dxM

ma.由連續(xù)函數(shù)介值定理知，存在a,af( aa3

af(x)dxx2F(xxf(t)dtF(0)0xF(x)f(xf(x(變限積分求導(dǎo)F(x)f(x)f(x)f(x)fF(x)f(x)f(x)f(x)f則 F(0)f(0)f(0)00F(0)f(0)f(0)f(0)f(0)F(x)F(0)F(0)x1F(0)x21F()x 其中(0,xxa由于f(x)在aa上連續(xù)則由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在,2于是有，存在a,a

2F(x)001F()x311(f()f())x31f()x F(a)1f()a3

a ， f