第1講 排列組合基本方法高分套路(原卷版)

第1講排列組合的基本方法【套路秘籍】一．計數(shù)原理1．分類計數(shù)原理如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法,……,在第n類方式中有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=m,+m” m種不同的方法.2.分步計數(shù)原理如果完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有in】種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=mXmX-Xm種不同的方法.n 1 2 n3.分類和分步的區(qū)別，關鍵是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分類；必須要連續(xù)若干步才能完成的則是分步.分類要用分類計數(shù)原理將種數(shù)相加；分步要用分步計數(shù)原理，將種數(shù)相乘.二、排列組合排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同兀素中取出m(mWn)個兀素按照一定的順序排成一列組合合成一組排列數(shù)與組合數(shù)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示.n⑵組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用住表示.

3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質公式n！(1)Am=n(n—1)(n—2)???(n—m+1)=, 「n J (n—m)!，、?Amn(n—1)(n—2)???(n—m+1) n!2Cn=Am= m! =m!(n—m)!m '丿性質0!=1；An=n!nCm=Cn-m；Cm=Cm+Cm—Tn n n+1 n n套路修煉】考向一兩個計數(shù)原理【例1】(1)滿足a,bw{—l,0,l,2}，且關于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為 ．有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有 種不同的報名方法．TOC\o"1-5"\h\z【套路總結】 I\o"CurrentDocument"I ■乘法分步計數(shù)原理! I利用分步計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿I足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.I(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.TOC\o"1-5"\h\zI |加法分類計數(shù)原理j(1)根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準.分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不I同的方法，不能重復. |分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.1 I利用兩個計數(shù)原理解決應用問題的一般思路【舉一反三】用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有 個．(用數(shù)字作答)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的TOC\o"1-5"\h\z區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為 ．如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是 ．考向二排列【例2】(1)用1,2,3,4,5這五個數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，共有 個．2)6名同學站成1排照相，要求同學甲既不站在最左邊又不站在最右邊，共有 種不同站法【舉一反三】1．某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了 條畢業(yè)留言．(用數(shù)字作答)2．用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為 ．考向三組合【例3】男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名．現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？男運動員3名，女運動員2名；至少有1名女運動員；隊長中至少有1人參加；既要有隊長，又要有女運動員．I組合問題常有以下兩類題型變化：I I!(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，iI 一 一則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.|(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關>-鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，【舉一反三】安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有 種.在報名的3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為 .(用數(shù)字作答)考向四常用的方法【例4】7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學生4人，女學生2人，在下列情況下，各有多少種不同站法？老師甲必須站在中間或兩端；兩名女生必須相鄰而站；4名男生互不相鄰；若4名男生身高都不等，按從高到低的順序站.【套路總結】j排列組合常用方法TOC\o"1-5"\h\zi ii?簡單問題直接法：直接利用兩個計數(shù)原理，直接進行排列組合解答I I2.特殊元素（特殊位置）優(yōu)先法：優(yōu)先考慮一些特殊的元素和位置.I 13?相鄰問題捆綁法：先把相鄰元素捆綁在一起，再進行排列.4?不相鄰問題插空法：先把沒有位置要求的元素排列好，再排不相鄰的元素5?定序問題縮倍法（等概率問題縮倍法）先把所有的元素安排好，再縮小一定的倍數(shù)6?至少問題間接法：一般先考慮全部的排法，再排除不滿足題意的排法 |17?平均分組除法法：一般先分堆，再除以An.&元素相同問題隔板法:將n個相同的元素分成m份（nm為正整數(shù)），每份至少一個元素，可以用m-1塊隔Cm—1板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為Cn—i.【舉一反三】為配合足球國家戰(zhàn)略，教育部特派6名相關專業(yè)技術人員到甲、乙、丙三所足校進行專業(yè)技術培訓，每TOC\o"1-5"\h\z所學校至少一人，其中王教練不去甲校的分配方案有 種．某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是 ．大數(shù)據(jù)時代出現(xiàn)了滴滴打車服務，二胎政策的放開使得家庭中有兩個孩子的現(xiàn)象普遍存在．某城市關系要好的A,B，C，D四個家庭各有兩個孩子共8人，他們準備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名（乘同一輛車的4個孩子不考慮位置），其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個孩子恰有2個來自于同一個家庭的乘坐方式共有 種．某賓館安排A,B,C,D,E五人入住3個房間，每個房間至少住1人，且A,B不能住同一房間，則共有 種不同的安排方法．（用數(shù)字作答）【套路運用】1．2019年4月25日-27日,北京召開第二屆“一帶一路”國際高峰論壇,組委會要從6個國內(nèi)媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問,要求這三個媒體團中既有國內(nèi)媒體團又有國外媒體團,且國內(nèi)媒體團不能連續(xù)提問,則不同的提問方式的種數(shù)為（ ）A．198 B．268 C．306 D．3782020年東京夏季奧運會將設置■-■-米男女混合泳接力這一新的比賽項目，比賽的規(guī)則是：每個參賽國家派出2男2女共計4名運動員參加比賽，按照仰泳-蛙泳-蝶泳-自由泳的接力順序，每種泳姿100米且由1名運動員完成,且每名運動員都要出場,若中國隊確定了備戰(zhàn)該項目的4名運動員名單,其中女運動員甲只能承擔仰泳或者自由泳，男運動員乙只能承擔蝶泳或者自由泳，剩下的2名運動員四種泳姿都可以承擔，則中國隊的排兵布陣的方式共有（）A.144種 B.24種 C.12種 D.6種中國古代的五經(jīng)是指：《詩經(jīng)》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊%名同學分別選取了其中一本不同的書作為課外興趣研讀，若甲乙都沒有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，貝廬名同學所有可能的選擇有（）A.I；種 B.種 C.種 D.種用數(shù)字0,2,4,7,8,9組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù),其中大于420789的正整數(shù)個數(shù)為（）A.479 B.480 C.455 D.4565.在中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會期間，有甲、乙、丙、丁4名游客準備到貴州的黃果樹瀑布、梵凈山、萬峰林三個景點旅游參觀，其中的每個人只去一個景點，每個景點至少要去一個人，則游客甲去梵凈山的概率為（）1112TOC\o"1-5"\h\zA； B.' C.〉： D.'6．第十四屆全國運動會將于2021年在陜西舉辦，為宣傳地方特色，某電視臺派出3名男記者和2名女記者到民間進行采訪報導。工作過程中的任務劃分為：“負重扛機”，“對象采訪”，“文稿編寫”“編制剪輯”等四項工作，每項工作至少一人參加，但兩名女記者不參加“負重扛機”，則不同的安排方案數(shù)共有（）A.150 B.126 C.90 D.547?今有■個人組成的旅游團，包括4個大人，2個小孩，去廬山旅游，準備同時乘纜車觀光，現(xiàn)有三輛不同的纜車可供選擇，每輛纜車最多可乘3人，為了安全起見，小孩乘纜車必須要大人陪同，則不同的乘車方式有（）種A.204B.2麗 C.十翻 D.珈為慶祝中國人民解放軍建軍90周年，南昌市某校打算組織高一6個班級參加紅色旅游活動，旅游點選取了八一南昌起義紀念館，南昌新四軍軍部舊址等5個紅色旅游景點.若規(guī)定每個班級必須參加且只能游覽1個景點，每個景點至多有兩個班級游覽，則這6個班級中沒有班級游覽新四軍軍部舊址的不同游覽方法數(shù)為（）A.3600 B.1080 C.1440 D.2520若用紅、黃、藍、綠四種顏色填涂如圖方格，要求有公共頂點的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方案數(shù)有用6種不同的顏色對正四棱錐的8條棱染色，每個頂點出發(fā)的棱的顏色各不相同，不同的染色方案共有多少種（）A．14400 B．28800 C．38880 D．43200定義“有增有減”數(shù)列｛a｝如下：3tgN*，滿足a<a，且3seN*，滿足a>a.已知“有增n t t+1 S S+1有減”數(shù)列｛a｝共4項，若ae｛x,y,z｝C=1,2,3,4），且x<y<z，則數(shù)列｛a｝共有（）n i nA.64個B.57個C.56個D.54個一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的能力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實數(shù)3位于的點處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？（）A.5 B.25 C.55 D.75一名同學想要報考某大學，他必須從該校的8個不同專業(yè)中選出5個，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的順序填寫志愿表.若A專業(yè)不能作為第一、第二志愿，則他共有 種不同的填法（用數(shù)字作答）.在一次中學生志愿者活動中，需要將A,B,C,D,E共5名志愿者分派到2個不同的地點進行愛心活動，要求每個地點至少有1人活動，并且A,B兩名同學必須在同一個地點，則不同的愛心分派方案共有 種（用數(shù)字作答）.習近平總書記在湖南省湘西州十八洞村考察時首次提出“精準扶貧”概念，精準扶貧成為我國脫貧攻堅的基本方略.為配合國家精準扶貧戰(zhàn)略，某省示范性高中安排6名高級教師（不同姓）到基礎教育薄弱的甲、乙、丙三所中學進行扶貧支教，每所學校至少1人，因工作需要，其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為 .分配5名水暖工去4個不同的居民家里檢查暖氣管道，要求5名水暖工全部分配出去，每名水暖工只能去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有 種（用數(shù)字作答）.把四本不同的書分給三位同學，每人至少分到一本，每本書都必須有人分到，J“不能同時分給同一個人，則不同的分配方式共有 種（用數(shù)字作答）.某共享汽車停放點的停車位排成一排且恰好全部空閑，假設最先來停車點停車的3輛共享汽車都是隨機停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車點的車位數(shù)為 ．19．某翻譯處有8名翻譯，其中有小張等3名英語翻譯，小李等3名日語翻譯，另外2名既能翻譯英語又能翻譯日語，現(xiàn)需選取5名翻譯參加翻譯工作，3名翻譯英語，2名翻譯日語，且小張與小李恰有1人選中，則有 種不同選取方法.20.用五種不同顏色給三棱臺I'* 的六個頂點染色，要求每個點染一種顏色，且每條棱的兩個端點染TOC\o"1-5"\h\z不同顏色.則不同的染色方法有 種.21．2017年1月27日，哈爾濱地鐵3號線一期開通運營，甲、乙、丙、丁四位同學決定乘坐地鐵去城鄉(xiāng)路、哈西站和哈爾濱大街．每人只能去一個地方，哈西站一定要有人去，則不同的游覽方案為 種．22．用六種不同的顏色給如圖所示的六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有 種．23.如圖，給7條線段的5個端點涂色，要求同一條線段的兩