2002年高考全國卷理科數(shù)學試題及答案1

普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試卷（理科）及答案本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至2頁.第II卷3至9頁.共150分.考試時間120分鐘.第1卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至2頁.第II卷3至9頁．共150分．考試時間120分鐘．（1）圓（x-1）2+y2=1的圓心到直線y=13x的距離是TOC\o"1-5"\h\z（A）—（B）——（C）1（D）v32、四八（2）復數(shù)（-+--i）3的值是（A）-i（B）i（C）-1（D）1（3）不等式（1+x）（1-IxI）>0的解集是（A）{xI0<x<1}（B）{xIx<0且xW-1}（C）{xI-1<x<1}（D）{xIx<1且xW-1}（4）在（0,2兀）內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍是、/兀兀5兀、，、/兀、、/兀5兀、、/兀5兀3兀、（A）（—,—）U（兀,—-）（B））（C）（―,---）（D）（—,兀）U（—,—）TOC\o"1-5"\h\z424444442k1k1（5）設(shè)集合M={xIx=一十—,kgZ}，N={xIx=+—,kgZ}，貝|2442（A）M=N（B）MuN（C）MnN（D）MDN=0x=12（6）點P（1,0）到曲線〈八（其中參數(shù)tgR）上的點的最短距離為Iy=2t(A)0(A)0(B)1(c)<2(D)2(7)一個圓錐和一個半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那么這個圓錐軸截面頂角的余弦值是3(A3(A)一44(B)53(C)5⑻正六棱柱ABCDEF-A1BCD1E1F1的底面邊長為，側(cè)棱長為、;2，則這個棱柱側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是(A)90。(B)60。(c)45。(D)30。(9)函數(shù)y=x2+bx+c(e[0,+8))是單調(diào)函數(shù)的充要條件是(A)b>0(B)b<0(C)b>0(D)b<0(11)從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有(A)8種(B)12種(C)16種(D)20種(12)據(jù)3月5日九屆人大五次會議《政府工作報告》：“國內(nèi)生產(chǎn)總值達到95933億元，比上年增長7.3%”，如果“十?五”期間(一)每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十?五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為(A)115000億元(B)120000億元(C)127000億元(D)135000億元第II卷(非選擇題共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線．(13)函數(shù)y=0x在［0,1］上的最大值與最小值這和為3,則a=(14)橢圓5x2+ky2=5的一個焦點是(0,2)，那么k=(15)(x2+1)(x—2)7展開式中x3的系數(shù)是(16)已知f(x)=￡，那么f(1)+f⑵+f(2)+f(3)+f(3)+f⑷+f(4)=三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

兀.（17）已知sm22a+sm2acosa-cos2a=1,ae（0,一），求sina、tga的值21（18）如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0<a<22）（1）求MN的長；（2）a為何值時，MN的長最??；（3）當MN的長最小時，求面MNA與面MNB所成二面角a的大小.（19）設(shè)點P到點（—1,0）、（1,0）距離之差為2m，到x、y軸的距離之比為2，求m的取值范圍.（20）某城市末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛？（21）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+Ix-aI+1，xeR（1）討論f（x）的奇偶性;（2）求f（x）的最小值.n+1n（22）設(shè)數(shù)列｛a｝滿足：a=a2—na+1，n=n+1n求a,a,a并由此猜測a的一個通項公式;234（II（II）當a1>3時,證明對所的n>1,有（i）a>n+2n（ii）+++…+1+a1+a1+a1+a123n參考答案一、選擇題題號123456789101112答案ACDCBBCBABBC、填空題7(13)2(14)1(15)1008(16)—2三、解答題(17)解：由sin22a+sin2acosa-cos2a=1,得4sin2acos2a+2sinacos2a_2cos2a=02cos2a(2sin2a+sina_1)=02cos2a(2sina_1)(sina+1)=0ag(0,一)2sina+1豐0,cos2aw=02sina_1=0,即sina=—一..a——6,—品?tga--3-(18)解(I)作MP〃AB交BC于點P,NQ//AB交BE于點Q，連結(jié)PQ,依題意可得MP/NQ，且MP-NQ,即MNQP是平行四邊形.?.MN-PQ由已知CM-BN-a,CB-AB-BE-12AC-BF=\2,CP-BQ--2-aMN-PQ-.v'(1_CP)2+BQ2--v(1+(言)2--'(a_22+1(0<ad)22

(II)由(I)MN(II)由(I)MN=所以，當a=所以，當a=時，MN=——22即當M、N分別為AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為(III)取MN的中點G，連結(jié)AG、BG,???AM=AN,BM=BN，G為MN的中點??.AG±MN,BG±MN,即ZAGB即為二面角的平面角a又AG=BG=二］，所以，由余弦定理有4TOC\o"1-5"\h\z八6、,66()2+(―)2-144cosa=-―什-6%6+62??441故所求一面角為a=兀一arccosq(19)解：設(shè)點P的坐標為(％,y)，依題設(shè)得善—2，即y=±2%,x豐0I%I因此，點P(%,y因M因1,0)、N(1,0)三點不共線，得IIPMI-IPNII<IMNI―2VIIPMI-IPNII―2ImI>00<ImI<1因此，點P在以M、N為焦點，實軸長為2ImI的雙曲線上，故X2y2——————1m21-m2-%2y2將y―±2x代入——————1,并解得m21-m2

m2(1-m2)x2二1一5m2所以1一5m2>0即m的取值范圍為(一噂,0)U(0,辛TOC\o"1-5"\h\z(20)解：設(shè)末汽車保有量為b萬輛，以后各年末汽車保有量依次為b萬輛，b萬輛，…，123每年新增汽車x萬輛，則b=30，b=bx0.94+x121對于n>1，有b=bx0.94+xn+1n=bx0.942+(1+0.94)xn一1所以b=bx0.94n+x(1+0.94+0.942+…+0.94n)n+111一0.94nbx0.94n+x10.06x0.06+(30x0.06+(30一x0.06)x0.94nx當30一>0，即x<1.8時0.06b<b<-<b=30.n+1n1x當30一<0，即x>1.8時0.06x數(shù)列｛b｝逐項增加，可以任意靠近二TOC\o"1-5"\h\zn0.06xxxlimb=lim[——+(30一——)x0.94n-1]=——n~nn*0.060.060.06因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即b<60(n=1,2,3,-)nx則0-06<60，即x<3.6萬輛綜上，每年新增汽車不應超過3.6萬輛,(21)解：(I)當a=0時，函數(shù)f(-x)=(-x)2+I-xI+1=f(x)此時，f(x)為偶函數(shù)當a牛0時，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2IaI+1,f(a)豐f(-a),f(a)豐-f(-a)此時f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)13(II)(i)當x<a時，f(x)=x2-x+a+1=(x-—)2+a+—24當a<1,則函數(shù)f(x)在(-8,a］上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在(-8,a］上的最小值為TOC\o"1-5"\h\z1131若a>-，則函數(shù)f(x)在(-8,a］上的最小值為f(-)=+a，且f(-)<f(a).乙乙I乙13(ii)當x>a時，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+—)2-a+—241131若a<--，則函數(shù)f(x)在(-8,a］上的最小值為f(--)=-a，且f(--)<f(a)乙乙I乙若a>-1,則函數(shù)f(x)在［a,+8)上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f(x)在［a,+8)上的最小值為13綜上，當a<--時，函數(shù)f(x)的最小值為z-a乙I當-1<a<1時，函數(shù)f(x)的最小值為a2+113當a>5時，函數(shù)f(x)的最小值為工+a.

LI(22)解⑴由4=2，得a2=a「a1+1=3由a=3，得a=a2-2a+1=42322由a=4，得a=a2-3a+1=53433由此猜想a的一個通項公式：a=n+1(n>1)nn(II)(i)用數(shù)學歸納法證明：①當n=1時，a>3=1+2，不等式成立.1②假設(shè)當n=k時不等式成立，即a>k+2，那么ka