陜西省咸陽市武功縣普集2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第3次月考試題理【含答案】

陜西省咸陽市武功縣普集2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第3次月考試題理出題范圍：集合，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，平面向量，數(shù)列，不等式，立體幾何考試試題分值：150分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A. B. C. D.————C分析：聯(lián)立，解方程組，即可求出與的交點個數(shù)，即中元素的個數(shù).解答：聯(lián)立，解得或.即與相交于兩點，，故中有兩個元素.故選：C．點撥：本題考查集合的元素個數(shù)，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.2————C分析：先由條件有，求出復(fù)數(shù)，再求復(fù)數(shù)模.解答：由，則所以故選：C點撥：本題考查復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的模，是基礎(chǔ)題.3.已知，則的值是（）A. B. C. D.————D分析：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，進而可求解.解答：由，得，，，，則.故選：D點撥：本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前2019項的和等于（）A.2019 B.2020 C.4040 D.4042————A分析：直接利用等差數(shù)列的前n項和公式求.解答：由題得.故選：A5.已知，則A. B. C. D.————B分析：運用中間量比較，運用中間量比較解答：則．故選B．點撥：本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．6.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A. B. C. D.————B分析：本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計算出向量夾角．解答：因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．點撥：對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．7.若變量滿足約束條件則的最大值為（）A.1 B.3 C. D.5————C分析：直接根據(jù)約束條件表示的平面區(qū)域為以為頂點的三角形區(qū)域(包含邊界)，將三個頂點與原點連線的斜率求出，進行比較即可得到答案。解答：不等式組表示平面區(qū)域是以為頂點的三角形區(qū)域(包含邊界).表示平面區(qū)域內(nèi)的點與原點的連線的斜率，由題意得點與原點的連線斜率最大，即的最大值為故選：C點撥：本題考查線性約束條件下，求斜率型目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力。8.如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′=6，O′C′=2，則原圖形是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四邊形————C解答：將直觀圖還原得平行四邊形OABC，則O′D′＝O′C′＝2(cm)，OD＝2O′D′＝4(cm)，C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，OC＝＝＝6(cm)，OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，故原圖形為菱形．9.若關(guān)于x的不等式的解集中恰有兩個整數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是()A.(3,4) B.(－2,－1)∪(3,4) C.(3,4] D.[－2,－1)∪(3,4]————D分析：把不等式化為,討論時，分別求出不等式的解集,再根據(jù)不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，求出的取值范圍.解答：原不等式可化為.當(dāng)時，由可得，若原不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則這兩個整數(shù)為2，3，此時；當(dāng)時，原不等式的解集為空集，不合題意；當(dāng)時，由可得，若原不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則這兩個整數(shù)為0，，此時.綜上，實數(shù)的取值范圍是，故選D.點撥：本題主要考查一元二次不等式的解法、分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題.分類討論思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效，提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點.充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用與解題當(dāng)中.10.《九章算術(shù)》中將底面為長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，現(xiàn)有一陽馬，其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形，若該陽馬的頂點都在同一個球面上，則該球的體積為（）A.π B. C. D.————B分析：依題意畫出直觀圖，求出外接球的直徑，即可得解；解答：解：如圖所示，該幾何體為四棱錐．底面為矩形，其中底面．，，．則該陽馬的外接球的直徑為．該陽馬的外接球的體積：．故選：．11.形如(n是非負整數(shù))的數(shù)稱為費馬數(shù)，記為數(shù)學(xué)家費馬根據(jù)都是質(zhì)數(shù)提出了猜想:費馬數(shù)都是質(zhì)數(shù).多年之后，數(shù)學(xué)家歐拉計算出不是質(zhì)數(shù)，那的位數(shù)是（）(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010)A.9 B.10 C.11 D.12————B分析：,設(shè),兩邊取常用對數(shù)估算的位數(shù)即可.解答：,設(shè)，則兩邊取常用對數(shù)得.，故的位數(shù)是10，故選：B．點撥：解決對數(shù)運算問題的常用方法：(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．(4)利用常用對數(shù)中的簡化計算.12.已知函數(shù)，則（）的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點共有（）A.0對 B.1對 C.2對 D.3對————C分析：把問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題.解答：由題意得的圖象上關(guān)于原點對稱的點的對數(shù)等價于函數(shù)與的圖像在上的交點的個數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩函數(shù)在上的圖像如圖所示：由圖得兩函數(shù)圖象有兩個不同的交點，的圖像上關(guān)于原點對稱的點共有2對故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若函數(shù)（）在處取得最小值，則a等于____________.————3分析：將化成，使，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等號成立的條件，可求出的值．解答：解：當(dāng)時，即時等號成立．處取最小值，故3點撥：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．14.________————解答：因，而，，應(yīng)填答案．15.已知數(shù)列的前n項和，，其中，則__________.————分析：在中令得到，再由，得到，進一步說明是等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項公式運算即可.解答：由題意得，所以，又，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是．故點撥：關(guān)鍵點睛：已知與的關(guān)系求通項時要注意與的下標(biāo)及n的范圍區(qū)別.16.以下命題中（1）若a，b是兩條直線，且，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面（2）若直線a和平面滿足，那么a與內(nèi)的任何直線平行（3）平行于同一條直線的兩個平面平行（4）若直線a，b和平面滿足，，，則正確的是__________.————（4）分析：由線面平行的判斷和平面的基本性質(zhì)可判斷；由線面平行的定義可判斷；由面面的位置關(guān)系可判斷；由線面平行的性質(zhì)和判定，可判斷．解答：解：若，是兩條直線，且，那么平行于經(jīng)過的平面或，在一個平面內(nèi)，故（1）錯；若直線和平面滿足，那么與內(nèi)的直線平行或異面，故（2）錯；平行于同一條直線的兩個平面平行或相交，故（3）錯；若直線，和平面滿足，，過的平面與的交線，可得，又，則，故（4）對．故（4）．三、解答題：共70分.17題分值為10分，18--22分值為12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.中，角A，B,C的對邊分別是且滿足（1）求角B的大?。唬?）若的面積為為且，求的值；————(1).⑵a＋c＝．解答：試題分析：（1）又A+B+C=π，即C+B=π-A，∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，將（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化簡得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=，又0＜B＜π，則；（2）∵△ABC的面積為，sinB=sin=，∴S=acsinB=ac=，∴ac=3，又b=，cosB=cos=，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-9=3，∴（a+c）2=12，則a+c=．考點：考查主要考查正弦、余弦定理的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值．點評：中檔題，本題綜合考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值．其中（2）將sinB及已知面積代入求出ac的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2-2accosB，再利用完全平方公式整理后，按整體思想求出a+c的值．18.已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列前項和，求使成立的最大正整數(shù)的值.————⑴，；⑵分析：（1）利用得到，解出可得通項公式．（2）利用裂項相消法求后解不等式可得最大正整數(shù)的值．解答：（1）由題意知，，即，解得，故，．（2）由，得，，由，解得．故所求的最大正整數(shù)為5．點撥：數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.19.設(shè)函數(shù)，且的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值和最小值.————(Ⅰ)(Ⅱ)，.解答：試題分析：（1）本小題中的函數(shù)是?？嫉囊环N形式，先用降冪公式把化為一次形式，但角變?yōu)椋龠\用輔助角公式化為形式，又由對稱中心到最近的對稱軸距離為，可知此函數(shù)的周期為，從而利用周期公式易求出；（2）本小題在前小題的函數(shù)的基礎(chǔ)上進行完成，因此用換元法只需令，利用求出u的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)圖像即可找到函數(shù)的最值.試題解析：（1）．因為圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸距離為，又，所以，因此.（2）由（1）知．當(dāng)時，所以，因此．故在區(qū)間上的最大值和最小值分別為．考點：降冪公式，輔助角公式，周期公式，換元法，正弦函數(shù)圖像，化歸思想.20.已知函數(shù)，（）．（1）若函數(shù)的值域為，求x的取值范圍；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．————（1）；（2）．分析】（1）由，解不等式即可；（2）由h(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，可得當(dāng)x∈[1，4]時，恒成立，則恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出其最大值即可．解答：（1）因為函數(shù)值域為，所以，得；（2）h(x)＝lnx－ax2－2x，x>0.∴h′(x)＝－ax－2，由h(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x∈[1，4]時，恒成立，則恒成立，設(shè)，所以a≥G(x)max又，x∈[1，4]，因為x∈[1，4]，所以，所以G(x)max＝(此時x＝4)，所以a≥，又當(dāng)a＝時，，∵x∈[1，4]，∴，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4時等號成立，∴h(x)在[1，4]上為減函數(shù)，故實數(shù)a的取值范圍是．點撥：方法點睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．21.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且，.求證：（1）直線DE平面A1C1（2）平面B1DE⊥平面A1C————（1）詳見解析（2）詳見解析解答：試題分析：（1）利用線面平行判定定理證明線面平行，而線線平行的尋找往往結(jié)合平面幾何的知識，如中位線的性質(zhì)等；（2）利用面面垂直判定定理證明，即從線面垂直出發(fā)給予證明，而線面垂直的證明，往往需要多次利用線面垂直性質(zhì)定理與判定定理.試題解析：證明：（1）在直三棱柱中，在三角形ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點，所以，于是，又因為DE平面平面，所以直線DE//平面.（2）在直三棱柱中，因為平面，所以，又因為，所以平面.因為平面，所以.又因為，所以.因為直線，所以【考點】直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系【名師點睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；（4）證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.22.設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.————（Ⅰ），；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為.解答：試題分析：（