2018-2019版數(shù)學(xué)高二同步系列課堂講義人教A版選修4-4試題：第一章 坐標(biāo)系1.1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一講DIYIJIANG坐標(biāo)系一平面直角坐標(biāo)系課后篇鞏固探究A組1.若點(diǎn)P（-2015，2016）經(jīng)過(guò)伸縮變換x'=12016x,A。1 B.—1 C。2016 D.-2016解析因?yàn)辄c(diǎn)P（-2015,2016）,所以x'=-20152答案B2。在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換x'=7x,y'=4y后,曲線C變?yōu)榍€x'2+8y’A.49x2+128y2=1 B。49x2+64y2=1C.49x2+32y2=1 D.249x2+12y2解析將伸縮變換x'=7x,y'=4y代入x’2+8y'2=1中,得49x2+128y2=1,故曲線C的方程為49x答案A3。曲線y=sinx+π6經(jīng)過(guò)伸縮變換xA。y’=5sin4x'+π6 BC.y'=5sin14x'+π6 解析由伸縮變換x將其代入y=sinx+π得15y’=sin1即y'=5sin14答案C4.導(dǎo)學(xué)號(hào)73574002已知平面內(nèi)有一條固定的線段AB,|AB|=4.若動(dòng)點(diǎn)P滿足｜PA｜-｜PB|=3,點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn),則｜OP｜的最小值是（)A.32 B.12 C.2 D解析以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.由題意可知點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支.∵2c=4,∴c=2。∵2a=3,∴a=32?！郻2=c2-a2=4—9∴點(diǎn)P的軌跡方程為x294-由圖可知,當(dāng)點(diǎn)P為雙曲線與x軸的右交點(diǎn)時(shí),｜OP｜最小，|OP|的最小值是32答案A5。點(diǎn)（2，3）經(jīng)過(guò)伸縮變換2x'=x解析由伸縮變換公式2x'=x,y'答案(1，9)6.到直線x—y=0和直線2x+y=0的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為。

解析設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y),則依題意有|x-y|2=|2x+y答案x2+6xy—y2=07.將橢圓x225+y29=1按φ解析設(shè)橢圓x225+y29=1上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x,y）,按φ變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為P’（x',y')，由φ：x'=15x,y'=13y得x=5答案π8。導(dǎo)學(xué)號(hào)73574003已知△ABC中角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c,且b2+c2=5a2,BE,CF分別為邊AC，AB上的中線,則BE與CF的位置關(guān)系是.

解析如圖,以△ABC的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)O，邊AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系,則A（0,0),B(c,0），F(xiàn)c2設(shè)C(x,y），則Ex2所以kBE=—y2c-x,k由b2+c2=5a2,得|AC|2+｜AB|2=5|BC｜2，即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2］，整理得2y2=（2x—c）（2c-x）。所以kBE·kCF=-2y2所以BE與CF互相垂直。答案垂直9。已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,BC〉A(chǔ)D，求證：|AC｜=|BD|。證明取BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)A(-a，h），B(-b,0),則D（a,h）,C(b,0).所以｜AC|=(b｜BD｜=(a所以｜AC|=｜BD｜。10。在平面直角坐標(biāo)系中,求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò)伸縮變換x'=(1)5x+2y=0;（2)x2+y2=2。解(1)由伸縮變換x得x將其代入5x+2y=0,得10x’+6y'=0,即5x'+3y'=0.故經(jīng)過(guò)伸縮變換x'=12x,y'=13y后，直線(2)將x=2x',y=3y'代入x2+y2=2,得經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形的方程是x'故經(jīng)過(guò)伸縮變換x'=12x,y'=13y后,11。導(dǎo)學(xué)號(hào)73574004在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別求一個(gè)伸縮變換使其滿足下列曲線的變換,并敘述變換過(guò)程。(1）曲線y=2sinx4變換為正弦曲線y=sinx（2）圓x2+y2=1變換為橢圓x29+解(1）將變換后的曲線方程y=sinx改寫為y’=sinx’。設(shè)滿足題意的伸縮變換為x'=λx(λ>0),y'=μy(μ將其即y=1μsinλx,λ所以滿足題意的伸縮變換為x即先使曲線y=2sinx4上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，將曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的14,得到曲線y=2sin14(4x)=2sinx,再將其縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12,（2)將變換后的橢圓方程x29+y24=設(shè)滿足題意的伸縮變換為x將其代入x'29得λ2x2即λ32x2+μ22y將其與x2+y2=1比較系數(shù)得λ即λ所以滿足題意的伸縮變換為x即先使圓x2+y2=1上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,將圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍,得到橢圓x29+y2=1，再將該橢圓的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,橫坐標(biāo)不變，得到橢圓x2B組1。一個(gè)正方形經(jīng)過(guò)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換后，其圖形可能是()A.正方形 B.矩形C。菱形 D.正方形、菱形或矩形解析正方形在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行伸縮變換后，圖形的形狀是由其在平面直角坐標(biāo)系中的位置決定的.若頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則變換后的圖形可能是菱形或正方形;若頂點(diǎn)在象限內(nèi),則變換后的圖形可能是矩形或正方形。答案D2.到兩定點(diǎn)的距離之比等于常數(shù)k（k≠0)的點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B。拋物線C.圓 D.直線或圓解析以兩定點(diǎn)A，B所在的直線為x軸,以AB的中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系（圖略）。設(shè)A（—a，0），B（a,0),P(x，y），｜PA|=k｜PB｜。顯然當(dāng)k=1時(shí),點(diǎn)P的軌跡是直線（即線段AB的中垂線);當(dāng)k≠1，且k≠0時(shí)，代入兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)可知點(diǎn)P的軌跡為圓.答案D3。在同一平面直角坐標(biāo)系中,在伸縮變換φ：x'=λx(解析設(shè)點(diǎn)P（x,y）在伸縮變換φ：x'=λx(λ>0,λ≠1),y'=μy(μ>0,μ≠1)的作用下得到點(diǎn)P'(λx，μy），依題意得x=λx,y=μy.答案(0，0)4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:x=-2交x軸于點(diǎn)A.設(shè)P是l上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上的一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP。當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí),則點(diǎn)M的軌跡E的方程是.

解析如圖所示,連接OM,則|PM|=|OM|。因?yàn)椤螹PO=∠AOP,所以動(dòng)點(diǎn)M滿足MP⊥l或M在x軸的負(fù)半軸上。設(shè)M(x，y），①當(dāng)MP⊥l時(shí)，|MP｜=|x+2｜，｜OM|=x2+y2，|x+2|=x2+y2，化簡(jiǎn)得y2=4x+②當(dāng)M在x軸的負(fù)半軸上時(shí),y=0（x≤-1).綜上所述,點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2=4x+4（x≥—1）或y=0(x<-1).答案y2=4x+4（x≥—1)或y=0（x〈-1)5.已知B村莊位于A村莊的正西方向1km處，原計(jì)劃在經(jīng)過(guò)B村莊且沿著北偏東60°的方向上埋設(shè)一條地下管線l，但在A村莊的西北方向400m處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.根據(jù)初步勘察的結(jié)果，文物管理部門將遺址W周圍100m內(nèi)的范圍劃為禁區(qū)。試問(wèn),埋設(shè)地下管線l的計(jì)劃需要修改嗎?解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向和正北方向分別為x軸、y軸的正半軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。則A（0，0）,B（-1000,0）。由W位于A的西北方向及｜AW|=400，得W(—2002,2002)。由直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且傾斜角為90°-60°=30°,得直線l的方程是x-3y+1000=0.點(diǎn)W到直線l的距離為d=|-=500-100(2+6）≈114>所以埋設(shè)地下管線l的計(jì)劃不需要修改.6.導(dǎo)學(xué)號(hào)73574005圓C:x2+y2=4向著x軸均勻壓縮,壓縮系數(shù)為12，在壓縮過(guò)程中，圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變.（1)求壓縮后的曲線方程.（2)過(guò)圓C上一點(diǎn)P（2,解設(shè)圓上一點(diǎn)P(x，y），壓縮后的點(diǎn)為P'(x'，y’），則x(1)將其代入x2+y2=4，得（x’）2+（2y’)2=4,即x'2+4y'2=4，則壓縮后的曲線方程為x2+4y2=4。（2）因?yàn)辄c(diǎn)P(2,2）滿足（2)2+（2)2=所以點(diǎn)P在圓上。故過(guò)點(diǎn)P的切線方程為2x+2y=4，壓縮后變?yōu)?x’+2×2y’=4，即x’+2y’=22，即壓縮后的方程為x+2y=22.由x+2y=22,x2+4y2=4由Δ=8-4×2=0,得直線x+2y=22與曲線x2+4y2=4相切。7。導(dǎo)學(xué)號(hào)73574006由甲導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、乙導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、丙綜合補(bǔ)給艦組成的護(hù)航編隊(duì)奔赴某海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)，對(duì)商船進(jìn)行護(hù)航。某日甲艦在乙艦正東6km處，丙艦在乙艦北偏西30°,兩艦相距4km。某時(shí)刻甲艦發(fā)現(xiàn)商船的某種求救信號(hào)。由于乙、丙兩艦比甲艦距離商船遠(yuǎn),因此4s后乙、丙兩艦才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào),此信號(hào)的傳播速度為1km/s。若甲艦趕赴救援,則行進(jìn)的方位角應(yīng)是多少？解設(shè)A,B，C，P分別表示甲艦、乙艦、丙艦和商船.以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A（3,0)，B（—3，0),C(-5,23).由題意，得｜PB|=｜PC|,所以點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上.因?yàn)閗BC=-3,線段BC的中點(diǎn)D（-4，3),所以直線PD的方程為