高中選修21第三章空間向量與立體幾何3.2立體幾何中的向量方法第一課時　空間

立體幾何中的向量方法第一課時空間向量與平行、垂直關系目標：1、了解幾何元素點線面的向量表示會求點的位置向量、直線的方向向量以及平面的法向量理解幾何元素間位置關系與向量關系的充要條件會利用向量處理平行和垂直關系重難點：1、會求點的位置向量、直線的方向向量以及平面的法向量利用向量處理平行和垂直關系教學方法：講練結合教學用具：電腦、紙筆和實物教學過程：（一）預習課本P102～108，思考并完成以下問題1．平面的法向量的定義是什么？2．設直線l的方向向量u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，則l∥α，l⊥α的充要條件分別是什么？（二）知識探索與梳理1．平面的法向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行或共線的向量．(2)平面的法向量直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則a叫做平面α的法向量．[點睛](1)直線的方向向量不是唯一的，解題時，最好選取坐標較簡單的方向向量．(2)一個平面的法向量有無數(shù)個，且它們互相平行．2．空間平行關系的向量表示(1)線線平行設直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，則l∥m?a∥b?a＝λb?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)線面平行設直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行設平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?u＝λv?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空間垂直關系的向量表示(1)線線垂直設直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(2)線面垂直設直線l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?a∥u?a＝λu?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.辨識：1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)直線l的方向向量是惟一的()(2)若點A，B是平面α上的任意兩點，n是平面α的法向量，則eq\o(AB,\s\up7(→))·n＝0()(3)若向量n1，n2為平面α的法向量，則以這兩個向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行()答案：(1)×(2)√(3)√2．若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直線l上，則直線l的一個方向向量是()A．(2,2,6) B．(－1,1,3)C．(3,1,1) D．(－3,0,1)答案：A3．設平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于()A．2 B．－4C．4 D．－2答案：C4．已知兩平面α，β的法向量分別為u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，則平面α，β的位置關系為________．答案：垂直（三）歸類講解題型一求平面的法向量[典例1]已知平面α經過三點A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一個法向量．[解]因為A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1，－2，－4)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2，－4，－3)．設平面α的法向量為n＝(x，y，z)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(AC,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－4z＝0，,2x－4y－3z＝0.))得z＝0，x＝2y，令y＝1，則x＝2，所以平面α的一個法向量為n＝(2,1,0)．小結利用待定系數(shù)法求法向量的步驟練習1：四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如圖所示的坐標系Axyz中，分別求平面SCD和平面SAB的一個法向量．解：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．∵AD⊥平面SAB，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝(1,0,0)是平面SAB的一個法向量．設平面SCD的法向量為n＝(1，y，z)，則n·eq\o(DC,\s\up7(→))＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－eq\f(1,2).又n·eq\o(DS,\s\up7(→))＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝eq\f(1,2).∴n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，\f(1,2)))即為平面SCD的一個法向量.題型二用空間向量證明平行問題[典例2]已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，求證：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.[證明]如圖所示建立空間直角坐標系D-xyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2，2,2)，所以eq\o(FC1,\s\up7(→))＝(0,2,1)，eq\o(DA,\s\up7(→))＝(2,0,0)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝(0,2,1)．(1)設n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1⊥eq\o(DA,\s\up7(→))，n1⊥eq\o(AE,\s\up7(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·eq\o(DA,\s\up7(→))＝2x1＝0，,n1·eq\o(AE,\s\up7(→))＝2y1＋z1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,z1＝－2y1，))令z1＝2，則y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因為eq\o(FC1,\s\up7(→))·n1＝－2＋2＝0，所以eq\o(FC1,\s\up7(→))⊥n1.又因為FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)因為eq\o(C1B1,\s\up7(→))＝(2,0,0)，設n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量．由n2⊥eq\o(FC1,\s\up7(→))，n2⊥eq\o(C1B1,\s\up7(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·eq\o(FC1,\s\up7(→))＝2y2＋z2＝0，,n2·eq\o(C1B1,\s\up7(→))＝2x2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,z2＝－2y2.))令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因為n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.小結：利用向量法證明平行問題的兩種途徑(1)利用三角形法則和平面向量基本定理實現(xiàn)向量間的相互轉化，得到向量的共線關系；(2)通過建立空間直角坐標系，借助直線的方向向量和平面的法向量進行平行關系的證明．練習2在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點．求證：PQ∥RS.證明：法一：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.則P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝(－3,2,1)，eq\o(RS,\s\up7(→))＝(－3,2,1)，∴eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\o(RS,\s\up7(→))，∴eq\o(PQ,\s\up7(→))∥eq\o(RS,\s\up7(→))，即PQ∥RS.法二：eq\o(RS,\s\up7(→))＝eq\o(RC,\s\up7(→))＋eq\o(CS,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up7(→))，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\o(PA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1Q,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→))，∴eq\o(RS,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))，∴eq\o(RS,\s\up7(→))∥eq\o(PQ,\s\up7(→))，即RS∥PQ.題型3利用空間向量證明垂直問題[典例3]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足為A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．(1)求證：AE⊥CD；(2)求證：PD⊥平面ABE.[證明](1)以A為坐標原點，直線AB，AD，PA分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設PA＝AB＝BC＝1，則A(0,0,0)，P(0,0,1)．∵∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形．∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2))).設D(0，y,0)，則eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y－\f(\r(3),2)，0)).由AC⊥CD得eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，解得y＝eq\f(2\r(3),3)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，0))，∴eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),6)，0)).又eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，∴eq\o(AE,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(\r(3),6)×eq\f(\r(3),4)＝0，∴eq\o(AE,\s\up7(→))⊥eq\o(CD,\s\up7(→))，即AE⊥CD.(2)由(1)知eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，eq\o(PD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1)).又eq\o(AE,\s\up7(→))·eq\o(PD,\s\up7(→))＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(3),3)＋eq\f(1,2)×(－1)＝0，∴eq\o(PD,\s\up7(→))⊥eq\o(AE,\s\up7(→))，即PD⊥AE.由(1)知eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,0,0)，∴eq\o(PD,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，∴PD⊥AB.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.小結利用向量法證明線、面垂直的策略(1)用向量法判定線面垂直，只需直線的方向向量與平面的法向量平行或直線的方向向量與平面內兩相交的直線的方向向量垂直．(2)用向量法判定兩個平面垂直，只需求出這兩個平面的法向量，再看它們的數(shù)量積是否為0.練習3在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點．求證：平面BDE⊥平面ABCD.證明：設AS＝AB＝1，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，Eeq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2).法一：連接AC，交BD于點O，連接OE，則點O的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).易知eq\o(AS,\s\up7(→))＝(0,0,1)，eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，∴eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up7(→))，∴OE∥AS.又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.法二：設平面BDE的法向量為n1＝(x，y，z)．易知eq\o(BD,\s\up7(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1⊥eq\o(BD,\s\up7(→))，,n1⊥eq\o(BE,\s\up7(→))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·eq\o(BD,\s\up7(→))＝－x＋y＝0，,n1·eq\o(BE,\s\up7(→))＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(1,2)z＝0.))令x＝1，可得平面BDE的一個法向量為n1＝(1,1,0)．∵AS⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一個法向量為n2＝eq\o(AS,\s\up7(→))＝(0,0,1)．∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.課后作業(yè)基礎鞏固1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是()A．(0，－3,1) B．(2,0,1)C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)解析：選D問題即求與n共線的一個向量．即n＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)．2．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z等于()A．3 B．6C．－9 D．9解析：選C∵l⊥α，v與平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0，∴z＝－9.3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的一個法向量是()A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)解析：選Deq\o(AB,\s\up7(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1,0,1)．設平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))取x＝－1，則y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一個法向量是(－1，－1，－1)．4．若平面α，β的一個法向量分別為m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,3)，－1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，3))，則()A．α∥β B．α⊥βC．α與β相交但不垂直 D．α∥β或α與β重合解析：選D∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α與β重合．5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點，則直線CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析：選B建立如圖所示的空間直角坐標系．設正方體的棱長為1.則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，∴eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BD,\s\up7(→))＝(－1，－1,0)，eq\o(A1D,\s\up7(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝(0,0，－1)．∵eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝(－1)×eq\f(1,2)＋(－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋0×1＝0，∴CE⊥BD.6．設l1的方向向量為a＝(1,2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則m＝________.解析：∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－2＋6－2m＝0，得m＝2.答案：27.已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1,2，－1)．對于結論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up7(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up7(→))∥eq\o(BD,\s\up7(→)).其中正確的是_______(填序號)．解析：由于eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正確．答案：①②③8．在直角坐標系O-xyz中，已知點P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和點Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直線OP與直線OQ垂直，則x的值為________．解析：由OP⊥OQ，得eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(OQ,\s\up7(→))＝0.即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.∴cosx＝0或cosx＝eq\f(1,2).∵x∈[0，π]，∴x＝eq\f(π,2)或x＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,2)或eq\f(π,3)9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點，EF⊥BP于點F.求證：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.證明：以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，如圖，設DC＝PD＝1，則P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).∴eq\o(PB,\s\up7(→))＝(1,1，－1)，eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－\f(1,2)))，設F(x，y，z)，則eq\o(PF,\s\up7(→))＝(x，y，z－1)，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(1,2)，z－\f(1,2))).∵eq\o(EF,\s\up7(→))⊥eq\o(PB,\s\up7(→))，∴x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(1,2)))＝0，即x＋y－z＝0.①又∵eq\o(PF,\s\up7(→))∥eq\o(PB,\s\up7(→))，可設eq\o(PF,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))，∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(2,3)，∴eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,6)，\f(1,6))).(1)設n1＝(x1，y1，z1)為平面EDB的一個法向量，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·eq\o(DE,\s\up7(→))＝0，,n1·eq\o(EB,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y1＋\f(1,2)z1＝0，,x1＋\f(1,2)y1－\f(1,2)z1＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝z1，,y1＝－z1.))取z1＝－1，則n1＝(－1,1，－1)．∵eq\o(PA,\s\up7(→))＝(1,0，－1)，∴eq\o(PA,\s\up7(→))·n1＝0.又∵PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)設n2＝(x2，y2，z2)為平面EFD的一個法向量，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·eq\o(EF,\s\up7(→))＝0，,n2·eq\o(DE,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－\f(1,6)y2＋\f(1,6)z2＝0，,\f(1,2)y2＋\f(1,2)z2＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－z2，,y2＝－z2.))取z2＝1，則n2＝(－1，－1,1)．∴eq\o(PB,\s\up7(→))∥n2，∴PB⊥平面EFD.10.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F(xiàn)分別為A1C1和BC的中點．求證：(1)平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)C1F∥平面ABE.解：如圖，以B為坐標原點，分別以BC，BA，BB1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設BC＝a，AB＝b，BB1＝c，則B(0,0,0)，A(0，b,0)，C1(a,0，c)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)，c)).(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＝(0，－b,0)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(b,2)，c)).設平面ABE的一個法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(AE,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－by＝0，,\f(a,2)x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))y＋cz＝0，))令x＝2，則y＝0，z＝－eq\f(a,c)，即n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，－\f(a,c))).又平面B1BCC1的一個法向量為n1＝(0,1,0)．∵n1·n＝2×0＋0×1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,c)))×0＝0，∴平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)eq\o(C1F,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，－c))，且n·eq\o(C1F,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(C1F,\s\up7(→))∥平面ABE.又∵C1F?平面ABE，∴C1F∥平面ABE.能力提升1．已知平面α內有一個點A(2，－1,2)，α的一個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點P中，在平面α內的是()A．(1，－1,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，－\f(3,2)))解析：選B若點P在平面α內，則PA⊥α，即eq\o(PA,\s\up7(→))·n＝0.對于選項A，eq\o(PA,\s\up7(→))＝(1,0,1)，則eq\o(PA,\s\up7(→))·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；對于選項B，eq\o(PA,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－4，\f(1,2)))，則eq\o(PA,\s\up7(→))·n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－4，\f(1,2)))·(3,1,2)＝0，故B正確；同理可排除C、D.2.在如圖所示的空間直角坐標系中，ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體，給出下列結論：①平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0)；②平面B1CD的一個法向量為(1,1,1)；③平面B1CD1的一個法向量為(1,1,1)；④平面ABC1D1的一個法向量為(0,1,1)．其中正確結論的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B∵eq\o(AD,\s\up7(→))＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴①正確；∵eq\o(CD,\s\up7(→))＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·eq\o(CD,\s\up7(→))＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴②不正確；∵eq\o(B1C,\s\up7(→))＝(0,1，－1)，eq\o(CD1,\s\up7(→))＝(－1,0,1)，(1,1,1)·eq\o(B1C,\s\up7(→))＝0，(1,1,1)·eq\o(CD1,\s\up7(→))＝0，B1C∩CD1＝C，∴(1,1,1)是平面B1CD1的一個法向量，∴③正確；∵eq\o(BC1,\s\up7(→))＝(0,1,1)，而eq\o(BC1,\s\up7(→))·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即④不正確．因此正確結論的個數(shù)為2，選B.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B，AC的中點，則MN與平面BB1C1C的位置關系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定解析：選B建系如圖，設正方體的棱長為2，則A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝(－1,0,1)．又平面BB1C1C的一個法向量為n＝(0,1,0)，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴eq\o(MN,\s\up7(→))⊥n，∴MN∥平面BB1C1C.故選B.4.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，平行六面體的各棱長均相等．給出下列結論：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.這四個結論中正確的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C∵eq\o(A1M,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(D1P,\s\up7(→))＝eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(A1M,\s\up7(→))∥eq\o(D1P,\s\up7(→))，從而A1M∥D1P，可得①③④正確．又B1Q與D1P不平行，故②不正確．5．已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(3,1，z)，若eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(BP,\s\up7(→))＝(x－1，y，－3)，且eq\o(BP,\s\up7(→))⊥平面ABC，則eq\o(BP,\s\up7(→))＝________.解析：∵eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，∴3＋5－2z＝0，∴z＝4.∵eq\o(BP,\s\up7(→))＝(x－1，y，－3)，且eq\o(BP,\s\up7(→))⊥平面ABC，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\o(BP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，,eq\o(BP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＋5y＋6＝0，,3x－3＋y－12＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7)，))故eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3))6.如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，則AE＝________.解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則B1(0,0,3a)，C(0，eq\r(2)a,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)，\f(\r(2)a,2)，3a)).設E(eq\r(2)a,0，z)(0≤z≤3a)，則eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)a，－\r(2)a，z))，eq\o(B1E,\s\up7(→))＝(eq\r(2)a,0，z－3a)，eq\o(B1D,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)，\f(\r(2)a,2)，0)).又eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(B1D,\s\up7(→))＝a2－a2＋0＝0，故由題意得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.答案：a或2a7.如圖，在正四棱柱ABC