離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)概述

第五章離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)Discrete-timeStochasticSignal5.5相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性質(zhì)根據(jù)相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)的定義，稍加推導(dǎo)就可得到它們的一些很有用的性質(zhì)。我們把這些性質(zhì)列舉如下，以備將來參考。考慮兩個(gè)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程{xn}和{yn}，它們的自相關(guān)序列、自協(xié)方差序列、互相關(guān)序列和互協(xié)方差序列分別是性質(zhì)1：當(dāng)mx=0和my=0時(shí)，Cxx(m)=Rxx(m)和Cxy(m)=Rxy(m)。證明：根據(jù)定義有Rxx(m)=E[xnxn+m]Cxx(m)=E[(xn-mx)(xn+m-mx)]=E[xnxn+m]-mxE[xn]-mxE[xn+m]+m2x

=Rxx(m)-m2xRxy(m)=E[xnyn+m]Cxy(m)=E[(xn-mx)(yn+m-my)=E[xnyn+m]-mxE[yn+m]-myE[xn]+mxmy=Rxy(m)-mxmy性質(zhì)2：證明：根據(jù)定義有Rxx(0)=E[xnxn]=E[x2n]Cxx(0)=E[(xn-mx)(xn-mx)]=E[(xn-mx)2]=σ2x性質(zhì)3：證明：根據(jù)定義有Rxx(-m)=E[xnxn-m]令n-m=n’，即n=n’+m，則上式為Rxx(-m)=E[xn'+mxn']=Rxx(m)根據(jù)性質(zhì)1和上式，得到Cxx(-m)=Rxx(-m)-m2x=Rxx(m)-m2x=Cxx(m)用類似的方法不難證明Rxy(m)=Ryx(-m)和Cxy(m)=Cyx(-m)。性質(zhì)4：特例：證明：由于已假設(shè){xn}和{yn}都是實(shí)隨機(jī)過程，因此下列不等式成立：將左式左端展開，得到所以令xn=yn，則上式化簡(jiǎn)為其余兩式可用類似的方法證明。從下式開始證明。性質(zhì)5：若yn=xn-n0，則有證明：令n-n0=n'，根據(jù)定義和假設(shè)條件yn=xn-n0，有根據(jù)性質(zhì)1，得到由于my=E[yn]=E[xn-n0]=mx，故上式變?yōu)槔眯再|(zhì)5的第一個(gè)結(jié)論，即Ryy(m)=Rxx(m)，則上式成為性質(zhì)6：在隨機(jī)過程中，兩隨機(jī)變量的時(shí)間間隔越大，它們的相關(guān)性越小。時(shí)間間隔趨于無窮大的兩隨機(jī)變量，它們之間不再相關(guān)。這一性質(zhì)可用以下公式表示：根據(jù)性質(zhì)1，由上列兩式可以得出和性質(zhì)6說明：相關(guān)序列和協(xié)方差序列都是非周期序列，而且隨著m值的增加逐漸衰減，當(dāng)m值很大時(shí)，序列值已趨近為零。因此，相關(guān)序列和協(xié)方差序列的Z變換或傅里葉變換通常是存在的。上面6個(gè)性質(zhì)可歸納成圖5.4所示的圖形。記住了這個(gè)圖，也就記住了這些性質(zhì)。從這6個(gè)性質(zhì)可以得出以下重要結(jié)論：(1)工程實(shí)際中常常要處理的信號(hào)是不可預(yù)知的具有無限能量的非周期信號(hào)，這類信號(hào)不滿足絕對(duì)可和條件，甚至不滿足乘以指數(shù)衰減序列后絕對(duì)可和的條件，因此它們的傅里葉變換和Z變換都不存在。但是，如果將這類信號(hào)看成是一個(gè)離散隨機(jī)過程的取樣序列，那么，由于其自相關(guān)序列和自協(xié)方差序列都是非周期序列，而且當(dāng)m趨于無窮大時(shí)，自協(xié)方差序列的值將衰減為零，在均值等于零的條件下，其自相關(guān)序列的值也將衰減為零，這說明自相關(guān)序列和自協(xié)方差序列都是有限能量序列，它們的Z變換和傅里葉變換是存在的，因而可以在頻域或Z域中表示和分析這些信號(hào)。(2)自相關(guān)序列不僅反映出隨機(jī)過程中不同時(shí)刻的隨機(jī)變量之間相關(guān)性的大小，而且可以根據(jù)自相關(guān)序列求出隨機(jī)過程的均值、均方值和方差等數(shù)字特征，正如性質(zhì)6、性質(zhì)2所說明的那樣。因此，自相關(guān)序列或自協(xié)方差序列是較全面地描述隨機(jī)過程特性的重要參量。5.6功功率譜1、自協(xié)方方差序列和和自相關(guān)序序列的傅里里葉變換和和z變換在研究確定定性信號(hào)時(shí)時(shí)，人們經(jīng)經(jīng)常用傅里里葉變換或或Z變換對(duì)對(duì)信號(hào)進(jìn)行行頻譜分析析。現(xiàn)在來來討論離散散隨機(jī)信號(hào)號(hào)的頻譜分分析問題。。離散隨機(jī)過過程是它的的無限多個(gè)個(gè)取樣序列列的集合。。實(shí)際中要要處理的離離散時(shí)間信信號(hào)，僅僅僅是無限多多個(gè)取樣序序列中的一一個(gè)。即使使對(duì)于遍歷歷性的平穩(wěn)穩(wěn)隨機(jī)過程程，也只能能根據(jù)它的的一個(gè)取樣樣序列，來來計(jì)算出它它的均值、、方差、均均方值、自自相關(guān)序列列以及協(xié)方方差序列等等特征量，，這些特征征量都是對(duì)對(duì)隨機(jī)過程程的時(shí)域特特征的描述述。隨機(jī)信號(hào)不不僅不可能能用確定信信號(hào)的表示示方法來描描述，而且且它們通常常都是無限限時(shí)寬和無無限能量的的信號(hào)，因因而它們的的傅里葉變變換和Z變變換都是不不存在的。。即使計(jì)算算它的Z變變換，得到到的Z變換換往往都沒沒有收斂域域。即使有有收斂域，，這個(gè)Z變變換對(duì)應(yīng)的的頻譜與其其它的取樣樣序列的頻頻譜通常也也是不同的的。但是，隨機(jī)機(jī)過程的自自協(xié)方差序序列或自相相關(guān)序列卻卻能較全面面描述隨機(jī)機(jī)過程的特特征，包括括時(shí)域特征征和頻域特特征。因?yàn)闉椴还苡媚哪膫€(gè)取樣序序列來計(jì)算算自協(xié)方差差序列或自自相關(guān)序列列，得到的的結(jié)果總是是相同的。。換句話說說，即使是是由一個(gè)取取樣序列計(jì)計(jì)算出來的的自相關(guān)序序列或自協(xié)協(xié)方差序列列，也能作作為對(duì)隨機(jī)機(jī)過程的本本質(zhì)描述。。此外，前節(jié)節(jié)曾經(jīng)指出出，自協(xié)方方差序列和和在均值等等于零情況況下的自相相關(guān)序列都都是有限能能量序列，，它們的傅傅里葉變換換和Z變換換總是存在在的。因此此，在對(duì)離離散隨機(jī)過過程進(jìn)行頻頻譜分析時(shí)時(shí)，要用自自協(xié)方差序序列或自相相關(guān)序列取取代隨機(jī)過過程的取樣樣序列。2、功率譜譜的定義協(xié)方差序列列Cxx(m)的Z變換：稱為平穩(wěn)隨隨機(jī)過程的的功率譜。。傳統(tǒng)上，人人們把功率率譜定義成成自相關(guān)序序列Rxx(m)的Z變換。但但那樣定義義會(huì)帶來不不方便，因因?yàn)楫?dāng)mx≠0時(shí)，根根據(jù)式(5.57)可知，自自相關(guān)序列列將不是一一個(gè)有限能能量序列，，嚴(yán)格地說說，它的Z變換是不不存在的。。為了克服服這個(gè)困難難，不得不不把Z變換換的定義推推廣，即允允許在z＝＝1(或ωω＝0)處處功率譜譜有一個(gè)沖沖激存在，，因?yàn)楦鶕?jù)據(jù)Z變換的的終值定理理(書本P.49)，有這說明，在在z＝1處處Sxx(z)有一一個(gè)極點(diǎn)，，或者說Sxx(ejω)在ω=0處存在一一個(gè)沖激。。為減少這這個(gè)麻煩，，常把功率率譜定義為為自協(xié)方差差序列的Z變換。采用這個(gè)定定義，對(duì)于于mx＝0的隨機(jī)機(jī)過程而言言，由于Cxx(m)＝Rxx(m)，所所以現(xiàn)在的的定義與傳傳統(tǒng)的定義義是一致的的；對(duì)于mx≠0的隨機(jī)機(jī)過程而言言，由于Cxx(m)是有有限能量序序列，它的的Z變換始始終是存在在的，所以以就無需對(duì)對(duì)Z變換的的定義進(jìn)行行推廣。在今后的討討論中，總總是假定隨隨機(jī)信號(hào)的的均值為零零，即使對(duì)對(duì)于均值不不為零的隨隨機(jī)信號(hào)，，也可以將將其均值置置為零，即即重新定義義一個(gè)零均均值隨機(jī)信信號(hào){xn}－E[xn]，這對(duì)于于隨機(jī)過程程的頻譜分分析不會(huì)帶帶來任何影影響。因此此，把平穩(wěn)穩(wěn)隨機(jī)過程程的功率譜譜的定義改改寫成下式式：(5.59)對(duì)于該式，，假定了mx=0。3、功率譜譜的性質(zhì)(1)根據(jù)自相關(guān)關(guān)序列的性性質(zhì)3即書書本P.168式式(5.52)，一一個(gè)實(shí)平穩(wěn)穩(wěn)隨機(jī)過程程的自相關(guān)關(guān)序列是時(shí)時(shí)間差m的的偶函數(shù)，，即Rxx(m)＝Rxx(－m)，，由Z變換換的性質(zhì)可可以得出功功率譜的一一個(gè)性質(zhì)：：(5.60)即Sxx(z)的極極點(diǎn)是關(guān)于于單位圓對(duì)對(duì)稱的?，F(xiàn)現(xiàn)設(shè)Sxx(z)最接接近于單位位圓的一個(gè)個(gè)極點(diǎn)位于于|z|＝＝Ra<1的圓圓周上，那那么Sxx(z)在|z|＝Ra-1>1的圓周周上必存在在一個(gè)對(duì)應(yīng)應(yīng)的極點(diǎn)，，該極點(diǎn)也也是最接近近于單位圓圓的，不過過它處在單單位圓外。。因此，Sxx(z)的收收斂域是一一個(gè)包含單單位圓在內(nèi)內(nèi)的環(huán)形區(qū)區(qū)域Ra<|z|<Ra-1，這里0<Ra<1；如果果Ra≥1則Sxx(z)沒有有收斂域。。在0<Ra<1的情況況下，由于于Sxx(z)的收收斂域包含含單位圓，，所以Rxx(m)的傅傅里葉變換換總是存在在的，即(5.61)今后，把式式(5.59)和(5.61)都作為為功率譜的的定義。注注意，Sxx(ejω)是ωω的周周期函函數(shù)，，周期期是2π。。式(5.61)有有時(shí)稱稱為維維納-辛欣欣定理理。式式(5.59)和(5.61)對(duì)對(duì)應(yīng)的的逆變變換公公式分分別為為和一個(gè)隨隨機(jī)序序列x(n)的的自相相關(guān)函函數(shù)Rxx(m)與該該序列列的自自功率率譜密密度函函數(shù)Sxx(ejω)也是是一個(gè)個(gè)傅里里葉變變換對(duì)對(duì)。由上式式可以以得到到根據(jù)自自相關(guān)關(guān)序列列的性性質(zhì)2，上上式即即該式說說明，，功率率譜在在一個(gè)個(gè)周期期內(nèi)的的平均均值就就是隨隨機(jī)過過程的的平均均功率率。圖圖5.5畫畫出了了功率率譜函函數(shù)在在一個(gè)個(gè)周期期內(nèi)的的示意意圖。。函數(shù)數(shù)曲線線Sxx(ω)在-π<ω<π頻頻率區(qū)區(qū)間所所圍的的面積積恰等等于隨隨機(jī)過過程的的平均均功率率的2π倍倍即2πE[x2]。因因此，，Sxx(ω)具有有功率率密度度的物物理意意義。。所以以，功功率譜譜實(shí)際際上是是指功功率密密度譜譜，有有時(shí)簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱為為譜。。(2)實(shí)平穩(wěn)穩(wěn)隨機(jī)機(jī)過程程的功功率譜譜是非非負(fù)的的，即即(3)實(shí)平穩(wěn)穩(wěn)隨機(jī)機(jī)過程程的功功率譜譜是實(shí)實(shí)函數(shù)數(shù)，即即式中，，*號(hào)號(hào)表示示復(fù)共共軛。。(4)實(shí)平穩(wěn)穩(wěn)隨機(jī)機(jī)過程程的功功率譜譜是ωω的偶偶函數(shù)數(shù)，即即從變換換域的的觀點(diǎn)點(diǎn)看，，相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)是一一座橋橋梁：：時(shí)域域(序序列)→相相關(guān)域域(自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù))→→頻頻域(自功功率譜譜)。。自相相關(guān)函函數(shù)將將無限限能量量序列列轉(zhuǎn)變變?yōu)橛杏邢弈苣芰啃蛐蛄?，，將隨隨機(jī)序序列轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)闉榇_定定性序序列，，從而而為譜譜分析析鋪平平了道道路。。但是是，在在這過過程中中失去去了相相位信信息。。所以以，從從頻譜譜可以以恢復(fù)復(fù)出原原時(shí)域域信號(hào)號(hào)，但但從自自功率率譜不不能恢恢復(fù)出出原隨隨機(jī)序序列，，只能能得出出序列列的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)特特性Rxx(m)。類似地地，可可以定定義兩兩個(gè)平平穩(wěn)隨隨機(jī)過過程{xn}和{yn}的互互功率率譜：：或根據(jù)互互相關(guān)關(guān)序列列的性性質(zhì)3(式式(5.52))，，可以以得出出互功功率譜譜具有有以下下性質(zhì)質(zhì)：自功率率譜是是實(shí)偶偶的，，互功功率譜譜卻是是復(fù)函函數(shù)。。因?yàn)闉镽xy(m)既不不是偶偶函數(shù)數(shù)，也也不是是奇函函數(shù)，，不像像Rxx(m)是實(shí)實(shí)偶的的。相相關(guān)函函數(shù)和和功率率譜函函數(shù)分分別從從相關(guān)關(guān)域和和頻域域這兩兩個(gè)側(cè)側(cè)面去去描述述隨機(jī)機(jī)序列列，它它們反反映的的都是是隨機(jī)機(jī)序列列的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)特特性，，可用用于信信號(hào)檢檢測(cè)、、時(shí)延延分析析，數(shù)數(shù)字系系統(tǒng)設(shè)設(shè)計(jì)和和分析析、故故障診診斷，，信號(hào)號(hào)譜分分析等等。例5.8假假設(shè)已已知零零均值值白噪噪聲隨隨機(jī)過過程的的自相相關(guān)序序列為為Rxx(m)=σσ2xδ(m)，，這里里σ2x是隨機(jī)機(jī)過程程的方方差。。求該該隨機(jī)機(jī)過程程的功功率譜譜。解：由由式(5.59)求求得即白噪噪聲的的功率率譜是是常數(shù)數(shù)，并并等于于隨機(jī)機(jī)過程程的方方差。。例5.9相相位位為平平穩(wěn)隨隨機(jī)過過程的的正弦弦序列列仍然然是一一個(gè)平平穩(wěn)隨隨機(jī)過過程，，它的的自相相關(guān)序序列為為式中，，A是是正弦弦序列列的振振幅，，ω0是正弦弦序列列的角角頻率率。求求該正正弦序序列的的功率率譜。。解：由由式(5.61)可可以計(jì)計(jì)算得得到例5.10設(shè)設(shè)平穩(wěn)穩(wěn)隨機(jī)機(jī)過程程的自自相關(guān)關(guān)序列列為求該隨隨機(jī)過過程的的功率率譜。。解：以上3個(gè)例例子中中得到到的功功率譜譜都是是實(shí)的的、非非負(fù)的的偶函函數(shù)。。5.7離離散隨隨機(jī)信信號(hào)通通過線線性非非移變變系統(tǒng)統(tǒng)在數(shù)字字信號(hào)號(hào)處理理的廣廣泛應(yīng)應(yīng)用領(lǐng)領(lǐng)域中中，常常常需需要用用線性性移不不變系系統(tǒng)對(duì)對(duì)信號(hào)號(hào)進(jìn)行行濾波波或處處理。。這些些信號(hào)號(hào)通常常都是是遍歷歷性平平穩(wěn)隨隨機(jī)過過程的的取樣樣序列列。本本節(jié)討討論當(dāng)當(dāng)這樣樣的離離散隨隨機(jī)信信號(hào)作作用于于一個(gè)個(gè)線性性移不不變系系統(tǒng)時(shí)時(shí)，系系統(tǒng)所所產(chǎn)生生的響響應(yīng)，，具體體要討討論的的是系系統(tǒng)輸輸出的的數(shù)字字特征征(均均值、、方差差、自自相關(guān)關(guān)序列列和功功率譜譜)與與輸入入的數(shù)數(shù)字特特征之之間的的關(guān)系系。設(shè)線性性非移移變系系統(tǒng)的的沖激激響應(yīng)應(yīng)用h(n)表表示，，加在在系統(tǒng)統(tǒng)輸入入端的的離散散隨機(jī)機(jī)信號(hào)號(hào)x(n)是一一個(gè)平平穩(wěn)隨隨機(jī)過過程(輸入入隨機(jī)機(jī)過程程)的的一個(gè)個(gè)取樣樣序列列，系系統(tǒng)產(chǎn)產(chǎn)生的的輸出出信號(hào)號(hào)(響響應(yīng))y(n)也是是一個(gè)個(gè)離散散隨機(jī)機(jī)信號(hào)號(hào)，把把它看看成是是另一一隨機(jī)機(jī)過程程(輸輸出隨隨機(jī)過過程)的一一個(gè)取取樣序序列。。不管x(n)是是確定定性的的還是是隨機(jī)機(jī)性的的信號(hào)號(hào)，對(duì)對(duì)于系系統(tǒng)來來說是是沒有有區(qū)別別的，，系統(tǒng)統(tǒng)的沖沖激響響應(yīng)、、輸入入信號(hào)號(hào)和輸輸出響響應(yīng)之之間總總是存存在著著下列列關(guān)系系：設(shè)輸入入隨機(jī)機(jī)過程程的均均值、、方差差、自自相關(guān)關(guān)序列列和功功率譜譜分別別為mx、σ2x、Rxx(m)和Sxx(ejω)，現(xiàn)現(xiàn)在來來計(jì)算算輸出出隨機(jī)機(jī)過程程的相相應(yīng)的的特征征參數(shù)數(shù)，并并討論論輸入入隨機(jī)機(jī)過程程與輸輸出隨隨機(jī)過過程之之間這這些參參數(shù)的的關(guān)系系。系統(tǒng)的的輸出出響應(yīng)應(yīng)y(n)是輸輸出隨隨機(jī)過過程{yn}的一一個(gè)取取樣序序列，，根據(jù)據(jù)遍歷歷性假假設(shè)，，可以以由y(n)求求出{yn}的均均值為為(1)輸出出隨機(jī)機(jī)過程程y(n)的均均值my由于輸輸入隨隨機(jī)過過程是是平穩(wěn)穩(wěn)隨機(jī)機(jī)過程程，故故上式式中的的E[x(n-k)]等等于mx，于是是上式式化為為式中，，H(ej0)是系系統(tǒng)的的頻率率特性性在ωω=0時(shí)的的值。。因此此，輸輸出隨隨機(jī)過過程的的均值值是與與時(shí)間間n無無關(guān)的的一個(gè)個(gè)常量量，它它與輸輸入隨隨機(jī)過過程的的均值值mx成正比比例關(guān)關(guān)系，，比例例常數(shù)數(shù)是系系統(tǒng)頻頻率特特性在在零頻頻率上上的取取值。。(2)輸出出隨機(jī)機(jī)過程程的自自相關(guān)關(guān)序列列Ryy(n,n+m)由該式式看出出輸出出隨機(jī)機(jī)過程程的自自相關(guān)關(guān)序列列只與與時(shí)間間差m有關(guān)關(guān)，而而與時(shí)時(shí)間起起點(diǎn)的的選取取(即即n的的選取取)無無關(guān)，，故可可將Ryy(n,n+m)表示示成Ryy(m)，，上式遂遂化為(5.72)綜合以上上討論可可看出，，輸出隨隨機(jī)過程程的均值值為常數(shù)數(shù)，其自自相關(guān)序序列只與與時(shí)間差差有關(guān)，，故它是是一個(gè)平平穩(wěn)隨機(jī)機(jī)過程。。令r-k＝l，，則式(5.72)可可寫成(5.73)式中，(5.74)它是系統(tǒng)統(tǒng)沖激響響應(yīng)h(n)的的(確定定性)自自相關(guān)序序列。由由式(5.73)可以以看出，，系統(tǒng)輸輸出隨機(jī)機(jī)過程的的自相關(guān)關(guān)序列，，等于輸輸入隨機(jī)機(jī)過程的的自相關(guān)關(guān)序列與與系統(tǒng)沖沖激響應(yīng)應(yīng)的自相相關(guān)序列列的線性性卷積。。由于在確確定性離離散時(shí)間間信號(hào)作作用于線線性非移移變系統(tǒng)統(tǒng)的情況況下，系系統(tǒng)的輸輸出響應(yīng)應(yīng)等于輸輸入信號(hào)號(hào)與系統(tǒng)統(tǒng)沖激響響應(yīng)的線線性卷積積，因此此，現(xiàn)在在討論的的隨機(jī)性性離散時(shí)時(shí)間信號(hào)號(hào)作用于于線性非非移變系系統(tǒng)的情情況，與與其非常常相似。。(3)輸輸出隨機(jī)機(jī)過程的的功率譜譜Syy(z)假設(shè)輸入入隨機(jī)過過程的均均值mx＝0，因因此輸出出隨機(jī)過過程的均均值亦為為零。這這樣，輸輸入和輸輸出隨機(jī)機(jī)過程的的協(xié)方差差序列都都分別與與它們各各自的自自相關(guān)序序列相等等。對(duì)式式(5.73)左右兩兩端進(jìn)行行Z變換換，得到到式中，Syy(z)和和Sxx(z)分分別是輸輸出和輸輸入隨機(jī)機(jī)過程的的功率譜譜，它們們分別等等于Ryy(m)和和Rxx(m)的的Z變換換，即Shh(z)是是Rhh(m)的的Z變換換，設(shè)h(n)是實(shí)序序列，從從式(5.74)可以以看出，，Rhh(l)是是h(n)和h(-n)的線線性卷積積，則Shh(z)為為Rhh(l)的的z變換換對(duì)應(yīng)于于h(n)和h(-n)的z變換的的乘積，，則有(5.76)式(5.76)中，H(z)是系統(tǒng)統(tǒng)的系統(tǒng)統(tǒng)函數(shù)。。如果h(n)是復(fù)序序列，那那么(5.77)于是式(5.75)可可寫成(5.78)由上式可可以看出出，假如如H(z)在z=zp處有一個(gè)個(gè)極點(diǎn)，，那么Syy(z)將將在z=zp和共軛倒倒數(shù)位置置z=1/z*p上各有一一個(gè)極點(diǎn)點(diǎn)；類似似地，若若H(z)在z=z0處有一個(gè)個(gè)零點(diǎn)，，那么Syy(z)將將在互成成共軛倒倒數(shù)關(guān)系系的兩個(gè)個(gè)位置z=z0和z=1/z*0上各有一一個(gè)零點(diǎn)點(diǎn)。在h(n)為實(shí)實(shí)序列的的情況下下，將式式(5.76)代入式式(5.75)，有式中，|H(z)|是是H(z)的模模。如果系統(tǒng)統(tǒng)是穩(wěn)定定的，那那么Syy(z)的收收斂域包包含單位位圓，由由上式可可以得出出由式(5.80)看出出，輸出出隨機(jī)過過程的功功率譜等等于輸入入隨機(jī)過過程的功功率譜與與系統(tǒng)頻頻率特性性幅度平平方的乘乘積。當(dāng)當(dāng)輸入信信號(hào)功率率譜為常常數(shù)時(shí)(例如輸輸入隨機(jī)機(jī)過程是是一個(gè)白白噪聲過過程)，，系統(tǒng)的的輸出信信號(hào)的功功率譜與與系統(tǒng)頻頻率特性性幅度的的平方具具有完全全相似的的形狀。。(4)輸輸入隨機(jī)機(jī)過程與與輸出隨隨機(jī)過程程的互相相關(guān)序列列Rxy(m)(5.81)上式說明明，系統(tǒng)統(tǒng)的輸入入信號(hào)與與輸出信信號(hào)之間間的互相相關(guān)序列列，等于于輸入信信號(hào)自相相關(guān)序列列與系統(tǒng)統(tǒng)沖激響響應(yīng)的線線性卷積積。式(5.74)定義了了系統(tǒng)沖沖激響應(yīng)應(yīng)的自相相關(guān)序列列Rhh(l)，，實(shí)際上上它就是是h(m)與h(-m)的線線性卷積積，代入入式(5.73)，得得到(5.82)考慮到式式(5.81)的結(jié)果果，上式式可寫成成：(5.83)該式說明明，輸出出隨機(jī)信信號(hào)的自自相關(guān)序序列，可可以通過過輸入與與輸出間間的互相相關(guān)序列列與系統(tǒng)統(tǒng)沖激響響應(yīng)進(jìn)行行相關(guān)計(jì)計(jì)算來得得到(注注意，與與h(-m)進(jìn)進(jìn)行線性性卷積運(yùn)運(yùn)算等效效于與h(m)進(jìn)行相相關(guān)運(yùn)算算)。式式(5.81)、式(5.82)和和式(5.83)可以以用圖5.6來來說明:式(5.81)是一個(gè)個(gè)重要結(jié)結(jié)果。如如果輸入入是一個(gè)個(gè)零均值值的平穩(wěn)穩(wěn)白噪聲聲隨機(jī)過過程，它它的方差差為σ2x，自相關(guān)關(guān)序列是是一個(gè)沖沖激Rxx(m)=σ2xδ(m)，功率率譜等于于常數(shù)Sxx(z)＝＝σ2x，這時(shí)式式(5.81)化為(5.84)上式對(duì)應(yīng)應(yīng)的Z變變換為或由此得到到(5.85)如果計(jì)算算得到了了系統(tǒng)輸輸入和輸輸出之間間的互相相關(guān)序列列或互功功率譜，，那么便便可根據(jù)據(jù)式(5.84)或式式(5.85)求出系系統(tǒng)的沖沖激響應(yīng)應(yīng)或頻率率特性，，這提供供了一種種辨識(shí)數(shù)數(shù)字濾波波器的方方法。(5)輸輸出隨機(jī)機(jī)過程的的方差由于前面面已經(jīng)討討論過均均值的計(jì)計(jì)算，所所以這里里只需討討論均方方值的計(jì)計(jì)算，就就能解決決方差的的計(jì)算問問題。輸出隨機(jī)機(jī)過程的的均方值值為(5.85)從而式中的積積分圍線線可選擇擇為單位位圓。直接計(jì)算算上式很很復(fù)雜，，一個(gè)較較簡(jiǎn)便的的方法是是利用部部分分式式展開來來計(jì)算逆逆Z變換換。將Sxx(z)H(z)H(z-1)z-1展開成部部分分式式式中，|αi|<1是是單位圓圓內(nèi)的極極點(diǎn)，|βi|>1是是單位圓圓外的極極點(diǎn)，N和M分分別是單單位圓內(nèi)內(nèi)、外極極點(diǎn)的數(shù)數(shù)目。上上式可以以變?yōu)槿绻挥杏幸浑A極極點(diǎn)，則則括號(hào)中中都只有有第一項(xiàng)項(xiàng)存在。。與單位位圓內(nèi)極極點(diǎn)對(duì)應(yīng)應(yīng)的項(xiàng)將將展開成成正時(shí)間間序列，，與單位位圓外極極點(diǎn)對(duì)應(yīng)應(yīng)的項(xiàng)將將展開成成負(fù)時(shí)間間序列。。Ai1z／(z-αi)的逆Z變換為為Ai1αniu(n)，在n=0處處為Ai1，而所有有其它項(xiàng)項(xiàng)的逆Z變換在在n=0處都為為零。因因此可以以得到(5.87)可以看出出，用式式(5.87)計(jì)算均均方值時(shí)時(shí)只需用用到Ai1參數(shù)，其其它系數(shù)數(shù)Ai2、Ai3、…、Bj1、Bj2、…在進(jìn)進(jìn)行部分分分式展展開時(shí)都都不需要要計(jì)算。。如果只只有1階階極點(diǎn)沒沒有高階階極點(diǎn)，，則Ai1可按下式式計(jì)算(1)相關(guān)－卷卷積定理理卷積的相相關(guān)等于于相關(guān)的的卷積。。(2)輸出自功率譜譜等于輸入自自功率譜與系系統(tǒng)能量譜的的乘積。總結(jié)：(3)輸入輸出互相相關(guān)定理輸入、輸出序序列的互相關(guān)關(guān)等于輸入自自相關(guān)與系統(tǒng)統(tǒng)單位取樣響響應(yīng)的卷積。。即輸入、輸出序序列互功率譜譜等于輸入自自功率譜與系系統(tǒng)頻響的乘乘積。即(4)均值定理輸出隨機(jī)序列列的均值等于于輸入隨機(jī)序序列的均值與與系統(tǒng)零頻(直流)響應(yīng)應(yīng)的乘積。9、靜夜夜四無無鄰，，荒居居舊業(yè)業(yè)貧。。。12月月-2212月月-22Sunday,December25,202210、雨中中黃葉葉樹，，燈下下白頭頭人。。。19:14:3919:14:3919:1412/25/20227:14:39PM11、以我我獨(dú)沈沈久，，愧君君相見見頻。。。12月月-2219:14:3919:14Dec-2225-Dec-2212、故人江海海別，幾度度隔山川。。。19:14:3919:14:3919:14Sunday,December25,202213、乍見翻疑疑夢(mèng)，相悲悲各問年。。。12月-2212月-2219:14:3919:14:39December25,202214、他鄉(xiāng)生生白發(fā)，，舊國見見青山。。。25十十二月20227:14:39下午午19:14:3912月-2215、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。。十二月227:14下午午12月-2219:14December25,202216、行動(dòng)出成果果，工作出財(cái)財(cái)富。。2022/12/2519:14:3919:14:3925December202217、做前，能夠夠環(huán)視四周；；做時(shí)，你只只能或者最好好沿著以腳為為起點(diǎn)的射線線向前。。7:14:39下午7:14下下午19:14:3912月-229、沒有失敗敗，只有暫暫時(shí)停止成成功！。12月-2212月-22Sunday,December25,202210、很多事情情努力了未未必有結(jié)果果，但是不不努力卻什什么改變也也沒有。。。19:14:3919:14:3919:1412/25/20227:14:39PM11、成功就是是日復(fù)一日日那一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小努力力的積累。。。12月-2219:14:3919:14Dec-2225-Dec-2212、世世間間成成事事，，不不求求其其絕絕對(duì)對(duì)圓圓滿滿，，留留一一份份不不足足，，可可得得無無限限完完美美。。。。19:14:3919:14:3919:14Sunday,December25,202213、不不知知香香積積寺寺