模電復習-數字電路2邏輯代數基礎

第二章

邏輯代數基礎

2.1邏輯代數一、邏輯代數的基本公式公式的證明方法：（2）用真值表證明，即檢驗等式兩邊函數的真值表是否一致。例2.1.2

用真值表證明反演律（1）用簡單的公式證明略為復雜的公式。例2.1.1

證明吸收律證：

二、邏輯代數的基本規(guī)則

對偶規(guī)則的基本內容是：如果兩個邏輯函數表達式相等，那么它們的對偶式也一定相等。基本公式中的公式l和公式2就互為對偶式。1.代入規(guī)則

對于任何一個邏輯等式，以某個邏輯變量或邏輯函數同時取代等式兩端任何一個邏輯變量后，等式依然成立。

例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：2.對偶規(guī)則

將一個邏輯函數L進行下列變換：

·→＋，＋→·

0→1，1→0

所得新函數表達式叫做L的對偶式，用表示。3.反演規(guī)則

將一個邏輯函數L進行下列變換：

·→＋，＋→·；

0→1，1→0；

原變量→反變量，反變量→原變量。

所得新函數表達式叫做L的反函數，用表示。

在應用反演規(guī)則求反函數時要注意以下兩點：（1）保持運算的優(yōu)先順序不變，必要時加括號表明，如例2.1.3。（2）變換中，幾個變量（一個以上）的公共非號保持不變，如例2.1.4。利用反演規(guī)則，可以非常方便地求得一個函數的反函數

例2.1.3

求以下函數的反函數：解：例2.1.4

求以下函數的反函數：解：三、邏輯函數的代數化簡法其中，與—或表達式是邏輯函數的最基本表達形式。2．邏輯函數的最簡“與—或表達式”的標準

（1）與項最少，即表達式中“+”號最少。（2）每個與項中的變量數最少，即表達式中“·

”號最少。1．邏輯函數式的常見形式

一個邏輯函數的表達式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互相轉換。例如：

3．用代數法化簡邏輯函數（4）配項法。

（1）并項法。（2）吸收法。（3）消去法。運用公式，將兩項合并為一項，消去一個變量。如運用吸收律A+AB=A，消去多余的與項。如

在化簡邏輯函數時，要靈活運用上述方法，才能將邏輯函數化為最簡。

再舉幾個例子：

解：例2.1.6

化簡邏輯函數：（利用）（利用A+AB=A）（利用

）

解：例2.1.7

化簡邏輯函數：（利用反演律）（利用）（配項法）（利用A+AB=A）（利用A+AB=A）（利用）由上例可知，邏輯函數的化簡結果不是唯一的。代數化簡法的優(yōu)點是不受變量數目的限制。缺點是：沒有固定的步驟可循；需要熟練運用各種公式和定理；在化簡一些較為復雜的邏輯函數時還需要一定的技巧和經驗；有時很難判定化簡結果是否最簡。

解法1：

解法2：例2.1.8

化簡邏輯函數：

2.2

邏輯函數的卡諾圖化簡法

一、

最小項的定義與性質

最小項的定義

n個變量的邏輯函數中，包含全部變量的乘積項稱為最小項。n變量邏輯函數的全部最小項共有2n個。

二、邏輯函數的最小項表達式

任何一個邏輯函數表達式都可以轉換為一組最小項之和，稱為最小項表達式。

例1：將以下邏輯函數轉換成最小項表達式：

解：

解：

=m7+m6+m3+m1

例2.2.2

將下列邏輯函數轉換成最小項表達式：

=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）

三、卡諾圖

2.卡諾圖

用小方格來表示最小項，一個小方格代表一個最小項，然后將這些最小項按照相鄰性排列起來。即用小方格幾何位置上的相鄰性來表示最小項邏輯上的相鄰性。

1．相鄰最小項

如果兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，則稱這兩個最小項為邏輯相鄰，簡稱相鄰項。

例如，最小項ABC和就是相鄰最小項。

如果兩個相鄰最小項出現在同一個邏輯函數中，可以合并為一項，同時消去互為反變量的那個量。如3．卡諾圖的結構（2）三變量卡諾圖

（1）二變量卡諾圖（3）四變量卡諾圖仔細觀察可以發(fā)現，卡諾圖具有很強的相鄰性：（1）直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項在邏輯上一定是相鄰的。（2）對邊相鄰性，即與中心軸對稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。

四、用卡諾圖表示邏輯函數

1．從真值表到卡諾圖例2.2.3

某邏輯函數的真值表如表3.2.3所示，用卡諾圖表示該邏輯函數。解：該函數為三變量，先畫出三變量卡諾圖，然后根據真值表將8個最小項L的取值0或者1填入卡諾圖中對應的8個小方格中即可。2．從邏輯表達式到卡諾圖（2）如表達式不是最小項表達式，但是“與—或表達式”，可將其先化成最小項表達式，再填入卡諾圖。也可直接填入。

例2.2.5

用卡諾圖表示邏輯函數（1）如果表達式為最小項表達式，則可直接填入卡諾圖。

例2.2.4

用卡諾圖表示邏輯函數:解：寫成簡化形式：

然后填入卡諾圖：解：直接填入：

五、邏輯函數的卡諾圖化簡法

1．卡諾圖化簡邏輯函數的原理:（1）2個相鄰的最小項結合，可以消去1個取值不同的變量而合并為l項。

（2）4個相鄰的最小項結合，可以消去2個取值不同的變量而合并為l項。

（3）8個相鄰的最小項結合，可以消去3個取值不同的變量而合并為l項?？傊?，2n個相鄰的最小項結合，可以消去n個取值不同的變量而合并為l項。

2．用卡諾圖合并最小項的原則（畫圈的原則）

（1）盡量畫大圈，但每個圈內只能含有2n（n=0,1,2,3……）個相鄰項。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個數盡量少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項。（4）在新畫的包圍圈中至少要含有1個末被圈過的1方格，否則該包圍圈是多余的。

3．用卡諾圖化簡邏輯函數的步驟：（1）畫出邏輯函數的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小項，即根據前述原則畫圈。（3）寫出化簡后的表達式。每一個圈寫一個最簡與項，規(guī)則是，取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項進行邏輯加，即得最簡與—或表達式。例2.2.6

用卡諾圖化簡邏輯函數：

L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）

解：（1）由表達式畫出卡諾圖。

（2）畫包圍圈，合并最小項，

得簡化的與—或表達式:

解：（1）由表達式畫出卡諾圖。（2）畫包圍圈合并最小項，得簡化的與—或表達式:例2.2.7

用卡諾圖化簡邏輯函數：注意：圖中的虛線圈是多余的，應去掉。例2.2.8

某邏輯函數的真值表如表3.2.4所示，用卡諾圖化簡該邏輯函數。（2）畫包圍圈合并最小項。有兩種畫圈的方法：（a）：寫出表達式：

解：（1）由真值表畫出卡諾圖。（b）：寫出表達式：

通過這個例子可以看出，一個邏輯函數的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡結果有時不是唯一的。

4．卡諾圖化簡邏輯函數的另一種方法——圈0法例2.2.9

已知邏輯函數的卡諾圖如圖3.2.13所示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡與—或式。解：（1）用圈1法畫包圍圈，得：（2）用圈0法畫包圍圈，得：

六、具有無關項的邏輯函數的化簡

1．無關項——在有些邏輯函數中，輸入變量的某些取值組合不會出現，或者一旦出現，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對應的最小項稱為無關項、任意項或約束項。

例2.2.10：在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號燈之間邏輯關系。解：設紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。車用L表示，車行L=1，車停L=0。列出該函數的真值。顯而易見，在這個函數中，有5個最小項為無關項。帶有無關項的邏輯函數的最小項表達式為：L=∑m（）+∑d（）如本例函數可寫成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）例2.2.11：某邏輯函數輸入是8421BCD碼，其邏輯表達式為：

L（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15）

用卡諾圖法化簡該邏輯函數。解：（1）畫出4變量卡諾圖。將1、4、5、6、7、9號小方格填入1；將10、11、12、13、14、15號小方格填入×。（2）合并最小項，如圖（a）所示。注意，1方格不能漏。×方格根據需要，可以圈入，也可以放棄。（3）寫出邏輯函數的最簡與—或表達式:如果不考慮無關項，如圖（b）所示，寫出表達式為：化簡邏輯函數什么是最簡

項數最少每項中的變量數最少公式法化簡卡諾圖化簡

卡諾圖表示邏輯函數卡諾圖的特點合并最小項（化簡）卡諾圖的特點相鄰兩方格只有一個因子互為反變量合并最小項2n個最小項相鄰可消去n個因子m0m2m6m4m1m3m7m5ZXY0001111001YZWX00000111100111100412151393715261410811化簡：F=A,B,C,D(0,2,3,5,7,8,10,11,13)CDAB00

01

11

10000111101111111111、填圖2、圈組

“圈”盡可能大圈數盡可能少方格可重復使用3、讀圖F(A,B,C,D)=B’·D’+B’·C+B·C’·D+A’·B·DB’·D’B’·CA’·B·DB·C’·D卡諾圖化簡步驟填寫卡諾圖圈組：找出可以合并的最小項組(圈)數最少、每組(圈)包含的方塊數最多方格可重復使用，但至少有一個未被其它組圈過圈組時應從合并數最小的開始讀圖：寫出化簡后的乘積項消掉既能為0也能為1的變量保留始終為0或始終為1的變量積之和形式：

0反變量

1原變量幾個概念

對于邏輯函數P(X1,…,Xn)和F(X1,…,Xn)，若對任何使P=1的輸入組合，也能使F為1，則稱P隱含F，或者F包含P。P1(A,B,C)=A·B·C’F(A,B,C)=A·B+B’·CP2(A,B,C)=B’·CP=A,B,C(1,3,6)F=A,B,C(1,3,5,6,7)

對于邏輯函數P(X1,…,Xn)和F(X1,…,Xn)，若對任何使P=1的輸入組合，也能使F為1，則稱P隱含F，或者F包含P。

邏輯函數F(X1,…,Xn)的主蘊含項是隱含F的常規(guī)乘積項P，如果從P中移去任何變量，則所得的乘積項不隱含F。F(A,B,C)=A·B·C+B·C+A·C’=B·C+A·C’最小和是主蘊含項之和幾個概念ABCD000111100001111011111111奇異“

1”單元僅被單一主蘊含項覆蓋的輸入組合質主蘊含項覆蓋1個或多個奇異“1”單元的主蘊含項圈組時應從合并奇異“1”單元開始幾個概念化簡：F=A,B,C,D(0,1,2,3,4,5,7,14,15)CDAB00

01

11

10000111101111111111、填圖2、圈組找奇異“1”單元

圈質主蘊含項

圈其它的13、讀圖F(A,B,C,D)=A’·B’+A’·C’+A’·D+A·B·CCDAB00

01

11

100001111011111111111CDAB00

01

11

100001111011111111111化簡結果不一定唯一（但代價相同）CDAB00

01

11

1000011110111111沒有奇異“1”單元沒有質主蘊含項CDAB00

01

11

1000011110111111注意：不要重疊至少有一個1未被圈過卡諾圖化簡步驟填寫卡諾圖圈組：找出可以合并的最小項先找奇異“1”單元，圈質主蘊涵項，再圈其它項保證每個圈的范圍盡可能大、圈數盡可能少方格可重復使用，但不要重疊圈組讀圖：寫出化簡后的各項消掉既能為0也能為1的變量保留始終為0或始終為1的變量積之和形式：

0反變量

1原變量思考：和之積形式？？CDAB00

01

11

10000111100000000簡化“和之積”表達式0原變量1反變量A’+BA’+CF=(A+B’+C’+D)·(A’+C)·(A’+B)“無關”輸入組合有時組合電路的輸出和某些輸入組合無關F=A,B,C,D(1,2,3,5,7)+d(10,11,12,13,14,15)