模電復(fù)習(xí)-數(shù)字電路2邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第二章

邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

2.1邏輯代數(shù)一、邏輯代數(shù)的基本公式公式的證明方法：（2）用真值表證明，即檢驗(yàn)等式兩邊函數(shù)的真值表是否一致。例2.1.2

用真值表證明反演律（1）用簡(jiǎn)單的公式證明略為復(fù)雜的公式。例2.1.1

證明吸收律證：

二、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則

對(duì)偶規(guī)則的基本內(nèi)容是：如果兩個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式相等，那么它們的對(duì)偶式也一定相等?；竟街械墓絣和公式2就互為對(duì)偶式。1.代入規(guī)則

對(duì)于任何一個(gè)邏輯等式，以某個(gè)邏輯變量或邏輯函數(shù)同時(shí)取代等式兩端任何一個(gè)邏輯變量后，等式依然成立。

例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：2.對(duì)偶規(guī)則

將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行下列變換：

·→＋，＋→·

0→1，1→0

所得新函數(shù)表達(dá)式叫做L的對(duì)偶式，用表示。3.反演規(guī)則

將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行下列變換：

·→＋，＋→·；

0→1，1→0；

原變量→反變量，反變量→原變量。

所得新函數(shù)表達(dá)式叫做L的反函數(shù)，用表示。

在應(yīng)用反演規(guī)則求反函數(shù)時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：（1）保持運(yùn)算的優(yōu)先順序不變，必要時(shí)加括號(hào)表明，如例2.1.3。（2）變換中，幾個(gè)變量（一個(gè)以上）的公共非號(hào)保持不變，如例2.1.4。利用反演規(guī)則，可以非常方便地求得一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)

例2.1.3

求以下函數(shù)的反函數(shù)：解：例2.1.4

求以下函數(shù)的反函數(shù)：解：三、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法其中，與—或表達(dá)式是邏輯函數(shù)的最基本表達(dá)形式。2．邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)“與—或表達(dá)式”的標(biāo)準(zhǔn)

（1）與項(xiàng)最少，即表達(dá)式中“+”號(hào)最少。（2）每個(gè)與項(xiàng)中的變量數(shù)最少，即表達(dá)式中“·

”號(hào)最少。1．邏輯函數(shù)式的常見(jiàn)形式

一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互相轉(zhuǎn)換。例如：

3．用代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)（4）配項(xiàng)法。

（1）并項(xiàng)法。（2）吸收法。（3）消去法。運(yùn)用公式，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)變量。如運(yùn)用吸收律A+AB=A，消去多余的與項(xiàng)。如

在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，要靈活運(yùn)用上述方法，才能將邏輯函數(shù)化為最簡(jiǎn)。

再舉幾個(gè)例子：

解：例2.1.6

化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：（利用）（利用A+AB=A）（利用

）

解：例2.1.7

化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：（利用反演律）（利用）（配項(xiàng)法）（利用A+AB=A）（利用A+AB=A）（利用）由上例可知，邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)結(jié)果不是唯一的。代數(shù)化簡(jiǎn)法的優(yōu)點(diǎn)是不受變量數(shù)目的限制。缺點(diǎn)是：沒(méi)有固定的步驟可循；需要熟練運(yùn)用各種公式和定理；在化簡(jiǎn)一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時(shí)還需要一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)；有時(shí)很難判定化簡(jiǎn)結(jié)果是否最簡(jiǎn)。

解法1：

解法2：例2.1.8

化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：

2.2

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

一、

最小項(xiàng)的定義與性質(zhì)

最小項(xiàng)的定義

n個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，包含全部變量的乘積項(xiàng)稱(chēng)為最小項(xiàng)。n變量邏輯函數(shù)的全部最小項(xiàng)共有2n個(gè)。

二、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式

任何一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項(xiàng)之和，稱(chēng)為最小項(xiàng)表達(dá)式。

例1：將以下邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式：

解：

解：

=m7+m6+m3+m1

例2.2.2

將下列邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式：

=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）

三、卡諾圖

2.卡諾圖

用小方格來(lái)表示最小項(xiàng)，一個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，然后將這些最小項(xiàng)按照相鄰性排列起來(lái)。即用小方格幾何位置上的相鄰性來(lái)表示最小項(xiàng)邏輯上的相鄰性。

1．相鄰最小項(xiàng)

如果兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量互為反變量，其余變量均相同，則稱(chēng)這兩個(gè)最小項(xiàng)為邏輯相鄰，簡(jiǎn)稱(chēng)相鄰項(xiàng)。

例如，最小項(xiàng)ABC和就是相鄰最小項(xiàng)。

如果兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)出現(xiàn)在同一個(gè)邏輯函數(shù)中，可以合并為一項(xiàng)，同時(shí)消去互為反變量的那個(gè)量。如3．卡諾圖的結(jié)構(gòu)（2）三變量卡諾圖

（1）二變量卡諾圖（3）四變量卡諾圖仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，卡諾圖具有很強(qiáng)的相鄰性：（1）直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項(xiàng)在邏輯上一定是相鄰的。（2）對(duì)邊相鄰性，即與中心軸對(duì)稱(chēng)的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。

四、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

1．從真值表到卡諾圖例2.2.3

某邏輯函數(shù)的真值表如表3.2.3所示，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。解：該函數(shù)為三變量，先畫(huà)出三變量卡諾圖，然后根據(jù)真值表將8個(gè)最小項(xiàng)L的取值0或者1填入卡諾圖中對(duì)應(yīng)的8個(gè)小方格中即可。2．從邏輯表達(dá)式到卡諾圖（2）如表達(dá)式不是最小項(xiàng)表達(dá)式，但是“與—或表達(dá)式”，可將其先化成最小項(xiàng)表達(dá)式，再填入卡諾圖。也可直接填入。

例2.2.5

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)（1）如果表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，則可直接填入卡諾圖。

例2.2.4

用卡諾圖表示邏輯函數(shù):解：寫(xiě)成簡(jiǎn)化形式：

然后填入卡諾圖：解：直接填入：

五、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

1．卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的原理:（1）2個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去1個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)。

（2）4個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去2個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)。

（3）8個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去3個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)?？傊?，2n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去n個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)。

2．用卡諾圖合并最小項(xiàng)的原則（畫(huà)圈的原則）

（1）盡量畫(huà)大圈，但每個(gè)圈內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3……）個(gè)相鄰項(xiàng)。要特別注意對(duì)邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個(gè)數(shù)盡量少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過(guò)，即不能漏下取值為1的最小項(xiàng)。（4）在新畫(huà)的包圍圈中至少要含有1個(gè)末被圈過(guò)的1方格，否則該包圍圈是多余的。

3．用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟：（1）畫(huà)出邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小項(xiàng)，即根據(jù)前述原則畫(huà)圈。（3）寫(xiě)出化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。每一個(gè)圈寫(xiě)一個(gè)最簡(jiǎn)與項(xiàng)，規(guī)則是，取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得最簡(jiǎn)與—或表達(dá)式。例2.2.6

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：

L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）

解：（1）由表達(dá)式畫(huà)出卡諾圖。

（2）畫(huà)包圍圈，合并最小項(xiàng)，

得簡(jiǎn)化的與—或表達(dá)式:

解：（1）由表達(dá)式畫(huà)出卡諾圖。（2）畫(huà)包圍圈合并最小項(xiàng)，得簡(jiǎn)化的與—或表達(dá)式:例2.2.7

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：注意：圖中的虛線圈是多余的，應(yīng)去掉。例2.2.8

某邏輯函數(shù)的真值表如表3.2.4所示，用卡諾圖化簡(jiǎn)該邏輯函數(shù)。（2）畫(huà)包圍圈合并最小項(xiàng)。有兩種畫(huà)圈的方法：（a）：寫(xiě)出表達(dá)式：

解：（1）由真值表畫(huà)出卡諾圖。（b）：寫(xiě)出表達(dá)式：

通過(guò)這個(gè)例子可以看出，一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡(jiǎn)結(jié)果有時(shí)不是唯一的。

4．卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的另一種方法——圈0法例2.2.9

已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如圖3.2.13所示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫(xiě)出其最簡(jiǎn)與—或式。解：（1）用圈1法畫(huà)包圍圈，得：（2）用圈0法畫(huà)包圍圈，得：

六、具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

1．無(wú)關(guān)項(xiàng)——在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會(huì)出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱(chēng)為無(wú)關(guān)項(xiàng)、任意項(xiàng)或約束項(xiàng)。

例2.2.10：在十字路口有紅綠黃三色交通信號(hào)燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車(chē)行與三色信號(hào)燈之間邏輯關(guān)系。解：設(shè)紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。車(chē)用L表示，車(chē)行L=1，車(chē)停L=0。列出該函數(shù)的真值。顯而易見(jiàn)，在這個(gè)函數(shù)中，有5個(gè)最小項(xiàng)為無(wú)關(guān)項(xiàng)。帶有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式為：L=∑m（）+∑d（）如本例函數(shù)可寫(xiě)成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）例2.2.11：某邏輯函數(shù)輸入是8421BCD碼，其邏輯表達(dá)式為：

L（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15）

用卡諾圖法化簡(jiǎn)該邏輯函數(shù)。解：（1）畫(huà)出4變量卡諾圖。將1、4、5、6、7、9號(hào)小方格填入1；將10、11、12、13、14、15號(hào)小方格填入×。（2）合并最小項(xiàng)，如圖（a）所示。注意，1方格不能漏?！练礁窀鶕?jù)需要，可以圈入，也可以放棄。（3）寫(xiě)出邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與—或表達(dá)式:如果不考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)，如圖（b）所示，寫(xiě)出表達(dá)式為：化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)什么是最簡(jiǎn)

項(xiàng)數(shù)最少每項(xiàng)中的變量數(shù)最少公式法化簡(jiǎn)卡諾圖化簡(jiǎn)

卡諾圖表示邏輯函數(shù)卡諾圖的特點(diǎn)合并最小項(xiàng)（化簡(jiǎn)）卡諾圖的特點(diǎn)相鄰兩方格只有一個(gè)因子互為反變量合并最小項(xiàng)2n個(gè)最小項(xiàng)相鄰可消去n個(gè)因子m0m2m6m4m1m3m7m5ZXY0001111001YZWX00000111100111100412151393715261410811化簡(jiǎn)：F=A,B,C,D(0,2,3,5,7,8,10,11,13)CDAB00

01

11

10000111101111111111、填圖2、圈組

“圈”盡可能大圈數(shù)盡可能少方格可重復(fù)使用3、讀圖F(A,B,C,D)=B’·D’+B’·C+B·C’·D+A’·B·DB’·D’B’·CA’·B·DB·C’·D卡諾圖化簡(jiǎn)步驟填寫(xiě)卡諾圖圈組：找出可以合并的最小項(xiàng)組(圈)數(shù)最少、每組(圈)包含的方塊數(shù)最多方格可重復(fù)使用，但至少有一個(gè)未被其它組圈過(guò)圈組時(shí)應(yīng)從合并數(shù)最小的開(kāi)始讀圖：寫(xiě)出化簡(jiǎn)后的乘積項(xiàng)消掉既能為0也能為1的變量保留始終為0或始終為1的變量積之和形式：

0反變量

1原變量幾個(gè)概念

對(duì)于邏輯函數(shù)P(X1,…,Xn)和F(X1,…,Xn)，若對(duì)任何使P=1的輸入組合，也能使F為1，則稱(chēng)P隱含F(xiàn)，或者F包含P。P1(A,B,C)=A·B·C’F(A,B,C)=A·B+B’·CP2(A,B,C)=B’·CP=A,B,C(1,3,6)F=A,B,C(1,3,5,6,7)

對(duì)于邏輯函數(shù)P(X1,…,Xn)和F(X1,…,Xn)，若對(duì)任何使P=1的輸入組合，也能使F為1，則稱(chēng)P隱含F(xiàn)，或者F包含P。

邏輯函數(shù)F(X1,…,Xn)的主蘊(yùn)含項(xiàng)是隱含F(xiàn)的常規(guī)乘積項(xiàng)P，如果從P中移去任何變量，則所得的乘積項(xiàng)不隱含F(xiàn)。F(A,B,C)=A·B·C+B·C+A·C’=B·C+A·C’最小和是主蘊(yùn)含項(xiàng)之和幾個(gè)概念A(yù)BCD000111100001111011111111奇異“

1”單元僅被單一主蘊(yùn)含項(xiàng)覆蓋的輸入組合質(zhì)主蘊(yùn)含項(xiàng)覆蓋1個(gè)或多個(gè)奇異“1”單元的主蘊(yùn)含項(xiàng)圈組時(shí)應(yīng)從合并奇異“1”單元開(kāi)始幾個(gè)概念化簡(jiǎn)：F=A,B,C,D(0,1,2,3,4,5,7,14,15)CDAB00

01

11

10000111101111111111、填圖2、圈組找奇異“1”單元

圈質(zhì)主蘊(yùn)含項(xiàng)

圈其它的13、讀圖F(A,B,C,D)=A’·B’+A’·C’+A’·D+A·B·CCDAB00

01

11

100001111011111111111CDAB00

01

11

100001111011111111111化簡(jiǎn)結(jié)果不一定唯一（但代價(jià)相同）CDAB00

01

11

1000011110111111沒(méi)有奇異“1”單元沒(méi)有質(zhì)主蘊(yùn)含項(xiàng)CDAB00

01

11

1000011110111111注意：不要重疊至少有一個(gè)1未被圈過(guò)卡諾圖化簡(jiǎn)步驟填寫(xiě)卡諾圖圈組：找出可以合并的最小項(xiàng)先找奇異“1”單元，圈質(zhì)主蘊(yùn)涵項(xiàng)，再圈其它項(xiàng)保證每個(gè)圈的范圍盡可能大、圈數(shù)盡可能少方格可重復(fù)使用，但不要重疊圈組讀圖：寫(xiě)出化簡(jiǎn)后的各項(xiàng)消掉既能為0也能為1的變量保留始終為0或始終為1的變量積之和形式：

0反變量

1原變量思考：和之積形式？？CDAB00

01

11

10000111100000000簡(jiǎn)化“和之積”表達(dá)式0原變量1反變量A’+BA’+CF=(A+B’+C’+D)·(A’+C)·(A’+B)“無(wú)關(guān)”輸入組合有時(shí)組合電路的輸出和某些輸入組合無(wú)關(guān)F=A,B,C,D(1,2,3,5,7)+d(10,11,12,13,14,15)