應(yīng)用分析chapt4數(shù)值積分-4.142newton-cotes求積公式

第四章微積分的數(shù)值計算方法NumericalValueAnalysis傳統(tǒng)方法的困境數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的一般形式代數(shù)精度問題求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分是微積分學(xué)中的基本問題。返回章4.1基本概念對于積分但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中,常會見到以下現(xiàn)象:傳統(tǒng)方法的困境以上這些現(xiàn)象,Newton-Leibniz很難發(fā)揮作用!只能建立積分的近似計算方法--------數(shù)值積分正是為解決這樣的困難而提出來的，不僅如此，數(shù)值積分也是微分方程數(shù)值解法的工具之一。數(shù)值積分的基本思想

數(shù)值積分----是計算定積分的具有一定精度的近似值的各種計算方法。

從幾何上看，就是計算曲邊梯形面積的近似值。

最簡單的辦法，是用許多小矩形之和近似曲邊梯形的面積，如圖7-0所示，這就是----矩形公式：圖7-0矩形規(guī)則yxa=x0x1x2xixi+1xn-1xn=bf0f1f2fifi+1fn-1fnf(x)(1)圖7-1梯形規(guī)則xa=x0x1x2xixi+1xn-1xn=byf0f1f2fifi+1fn-1fnf(x)

如果改用許多小梯形之和近似曲邊梯形的面積，如圖7-1，就會更精確些，這就是----梯形公式。(2)積分中值定理但具體位置一般是不知道的，稱為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均高度。這樣，只要對平均高度提供一種算法，相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法。一般地，我們?nèi)a,b]內(nèi)若干個節(jié)點處的高度的加權(quán)平均的方法近似地得出平均高度。數(shù)值積分的一般形式

數(shù)值積分的一般形式是：其中，fi----是函數(shù)f(x)在節(jié)點xi上的函數(shù)值，它可能以列表形式給出，也可以是由函數(shù)的解析式計算出的函數(shù)值；Ai----稱為節(jié)點xi上的權(quán)系數(shù)，也稱求積系數(shù)。

正是由于權(quán)系數(shù)的構(gòu)造方法不同，從而決定了數(shù)值積分的不同方法。(3)記數(shù)值積分公式為特點：把求積過程（極限過程）轉(zhuǎn)化為有限次的乘法與加法的代數(shù)運算。xi為節(jié)點，Ai為求積系數(shù)。需要做的工作：

1.確定節(jié)點和求積系數(shù)；

2.估計余項；

3.討論公式的算法設(shè)計及其數(shù)值穩(wěn)定性。

最常用的一種方法是利用插值多項式來構(gòu)造數(shù)值求積公式,具體步驟如下:不同的插值方法有不同的基函數(shù),不同的表示形式插值型求積公式(1)式為數(shù)值求積公式.Ak為求積系數(shù),且僅與積分區(qū)間和求積節(jié)點xk有關(guān).

也就是說，當(dāng)被積函數(shù)f為次數(shù)不超過n的多項式時，其相應(yīng)的插值型求積公式不是近似公式，而是準(zhǔn)確公式。

———當(dāng)然期望公式能對越多的被積函數(shù)精確成立，并與此作為判斷求積公式“好”與“差”的一個標(biāo)準(zhǔn)。判斷求積公式“好”與“差”的標(biāo)準(zhǔn)————代數(shù)精度因此定義代數(shù)精度的概念:定義1.

若求積公式則稱該求積公式具有m次的代數(shù)精度.代數(shù)精度也稱代數(shù)精確度可以證明，求積公式

不能準(zhǔn)確成立.顯然，一個求積公式的代數(shù)精度越高，它就能對更多的被積函數(shù)f(x)準(zhǔn)確成立，從而具有更好的實際計算意義。結(jié)論：含有n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n.例1.試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.解:因此所以該積分公式具有3次代數(shù)精確度

1．Newton-Cotes公式

2．常用的NC公式3.Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性4.2Newton-Cotes求積公式1、Newton-Cotes數(shù)值求積公式Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點下使用Lagrange插值多項式建立的數(shù)值求積公式各節(jié)點為其中而因此對于定積分有令即有n階Newton-Cotes求積公式Newton-Cotes公式的余項(誤差)注意是等距節(jié)點所以Newton-Cotes公式化為Nowton-Cotes型求積公式的誤差分析定理4.2.1Newton-Cotes求積公式的余項可表示為：其中其中2、低階Newton-Cotes公式及其余項在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4時的公式是最常用也最重要三個公式,稱為低階公式(1).梯形公式及其余項Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為梯形求積公式,也稱兩點公式，記為梯形公式的余項為第二積分中值定理梯形公式具有1次代數(shù)精度故(2).Simpson公式及其余項Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為Simpson求積公式，也稱三點公式或拋物線公式記為Simpson公式的余項為Simpson公式具有3次代數(shù)精度(3).Cotes公式及其余項Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為Cotes求積公式，也稱五點公式記為Cotes公式的余項為Cotes公式具有5次代數(shù)精度

常用的NC公式：

常用的NC公式

觀察這些公式的代數(shù)精度階數(shù)，自然會得出結(jié)論：梯形規(guī)則簡單，有1階代數(shù)精度；再增加一個節(jié)點，就是具有3階代數(shù)精度的Simpson公式；而Simpson3-8公式又增加一個節(jié)點，精度卻沒有提高。所以，人們一般常用前兩個方法。Cotes系數(shù)的性質(zhì):三、Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性(舍入誤差)考察Cotes系數(shù)因此用Newton-Cotes公式計算積分的舍入誤差主要由其值可以精確給定。記而理論值為即Newton-Cotes公式的舍入誤差只是函數(shù)值誤差的此時,公式的穩(wěn)定性將無法保證因此,在實際應(yīng)用中一般不使用高階Newton-Cotes公式而是采用低階復(fù)合求積法(下節(jié))4.2復(fù)化求積法直接使用Newton-Cotes公式的余項將會較大；公式的舍入誤差又很難得到控制。為了提高公式的精度,又使算法簡單易行,往往使用復(fù)合方法然后在每個小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式，最后將每個小區(qū)間上的積分的近似值相加。一、復(fù)化求積公式各節(jié)點為記為由積分區(qū)間的可加性,得復(fù)化求積公式復(fù)化梯形公式:稱為復(fù)化Simpson公式或復(fù)化拋物線公式例1.解:為簡單起見,依次使用n=8的復(fù)化梯形公式、

n=4的復(fù)化Simpson公式.可得各節(jié)點的值如右表

010.1250.997397870.250.989615840.3750.976726740.50.958851080.6250.936155640.750.908851680.8750.8771925710.84147098分別由復(fù)化梯形、Simpson公式有原積分的精確值為精度高精度低

比較兩個公式的結(jié)果那么哪個復(fù)化求積公式的收斂最快呢？二、復(fù)化求積公式的余項和收斂的階我們知道,兩個求積公式的余項分別為單純的求積公式復(fù)合求積公式的每個小區(qū)間則復(fù)化梯形公式的余項為由于即有比較兩種復(fù)化公式的的余項為此介紹收斂階的概念!定義1.