高中數學 3.4生活中的優(yōu)化問題舉例 新人教A選修11

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例高二數學選修1-1整理ppt知識回顧一、如何判斷函數函數的單調性？f(x)為增函數f(x)為減函數設函數y=f(x)在

某個區(qū)間內可導，二、如何求函數的極值與最值？求函數極值的一般步驟（1）確定定義域（2）求導數f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判斷求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內極值；(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b）比較,從而確定函數的最值。整理ppt知識背景：

生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.通過前面的學習，我們知道，導數是求函數最大（?。┲档挠辛ぞ?，本節(jié)我們運用導數，解決一些生活中的優(yōu)化問題.整理ppt例1：海報版面尺寸的設計

學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設計一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？圖3.4-1

分析：已知版心的面積，你能否設計出版心的高，求出版心的寬，從而列出海報四周的面積來？整理ppt

你還有其他解法嗎？例如用基本不等式行不？因此，x=16是函數S(x)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。整理ppt解法二：由解法(一)得整理ppt問題2:

飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎?你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數學上知道它的道理嗎?是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?整理ppt規(guī)格（L）21.250.6價格（元）5.14.52.5例2：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產品，若它們的價格如下表所示，則（1）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？（2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？整理ppt某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，(１)瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？(２）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+減函數↘增函數↗-1.07p∴每瓶飲料的利潤：背景知識解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是整理ppt當半徑r＞２時，f’(r)>0它表示f(r)單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑r＜２時，f’(r)<0它表示f(r)單調遞減，

即半徑越大，利潤越低．1.半徑為２cm時，利潤最小，這時表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值２．半徑為６cm時，利潤最大整理ppt231、當半徑為2cm時,利潤最小,這時f(2)<0,2、當半徑為6cm時，利潤最大。從圖中可以看出:從圖中，你還能看出什么嗎？整理ppt問題3、磁盤的最大存儲量問題(1)你知道計算機是如何存儲、檢索信息的嗎？(2)你知道磁盤的結構嗎？(3)如何使一個圓環(huán)狀的磁盤存儲盡可能多的信息？整理pptRr例3：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)行區(qū)域。是不是r越小，磁盤的存儲量越大？(2)r為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？整理ppt解：存儲量=磁道數×每磁道的比特數設存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，且最外面的磁道不存儲人何信息，所以磁道最多可達又由于每條磁道上的比特數相同，為獲得最大的存儲量，最內一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數可達到所以，磁道總存儲量（1）它是一個關于r的二次函數，從函數的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.整理ppt(2)為求的最大值，計算令解得因此，當時，磁道具有最大的存儲量，最大存儲量為整理ppt由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問題的基本思路是：優(yōu)化問題用函數表示的數學問題用導數解決數學問題優(yōu)化問題的答案上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數學建模過程。整理ppt練習：在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？整理ppt解:設箱底邊長為x,則箱高h=(60-x)/2.箱子容積

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當x過小(接近0)或過大(接近60)時,箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當x=40cm時,箱子容積最大,最大容積是16000cm3.整理ppt練習1:在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋的方底箱子,箱底邊長為多少時,箱子的容積最大?最大容積是多少?解:設箱底邊長為x,則箱高h=(60-x)/2.箱子容積V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當x過小(接近0)或過大(接近60)時,箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當x=40cm時,箱子容積最大,最大容積16000cm3.練習：整理ppt練習2:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?Rh解設圓柱的高為h,底面半徑為R.則表面積為S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.可以判斷S(R)只有一個極值點,且是最小值點.答罐高與底的直徑相等時,所用材料最省.整理pptxy練習3如圖,在二次函數f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內接矩形ABCD,求這個矩形的最大面積.解:設B(x,0)(0<x<2),則A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當時,因此當點B為時,矩形的最大面積是整理ppt練習4:已知x,y為正實數,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.設,由x,y為正實數得:設令,得又,又f(0)=f(π)=0,故當時,整理ppt練習5:證明不等式:證:設則令