2022-2023學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊《第1章特殊的平行四邊形》解答專項練習(xí)題(附答案)

1中，∠CAB＝∠1中，∠CAB＝∠B＝30°，DE、ACBCFCF＝BC、EFAF．CDEF為菱形．BC＝2AF．ABCD中，過點DDE⊥ABE，點FCD，連接AF，BF．BFDE是矩形；是∠DABAD＝3AB的長．已知：如圖，四邊形ABCDACBDACD．（2）E（2）EAB上，DEAB，求證：BD＝AD+AE．ABCDEACFBE延長線EF＝BE，EFCDGDF．GCDCFDE是菱形．在CFDEAB＝2BC的長．EF分別在ABCDABCDBE＝DFACEF、AF、CE，ACEFO．EF互相平分；EF平分∠AECAECF是菱形．ABCDBDCB延長線上一點，連CE，EF，AFDE＝DC，EF＝EC的度數(shù)．ABCDDDE⊥ABEFCDFC＝AEAF，BF．DEBF是矩形；AF平分∠DAB，AE＝6，DF＝10BF的長．F、NABCDAE＝BF＝CM＝DNEFMN是正方形；AB＝7，AE＝3EFMN的周長．ABCDAD∥BC，OACO作直線分別與四邊ABCDAD，BCM，NCM，AN．ANCM為平行四邊形；MN時，②ABCDAD②ABCDAD＝8，AC＝4DM的長．ABCDEACFBC的延長線上，且BE＝EF，EF交CD于點G．的度數(shù)．AAF∥BCCEF，∠FBA＝∠DAB，∠BAC＝90°，D是BC的中點．ADBF是菱形；AB＝8ADBF40ACBC的長．的平分線交于、∠DFEH．EGFH是矩形；GMN∥EFHPQ∥EFP，QMNQPMNQP是菱形．GABCDCAAG為邊作一個正AEFGEBGDH．（2）AB＝3，（2）AB＝3，AG＝3，求EB的長．ABCD中，EBDAEEEF⊥AE，交邊BCF．FC，DE的數(shù)量關(guān)系并加以證明；AB＝4，F(xiàn)E＝FCDE的長．在正方形ABCDFABEDFBECE、AE．EB＝BC的度數(shù)．14ABCDEBDAEE作EF⊥AE，交邊CD于點F，若DF＝2，求BE的長．下面是小明、小華和小東三位同學(xué)關(guān)于本題不同視角下的部分思維過程：小明：從直線BD是正方形的對稱軸角度看，連接EC，如圖2，則EA＝EC，∠ECD＝∠EAD，又∠ADC＝∠AEF＝90°，……EF⊥AEEBCABCD3，通過證明△AME≌△ENF，……小東：從EF⊥AE的角度看，還可以過點E作BD的垂線，交DC的延長線于點P，如圖4，……請結(jié)合上面的思路，求BE的長．如圖，在正方形ABCDEFBCCDAGCB延長線上一點．嗎？說明理由．DFBEEF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cmPDA運(yùn)動，運(yùn)動到A即停止；同時，點QBC運(yùn)動，運(yùn)動到點C即停止，點Q1cm/sPQ、CPPQts．tABQP是矩形；tAQCP是菱形；分別求出AQCP的周長和面積．ABCDO，EOCAAG⊥BE于點G，AG、BD交于點F．1ABCDABCDOEOF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．ABCD中，∠BADBCEDCF，ECCFECFG1所示．ECFG是菱形；若∠ABC＝120BGCGDG2所示，①求證：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度數(shù)．若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，MEF3DM的長．參考答案∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，1）∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF；∴四邊形CDEF是平行四邊形，∵∠CAB＝∠B＝30°，∴∠ACF＝60°，∵DE＝BC，CE∵DE＝BC，CE＝AC，BC＝AC，∴DE＝CE，∴△DEC是等邊三角形，∴DE＝DC，∴平行四邊形CDEF為菱形．CDEF為菱形，∴DE＝EF＝FC＝CD，∵△DEC是等邊三角形，∴DE＝EC＝CD，∴EF＝FC＝EC，∵AE＝EC，∴AE＝EF＝EC，∵∠CEF＝60°，∴∠EAF＝∠EFA＝30°，∵CF＝BC＝1∵CF＝BC＝1，∴AF＝CF＝．證明（1）∵ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE且DC∥AB，∴四邊形DFBE是平行四邊形，又∵DE⊥AB，∴四邊形DFBE是矩形；（2）方法一：∴AE＝，DE＝AE＝，∵∠DAB＝60°，AD∴AE＝，DE＝AE＝，∴BF＝DE∴BF＝DE＝，∠DAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB，∴AB＝BF＝．方法二：∴AE＝，∵∠DAB＝60°，AD＝3，∴AE＝，∵AB∥DC，∴∠AFD＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠AFD＝∠DAF，∴AB＝AE+BE＝．∴DA＝DF＝3，又∴AB＝AE+BE＝．1）BD中，，∴B≌（，，∴BO＝DO，∵AO＝CO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AO＝BO＝CO，BO＝DO，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）EEF⊥BDF由（1）ABCD是矩形，∵BD＝AB，∴∠∵BD＝AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∵EF⊥BD，∴∠EFB＝∠EFD＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴FE＝FB，∵DE平分∠ADB，，∴∠ADE＝∠FDE，在△ADE和△FDE，∴E≌，∴AD＝FD，AE＝FE，∴AE＝FB，∵BD＝FD+FB，∴BD＝AD+AE．4）證明：∵四邊形D是平行四邊形，∴OB＝OD，∵EF＝BE，∴OE是△BDF的中位線，∴DF∥AC；證明：由∴∠FDG＝∠ECG，∵G是CD的中點，∴DG＝CG，，在△DFG和△CEG中，，∴≌（，∴FG＝EG，CFDE是平行四邊形，ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∵AB⊥BF，∴CD⊥BF，∴平行四邊形CFDE是菱形；CFDE是正方形，∴CG＝DG＝EG＝FG＝EF＝1，∴∴CG＝DG＝EG＝FG＝EF＝1，∵BE＝EF＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝．在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝．1）∵四邊形D是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC，又∵BE＝DF，∴AB+BE＝DC+DF，即AE＝CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．∴AC、EF互相平分；（2）∵AB∥DC，∴∠AEO＝∠CFO，∵EF平分∠AEC，∴∠AEO＝∠CEO，∴∠CEO＝∠CFO∴CE＝CF，由（1）可知，四邊形AECF是平行四邊形，∴平行四邊形AECF是菱形．AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠DEC＝∠DCE＝＝∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，∴∠BCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠BEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠BCE＝22.5°，∴∠FEC＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°．在△ABE和△CBE中，，∴≌（SA，，∴∠BAE＝∠BCE＝22.5°，EA＝EC＝EF，∠BEA＝∠BEC＝112.5°，∴∠AEF＝112.5°﹣22.5°＝90°，∴∠EAF＝∠EFA＝45°，∴∠BAF＝45°﹣22.5°＝22.5°．7）證明：∵四邊形D是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵FC＝AE，∴DC﹣FC＝AB﹣AE，即DF＝BE，∴四邊形DEBF是平行四邊形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四邊形DEBF是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵DC∥AB，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝8，由（1）得：四邊形DEBF是矩形，∴BF＝DE＝8．8）＝，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴≌≌≌（SA．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四邊形EFMN是菱形，∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四邊形EFMN是正方形；（2）解：∵AB＝7，AE＝3，∴EN＝＝5，∴AN＝BE＝AB∴EN＝＝5，∴正方形EFMN的周長＝4×5＝20．9）∥，O為對角線C的中點，，∴AO＝CO，∠OAM＝∠OCN，在△AOM和△CON中，，∴≌，∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四邊形ANCM為平行四邊形；（2）①證明：∵M(jìn)N平分∠AMC，∴∠AMN＝∠CMN，∵AD∥BC，∴∠AMN＝∠CNM，∴∠CMN＝∠CNM，∴CM＝CN，∴平行四邊形ANCM為菱形；②解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝＝＝4，∴∠ABN＝90°，∴AB＝＝＝4，∵AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，在Rt△ABN中，根據(jù)勾股定理得：AN2＝AB2+BN2，∴（8﹣DM）2＝42+DM2，解得DM＝3．故DM的長為3．1（）證明：∵四邊形D是正方形，，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，在△BCE和△DCE中，，∴≌E（SA，∴BE＝ED，∵BE＝EF，∴DE＝EF；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB＝∠DCF＝90°，∴∠F+∠FGC＝90°，∵△BCE≌△DCE，∴∠CBE＝∠CDE，∵BE＝EF，∴∠CBE＝∠F，∴∠F＝∠CDE，∵∠FGC＝∠DGE，∴∠CDE+∠DGE＝90°，∴∠DEF＝90°．11）＝，∴BF∥AD，∵AF∥BC，∴四邊形ADBF是平行四邊形，∴AD＝BC＝BD，∵∠BAC＝∴AD＝BC＝BD，∴平行四邊形ADBF是菱形；∴S△ABD＝S菱形ADBF＝20∴S△ABD＝S菱形ADBF＝20，∵D是BC的中點，△ ∴SABC＝2SABD＝40△ ∴S△ABC＝AB∴S△ABC＝AB?AC，∴×8×AC＝40，∴BC＝＝＝2∴BC＝＝＝2，AC＝10，BC＝2．∴∠FEH＝∠BEF，∠EFH＝∠DFE，11）H∴∠FEH＝∠BEF，∠EFH＝∠DFE，∵AB∥CD，∴∠FEH+∠EFH＝（∠BEF+∠∴∠FEH+∠EFH＝（∠BEF+∠DFE）＝×180°＝90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°﹣（∠FEH+∠EFH）＝180°﹣90°＝90°，同理可得：∠EGF＝90°，∵EG∴∠GEF＝∠AEF，∠FEH＝∠∴∠GEF＝∠AEF，∠FEH＝∠BEF，∵點A、E、B在同一條直線上，∴∠AEB＝180°，∴∠FEG+∠FEH＝（∠AEF+∠∴∠FEG+∠FEH＝（∠AEF+∠BEF）＝×180°＝90°，即∠GEH＝90°，∴四邊形EGFH是矩形；（2）∵M(jìn)N∥EF∥PQ，MP∥NQ，∴四邊形MNQP為平行四邊形．如圖，延長EH交CD于點O，∵∠PEO＝∠FEO，∠PEO＝∠FOE，∴∠FOE＝∠FEO，∴EF＝FD，∵FH⊥EO，∴HE＝HO，∵∠EHP＝∠OHQ，∠EPH＝∠OQH，∴P≌（，∴HP＝HQ，同理可得GM＝GN，∵M(jìn)N＝PQ，∴MG＝HP，∴四邊形MGHP為平行四邊形，∴GH＝MP，∵M(jìn)N∥EF，ME∥NF，∴四邊形MEFN為平行四邊形，∴MN＝EF，∵四邊形EGFH是矩形，∴GH＝EF，∴MN＝MP，∴平行四邊形MNQP為菱形．1（）證明：∵四邊形ABCD，AGFE是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，，∴∠EAB＝∠GAD，在△AEB和△AGD，∴≌SA；（2）∵△EAB≌△GAD，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝，∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝6，∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝3，∵AG＝3，∴GD＝，∴EB＝．∴OG∴GD＝，∴EB＝．1（）證明：過點E作MND于，交C于點，如圖：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BC，AD＝DC，∠ADB＝45°，∵M(jìn)N⊥AD，∴MN⊥BC，∴四邊形NCDM為矩形，∴MN＝CD，∵∠ADB＝45°，MN⊥AD，∴MD＝ME，∴AM＝EN，∵AE⊥EF，∴∠AEM+∠FEN＝90°．∵∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠FEN＝∠MAE，∴≌，（2）解：CF＝DE（2）解：CF＝DE，理由如下：由（1）知△AEM≌△EFN，∠ADB＝45°，∴ME＝FN＝MD，∵四邊形NCDM為矩形，∴CN＝MD，∵DE＝MD，∴CF∵DE＝MD，∴CF＝DE；（3）解：設(shè)DE＝x．由（1）得：FE2＝AE2＝AM2+ME2＝（4﹣x）2+（x）2，由（2）CF＝DE，∴CF＝x，∵FE＝FC，∴（4﹣x）2+（∴（4﹣x）2+（x）2＝（x）2，解方程得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去，∴DE＝2﹣2．1（∴DE＝2﹣2．∴∠BAD＝90°，∴AE＝EF＝DE＝DF∴AE＝EF＝DE＝DF，∴∠EAD＝∠EDA；ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵∠EAD＝∠EDA，∵∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD，∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE，，在△AEB和△DEC中，，∴≌（SA；解：∵△AEB≌△DEC，∴EB＝EC，∵EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，∴∠BAE＝（180°﹣30°）＝75∴∠BAE＝（180°﹣30°）＝75°，又∵AE＝EF，∴∠AFD＝∠BAE＝75°．EBCABCDMN，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠END＝∠EMB＝90°，∴∠FEN+∠EFN＝90°，且∠FEN+∠AEM＝90°，∴∠AEM＝∠EFN，∵EN+EM＝AD＝AB＝AM+BM，在△BME中，∠ABD＝45°，∴BM＝EM，∴AM＝EN，又∵∠AEM＝∠EFN，∠AME＝∠ENF，∴≌，∴EM＝FN＝BM，∵BM＝CN，∴BM+FN＝BM+CN＝CF＝BC﹣DF＝4﹣2＝2，∴BE＝．∴MB＝EM∴BE＝．（），理由：過點A作∠GAB＝∠FAD，且點G為邊CB延長線上一點，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，∴∠ABG＝90°，∴∠ABG＝∠D．，在△GAB和△FAD中，，∴≌（；（2）線段DF、BE、EF之間的數(shù)量關(guān)系為：DF+BE＝EF．理由：由（1）知：△GAB≌△FAD，∴BG＝DF，AG＝AF．∵∠DAF+∠BAF＝90°，∠GAB＝∠FAD，∴∠GAB+∠FAB＝90°，∴∠GAF＝90°．∵∠EAF＝45°，，∴∠GAE＝∠FAE＝45°．在△GAE和△FAE中，，∴≌SA，∴GE＝EF，∵GE＝BG+BE，∴DF+BE＝EF．（）＝Q6﹣tABCDBQ＝APABQP為矩形，∴t＝6﹣t，得t＝3故當(dāng)t＝3時，四邊形ABQP為矩形．（2）由（1）可知，四邊形AQCP為平行四邊形即時，四邊形AQCP為菱形，解得t＝，故當(dāng)t即時，四邊形AQCP為菱形，解得t＝，故當(dāng)t＝s時，四邊形AQCP為菱形．（3）當(dāng)t＝時，AQ＝ ，CQ＝，則周長為：（3）當(dāng)t＝時，AQ＝ ，CQ＝，則周長為：4AQ＝4×＝15cm面積為：．∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OB，∵AC⊥BD，AG⊥BE，∴∠FAO+∠AFO＝90°，∠EAG+∠AEG＝90°，，∴∠AFO＝∠BEO，在△AOF和△BOE，∴F≌，（2）OF＝OE（2）OF＝OE．理由：∵四邊形ABCD是菱形，對角線的交點為O，∠ABC＝120°∴AC⊥BD，∠ABO＝60°，∴∠FAO+∠AFO＝90°，∵AG⊥BE，∴∠EAG+∠BEA＝90°．∴∠AFO＝∠BEO，又∵∠AOF＝∠BOE＝90°，∴＝．∴OF＝OE；∵∠ABO∴＝．∴OF＝OE；2（）證明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四邊形ECFG是平行四邊形，∴四邊形ECFG為菱形；①ABCD是平行四邊形，∴