高二(1)班2015年3月月考試題

2015年春高二（1）班三月份月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題5分，共25分）1、已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象是()A．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2、設(shè)，則（）A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．a(chǎn)>c>bD．b>c>a能夠把圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分為相等的兩部分的函數(shù)稱(chēng)為圓的“親和函數(shù)”，下列函數(shù)不是圓的“親和函數(shù)”的是（）（A）（B）（C）（D）4、設(shè),對(duì)于使成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最小值1叫做的上確界.若，且，則的上確界為（）A．B．C．D．5、已知函數(shù)（其中），若，則在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（）6、已知=，則++…+=（）A、B、C、D、7、若不等式組，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則的取值范圍是（）A.B.C.D.或8、在中，若，求周長(zhǎng)的取值范圍()A．B．C．D．9、已知雙曲線的中心為O，左焦點(diǎn)為F，P是雙曲線上的一點(diǎn)且，則該雙曲線的離心率是（）A．B．C．D．10、是定義在上的函數(shù),若存在區(qū)間，使函數(shù)在上的值域恰為，則稱(chēng)函數(shù)是型函數(shù)．給出下列說(shuō)法:①不可能是型函數(shù)；②若函數(shù)是型函數(shù),則，；③設(shè)函數(shù)是型函數(shù),則的最小值為；④若函數(shù)是型函數(shù),則的最大值為．下列選項(xiàng)正確的是（）①③B．②③C．②④D．①④題號(hào)12345678910題號(hào)二、填空題（每小題5分，共25分）11、已知點(diǎn)是的重心，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且,則角的大小是.12、如圖,在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100米到達(dá)B后,又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°,若CD=50米,山坡對(duì)于地平面的坡角為θ,則cosθ=.13、設(shè)等差數(shù)列的最大值為。14、稱(chēng)離心率為的雙曲線為黃金雙曲線．如圖是雙曲線的圖象，給出以下幾個(gè)說(shuō)法：①雙曲線是黃金雙曲線；②若，則該雙曲線是黃金雙曲線；③若F1，F(xiàn)2為左右焦點(diǎn)，A1，A2為左右頂點(diǎn)，B1（0，b），B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；④若MN經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線．其中正確命題的序號(hào)為15、拋物線（）的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)，為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足.過(guò)弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為。三、解答題（本大題共6小題，共75分，要求思路清晰，步驟嚴(yán)謹(jǐn)）16、（本題12分）在中，角所對(duì)的邊為，且滿(mǎn)足（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍．17、（本小題滿(mǎn)分12分）在數(shù)列中，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，且的前項(xiàng)和，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.18、（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，垂直于梯形所在的平面，．為中點(diǎn)，，四邊形為矩形，線段交于點(diǎn)N．（1）求證：//平面；（2）求二面角的大小；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19、（本小題滿(mǎn)分12分）某公司舉辦一次募捐愛(ài)心演出，有1000人參加，每人一張門(mén)票，每張100元。在演出過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)，第一輪抽獎(jiǎng)從這1000張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品，并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)。第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)實(shí)數(shù)（），若滿(mǎn)足，電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則抽獎(jiǎng)?wù)咴俅潍@得特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金；否則電腦顯示“謝謝”，則不中特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金。（1）已知小明在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中，求小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為a元，求小李參加此次活動(dòng)收益的期望，若該公司在此次活動(dòng)中收益的期望值是至少獲利70000元，求a的最大值。20、（本小題滿(mǎn)分13分）橢圓C：的長(zhǎng)軸是短軸的兩倍，點(diǎn)在橢圓上.不過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA、l、OB的斜率分別為、、，且、、恰好構(gòu)成等比數(shù)列，記△的面積為S.（1）求橢圓C的方程.（2）試判斷是否為定值？若是，求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由？（3）求S的取值范圍.21、（本小題滿(mǎn)分14分）已知．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí),求證：2015年春高二（1）班三月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題5分，共25分）1、已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象是A．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】A試題分析：依題意得，故，所以，因此該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，不關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，也不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).2、設(shè)，則（）A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．a(chǎn)>c>bD．b>c>a【答案】C試題分析：因?yàn)椋?，選C．考點(diǎn)：本題考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是利用指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，找一個(gè)中間值0或1作比較3、能夠把圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分為相等的兩部分的函數(shù)稱(chēng)為圓的“親和函數(shù)”，下列函數(shù)不是圓的“親和函數(shù)”的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C試題分析：由題意可知，若函數(shù)為“親和函數(shù)”其函數(shù)必過(guò)圓心（0，0），即原點(diǎn)，且是奇函數(shù)，對(duì)于A，f(0)=0，且f(x)為奇函數(shù)，故是“親和函數(shù)”；對(duì)于B，f(0)=ln1=0，且,所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故是“親和函數(shù)”；對(duì)于C，f(0)=1，不過(guò)圓心，故不是“親和函數(shù)”；對(duì)于D，f(0)=0，且是奇函數(shù)，故是“親和函數(shù)”；綜上選C考點(diǎn)：本題考查函數(shù)的奇偶性點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是對(duì)新問(wèn)題的分析理解，掌握把圓的周長(zhǎng)與面積平分，則必過(guò)圓心，4、設(shè),對(duì)于使成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最小值1叫做的上確界.若，且，則的上確界為（）A．B．C．D．【答案】D試題分析：因?yàn)椋裕吹纳洗_界為，故選D.考點(diǎn)：新定義問(wèn)題、基本不等式.5、已知函數(shù)（其中），若，則在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是【答案】B．試題分析：∵，又f（4）g（－4）＜0，∴g（－4）＝，∴0＜a＜1，∴f（x）在R上單調(diào)遞減，過(guò)點(diǎn)（2，1），g（x）為偶函數(shù)，其圖象在（0，＋∞）上均單調(diào)遞減，故選B．6、已知=，則++…+=（）A、B、C、D、【答案】D【解析】試題分析：由題意，根據(jù)相同方法，每項(xiàng)都是，總共的項(xiàng)數(shù)為，則最終的值為，若不等式組，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則的取值范圍是（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】根據(jù)畫(huà)出平面區(qū)域（如圖1所示），由于直線斜率為，縱截距為，自直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)起，向上平移，當(dāng)時(shí)，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域（如圖2所示）；當(dāng)時(shí)，表示的平面區(qū)域是一個(gè)四邊形區(qū)域（如圖3所示），當(dāng)時(shí)，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域（如圖1所示），故選D.9、在中，若，求周長(zhǎng)的取值范圍A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所?所以所以，，解得：，所以由正弦定理：所以的周長(zhǎng)因?yàn)?，所以所?所以故選A.考點(diǎn)：三角函數(shù)的性等變換、正弦定理、三角函數(shù)的性質(zhì).9、已知雙曲線的中心為O，左焦點(diǎn)為F，P是雙曲線上的一點(diǎn)且，則該雙曲線的離心率是（）A．B．C．D．【答案】D試題分析：根據(jù)題意，,即，所以：，在中，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為：即代入雙曲線方程得：化簡(jiǎn)為等式兩邊分別除以得：，根據(jù)求根公式得：或（舍去），所以.所以答案為D.考點(diǎn)：1.平面向量；2.雙曲線的離心率.10、是定義在上的函數(shù),若存在區(qū)間，使函數(shù)在上的值域恰為，則稱(chēng)函數(shù)是型函數(shù)．給出下列說(shuō)法:①不可能是型函數(shù)；②若函數(shù)是型函數(shù),則，；③設(shè)函數(shù)是型函數(shù),則的最小值為；④若函數(shù)是型函數(shù),則的最大值為．下列選項(xiàng)正確的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④【答案】C解析】由題意知，．對(duì)①若是型函數(shù)，因?yàn)樵趨^(qū)間與上都是增函數(shù)所以方程有兩個(gè)不同的非零實(shí)根，即方程有兩個(gè)不同的非零實(shí)根，所以當(dāng)，且時(shí)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，這時(shí)在上的值域恰為，所以函數(shù)是型函數(shù)，故=1\*GB3①錯(cuò)誤．對(duì)②，若函數(shù)是型函數(shù),則存在區(qū)間，使函數(shù)在上的值域恰為，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，下面分三種情況討論：（a）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的值域?yàn)?，所以有，，以上兩式相減得到，因?yàn)?，所以，即，所以，整理得，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根；（b）當(dāng)時(shí)，有，即，矛盾；（c）當(dāng)時(shí)，有時(shí)，可得．綜上所述，②正確．對(duì)③，函數(shù)是型函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，若，且則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為0，最小值為，要使，只要取，顯然這時(shí)，且函數(shù)在上的值域恰為，所以的最小值不是，因此③不正確．對(duì)④，若函數(shù)是型函數(shù),則有兩個(gè)不同的非零解，即有兩個(gè)不同的非零解，．由得或，所以（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最大值為。故選C．【命題意圖】本題是新定義題型，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力．第II卷（非選擇題）二、填空題（每小題5分，共25分）11、已知點(diǎn)是的重心，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且,則角的大小是.【答案】試題分析：∵點(diǎn)O是△ABC的重心，∴又∵，（k>0）從而，由余弦定理得：又∵C∈（0，π），∴C=∴角C的大小是；故答案為：考點(diǎn)：向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義．12、如圖,在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100米到達(dá)B后,又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°,若CD=50米,山坡對(duì)于地平面的坡角為θ,則cosθ=.【答案】QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。-1【解析】在△ABC中,BC=QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。=QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。=50(QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。-QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。).在△BCD中,sin∠BDC=QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。=QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。=QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。-1.又∵cosθ=sin∠BDC,∴cosθ=QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。-1.13、設(shè)等差數(shù)列的最大值為?！敬鸢浮?問(wèn)題即為在上求目標(biāo)函數(shù)的最大值，畫(huà)出可行域知過(guò)點(diǎn)P（1，1）時(shí)考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).15、稱(chēng)離心率為的雙曲線為黃金雙曲線．如圖是雙曲線的圖象，給出以下幾個(gè)說(shuō)法：①雙曲線是黃金雙曲線；②若，則該雙曲線是黃金雙曲線；③若F1，F(xiàn)2為左右焦點(diǎn)，A1，A2為左右頂點(diǎn)，B1（0，b），B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；④若MN經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線．其中正確命題的序號(hào)為【答案】①②③④試題分析：對(duì)于①，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，∴，滿(mǎn)足對(duì)于②，，所以或（舍去）故滿(mǎn)足對(duì)于③∵，∴，由②可得，滿(mǎn)足對(duì)于④，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，可得，∴，由②可得，滿(mǎn)足，綜上，正確的有①②③④考點(diǎn)：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)15．拋物線（）的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)，為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足.過(guò)弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為（）A.B.1C.D.2【答案】A.試題分析：設(shè)，連接AF、BF，由拋物線的定義知，，在梯形ABPQ中，；應(yīng)用余弦定理得，配方得，又因?yàn)椋?，得?所以，即的最大值為，故選A.三、解答題（本大題共6小題，共75分，要求思路清晰，步驟嚴(yán)謹(jǐn)）16、（本小題滿(mǎn)分12分）在中，角所對(duì)的邊為，且滿(mǎn)足（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）試題分析：（1）由已知得化簡(jiǎn)得5分故．6分（2）因?yàn)?，所以，７分由正弦定理，得a=2sinA,c=2sinC，故９分因?yàn)?，所以?0分所以．12分考點(diǎn)：本題考查二倍角公式，正弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二倍角公式，兩角和與差的三角函數(shù)，以及正弦定理，第二問(wèn)關(guān)鍵是整理成的形式17、（本小題滿(mǎn)分12分）在數(shù)列中，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，且的前項(xiàng)和，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）;（2）詳見(jiàn)解析;（3）.【解析】分析：（1）由于,可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得.即可證明數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.（3）由（1）知，,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即對(duì)n取任意正偶數(shù)都成立，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對(duì)時(shí)恒成立，綜上，即可求出結(jié)果.試題解析：解：（1）,∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴.3分（2）∴.∴，公差∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.7分（未證明扣1分）（3）由（1）知，,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即對(duì)n取任意正偶數(shù)都成立所以11分當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對(duì)時(shí)恒成立，綜上，.15分.考點(diǎn)：1.等差、等比通項(xiàng)公式；2.數(shù)列求和；3.不等式恒成立問(wèn)題.18、（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，垂直于梯形所在的平面，．為中點(diǎn)，，四邊形為矩形，線段交于點(diǎn)N．（1）求證：//平面；（2）求二面角的大小；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）（3）在線段上存在一點(diǎn)，且【解析】試題分析：（1）連接在中，由題設(shè)知分別為中點(diǎn)，所以由此可證//平面；（2）如圖以為原點(diǎn)，分別以所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量的數(shù)量積求出平面ABC和平面PBC的法向量的坐標(biāo)，由法向量的夾角公式求出求二面角的大??；（3）首先假設(shè)存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件．由設(shè)，再利用向量的夾角公式確定的值．試題解析：解：（Ⅰ)連接在中，分別為中點(diǎn)，所以因?yàn)樗?分（2）如圖以為原點(diǎn)，分別以所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系5分則設(shè)平面的法向量為則即解得令，得所以7分因?yàn)槠剿裕蓤D可知二面角為銳二面角，所以二面角的大小為9分（3）設(shè)存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件．由設(shè)，整理得，11分因?yàn)橹本€與平面所成角的大小為，所以，13分則知，即點(diǎn)與E點(diǎn)重合．故在線段上存在一點(diǎn)，且14分19、（本小題滿(mǎn)分12分）某公司舉辦一次募捐愛(ài)心演出，有1000人參加，每人一張門(mén)票，每張100元。在演出過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)，第一輪抽獎(jiǎng)從這1000張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品，并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)。第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)實(shí)數(shù)（），若滿(mǎn)足，電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則抽獎(jiǎng)?wù)咴俅潍@得特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金；否則電腦顯示“謝謝”，則不中特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金。（Ⅰ）已知小明在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中，求小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）設(shè)特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為a元，求小李參加此次活動(dòng)收益的期望，若該公司在此次活動(dòng)中收益的期望值是至少獲利70000元，求a的最大值?！敬鸢浮浚?）;（2）元.【解析】試題解析：（Ⅰ）設(shè)“小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)”為事件A，所有基本事件構(gòu)成區(qū)域的面積為16，事件A所包含的基本事件的區(qū)域的面積為5，∴P（A）=．5分（Ⅱ）特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為a元，設(shè)小李參加此次活動(dòng)的收益為ξ，則ξ的可能取值為-100，900，a+900．P（ξ=-100）=，P（ξ=900）=，P（ξ=a+900）=．∴ξ的分布列為ξ-100900a+900P∴．10分∴該集團(tuán)公司收益的期望為，由題意，解得a≤6400．故特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金最高可設(shè)置成6400元．12分20、（本小題滿(mǎn)分13分）橢圓C：的長(zhǎng)軸是短軸的兩倍，點(diǎn)在橢圓上.不過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA、l、OB的斜率分別為、、，且、、恰好構(gòu)成等比數(shù)列，記△的面積為S.（1）求橢圓C的方程.（2）試判斷是否為定值？若是，求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由？（3）求S的取值范圍.【答案】（